Visst kan man faktorisera x
4+ 1
Per-Eskil Persson
Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en svår del av algebran. Redan i slutet av grundskolan möter elever i regel denna omvändning till multiplikation med hjälp av
distributiva lagen och de speciella regler man kan härleda ur den, som konjugatregeln och kvadreringsregeln. Att förstå och tillämpa faktorisering innebär en betydande ansträngning, både av de elever som ska lära sig den och av läraren som ska göra detta möjligt.
Distributiva lagen: a(bc)abac
Konjugatregeln: (ab)(ab)a2 b2 Kvadreringsregeln: (ab)2 a22abb2
I gymnasiekurserna framträder faktorisering i de första kurserna i samband med
ekvationslösning och för att exempelvis finna nollställen till funktioner. Oftast är det uttryck, ekvationer och funktioner av grad två det gäller.
Ex. - Faktorisera uttrycket 12x2 – 9x . Den största gemensamma faktorn i termerna är 3x. När den bryts ut (divideras) ur dessa får man det faktoriserade uttrycket 3x(4x3) - Lös ekvationen x2 – 5x + 6 = 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet ger:
( 5 ( ) ) ( )2 6 2 5 2 2 5 2 x x och sedan 2 2 1 2 2 5) ( ) (x . Med konjugatregeln fås ( )( ) 2 1 2 5 2 1 2 5 x
x och ekvationen blir: (x3)(x2)0som sedan lätt löses. - Vilka nollställen och vilken symmetrilinje har grafen till funktionen
f(x) x2 2x3? Liknande metoder som i föregående exempel kan användas. Här har både konjugatregeln och kvadreringsregeln använts. Vi kan som i exemplet
kvadratkomplettera, eller så kan vi utnyttja en färdig formel. Båda tillvägagångssätten bygger i grunden på kunskaper om dessa specialregler. En bra generell metod är att finna nollställen till polynomet, och utifrån dem konstruera förstagradspolynom som detta kan divideras med. Att detta är möjligt anges i faktorsatsen och metoden som används är polynomdivision.
För att bli riktigt driven i att faktorisera, måste elever träna på mer komplicerade polynom, av tredje graden och högre. Inom analysen i gymnasiets senare kurser måste de också kunna finna nollställen till derivatan av exempelvis fjärdegradsfunktioner för att bestämma maxima och minima. Ett paradexempel som brukar finnas med i läroböckerna är faktorisering av uttrycket x4 16eller liknande:
Ex. Konjugatregeln utnyttjas två gånger och vi får: x4 16(x24)(x24)(x2)(x2)(x2 4)
Det kan också tänkas att eleven lär sig faktoriseringsformeln: x3 1(x1)(x2 x1) Men hur är det med uttryck av liknande slag med den allmänna formeln xn 1, där n är vilket positivt heltal som helst? Att göra en undersökning av vad som händer när n blir tämligen stort är ganska jobbigt och till slut nästan omöjligt. Vi kan utföra delar av faktoriseringen men kan kanske inte klara den fullständigt. Men med hjälp av datoralgebrasystem (CAS) kan detta enkelt göras av elever i gymnasiekurser. I didaktisk litteratur har en sådan undersökande aktivitet beskrivits t.ex. av Drijvers, Boon och van Reeuwijk (2011) från Freudenthalinstitutet i Nederländerna. Vill du läsa om hur den använts inom ett forskningsprojekt har Kieran och Drijvers (2006) redogjort för detta i en artikel (se referens).
Det går bra att utnyttja vilket CAS-verktyg som helst, datorprogramvara, applikationer etc. Kommandot är nästan alltid "factor", men ibland (som i Geogebra) "Faktorisera". Om vi provar att faktorisera xn 1 för heltal n från 1 till 12 får vi:
factor(x1 – 1) (x – 1) factor(x2 – 1) (x – 1)(x + 1) factor(x3– 1) (x – 1)(x2 + x + 1) factor(x4 – 1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1) factor(x5 – 1) (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) factor(x6 – 1) (x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) factor(x7 – 1) (x – 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) factor(x8 – 1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) factor(x9 – 1) (x – 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1) factor(x10 – 1) (x – 1)(x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 – x3 + x2 – x + 1) factor(x11 – 1) (x – 1)(x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) factor(x12 – 1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x4 – x2 + 1)
Ett mönster börjar framträda, och det ger upphov till en rad intressanta frågor som är utmärkta att diskutera i klassen, antingen gruppvis eller i helklass. Exempel på sådana frågor är:
Alla uttryck xn 1 verkar ha faktorn (x – 1). Kan vi motivera detta eller rent av finna ett bevis för att så måste vara fallet?
Vad är gemensamt för de n där faktoriseringen också innehåller (x + 1)? Hur motiverar/bevisar vi det?
Vissa innehåller bara två faktorer, (x – 1) och en obruten summa av potenser av x. T.ex. x7 – 1 = (x – 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
Vad är gemensamt för de n där detta inträffar?
Det finns andra faktorer som är gemensamma. Exempelvis finns (x2 + x + 1) med när n är 3, 6, 9 och 12. Hur kan vi förklara det?
Det verkar som om alla termer har koefficienterna +1 eller -1, alltså är av typen xk. Gäller detta alltid när man faktoriserar xn 1, oavsett n?
Här finns det möjlighet att ställa hypoteser och enkelt kontrollera dem. Som lärare kan du också be eleverna att gissa nästa i raden. Vad tror man att faktoriseringen av x13 – 1 kan ge? Faktoriseringen av x14 – 1 ? Osv.
På samma sätt kan man försöka faktorisera polynomen xn 1, där n är positivt heltal. Ett helt annat mönster visar sig:
factor(x1 + 1) (x + 1) factor(x2 + 1) (x2 + 1) factor(x3+ 1) (x + 1)(x2 – x + 1) factor(x4 + 1) (x4 + 1) factor(x5 + 1) (x + 1)(x4 – x3 + x2 – x + 1) factor(x6 + 1) (x2 + 1)(x4 – x2 + 1) factor(x7 + 1) (x + 1)(x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1) factor(x8 + 1) (x8 + 1) factor(x9 + 1) (x + 1)(x2 – x + 1)(x6 – x3 + 1) factor(x10 + 1) (x2 + 1)(x8 – x6 + x4 – x2 + 1) factor(x11 + 1) (x + 1)(x10 – x9 + x8 – x7 + x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1) factor(x12 + 1) (x4 + 1)(x8 – x4 + 1)
Samma typ av frågeställningar kan göras som för det tidigare mönstret. Om eleverna arbetat med detta, så klarar de säkert att själva upptäcka de frågor de vill ställa och även att formulera hypoteser och finna svar till dem.
Fig 1. Carl-Friedrich Gauss, 1777-1855
Men vänta lite nu! Har inte Gauss (fig. 1) för länge sedan fastslagit att man kan faktorisera alla polynom, så att faktorerna bara är polynom av första och andra graden? Vi utgår från faktoriseringen av x4 + 1. Om det även hade funnits en term 2x2 så hade uttrycket följt en kvadreringsregel. Låt oss införa en sådan och kompensera genom att dra ifrån samma term: x41 x4 2x212x2 (x2 1)2( 2x)2
Nu ser vi att det går att använda konjugatregeln och vi får:
((x2 1) 2x)((x21) 2x)(x2 2x1)(x2 2x1)
Jovisst går det att faktorisera! Men varför klarade inte CAS-verktygen av detta? Problemet ligger i hur vi definierar "faktorisera". Ofta tänker vi bara på heltal, precis som inom talteori, och då får vi resultat enligt tabellerna ovan. Om exempelvis talet 30 ska delas upp i två faktorer, så kanske vi har 3·10 eller 5·6 i tankarna, men sällan t.ex. 3 25 2. Ger man också möjlighet för koefficienter i polynomen som är algebraiska tal, så klarar man att
faktorisera enligt Gauss princip. Algebraiska tal definieras som sådana tal som kan vara rötter till polynomekvationer med heltalkoefficienter. Det rör sig då om rotuttryck av olika slag. Ex. Det algebraiska talet x 21 är en rot till ekvationen x4 2x2 10 Om vi alltså öppnar för faktorisering där algebraiska tal är tillåtna, så blir mönstren för xn 1 som vi studerat ovan ganska annorlunda. Dessvärre finns det för flera CAS-verktyg ingen möjlighet att göra detta. Ett undantag är TI-Nspire CAS, där man med en lite ändring av kommandot kan uppnå detta. Vi provar det på något som tidigare inte fått någon faktorisering:
Ex. Factor(x4 + x3 + x2 + x + 1, x) 1) 2 5 1 )( 1 2 5 1 (x2 x x2 x
Lägg märke till x:et som lagts till inom parentesen i kommandot! Denna lilla förändring ger alltså detta nya resultat. Det är ju också intressant att det är två tal som vi förknippar med femhörningar och gyllene snittet som framträder som koefficienter här. Vad kan detta bero på? Gauss utnyttjade i själva verket denna typ av faktoriseringar för att bevisa att regelbundna femhörningar, men även t.ex. regelbundna sjuttonhörningar, inskrivna i cirklar kan
konstrueras med passare och linjal. Det lämnas åt läsaren att verifiera att faktoriseringen är korrekt och att kanske även finna ett sätt att genomföra den med papper och penna.
Med detta tilläggskommando kan vi alltså bilda nya mönster av faktoriseringarna ovan, och även i detta fall diskutera i klassrummet vad som händer och varför. Frågorna blir delvis helt nya. Men på tal om Gauss, bevisade han inte att alla polynom kan faktoriseras till enbart förstagradsuttryck i det komplexa talområdet? Jovisst, och datoralgebrasystemen ger också möjlighet till detta. Exempelvis får man att x2 + 1 = (x – i)(x + i).
Vi provar detta på polynomet x4 + 1. I exempelvis Maxima heter kommandot gfactor, och man får:
x4 + 1 = (x2 – i)(x2 + i)
I TI-Nspire blir kommandot cFactor(x4 + 1,x), och uttrycket blir i med detta fullt faktoriserat i det komplexa talområdet:
) 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ( 1 4 i x i x i x i x x
Nollställena till polynomet bildar i det komplexa talplanet hörnen i en kvadrat som är
inskriven i en cirkel med radien 1. Med papper och penna kan man finna dem genom att med lämplig metod lösa ekvationen x4 + 1 = 0 i det komplexa talområdet (se fig. 2).
Fig 2. z1z4 är rötter till ekvationen x4 + 1 = 0. Vad vi menar med att faktorisera ett polynom är alltså inte helt entydigt. Det beror på vilka förutsättningar vi ger i form av vilka slags faktorer som är tillåtna och även inom vilket talområde vi utför faktoriseringen. "Vanlig" faktorisering bör vi kanske precisera som heltalsfaktorisering (det finns också gaussiska heltal i det komplexa talområdet). De mer ovanliga faktoriseringar som presenterats här i artikeln är ofta inte heller åtkomliga med hjälp av grafritande program, räknare eller applikationer. Om vi i undervisningen vill studera dem närmare, vilket är önskvärt åtminstone i de senare kurserna i gymnasiet, så behövs någon form av datoralgebrasystem som verktyg. Några sådana presenteras nedan.
Till sist ett litet tips för den som försökt lösa problemet om alla termer i heltalsfaktoriseringen av xn 1 alltid är av typen xk: Prova att faktorisera x1051.
Exempel på CAS-verktyg:
Datorprogramvara: Geogebra, Maxima, TI-Nspire (även räknare).
Applikationer: Symbolic Calculator HD, PocketCAS, CAS Calc P11, WolframAlpha
Nätet: http://www.wolframalpha.com/
Referenser
Drijvers, P., Boon, P. & van Reeuwijk, M. (2011). Algebra and technology. I P. Drijvers (red.), Secondary algebra education – Revisiting topics and themes and exploring the unknown (179-202). Rotterdam: Sense Publishers.
Kieran, C. & Drijvers, P. (2006). The co-emergence of machine techniques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: a study of CAS use in secondary school algebra.
