FÖREKOMSTEN AV
MATEMATISKA PROBLEM I
LÄROBÖCKER
En dokumentstudie av två läroböcker i matematiken för årskurs fem
ELIONOR BORNSTRÖM ELIN KALMERLIND
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Självständigt arbete 1
Grundnivå, 15 hp.
Handledare: Katarina Palm Kaplan Examinator: Daniel Brehmer
Akademin för utbildning SJÄLVSTÄNDIGT ARBETE 1
kultur och kommunikation MAA016 15 hp
Termin VT År 2020
SAMMANFATTNING
_______________________________________________________
Elionor Bornström & Elin Kalmerlind
Titel: Förekomsten av matematiska problem i läroböcker
Undertitel: En dokumentstudie av två matematikböcker för årskurs fem Titeln på engelska: The presense of mathematical problems in textbooks
Årtal 2020 Antal sidor: 19
_______________________________________________________ Denna studie har syftet att få kunskap om hur stor andel av uppgifterna som kan klassas som matematiska problem i två matematikböcker för årskurs fem. Tidigare forskning visar att det finns få matematiska problem i de matematiska läroböckerna i både grundskola och gymnasium. Resultaten grundar sig i analysfrågor som skapades utifrån vår tolkning av tidigare forskning av Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2016) där de lyfter sina tankar och resonemang gällande matematiskt problem utifrån Lithners (2006) kreativa och imitativa resonemang. Genom en kvantitativ ansats av två läroböcker kom vi fram till att den ena boken totalt hade 474 uppgifter och 10 matematiska problem, medan den andra boken hade 759 uppgifter och 7 matematiska problem. Resultaten utifrån analysen visar att andelen matematiska problem är låg jämfört med antal uppgifter, vilket diskuteras utifrån hur viktig problemlösningsförmågan anses vara för elever att utveckla.
_______________________________________________________ Nyckelord: problemlösning, matematik, läroböcker, årskurs 5
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 1
1.1 SYFTE OCH FORSKNINGSFRÅGA ... 1
2 BAKGRUND ... 1
2.1 MATEMATIKBOKENS UPPBYGGNAD ... 1
2.2 VAD ÄR ETT MATEMATISKT PROBLEM? ... 2
2.3 PROBLEMLÖSNING I LÄROBÖCKER ... 2
3 TEORETISKT RAMVERK ... 3
3.1 LITHNERS KREATIVA OCH IMITATIVA RESONEMANG ... 3
4 METODOLOGI ... 4 4.1 URVAL ... 4 4.1.1 Avgränsningar ... 4 4.1.2 Utvalda läromedel ... 5 4.2 ANALYSMETOD ... 6 4.3 GENOMFÖRANDE ... 6 4.4 ETISKA STÄLLNINGSTAGANDEN ... 7
4.4.1 Validitet och reliabilitet ... 8
5 RESULTAT ... 8
5.1 HUR STOR ANDEL AV UPPGIFTERNA I DE UNDERSÖKTA LÄROBÖCKERNA KAN BETRAKTAS SOM MATEMATISKA PROBLEM? ... 8
5.2 EXEMPEL PÅ ANALYSERANDE EXEMPEL ... 8
6 DISKUSSION OCH SLUTSATSER ... 12
6.1 METODDISKUSSION ... 12
6.2 RESULTATDISKUSSION ... 13
1
1 Inledning
I Lgr11 från Skolverket (2019) finns sex områden inom matematiken som ska bearbetas i grundskolan. Ett av dessa områden är problemlösning där det står att eleven i årskurs 4–6 ska utveckla ”[s]trategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer” samt ”[m]atematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer” (s. 58). Eleverna ska med andra ord utveckla sin förmåga att både lösa och formulera matematiska problem. Begreppet problemlösning är något vi använder i det vardagliga livet, ett begrepp som används när ett problem stöts på i vardagen (Jonassen, 2000). I denna studie lyfter vi matematisk problemlösning (aktiviteten) som kräver kontinuerliga möten med matematiska problem (uppgifter) för att öka förmågan att lösa dessa. Att arbeta med matematiska problemlösningsuppgifter, oavsett hur stora uppgifterna är, ger en positiv påverkan på eleverna då det utvecklar elevernas kognitiva förmåga. Det skapar även positiva effekter på elevernas prestationer och attityder (Silver & Cai, 1996). Brehmer, Ryve och Steenbrugge (2016) skriver att det finns få uppgifter i matematikläroböcker som kan klassas som matematiska problem, vilket vi vill undersöka i två utvalda läroböcker i matematik.
1.1 Syfte och forskningsfråga
Syftet med denna studie är att få kunskap om förekomst av matematiska problem i två läroböcker i matematik för årskurs fem. För att uppnå syftet kommer vi undersöka följande forskningsfråga:
1. Hur stor andel av uppgifterna i de undersökta läroböckerna kan betraktas som matematiska problem?
2 Bakgrund
I detta avsnitt beskrivs bakgrunden kring denna studie. Avsnittet är uppdelat i tre delar: matematikbokens uppbyggnad, vad är ett matematiskt problem? och
problemlösning i läroböcker.
2.1 Matematikbokens uppbyggnad
Matematikböcker är en artefakt som utformats av en eller fler författare för att användas i utbildningssyfte (Johansson, 2006; NE, 2020). Författarna vill göra ett så bra läromedel som möjligt, men i de flesta länder är själva publiceringen en bransch vilket präglar utformandet av läromedlet både pedagogiskt och ekonomiskt (Johansson, 2006). Läroböcker i matematik tillsammans med läraren är det som har mest inflytande över elevernas matematiska lärande (Jablonka & Johansson, 2010). De fungerar stöttande i det pedagogiska arbetet och hjälper eleven att arbeta utefter deras kunskapsnivå (Johansson, 2006). Dessa läroböcker är det som lärarna oftast förhåller sig till och ligger till grund för större delen av matematikundervisningen (Brehmer, Ryve & Steenbrugge, 2016; Fan, Zhu & Miao, 2013; Lianghuo & Yan, 2000).
2
Efter samtliga år i skolan ska eleverna uppvisa goda kunskaper i förhållande till de mål som finns skrivna i Lgr11. Eleverna ska samla kunskap i ett flertal områden inom matematiken, nämligen: taluppfattning och tals användning, algebra, geometri,
sannolikhet och statistik, samband och förändring samt problemlösning (Skolverket,
2019). Även fast det inte finns ett måste i att läroböcker ska ha läroplanen som grund, har de ändå det allt som oftast (Johansson, 2006). Läroböckerna i matematik lyfter då samtliga ovannämnda delar från läroplanen med en pågående progression av elevernas matematiska kunskaper över tid.
Läroböcker i matematik används mycket och väl av lärare som komplement till det de lär ut. Denna fakta som presenteras ovan är väsentlig för studien då de har en stor del i undervisningen av matematik, men även i denna studie. Läroböckerna har analyserats för att bilda ytterligare kunskap om hur matematiska problem förekommer i läroböckerna i matematik.
2.2 Vad är ett matematiskt problem?
Problemlösning är något vi kontinuerligt använder oss av, inte bara inom matematiken, det följer oss genom hela livet (Jonassen, 2000). Den typ av problemlösning som eleverna möter under matematikundervisningen är matematisk
problemlösning som utvecklar kognitiva färdigheter, motiverar eleverna samt
utvecklar kreativiteten (Pehkonen, 1997). I Lgr11 (Skolverket, 2019) skrivs det om både problemlösning och matematisk problemlösning vilket syftar till samma sak. Vi har valt begreppet matematiskt problem i denna studie när det talas om uppgifter och inte lösningen till en uppgift.
För att en uppgift ska klassas som ett matematiskt problem krävs det att lösaren inte har en angiven metod om hur uppgiften ska lösas. Om eleven direkt skulle känna igen vilken metod som ska användas för att lösa uppgiften är det istället en rutinuppgift (Pehkonen, 1997). Schoenfeld (refererad i Lithner, 2006, s. 6) menar att ett problem inte är en egenskap hos en matematisk uppgift. Om en uppgift är ett problem eller inte beror på relationen mellan individen och problemet för just den personen. Schoenfeld (i Lithner, 2006) förklarar även att om individen har tillgång till ett lösningsschema eller en angiven metod för en matematisk uppgift, blir istället uppgiften bara en övning och inte ett matematiskt problem. Det är på detta sätt vi tolkat in matematiska problem, vilket följer de kriterier vi utgått från som även ligger till grund för våra analysfrågor som återfinns under 4.3.
2.3 Problemlösning i läroböcker
Brehmer m.fl. (2016) undersökte förekomsten av matematiska problem i tre serier av läroböcker i matematik för gymnasiet. Sammanlagt analyserades 5722 uppgifter och av dessa kategoriseras 312 (5,45%) som matematiska problemlösningsuppgifter. De matematiska problemen gick att finna i slutet av varje kapitel på den svåraste nivån och Brehmer m.fl. (2016) drog slutsatsen att en stor del av eleverna aldrig kommer ha tid eller möjlighet till att arbeta med dessa matematiska problem på grund av dess placering och svårighetsgrad. I en studie gjord av Fan och Zhu (2000) undersökte de matematiska problem i matematikböcker för gymnasieskolor i Singapore och drog slutsatsen att matematiska problemen i läroböckerna ger eleverna en bra grund för att utveckla sin matematiska problemlösningsförmåga. Studien (Fan & Zhu, 2000) visar
3
att läroböckerna ger eleverna en god grund av grundläggande och teoretiska kunskaper för att kunna lösa problem. Läroböckerna kan hjälpa eleverna att utveckla logiskt tänkande men även lära dem att lösa utmanande problem. Dock föreslår författarna att vissa områden behöver förbättras. Exempelvis menar Fan och Zhu (2000) att läroböckerna kan ge eleverna mer icke-rutinuppgifter, mer av öppna problem och problem som är anpassade efter elevers verkliga livssituation.
I en studie av Alajmi (2011) undersöktes läroböcker i matematik för de yngre åldrarna från bland annat Kuwait och USA där man tittade på matematiska problem som är konstruerade utifrån elevernas vardag. De amerikanska läroböckerna presenterade matematiska problem redan från årskurs 1 och de matematiska problemen gav eleverna förutsättningar till att skapa och strukturera enklare problem. I läroböcker från Kuwaiti presenterades matematiska problem som tidigast från årskurs 4. Fan och Zhu (2007) studerade läroböcker från China, Singapore och USA för gymnasieskolor och jämförde problemlösningsuppgifter i de olika böckerna. Läroböckerna från Singapore menar Fan och Zhu (2007) inte helt avspeglar sig till styrdokumenten i Singapore. Enligt läroplanen/kursplanen i Singapore ska matematiska problem relatera till elevernas vardag vilket de matematiska problemen ej gör i läroböckerna.
Sammanfattningsvis utifrån avsnittet presenteras matematikbokens uppbyggnad och lärobokens roll i undervisningen. Lärarna förhåller sig oftast till matematikboken och vi ser hur stor betydelse läroboken har i undervisningen. Matematiska problem utvecklar kognitiva färdigheter och ses som något som följer oss genom hela livet, därför blir förmågan viktig för eleverna i skolan att lära sig. Slutligen tas tidigare forskning upp där fler studier tittar på läroböcker och matematiska problem. Fan och Zhu (2007) undersökte läroböcker för gymnasieskolor, lika så Brehmer m.fl. (2016). Alajmi (2011) fokuserade istället på läroböcker för de yngre åldrarna och studerade ej problemlösning kvantitativt. Det som inte presenteras från tidigare forskning, vilket möjliggör att denna studie bidrar med ny kunskap, är hur två böcker för årskurs fem står sig mot varandra när man ser till utsträckningen av matematiska problem. Denna studie bygger även på en kvantitativ metod, jämfört med Alajmis (2011) studie.
3 Teoretiskt ramverk
I detta avsnitt presenteras arbetets teoretiska ramverk. Det teoretiska ramverket ligger till grund för analysen där syftet är att få kunskap om matematiska problem i två läroböcker i matematik för årskurs fem. Genom att analysera uppgifter i läroböckerna med hjälp av Lithners (2006) ramverk som beskriver kreativa- och imitativa matematiska resonemang bedöms vilka uppgifter som kan klassas som matematiska problem eller inte. Nedan beskrivs ramverket.
3.1 Lithners kreativa och imitativa resonemang
Lithner (2006) skriver om två typer av resonemang: den ena som används när användaren redan har ett lösningsschema för matematikuppgifter, imitativa
resonemang, och den andra när lösaren inte har tillgång till ett imitativt resonemang
utan använder ett kreativt resonemang för att lösa uppgiften. Ett resonemang förklarar Lithner (2006) är processen där eleven överväger olika strategier för att lösa en matematisk uppgift. Lithner delar upp imitativa resonemang i två kategorier:
4
memorerande resonemang (MR) och algoritmiskt resonemang (AR). Med memorerande resonemang menar han att användaren kan minnas svar från tidigare
lösta uppgifter eller uppgifter som redan är lösta. Algoritmiskt resonemang är när användaren istället använder sig av strategier eller procedurer som går att tillämpa på en annan uppgift. Det kreativa resonemanget används när det imitativa resonemanget inte går att tillämpa och Lithner förklarar att det finns fyra kriterier för ett kreativt resonemang: novelty, flexibility, plausibility och mathematical foundation (se Lithner, 2006, för förklaring av kriterierna). I denna studie används endast novelty då resterande kriterier fokuserar på elevens egenskaper. Kreativt resonemang i form av novelty används när eleven inte använder sig av ett imitativt resonemang utan skapar egna lösningsstrategier för att lösa en uppgift. När vi analyserar matematiska problem i läroböckerna i matematik kommer vi klassificera uppgifterna utifrån om de kräver ett imitativt resonemang eller ett kreativt resonemang. Eftersom denna studie enbart ser till läroböcker och inte elever så tittar vi på vilka möjligheter till imitativa resonemang som läroböckerna ger. Ifall dessa möjligheter ej ges, kan en uppgift antas behöva lösas med kreativt resonerande och kan då klassas som ett problem. Det som sedan presenteras i avsnitt 5.2 är de matematiska problem som kräver ett kreativt resonemang.
4 Metodologi
I detta avsnitt presenteras studiens metodologi. Den består av metodbeskrivning där vi kortfattat beskriver hur data samlats in och hur den bearbetats. Under urval presenteras de läromedel som valts och varför dessa val gjorts. Analysmetod förklarar hur vi analyserat vårt material och under etiska ställningstaganden presenteras etiska val och studiens validitet och reliabilitet.
4.1 Urval
4.1.1 Avgränsningar
Innan vi analyserade läroböckerna satte vi en del avgränsningar för att möjliggöra vissa begränsningar av studien. Vi utgick endast från Favorit matematik (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2016) och Matte Direkt Borgen (Falck & Picetti, 2005) och uteslöt eventuella tidigare erfarenheter från andra läroböcker. Båda läromedel har en A-bok och en B-bok som uppdelas till vår- och hösttermin under ett läsår. I denna studie har vi valt att använda B-böckerna, Bas Favorit matematik 5b och Matte Direkt
Borgen 5b på grund av tidsaspekten. Under analyseringen räknade vi med
grunduppgifterna, diagnoser och repetionsavsnitt och bestämde att uppgifter som innefattar exempelvis en a-, b- och c-del räknas som en uppgift. I Bas Favorit
matematik 5b (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2016) fann vi 474 uppgifter och
i Matte Direkt Borgen 5b (Falck & Picetti, 2005) fann vi 759 uppgifter.
Denna studie inriktar sig endast på matematikböcker för årskurs fem eftersom vi vill undersöka hur matematiska problem framställs under det året eleverna varken är nya i mellanstadiet eller när de är inne på sitt sista år i mellanstadiet och betygsätts på deras kunskaper.
5 4.1.2 Utvalda läromedel
De två böcker vi valt, Bas Favorit matematik 5b (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2016) och Matte Direkt Borgen 5b (Falck & Picetti, 2005) har vi mött under vår verksamhetsförlagda utbildning. Eftersom vi har tidigare erfarenhet av dessa läroböcker känns de mest angelägna att undersöka. Det finns ej någon statistik som visar hur många skolor som använder dessa läroböcker i matematik men dessa läroböcker är förekommande i verksamheten.
Favorit matematik:
Denna bok finns i två versioner, bas och mera, men denna studie involverar endast bas eftersom båda böckerna har visionen att låta samtliga elever arbeta tillsammans och med samma mål. Den skillnad som presenteras är att den förstnämnda innehåller grundläggande uppgifter, medan den sistnämnda har en större ökning i svårighet på de utmaningar som ges, däremot tyder inte detta på att det finns mer eller mindre problemlösningsuppgifter i någon av böckerna (Studentlitteratur, u.å). Att det eventuellt finns mer problemlösningsuppgifter i den andra boken vi ej valde (mera favorit matematik) är vi medvetna om, men vi valde att bortse ifrån detta då en involvering av båda böckerna (bas och mera) ej bidrar till den jämlikhet på kunskapsnivå vi eftersträvade när vi valde de två läroböckerna som analyserades. Nedan presenteras den andra. Vid analyseringen av läroböckerna i matematik har vi ej lagt någon värdering om någon bok är bättre än den andra, utan fokuserar endast på bas boken då den ska ge eleverna grundläggande kunskaper (Studentlitteratur, u.å).
Matte Direkt Borgen:
Detta läromedel har endast en utgiven version med möjligheter till antingen ytterligare utmaning eller extra stöttning. Förlaget beskriver arbetssättet såhär:
“Den gröna kursen, Borggården, tar upp de moment som beskrivs i målen. Efter Borggården görs en Diagnos som är direkt kopplad till målen för kapitlet. Om diagnosen gick bra fortsätter eleven med den röda kursen, Tornet, som innehåller mer utmanande uppgifter. Om Diagnosen var för svår går eleven till den blåa kursen, Rustkammaren. Där har eleven möjlighet att med hjälp av mer grundläggande förklaringar och bilder inhämta de kunskaper som beskrivs i målen för kapitlet. /../ I det nya uppslaget Utmaningen får eleverna tänka till lite extra. Här finns uppgifter som kan ta lite tid att lösa och som leder till intressanta matematiska diskussioner (Sanoma utbildning, u.å.)”.
Utifrån vår tolkning av ovanstående citat är den gröna kursen för samtliga elever, medan diagnosen sedan avgör om eleven “kvalificerat” sig till den blåa eller röda kursen. Antingen får eleven ytterligare stöttning eller mer utmaning i fortsättningen på det de lärt sig under den gröna kursen.
På grund av upphovsrätt kontaktade vi förlagen Sanoma utbildning och
Studentlitteratur, som gett ut läroböckerna i matematik. Vi frågade ifall vi fick
möjlighet att använda deras bilder i denna uppsats, vilket båda svarade var okej ifall de refererades på rätt sätt. I studien har vi kontinuerligt refererat och citerat efter APA-manualen samt kontrollerat våra källor ett flertal gånger för att undvika plagiering. Detta gjorde vi även med dessa referenser.
6
4.2 Analysmetod
För att kunna avgöra om en uppgift kan klassas som ett matematiskt problem eller övningsuppgift i läroböckerna kommer vi utgå från Brehmer m.fl. (2016) tankar och resonemang gällande matematiskt problem som grundar sig i Lithners (2006)
kreativa och imitativa resonemang. Brehmer m.fl. (2016) fyra kriterier kommer ligga till grund för denna studiens analys:
• det finns inga angivna exempel hur uppgiften ska lösas
• det finns inga tidigare uppgifter som liknar uppgiften som ska lösas
• det finns inget lösningsschema från tidigare delar av boken som går att använda när uppgiften ska lösas
• det ges ingen vägledning/hjälp inom uppgiften själv för hur uppgiften ska lösas Dessa fyra kriterier formulerades till analysfrågor som underlättade processen av att finna matematiska problem i de två matematikböckerna:
• finns det exempel som visar hur uppgiften skall lösas?
• finns det likheter mellan denna uppgift och tidigare uppgifter?
• finns det lösningssystem från tidigare delar av boken att använda?
• ges det vägledning/hjälp i själva uppgiften om hur uppgiften ska lösas? Genomförandet av analysen utefter dessa frågor presenteras i resultatavsnitt 5.1. Med hjälp av tabeller blev processen att sammanställa resultatet enklare. Det
skapades även ett dokument för att anteckna i. Detta underlättade arbetet och ger en tydlig bild om hur antal uppgifter och matematiska problem ser ut i de båda
matematikböckerna. Tabellen såg ut på följande vis:
4.3 Genomförande
De fyra kriterierna var utgångspunkter för analysen och med tabellen samt dokumentet arbetade vi på följande vis:
1. Antalet uppgifterna i de två olika böckerna räknades. Hur många uppgifter som fanns i läromedlet antecknades i ett word-dokument.
2. Gemensamt analyserades samtliga uppgifter en i taget för att se om de stämde överens med analysfrågorna. Vid varje uppgift kontrollerades kriterium ett, Tabell 1: Exempeltabell
7
sedan kriterium två, kriterium tre och slutligen kriterium fyra. Om en uppgift uppfyllde samtliga kriterier (kunde besvaras med ett NEJ) sattes ett streck i tabellen under rubriken “matematiskt problem” och under vilken bok den tillhörde. I dokumentet antecknades även vilken uppgift det var och på vilken sida uppgiften befann sig på. De uppgifter som inte uppnådde något krav för ett matematiskt problem ignorerades och nästa uppgift analyserades. Uppgifter som delvis uppfyllde kriterierna antecknades i word-dokumentet.
3. När båda läroböckerna analyserats upprepades processen. De analyserades enskilt två gånger (en gång av vardera person) för att kontrollera resultatet. Genom att koda, tolka och jämföra uppgifterna var för sig kontrollerades samstämmigheten. Uppstod det frågor vid enskilda uppgifter (om en uppgift tolkats olika) diskuterades den uppgiften av båda parterna för en noggrannare granskning. Uppgifter vi var oense om kodades tillsammans och sedan togs ett gemensamt beslut om uppgiften skulle klassas som ett matematiskt problem eller inte.
4. Gemensamt skapades en mer noggrann och genomarbetad tabell där resultaten utifrån analyserna fördes in. Exempel för denna process skrivs fram i resultatdelen.
4.4 Etiska ställningstaganden
Detta är en dokumentstudie som utgörs genom en kvantitativ ansats där vi endast analyserar läromedel. Med anledning av att det ej finns några informanter att bland annat informera om vår studie har de fyra forskningsetiska principer:
informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet
som Detta är en dokumentstudie som utgörs genom en kvantitativ ansats där vi endast analyserar läromedel. Med anledning av att det ej finns några informanter att bland annat informera om vår studie har de fyra forskningsetiska principer:
informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet
som Vetenskapsrådet (2002) lyfter ej varit aktuella för denna studie. De ställningstaganden som vi förhållit oss till är Vetenskapsrådets (2002) åtta punkter om god forskningsetik: “du ska tala sanning om din forskning, du ska medvetet granska och redovisa utgångspunkterna för dina studier, du ska öppet redovisa metoder och resultat, du ska öppet redovisa kommersiella intressen och andra bindningar, du ska inte stjäla forskningsresultat från andra, du ska hålla god ordning i din forskning, bland annat genom dokumentation och arkivering, du ska sträva efter att bedriva din forskning utan att skada människor, djur eller miljö, du ska vara rättvis i din bedömning av andras forskning” (Vetenskapsrådet, 2002, s.8)1.
Patent- och registreringsverket (u.å) förklarar att upphovsrätten skyddar litteratur, musik och film som skapats vilket gjorde att vi behövde kontakta förlagen för tillåtelse om att använda deras böcker. Båda förlagen Sanoma utbildning och
Studentlitteratur gav oss tillåtelse att använda deras böcker i studien. Ingen bok
värderades på något sätt av oss författare.
8 4.4.1 Validitet och reliabilitet
Arbetet med analyserandet av läroböckerna i matematik sköttes noggrant enligt beskrivning ovan. De analyserades både gemensamt och enskilt ett flertal gånger vid ett flertal tillfällen, vilket bidrar till en god reliabilitet. I denna studie finns även en tydlig förklaring på hur vi arbetat och tänkt när vi analyserat. Genom dessa metoder samt avgränsningar som gjorts i studien, anses tillförlitligheten hög. Studiens validitet antas även den vara hög då studiens syfte var att ta reda på omfattningen av matematiska problem i läroböcker, vilket besvaras genom en analys av dessa böcker. Samtliga val som sedan gjorts under arbetets gång har kontinuerligt diskuterats från olika perspektiv för att öka studiens validitet samt reliabilitet.
5 Resultat
I detta avsnitt presenteras studiens resultat. För att förstå det bättre återges ett antal
exempel på analyserande uppgifter för hur analysen gick till.
5.1 Hur stor andel av uppgifterna i de undersökta läroböckerna
kan betraktas som matematiska problem?
I tabellen nedan syns antalet uppgifter, antalet och andelen matematiska problem i de två läroböcker som analyserats i denna studie.
Tabell 2: Tabellen visar antal uppgifter och matematiska problem i Bas Favorit matematik 5B samt Matte direkt - Borgen 5B.
Tabellen (tabell 2) visar att Bas Favorit matematik 5B har totalt 474 uppgifter och
Matte direkt - Borgen 5B har 759. I Favorit matematik 5B har 10 (2,11%) uppgifter
klassificerats som matematiska problem. Matte direkt - Borgen 5B har 7 (0,92%) uppgifter som klassificerats matematiska problem. I kapitel 6.1 diskuteras resultatet i förhållande till tidigare forskning.
5.2 Exempel på analyserade uppgifter
Nedan presenteras exempel på uppgifter från Bas Favorit matematik (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2016) och Matte Direkt Borgen (Falck & Picetti, 2005). Bilderna i Bas favorit matematik är illustrerade av Maisa Rajamäki och i Matte Direkt Borgen Typoform och Yann Robardey. Dessa exempel har valts ut då vi vill visa typiska exempel för imitativa resonemang, kreativa resonemang och uppgifter som kan anses
9
svåra att kategorisera. Under vardera bild presenteras uppgiften och hur vi resonerat att de ställer sig till studiens analysfrågor.
Exempel 1:
Bild 1: Exempel på en uppgift ur Bas Favorit matematik 5b (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2016, s.17). I uppgiften på bild 1 ska eleven ta reda på vilka personerna är och vilket ämne i skolan som är deras favoritämne.
• finns det exempel som visar hur uppgiften skall lösas? Svar: Nej
• finns det likheter mellan denna uppgift och tidigare uppgifter? Svar: Nej
• finns det lösningssystem från tidigare delar av boken att använda? Svar: Nej
• ges det vägledning/hjälp i själva uppgiften om hur uppgiften ska lösas? Svar: Nej
Denna uppgift anses vara ett matematiskt problem då den uppfyller alla kriterier för vad som klassas som ett matematiskt problem (Brehmer m.fl. 2016). Det finns ingen angiven metod för hur eleven ska gå tillväga för att lösa uppgiften och inte några likheter från tidigare uppgifter. I uppgiften ges ingen vägledning och det finns inget lösningssystem från tidigare delar av läroboken. För att lösa uppgiften påbjuder boken att ett kreativt resonemang används och därför blir uppgiften en kreativ uppgift därmed ett matematiskt problem.
10 Exempel 2:
Bild 2: Exempel på en uppgift ur Bas Favorit matematik 5b (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2016, s.37). I uppgiften på bild 2 ska eleven ta reda på hur ofta i veckan pojkarna tränar och vilken idrott de utövar.
• finns det exempel som visar hur uppgiften skall lösas? Svar: Nej
• finns det likheter mellan denna uppgift och tidigare uppgifter? Svar: Ja
• finns det lösningssystem från tidigare delar av boken att använda? Svar: Nej
• ges det vägledning/hjälp i själva uppgiften om hur uppgiften ska lösas? Svar: Nej
Denna uppgift är inte ett matematiskt problem då den inte uppfyller alla kriterier för att klassas som ett. Boken ger ingen angiven metod för hur uppgiften ska lösas. Inte heller finns det ett lösningssystem från tidigare delar av boken och det ges ingen vägledning hur uppgiften ska lösas. Däremot finns det likheter mellan denna uppgift och uppgiften från tidigare exempel som finns tidigare i samma bok, det gör att uppgiften inte klassas som ett matematiskt problem.
11 Exempel 3:
Bild 3: Exempel på en uppgift ur Matte Direkt Borgen (Falck & Picetti, 2005, s.10).
I uppgiften på bild 3 ska eleven räkna ut följande uppgift med division med minnessiffra för att komma fram till svaren.
• finns det exempel som visar hur uppgiften skall lösas? Svar: Ja
• finns det likheter mellan denna uppgift och tidigare uppgifter? Svar: Ja
• finns det lösningssystem från tidigare delar av boken att använda? Svar: Ja
• ges det vägledning/hjälp i själva uppgiften om hur uppgiften ska lösas? Svar: Ja
Denna uppgift klassas inte som ett matematiskt problem då uppgiften har en angiven metod hur uppgiften ska lösas, det finns likheter och lösningssystem från tidigare delar i boken och ovanför uppgiften ges det vägledning om hur uppgiften skall lösas. Under detta avsnitt i boken ska eleven använda sig av division med minnessiffra för att lösa uppgiften därav påbjuds det inte av boken ett kreativt resonemang när uppgiften ska lösas.
Exempel 4:
Bild 4: Exempel på en uppgift ur Matte Direkt Borgen (Falck & Picetti, 2005, s.8-9).
I uppgiften på bild 4 ska eleven ta reda på hur många hela sidor Sarah fyller och hur många foton som blir kvar.
12
• finns det exempel som visar hur uppgiften skall lösas? Svar: Nej/Ja
• finns det likheter mellan denna uppgift och tidigare uppgifter? Svar: Ja
• finns det lösningssystem från tidigare delar av boken att använda? Svar: Ja
• ges det vägledning/hjälp i själva uppgiften om hur uppgiften ska lösas? Svar: Nej
Just den specifika uppgiften har ingen angiven metod om hur den ska lösas, däremot handlar avsnittet om division med rest vilket då boken påvisar att uppgiften ska lösas med det. Uppgifter som dessa var svårare att analysera beroende hur man tolkar påståendet. Vi anser att eftersom avsnittet handlar om division med rest finns en angiven metod att använda för att lösa uppgiften. Det finns tidigare uppgifter som liknar denna och under detta avsnitt finns det lösningssystem i boken som går att använda när uppgiften ska lösas. Däremot finns ingen vägledning om hur uppgiften ska lösas i själva uppgiften.
6 Diskussion och slutsatser
Under detta avsnitt presenteras diskussioner kring studiens metod och resultat samt studiens slutsatser.
6.1 Metoddiskussion
Utifrån kriterier i Brehmers m.fl. (2016) skapades analysfrågor som skulle hjälpa oss att analysera matematiska problem i matematikböckerna. Dessa kriterier och analysfrågor användes eftersom de gav en tydlig bild om vad som klassas som ett matematiskt problem. Genom att bearbeta kriterierna till frågor blev det enklare att använda dem när en uppgift skulle analyseras. En uppgift i taget fick stå till svars för analysfrågorna och beroende på om svaren var ja/nej kunde uppgiften antingen klassas som ett matematiskt problem eller ej. Analysfrågorna skulle bidra med en uteslutningsmetod för att se vilka uppgifter som anses vara matematiska problem och vilka som anses vara rutinuppgifter. Trots noggrann läsning av tidigare forskning för att förstå begreppet matematiskt problem och hur man urskiljer ett, ansågs det till viss del problematiskt eftersom vi sen tidigare har haft ett bredare spektrum på begreppet “matematiskt problem” och inte sett det med de begränsningar det kan ha, tog det tid att ställa om sitt tankesätt i analyseringen. Det krävdes ett flertal diskussioner kring olika uppgifter för att förstå och enas. Fan och Zhu (2000) lyfter även att den strikta definitionen av ett matematiskt problem kan vara svårt vid analyseringen av matematikböcker eftersom det kan anses som ett problem för vissa elever, men inte andra. Vi har arbetat oss bort från detta tankesätt eftersom vi inte har några elever att arbeta med, vilket har begränsat oss vid analyseringen och fått oss att se uppgifterna enbart ur de kriterier vi valt och de analysfrågor vi skapat. Om uppgiften stämt överens med samtliga kriterier har uppgiften klassats som ett matematiskt problem
I avsnitt 3.1 presenteras Lithners kreativa och imitativa resonemang vilket vi använt oss av eftersom Brehmer m.fl. (2016) tankar och resonemang grundar sig i dessa. Utifrån de kriterier Brehmer m.fl. (2016) lyft har vi skapat analysfrågor som används i studien för att avläsa matematiska problem i de två matematikböcker vi analyserat. Vi ville undersöka hur många matematiska problem som kräver ett kreativt resonemang i form av novelty eftersom det är de uppgifter som avser att eleverna ej redan har ett
13
lösningsschema, med andra ord, ej har en metod för att lösa uppgiften. De siffror vi presenterar i avsnitt 5.2 är de uppgifter vi fann som kräver ett kreativt resonemang i form av novelty då de är matematiska problem som kräver en kreativ lösningsstrategi. Anledningen till att vi valde kriteriet “novelty” för kreativt resonemang är eftersom det var passande till denna studie då vi ej har möjlighet att involvera observationer av elever i vår studie och då ej har kunskap om eventuella elevers egenskaper.
Denna studie lyfter hur många uppgifter i de två matematiska läroböckerna som kan klassas som matematiska problem och utifrån den tidigare forskningen har vi sedan bildat vår tolkning av hur viktiga de är. Genom möten med matematiska problem utvecklas bland annat minnet, användningen av siffror och språk samt förmågan att lösa problem. Tanken att ta med sig från denna studie är att den ena läroboken arbetar mer med matematisk problemlösning än den andra och att läraren bör komplettera sin undervisning med andra verktyg än endast läroböckerna för elevens utveckling av matematisk problemlösning. De två läroböcker i matematik som denna studie lyfter, använder många skolor i Sverige, men de innehåller en begränsad del av matematiska problem.
På grund av upphovsrätt kontaktade vi förlagen Sanoma utbildning och
Studentlitteratur, som gett ut läroböckerna i matematik. Vi frågade ifall vi fick
möjlighet att använda deras bilder i denna uppsats, vilket båda svarade var okej ifall de refererades på rätt sätt. I studien har vi kontinuerligt refererat och citerat efter APA-manualen samt kontrollerat våra källor ett flertal gånger för att undvika plagiering. Detta gjorde vi även med dessa referenser.
Slutsatsen är att det finns begränsat med matematiska problem i dessa läroböcker i matematik och hur viktigt det är för att eleverna ska få möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga, kreativitet och kognitiva förmåga.
6.2 Resultatdiskussion
Till denna studie valde vi att undersöka matematiska problem med indikationer från tidigare forskning att det är begränsat av dem i matematikböckerna. När studiens resultat färdigställdes såg vi att det korrelerar med resultat från tidigare forskning. Studiens resultat visar att det i båda matematikböckerna finns få uppgifter som vi klassar som matematiska problem. Efter analysen kan vi se att väldigt få uppgifter, 10 av 474 (2,11%) och 7 av 759 (0,92%) uppfyller samtliga av Brehmer m.fl. (2016) kriterier och kan klassas som matematiska problem.
I den studie Brehmer m.fl. (2016) skrivit kom de fram till att utifrån de sammanlagt 5722 uppgifter som analyserades var 312 (5,45%) matematiska problem. I jämförelse med vår studie ser vi att båda studier visar på en låg förekomst av matematiska problem, men eftersom antal uppgifter som analyserades skiljer sig mellan studierna är det svårt med en slutlig jämförelse. Detta gäller även skillnaden på vilka läroböcker i matematik som analyserats, eftersom detta gäller en studie gjorde med matematikböcker från gymnasiet och vår ifrån årskurs 5.
Fans och Zhus (2000) studie som visar att läroböckerna i Singapore ger en bra grund för elevernas teoretiska och grundläggande kunskaper gällande matematiska problem, ger oss en förståelse att mängden matematiska problem i läroböcker behöver öka. Läroböckerna är en stor del av matematikundervisningen (Brehmer m.fl., 2016; Fan,
14
Zhu & Miao, 2013; Lianghuo & Yan, 2000) och genom att ha fler matematiska problem kan eleverna ges förutsättningar till att utveckla logiskt tänkande, kognitiva färdigheter, ökad motivation och kreativitet (Fan & Zhus, 2000; Pehkonen, 1997). Genom denna studie redogörs begreppet matematiskt problem och den låga utsträckning av matematiska problem i matematikböckerna som vi fått fram. Detta anser vi kan göra, framförallt, blivande lärare medvetna om hur det ser ut för att tidigt kunna skapa de bästa förutsättningarna för elevernas utveckling. Studien öppnar upp ögonen för begreppet matematiskt problem och hur viktigt det är att förstå för att arbeta med det på “rätt” sätt. Utöver läroböckerna krävs det andra verktyg för arbetet med matematisk problemlösning eftersom böckerna tycks ha brist på sådana uppgifter. Studien skapar förhoppningsvis en större förståelse för läsaren och en nyfikenhet på hur hen kan utveckla sin undervisning av matematisk problemlösning. Fortsatt forskning inom matematisk problemlösning skulle vara att undersöka undervisande lärares uppfattning av begrepp såsom matematiskt problem och matematisk problemlösning. Hur tolkar de begreppen och hur bearbetar de dem med eleverna? Denna studie har bidragit med ökad kunskap av begreppet matematiskt problem och dess kriterier, vilket skapar en nyfikenhet kring blivande och undervisande lärares förståelse av det.
15
Referenser
Brehmer, D., Ryve, A., Van Steenbrugge, H. (2016). Problem solving in Swedish mathematics textbooks for upper secondary school. Scandinavian Journal of
Educational Research, 60(6), 577-593.
Falck & Picetti (2015). Matte direkt - borgen 5B. Stockholm: Specialpedagogiska skolmyndigheten.
Fan, L., & Zhu, Y. (2000). Problem solving in Singaporean secondary mathematics textbooks. The Mathematics Educator, 5(1/2), 117-141.
Fan, L., Zhu, Y. (2007). Representation of problem-solving procedures: A comparative look at China, Singapore, and US mathematics textbooks. Educ Stud Math, 66(1), 61–75. DOI: 10.1007/s10649-006-9069-6
Fan, L., Zhu, Y., & Miao, Z. (2013). Textbook research in mathematics education: development status and directions. ZDM Mathematics Education, 45(5), 633-646. DOI: 10.1007/s11858-013-0539-x
Hussein Al Ajmi, A. (2011). How do elementary textbooks address fractions? A review of mathematics textbooks in the USA, Japan, and Kuwait. Educ Stud Math, 79(2), 239–261. DOI: 10.1007/s10649-011-9342-1
Müllersdorf, M., & Ivarsson, A. (2012). Use of creative activities in occupational therapy practice in Sweden. Occupational Therapy International, 19(3), 127-134. doi:10.1002/oti.1327
Jablonka, E., & Johansson, M. (2010). Using texts and tasks: Swedish studies on mathematics textbooks. In Sriraman, B., Bergsten, C., Goodchild, S., Palsdottir, G., Søndergaard, B.D., & Haapasalo, L. (Eds.). The sourcebook on Nordic
research in mathematics education. Charlotte, NC: Information Age Publishing,
p. 363-372.
Johansson, M. (2006). Teaching Mathematics with Textbooks - A Classroom and
Curricular Perspective. (Doktorsavhandling, Luleå tekniska universitet,
Luleå), Hämtad från
http://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A998959&dswid=6917
Jonassen, D. H. (2000). Toward a design theory of problem solving. Educational
technology research and development, 48(4), 63-85.
Karppinen, Kiviluoma & Urpiola (2016). Bas favorit matematik 5B. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Patent- och registreringsverket. (u.å). Upphovsrätt. Hämtad 2020-06-10 från https://www.prv.se/sv/upphovsratt/
16
Sanoma utbildning. (u.å.). Matte Direkt Borgen. Hämtad 2020-04-05 från https://www.sanomautbildning.se/sv/produkter/matte-direkt-borgen-upplaga-2-S3174027/mer-information/
Silver, E., & Cai, J. (1996). An Analysis of Arithmetic Problem Posing by Middle School Students. Journal for Research in Mathematics Education, 27(5), 521-539. doi: 10.2307/749846
Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
2011: reviderad 2019. (Sjätte upplagan). Stockholm: Skolverket
Studentlitteratur (u.å.) Bas Favorit matematik. Hämtad 2020-04-05 från https://www.studentlitteratur.se/serier/favorit-matematik/favorit-matematik- 4-6/ak-5---elevpaket-i-ny-upplaga/bas-favorit-matematik-5b-elevpaket---digitalt--tryckt/#show
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom
