Klassisk elektrodynamik: Växelverkan mellan laddade partiklar och elektromagnetiska fält

Avdelningen för radiofysik

Hälsouniversitetet

Klassisk elektrodynamik

Växelverkan mellan laddade partiklar

och elektromagnetiska fält

Gudrun Alm Carlsson

Department of Medicine and Care

Radio Physics

Series: Report / Institutionen för radiologi, Universitetet i Linköping; 20

ISSN: 0348-7679

ISRN: LIU-RAD-R-020

Publishing year: 1975

Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan laddade partiklar och elektromagnetiska fält.

Gudrun Alm Carlsson Avd för radiofysik Linköpings högskola

REPORT

Avd för Radiofysik, Linköpings Högskola, vt 1973

Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan laddade partiklar och elektromagnetiska fält

Innehållsförteckning:

I: Lorenzkraften och Maxwells ekvationer Sid 1

II: Det elektromagnetiska fältet i vakuum kring en punktladdning, som

utför en godtycklig rörelse. Retardationseffekten. Sid 2

III: Coulombkraft – Lorentzkraft Sid 3

IV: Emission av fri elektromagnetisk strålning Sid 5

A. Vågzonen av det elektromagnetiska fältet Sid 5

B. Det elektromagnetiska fältet på stort avstånd från en

punktladdning, som utför en harmonisk svängningsrörelse Sid 9

C. Poyntings vektor Sid 10

D. Elektromagnetisk strålning Sid 12

E. Kraften med vilken den elektromagnetiska strålning, som en

laddning genererar, påverkar laddningen själv. Den emitterade

strålningens reaktionskraft. Sid 14

V: Tvärsnittet för Thomsonspridning av elektromagnetisk strålning

mot en fri elektron Sid 18

A. Thomsonspridningstvärsnittet för polariserad strålning Sid 18

B Thomsonspridningstvärsnittet för opolariserad strålning Sid 20

Klassisk elektrodynamik. Växelverkan mellan laddade partiklar och

elektromagnetiska fält

I: Lorentzkraften och Maxwells ekvationer

Det elektromagnetiska fältet karakteriseras av fältstorheterna Er och Br, som är funktioner i tiden och rummet. Fältstorheterna definieras utifrån den kraft, Fr, med vilken en partikel med laddningen q, som rör sig i fältet med hastigheten vr, påverkas. Den elektromagnetiska kraften, Fr, på partikeln kan skrivas

(

E v x B

)

q

Fr= r+ r r

Er kallas elektrisk fältstyrka

Br kallas magnetisk fältstyrka

Fr kallas Lorentz-kraften

Men varifrån kommer det elektromagnetiska fältet? Elektromagnetiska fält genereras av laddningar i rörelse (en laddning i vila genererar ett elektrostatiskt fält). I definitionen av fältstorheterna ovan tänks i första hand att det elektromagnetiska fält i vilket den betraktade laddningen q rör sig härstammar från alla de övriga laddningarna och deras rörelser i rymden. (Laddningen q genererar även själv ett elektromagnetiskt fält, som under vissa omständigheter återverkar på dess egen rörelse. Denna effekt diskuteras i ett senare avsnitt).

Sambandet mellan fältstorheterna Er, Br och laddningars rörelser i rymden ges i Maxwells ekvationer: 0 E div : I ε ρ = r 0 B div : III r = t B E rot : II ∂ ∂ r r − = t E j B rot c : IV 0 2 ∂ ∂ ε r r r + = ⋅ där ρ = laddningstätheten [coulomb ⋅m-3] j r

= den elektriska strömtätheten [coulomb ⋅s-1⋅m-2]

ε0 är en konstant med dimensionen [(coulomb)2⋅newton -1⋅m-2]

c = ljusets utbredningshastighet i vakuum;

ε0

c2 = 10

7

4π

Fältstorheterna Er och Br är vektorer och definierar vektorfält. Begreppen divergensen (div) för ett vektorfält och rotationen (rot) för ett vektorfält definieras i vektoranalysen. I ord kan Maxwells ekvationer uttryckas:

I: 0 E div ε ρ = r

: Vektorflödet av Er genom en sluten yta =

1

ε0

. (summan av laddningarna innanför den slutna ytan).

II: _t B E rot ∂ ∂ r r −

= _{: Linjeintegralen av E}r _{runt en sluten kurva = -förändringen per}

tidsenhet av vektorflödet av Br genom en yta, som omsluts av den slutna kurvan. III: div Br = 0 : Vektorflödet av Br genom en sluten yta = 0. (Det finns alltså inga

"magnetiska laddningar". Magnetiska fält kan bara genereras av elektriska laddningar i rörelse. I permanenta inre strömmar. I en järnmagnet består dessa strömmar av elektronernas spin-rörelser. Normalt är spin-rörelserna hos elektronerna i ett medium godtyckligt orienterade så att ingen nettoeffekt uppträder, men i ett fåtal media som järn kan det förekomma att en stor del av elektronerna har sina spinrörelser orienterade i samma riktning så att ett nettomagnetfält uppstår). IV: 2 0 2 c : t E j B rot c ∂ ∂ ε r r r + =

⋅ . (linjeintegralen av Br runt en sluten kurva =

1

ε0

. (strömmen genom en yta som omges av den slutna kurvan) + förändringen per tidsenhet av vektorflödet av Er genom en yta, som omges av den slutna kurvan. II: Det elektromagnetiska fältet i vakuum kring en punktladdning, som utför en

godtycklig rörelse. Retardationseffekten.

Om fältet kring en punktladdning, som utför en godtycklig rörelse, är känt kan fältet från godtyckliga laddningsfördelningar beräknas som en överlagring av fälten från varje punktladdning i fördelningen. Det gäller från vektoranalysen att:

A rot B t A grad E r r r r = − − = ∂ ∂ φ

φ och Ar kallas den skalära potentialen respektive vektorpotentialen till det elektromagnetiska fältet.

Lösningen av φ och Ar kring en punktladdning q i godtycklig rörelse har utarbetats av Lie'nard och Wiechert:

( )

( ) ( ) ( )

c ' r t ' t 2 0 c ' t r ' t v ' t r c 4 q t , P − =     ₋ ⋅ = r r πε φ

( )

( ) ( ) ( )

c ' r t ' t 2 0 c ' t r ' t v ' t r c 4 v q t , P A − =     ₋ ⋅ = r r r r πε

Innebörden av dessa uttryck klargörs bäst med hjälp av en figur:

φ(P,t) och Ar(P,t), dvs värdet av φ och Ar, och därmed av Er och Br, i punkten P vid tiden t beror av laddningens läge och hastighet vid en tidigare tidpunkt

t '= t− r t'

( )

c .

r t '

( )

c är den tid det tar för det elektromagnetiska fältet att nå fram till punkten P från punkten Q'. Värdet av fältvektorerna Er och Br i punkten P vid tiden t beror alltså av laddningens läge vid en tidigare tidpunkt, dvs av dess "retarderade" läge. Man talar i detta sammanhang om "retarderade" potentialer och fält.

Fältvektorerna Er och Br kan då φ och Ar är kända beräknas ur sambandet givet ovan. Dessa räkningar är inte helt lätta och endast slutresultatet redovisas här.

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

(=enhetsvektor iriktningenr') ' r ' r ' e och ' t r ' r t , P E x ' e c 1 t , P B e dt d c 1 ' r e dt d c ' r ' r ' e 4 q t , P E r r ' r 2 2 2 2 ' r 2 r 0 r r r r r r r r r r = = ⋅ =       +       = πε

Anm. I ovanstående form har uttrycken för Er och Br utarbetats av Feynman. III: Coulombkraft - Lorentzkraft

Ur ovanstående uttryck för Er och Br ser man speciellt att om laddningen q befinner sig i vila så erhålls uttrycket för det elektrostatiska fältet kring en punktladdning, dvs

( )

( )

P,t 0

(

tyE e e xE 0

)

B r e 4 q ' r e 4 q t , P E r r 2 r 0 2 ' r 0 = ⇒ = ⋅ = ⋅ = r r r r r r r r πε πε

Coulombs lag ger kraften med vilken två laddade partiklar i vila påverkar varandra. Coulombkraften F1

r

på laddningen q₁ i det elektrostatiska fältet från q₂ ges av:

( )

3 12 2 1 0 2 1 1 q 1 1 r r r 4 q q r E q F 2 r r r r r ₋ ⋅ = ⋅ = πε där 1 r r = ortsvektorn för laddningen q₁ 2 r r = ortsvektorn för laddningen q₂ 12 r r = r1 r2 r r

− = avståndet mellan q₁ och q₂

Kraften Fr₂ på laddningen q₂ i fältet från q₁ är lika stor men motsatt riktad, Fr₂ = - Fr₁

Då de två punktladdningarna q₁ och q₂ befinner sig i rörelse gäller inte längre att Coulombkraften beskriver partiklarnas inbördes kraftpåverkan. Däremot gäller alltid Lorentzkraften exakt:

(

E v x B

)

q

Fr= r+ r r

Betrakta speciellt fallet att partiklarna rör sig med ickerelativistiska hastigheter v << c. Man ser då speciellt att den magnetiska kraften _q

(

_vr _{x B}r

)

kan försummas relativt den elektriska kraften qEr, ty

( )

_{( )}

_{( )}

( )

( )

[

e' xE

( )

r,t

]

c 1 t , r B ' e dt d c 1 ' r ' e dt d c ' r ' r ' e 4 q t , r E 1 q r 1 q r 2 2 2 2 12 r 12 2 12 r 0 2 1 q 2 12 2 12 12 12 2 r r r r r r r r r r =         ⋅ +     ⋅ + = πε där Eq₂

( )

r1,t r r

är den elektriska fältstyrkevektorn vid platsen för laddningen q₁ vid tiden t från laddningen q₂ och B_q

( )

r₁,t

2

r r

är motsvarande magnetiska fältstyrkevektor. Vektorn

12 ' r r ges av r1 r'2 r r − där r1 r

är ortsvektorn för q₁ vid tiden t och r'2

r är ortsvektorn för q₂ vid tiden t '= t− r'12 c

( )

[

]

_    t , r E x e c 1 x v q1 1 r'₁₂ q₂ 1 r r r r

Absolutvärdet av denna kraft är E

( )

r,t

c v q q 1 1 1 ₂ r

≤ , dvs då v₁ << c gäller att den

magnetiska kraften är försumbar gentemot den elektriska kraften q₁ Eq₂

( )

r1,t r

. Vidare gäller att om även v₂ << c så är den sträcka q₂ förflyttar sig från tiden

t '= t− r'12

c till tiden t försumbar så länge inte avståndet r'12 är alltför stort. Man kan alltså sätta r'2 r2

( )

t

r r

≈ och försumma retardationseffekten i det av q₂ vid q₁ alstrade elektromagnetiska fältet. Kraften med vilken partiklarna påverkar varandra kan då approximativt beskrivas som en Coulombkraft.

IV: Emission av fri elektromagnetiska fältet

A. Vågzonen av det elektromagnetiska fältet

Betrakta återigen uttrycket för den elektriska fältstyrkan Er i en punkt P vid tiden t från en punktladdning, som utför en godtycklig rörelse.

( )

( )

( )

[

( )

]

c ' r t ' t t , P E x e c 1 t , P B e dt d c 1 ' r e dt d c ' r ' r e 4 q t , P E ' r ' r 2 2 2 2 ' r 2 ' r 0 − = =       +       ⋅ + = r r r r r r r πε

Uttrycket för Er

( )

P,t består av två delar, som uppför sig helt olika.

      + r₂' 2 ' r ' r e dt d c ' r ' r e r r Betrakta dt ' dt ' dt ' dr ' r e 3 dt ' dt ' dt ' r d ' r 1 ' r dt ' dr ' r 3 ' r 1 dt ' r d ' r ' r dt d ' r e dt d 3 ' r 3 4 3 3 2 ' r r r r r r r − = ⋅ − ⋅ =       =       Men

(

)

(

)

      − ⋅ = − ⋅ = ⇒ − = ⇒ − = dt ' dt 1 c ' t t dt d c dt ' dr ' t t c ' r c ' r t ' t

(

)

(

r' v'

)

e v' ' r 1 ' dt ' dz ' z 2 ' dt ' dy ' y 2 ' dt ' dx ' x 2 ' z ' y ' x 1 2 1 ' z ' y ' x ' dt d ' dt ' dr ' r 2 2 2 2 2 2 = r −⋅ r = − r ⋅r       _{+ +} ⋅ + + ⋅ = + + =

(

)

(

)

                        ⋅ − ⋅ ⋅ +             ⋅ − ⋅ − ⋅ =       ⇒ ⇒             ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +             ⋅ − ⋅ − =       ⇒ ⇒ ⋅ − = ⋅ − = ⇒       − = ⋅ ⋅ − = ⋅ = c ' v e 1 1 ' v e e 3 c ' v e 1 1 ' v c ' r 1 ' r e dt d c ' r c ' v e 1 1 ' v e ' r e 3 c ' v e 1 1 ' v ' r 1 ' r e dt d c ' v e 1 1 ' v e c c dt ' dt dt ' dt 1 c dt ' dt ' v e dt ' dt ' dt ' dr dt ' dr ' r ' r ' r ' r 2 2 ' r ' r ' r 3 ' r ' r 3 2 ' r ' r ' r ' r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

Det gäller alltså att:

      + r₂' 2 ' r ' r e dt d c ' r ' r e r r

beror av vr' och avtar med kvadraten på avståndet r'.

Den sista termen, ₂r'

2 2 dt e d c 1 _⋅ r

, är däremot, för stora avstånd r', proportionell mot accelerationen ar' och avtar endast med (r')-1:

                  −         ⋅ = =      _{− ⋅ + ⋅} =           =       ⋅ = 4 3 4 2 1 r 4 4 3 4 4 2 1 r r r r r r 2 2 1 2 2 2 2 ' r 2 2 ' r 2 2 dt ' dr ' r ' r dt d dt ' r d ' r 1 dt d c 1 dt ' r d ' r 1 ' r dt ' dr ' r 1 dt d c 1 ' r ' r dt d dt d c 1 dt e d dt d c 1 dt e d c 1

1.

(

)

              ⋅ ⋅ −       − − ⋅       = =      _{− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅} = =             _⋅ + − = =             + ⋅       = ⋅       =       ' r ' v e ' v ' dt dt dt ' t d ' v ' a ' r 1 dt ' dt dt ' dt ' dt dt dt ' t d ' dt ' r d ' r 1 dt ' dt ' dt ' r d ' r 1 dt ' dt ' v ' v e ' r 1 dt ' dt dt ' dt ' dt ' r d ' dt d ' r 1 dt ' dt ' dt ' r d ' dt ' dr ' r 1 dt ' dt dt ' r d ' dt d ' r 1 dt ' r d ' r 1 ' dt d dt ' dt dt ' r d ' r 1 ' dt d dt ' r d ' r 1 dt d ' r 2 2 2 2 2 2 2 2 ' r 2 2 r r r r r r r r r r r r r r r r

För stora värden på r' erhålls:

              ⋅ − −       =       2 2 2 2 ' dt dt dt ' t d ' v ' a ' r 1 dt ' dt dt ' r d ' r 1 dt d r r r 2. dt ' dt ' dt ' r d dt ' dr ' r 1 ' dt ' dr ' r 2 dt ' dr ' r dt ' dr ' dt d ' r ' r dt ' dt dt ' dr ' r ' r ' dt d dt ' dr ' r ' r dt d ) c 2 ) b 3 ) a 2 2 2      ⋅ +       − ⋅ ⋅ +             =       =       4 3 4 2 1 r 4 4 3 4 4 2 1 r 4 3 4 2 1 r r r a)

(

)

(

)

(

)

(

)

              ⋅ − ⋅ − ⋅ =           ⋅ − ⋅ − − ⋅ +   ₋ =               ⋅ − ⋅ − ⋅       ₋ = =    _{− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅} =      _{− ⋅ ⋅} 2 2 2 ' r ' r ' r 2 2 2 ' r ' r 2 ' r 2 ' r 2 2 2 ' r ' r ' r ' r 2 2 ' r ' r ' r ' r ' r ' r ' dt dt dt ' t d ' v e ' a e dt ' dt ' r e ' dt dt dt ' t d ' v e ' a e ' r ' v e ' r ' v dt ' dt ' r e ' dt dt dt ' t d ' v e ' a e ' v ' dt ' dr ' r e ' r 1 ' dt ' r d dt ' dt ' r e ' dt dt dt ' t d ' v e dt ' dt ' dt ' v d e dt ' dt ' v ' dt e d ' r e dt ' dt ' v e ' dt d ' r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↑ för stora r' b)

(

)

(

)

(

)

     _{− ⋅} ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − 2 ' r ' r ' r ' r 2 ' r ' v e ' r 2 dt ' dt ' r e ' v e dt ' dt ' v e ' r e 2r r r r r r r r c)

(

) ( )

v' dt ' dt ' v e ' r 1 ' r 2 r r r − ⋅ ⋅ − ⋅

För stora värden på r' erhålls:

(

)

              ⋅ ⋅ − ⋅ −       =       2 2 2 ' r ' r 2 ' r 2 ' dt dt dt ' t d ' v e ' a e dt ' dt ' r e dt ' dr ' r ' r dt d r r r r r r dvs för stora r' gäller:

(

)

(

)

              ⋅ ⋅ + ⋅ +       − −       = 2 2 2 ' r ' r ' r ' r 2 2 2 2 2 2 ' r 2 2 ' dt dt dt ' t d ' v e e e ' a e ' dt dt dt ' t d ' v ' a dt ' dt ' r 1 c 1 dt e d c 1 r r r r r r r r r För d2 t' dt2 gäller:

(

)

(

)

(

)

dt'

(

e v'

)

d ' v e c c dt ' dt ' v e c ' dt d ' v e c c dt ' dt ' v e c c ' dt d ' v e c c dt d dt ' t d ' r 3 ' r 2 ' r 2 ' r ' r ' r 2 2 r r r r r r r r r r r r ⋅ − ⋅ ⋅ − − = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − =     ⋅ − =     ⋅ − = Men:

(

)

e a' ' dt ' v d e ' v ' r ' r ' dt d ' v e ' dt d ' r ' r ' r r r r r r r r r ⋅ − = ⋅ − ⋅       − = ⋅ − ↑ för stora r' För stora r' gäller alltså:

(

c e v'

) (

e a'

)

c dt ' t d ' r 3 ' r 2 2 2 _{r r} r r ⋅ ⋅ − = och därmed:

(

) (

)(

)

(

)

(

₎₍

_{) (}

)(

)

(

_{) (}

_{) (}

)

(

(

)

)

      _{⋅ ⋅ − ⋅} ⋅ − − ⋅ − −     ⋅ − = =    ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅    ⋅ − − − ⋅     ⋅ − = ' v e e ' v ' a e ' v e c 1 ' a e e ' a ' v e c c ' r 1 c 1 c ' v e c ' a e ' v e c c ' v e e ' a e e ' v c ' v e c ' a e ' v e c c ' a ' v e c c ' r 1 c 1 dt e d c 1 ' r ' r ' r ' r ' r ' r 2 ' r 2 2 2 ' r ' r 3 ' r 2 ' r ' r ' r ' r 2 2 ' r ' r 3 ' r 2 2 ' r 2 2 ' r 2 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

(

e a'

)

er_r' r_r'⋅r = accelerationens komponent i rr'-riktningen

(

e v'

)

För stora värden på r' kan termer innehållande en faktor

1

r '2 försummas gentemot de termer, som innehåller en faktor

1

r '. De termer, som innehåller en faktor 1

r ', existerar endast om accelerationen ar'≠ 0. Om ar'≠ 0 gäller att på stora avstånd, r', är det elektromagnetiska fältet transversellt, dvs båda fältvektorerna Er och Br är vinkelräta mot rr'. Man kallar denna region där Errr'Br för vågzonen (wave zone).

B. Det elektromagnetiska fältet på stort avstånd från en punktladdning, som utför en harmonisk svängningsrörelse

Den oscillerande laddningens rörelse beskrivs av ekvationen

z = zo ⋅sin

( )

ν, t

Antag, att q alltid rör sig med en icke-relativistisk hastighet, v << c. Betrakta fältet i en punkt P sådan att rp > > zo

r

, dvs så att P befinner sig i vågzonen.

Vid en viss tidpunkt, t, beror fältstyrkan Er i punkten P på accelerationens värde ar' vid den tidigare tidpunkten

t '= t− r' c och ges av

( )

c

{

(

a' e

(

e a'

)

)

}

1 ' r 1 4 q t , P E 2 r' r' o r r r r r ⋅ − − = πε Eftersom rp > > zo r

kan man sätta r' ≈ _{rp och t'} ≈ t − rp

c . Vidare gäller att:

( )

zez zo cos

( )

t ez dt d v r r r ⋅ ⋅ ⋅ = = ν ν

( )

o

( )

z 2 z o sin t e z sin t e z dt v d a r r r r ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = = ν ν ν ν ν

(

r'

)

( )

( )

p '

r e a' a 'sin vinkeln mellan z-axeln a' och r' r

e ' ar− r r ⋅r = ξ = r r r

( )

ν ν ξ πε c sin r t sin z c 1 r 1 4 q t , P E o p 2 2 p o ⋅             − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒

Härav framgår att i punkten P fås ett elektriskt fält, som varierar med samma frekvens, som frekvensen hos den laddning, som ger upphov till fältet. Den elektriska

fältstyrkevektorn Er har en riktning, som ges av accelerationens projektion i ett plan vinkelrätt mot observationsriktningen rp

r

. Er-fältet har en bestämd polarisation i en given observationsriktning ξ.

C. Poyntings vektor

Då ett objekt utstrålar ljus förlorar det energi. Det är klart att materiens energi inte bevaras. Lagen om energins konstans måste även omfatta det elektromagnetiska fältets energi.

Sätt: u = fältets energitäthet (= energi per volymsenhet).

Sv= energiströmtätheten i fältet (= energi, som per tidsenhet strömmar genom en enhetsyta vinkelrätt mot Sv).

Energilagen ger: ( ) + ⋅ = −

_∫

_∫∫

V SV S d S udV t v v ∂ ∂

(arbetet utfört på partiklarna, som finns i volymen V per tidsenhet).

V = betraktad volym i rymden S(V) = sluten yta kring V.

Kraften, som verkar på en partikel med laddningen q, ges av:

(

E V x B

)

q

Fr= r+ r r

V

Fr⋅r ger det av fältet på laddningen q utförda arbetet per tidsenhet. Men

(

E v x B

)

v q

[

E v

(

v x B

)

v

]

qE v, ty v x Bär en vektor v

(

v x B

)

v 0 q

v

Fr⋅r= r+ r r ⋅r= r⋅r+ r r ⋅r = r⋅r r r ⊥ r⇒ r r ⋅r=

Om i volymselementet ∆V finns N partiklar blir det av fältet per tidsenhet i ∆V utförda arbetet på materia =       _⋅ ⋅ = ⋅

∑

∑

= = N 1 i i i i N 1 i iE v E q v q r r r r Men q v j V 1 i N 1 i i r r = ⋅ ⋅ ∆

∑

=

(= strömtätheten) så att det av fältet per tids- och volymsenhet utförda arbetet på materia kan skrivas:

j Er⋅r Vi får då: ( )

∫

=

∫∫

⋅ +

∫

⋅ − V SV V dV j E S d S udV t r r r r ∂ ∂

Med hjälp av Gauss sats kan ytintegralen överföras till en volymsintegral så att:

∫

=

∫

+

∫

⋅ − V V V dV j E dV S div udV t r r r ∂ ∂

Eftersom denna ekvation är sann för varje volym V kan man sätta likhetstecken mellan integranderna: j E S div t u ₌ r₊ r_⋅r − ∂ ∂

Från Maxwells ekvationer erhålls efter diverse vektoromformningar att det gäller:

(

)

_   ⋅ + ⋅ − = ⋅ E E 2 B B 2 c t E x B div c j E o 2 o 2 o r r r r r r r r _{ε ε} ∂ ∂ ε

Om man definierar E E 2 B B 2 c u o 2 o r⋅r+ r⋅r = ε ε erhålls för S r :

(

B x E

)

div c j E t u S div o 2 r r r r r ε ∂ ∂ _{− ⋅ = −} − = dvs att:

(

E x B

)

c S o 2 r r r ε =

Sr kallas för Poyntings vektor.

Anm.: Definitionen av u ovan är i viss mån godtycklig. Det finns i själva verket ett oändligt antal sätt att definiera u och S

r

, men hitintills har ingen kunnat ange ett sätt att experimentellt bestämma vilken definition som skulle vara den riktiga. Man har helt enkelt bestämt sig för att välja den definition, som ligger närmast till hands.

D. Elektromagnetisk strålning

Poyntings vektor i punkten P kommer att peka i samma riktning som rp r

(Er och Br är båda vinkelräta mot rp

r

). Genom ytelementet rp r₂

dΩ passerar en elektromagnetisk energi per tidsenhet given av:

(

Ω

)

= ⋅ ⋅ Ω ⋅ r d e c E B r d S p2 2 0 r 2 p _p ε r r r

Det gäller att:

B = E c

varför energiströmningen genom rp2 dΩ per tidsenhet vid tiden t ges av:

ε0 ⋅c⋅E 2 r_p2dΩ = ε₀c⋅ q 2 4π ε₀

(

)

2 1 r_p2 ⋅ 1 c4 ν 4 z_o2⋅sin2 ν t− rp c           sin 2_{ξ ⋅} r_p2dΩ = = ε0 c3 q2 4π ε₀

(

)

2 ν 4 z_o2 sin2 ν t− rp c           sin 2ξ dΩ

Integrera över en sfär med radien rp och med centrum i origo. Den energi, som per

tidsenhet strömmar ut genom sfären vid tiden t ges av:

dξ dφ ε0 c3 0 2π

∫

0 π

∫

_4πεq2 0

(

)

2ν 4 zo 2 sin2 ν t− rp c            sin 2ξ sinξ = = 2πε0 c3 q2 4πε₀

(

)

2 ν 4 z_o2sin2 ν t− rp c            sin 3 0 π

∫

ξ dξ = 8π 3 ε0 c3 q2 4πε₀

(

)

2 ν 4 z_o2sin2 ν t− rp c            = q2 a '2 6πε0c 3 ty: sin3 0 π

∫

ξ dξ = 4 3

Man ser att den energi, som per tidsenhet strömmar genom en avlägsen sfär kring den oscillerande laddningen är ≠ 0 oberoende av sfärens radie. Detta ger upphov till emission av fri elektromagnetisk strålning genom rymden. Det är alltså den del av det elektromagnetiska fältet kring en laddning i rörelse, som avtar med 1

r' , som ger upphov

till emissionen av fri elektromagnetisk strålning. Denna del beror av accelerationen så, att endast en laddning, som utför en accelererad rörelse, kan ge upphov till

elektromagnetisk strålning. det elektromagnetiska strålningsfältet är transversellt, dvs fältvektorerna Er och Br bildar rät vinkel med fältets utbredningsriktning och med varandra.

Betrakta återigen fältet kring den oscillerande laddningen. Energin, som per tidsenhet strömmar genom en avlägsen sfär kring laddningen beror av sfärens radie i uttrycket

            − c r t

sin2 ν p _{. Men om man bildar tidsmedelvärdet över svängningstiden T för en}

oscillation fås ett tidsmedelvärde av energiströmningen per tidsenhet, som är oberoende av radien rp.

Tidmedelvärdet ges av: 1 T ⋅ 8π 3 0 T

∫

ε0 c3 q2 4π ε₀

(

)

2 ν 4 z_o2 sin2

( )

ν t' dt'= 4π 3 ε0 c3 q2 4π ε₀

(

)

2 ν 4 z_o2 = q 2_⋅ν4_⋅ zo 2 12π ε₀ ⋅c3

Anm.: I cgs-systemet används e2 i stället för qe 2

4π ε0

där qe = elektronens laddning. Man

ser ofta ovanstående uttryck i formen 1 3 e2 c3ν 4 zo 2

, som alltså refererar till cgs-systemet och fallet med en elektron i rörelse.

E. Kraften med vilken den elektromagnetiska strålning, som en laddning genererar, påverkar laddningen själv. Den emitterade strålningens reaktionskraft

En laddad partikel, som utför en accelererad rörelse, emitterar elektromagnetisk strålning, dvs energi. Denna energiemission måste återverka på laddningens rörelse på samma sätt som en kämpande kraft. Det är alltså inte korrekt att sätta upp

rörelseekvationen för en laddad partikel utan att ta hänsyn till såväl den yttre kraft, som ursprungligen är orsaken till dess rörelse, som den bromsande kraft, som motsvarar utstrålningen av elektromagnetisk energi. Denna kraft kan beräknas utifrån ett energibalansresonemang. betrakta fallet med en icke-relativistisk laddad partikel i rörelse t ex den oscillerande laddningen i exemplet ovan. Den energi, som per tidsenhet strömmade genom en avlägsen sfär vid tiden t gavs av:

q2

a'2

6π ε0c 3

där a' = laddningens acceleration vid tiden t'= t− rp

c. Man kan uttrycka det så, att denna energi är den energi, som laddningen emitterade vid den tidigare tidpunkten t'.

I första approximationen beskrivs partikelns rörelse av a

m Fr_o = ⋅r

där Fo =

r

den yttre kraften verkande på partikeln. Till denna kraft adderas en kraft Fr, som ska ta hänsyn till energiförlusten genom strålningsemission, så att

rörelseekvationen blir: a m F Fo r r r ⋅ = +

Energilagen (sid 10) ger:

(

)

( ) v F F S d S udV t_{V SV} o r r r r r ⋅ + + ⋅ = −

∫

∫∫

∂ ∂

Om volymen V väljs som en sfär med centrum i origo och med radien rp erhålles:

( )

∫∫

⋅ = V S 3 0 2 2 c 6 ' a q S d S πε r r

I en första approximation försummas dämpningeseffekten. En partikel, som utför en periodisk rörelse kommer att befinna sig i samma rörelsetillstånd vid två tidpunkter t₁ och t₂. Då kommer u att ha samma värde vid tidpunkterna t₁ och t₂ vilket innebär att:

0 dt udV t 2 1 t t V =     −

∫

_∂∂

∫

Vidare kommer arbetet, som utförts av den yttre kraften Fo

r

under tiden t₁ till t₂ att vara lika med noll, dvs

0 dt v F 2 1 t t o ⋅ =

∫

r r

Om detta resultat sätts in i energijämviktsekvationen ovan erhålls:

dt c 6 ' a q dt ' v ' F 2 1 2 1 t t t t 3 0 2 2

∫

⋅ = −

∫

πε r r

Då integrationen utförs över en hel period av rörelsen blir resultatet detsamma om accelerationen ar vid tiden t betraktas i stället för ar' vid tiden t'.

Genom partialintegrering erhålls:

dt dt v d v c 6 q dt dt v d v dt v d v c 6 q dt c 6 a q 2 2 t t 3 0 2 t t 2 2 t t 3 0 2 t t 3 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 r r r r r r ⋅ − = =         ⋅ −     ⋅ ⋅ =

∫

∫

∫

πε πε πε

ty 2 1 t t dt v d v     ⋅r r

= 0 eftersom rörelsetillståndet vid tiderna t₂ och t₁ förutsattes vara lika.

Då erhålls för reaktionskraften Fr: dt dt v d v c 6 q dt v F 2 1 2 1 t t 2 2 t t 3 0 2

∫

∫

⋅ = ⋅ ⋅ r r r r πε

Det måste då gälla att:

2 2 3 0 2 dt v d c 6 q F r r ⋅ = πε

Reaktionskraften Fr är alltså proportionell mot tidsderivatan av accelerationen.

Härledningen av Fr ovan är korrekt bara så länge Fr är liten jämfört med de andra yttre krafterna. För en harmonisk oscillator gäller detta så länge frekvensen ν ej är alltför hög:

t sin z

z= 0 ⋅ ν

Utan dämpning är den drivande kraften av den harmoniska oscillatorn given av:

t sin z m a m F 0 2 0 = ⋅ = ν ν

För den dämpande kraften Fr gäller: t cos z c 6 q F ₃ 3 ₀ 0 2 ν ν πε ⋅ ⋅ = F0>>F ger: 2 3 0 3 3 0 2 2 0 3 3 0 2 0 2 q mc 6 c 6 q m t cos z c 6 q t sin z m πε ν ν πε ν ν ν πε ν ν < < > > > >

Om den oscillerande laddningen antas vara en elektron blir energin hos en foton med 200 e c m 6 h E ₂ 3 0 0 ≈       = πε MeV.

Men hur skall reaktionskraften kunna förklaras? Ovanstående beräkning av reaktionskraften utgör en fenomenologisk beskrivning av densamma men ingen "förklaring". Här råkar man in i svårigheter, som ännu inte har kunnat lösas vare sig klassiskt eller kvantteoretiskt. Frågan gäller elektronens struktur och begreppet "punktladdning". Om man tänker sig elektronen som en liten "boll" med en viss laddningsfördelning kan man visa hur de olika delarna av denna laddningsfördelning verkar på varandra då elektronen befinner sig i vila respektive då den rör sig. Då den befinner sig i vila balanserar krafterna varandra så att ingen nettokraft uppstår. Då elektronen accelereras kommer emellertid retardationseffekter inom den "boll", som elektronen utgör, att åstadkomma en obalans mellan krafterna med vilka de olika laddningselementen påverkar varandra så att en nettokraft uppstår med vilken elektronen påverkar sig själv och som är så riktad att den motverkar accelerationen.

Bilden är tagen från "The Feynman lectures on physics" Vol II. Addison-Wesley 1970. Då specialfallet med rörelse i endast en dimension betraktas erhålls för självkraften:

.... dt z d c r e dt z d c e 3 2 dt z d c r e F ₄ 4 4 0 2 3 3 3 2 2 2 2 0 2 + ⋅ + − ⋅ = α γ Här är         ≈ = = = = antas. som ördelning laddningsf vilken av beror som 1, ter koefficien numeriska , radie ärens elektronsf r laddning s elektronen q där 4 q e 0 e 0 2 e 2 γ α πε

Det intressanta är att den andra termen inte beror av vilken laddningsfördelning, som antas och att den överensstämmer med den reaktionskraft, som erhölls ur

energibalansberäkningen. Man skulle alltså vilja ha denna term men inte de övriga i summan ovan. Låter man elektronsfärens radie ro→ 0 försvinner den tredje och alla följande termer men den första går mot oändligheten!

Ett annat problem förbundet med denna elektronmodell är frågan vad som håller ihop elektronen, dvs vad det är som gör att den inte "flyger i bitar".

V. Tvärsnittet för Thomsonspridning av elektromagnetisk strålning mot en fri elektron

A. Thomsonspridningstvärsnittet för polariserad strålning

Låt en plan våg av elektromagnetisk strålning med frekvensen ν och given

polarisationsriktning infalla mot en elektron i vila. Den elektriska fältstyrkevektorn ges av:

( )

t sin E

Er= r₀ ν

Detta fält kommer att sätta elektronen i svängning. Antag, att elektronen därvid endast uppnår icke-relativistiska hastigheter. Då kan den magnetiska kraften på elektronen försummas liksom dämpningskraften till följd av att elektronens rörelse ger upphov till emission av elektromagnetisk strålning. Rörelseekvationen för elektronen kan skrivas:

( )

t sin E q dt r d m _{2 e 0} 2 0 ν r r ⋅ =

Välj ett koordinatsystem med z-axeln parallell med den elektriska fältstyrkevektorn Eo

r . Då kan rörelseekvationen skrivas:

( )

t sin E q dt z d m _{2 e 0} 2 0 = ⋅ ν

En lösning till denna ekvation ges av:

( )

t sin m E q z ₂ 0 0 e ν ν ⋅ − =

Elektronen utför en svängningsrörelse med samma frekvens som frekvensen hos den infallande plana vågen. Elektronens rörelse ger upphov till emission av en sekundär våg också denna med samma frekvens. (Jfr avsnitt IV B).

Den elektriska fältstyrkevektorn i punkten Q ligger i planet definierat av E0 r och rQ r och vinkelrätt mot rQ r

. I en given punkt Q har sekundärstrålningen en given

polarisationsriktning relativt polarisationsriktningen hos den infallande strålningen. Genom ytelementet

dS = rQ 2

sin2ξdξdφ = r_Q2dΩ strömmar vid tiden t en elektromagnetisk energi per tidsenhet given av (jfr IV D):

( )

₍

₎

Ω           − ⋅ = sin d c r t sin z 4 q c t dW 02 2 Q 2 4 2 0 2 e 3 0 ν ν ξ πε ε där ₂ 0 0 e 0 m E q z ν ⋅ =

Tidsmedelvärdet av dW(t) över en svängningsperiod T ges av:

( )

= ⋅ ⋅

₍

₎

⋅ Ω =

∫

z sin d 4 q c 2 1 dt t dW T 1 W d 02 2 4 2 0 2 e 3 0 T 0 ξ ν πε ε

Energiströmtätheten, Sin(t), i den infallande elektromagnetiska vågen ges av:

( )

(

)

sin

( )

t cE sin

( )

t c E c B x E c t S 2 _{0 0}2 2 2 0 2 0 2 0 in = ε = ε ⋅ ν = ε ν r r

Tidsmedelvärdet av Sin(t) över en svängningsperiod T ges av:

2 0 0 in cE 2 1 S = ε

Thomsonspridningstvärsnittet anges som kvoten mellan tidsmedelvärdet av den genom rymdvinkeln dΩ passerande energin per tidsenhet och tidsmedelvärdet av den infallande energin per tids- och ytenhet:

( )

Ω = Ω     = = sin d r sin d c m 4 q S W d , d 2 ₀2 2 2 2 0 0 2 e in Th e ξ ξ πε φ ξ σ

där r0 = den klassiska elektronradien (r0 = 2,82 ⋅ 10-15m) Den totala sekundärt

emitterade energin per tidsenhet per infallande energi per tids- och ytenhet ges av:

( )

r (m /elektron) 3 8 d sin d r , d S W d 2 2 0 2 0 0 3 2 0 Th e in Th e π φ ξ ξ φ ξ σ σ =

∫

=

∫

= π

∫

∫

π =

Lägg märke till att såväl det differentiella som det totala Thomsonspridningstvärsnittet per elektron är oberoende av frekvensen hos den infallande plana elektromagnetiska vågen.

B. Thomsonspridningstvärsnittet för opolariserad strålning

Opolariserad infallande strålning innebär att den elektriska vektorn svänger runt i ett plan vinkelrätt mot utbredningsriktningen. Den elektriska vektorns riktning definierar alltså inte längre en bestämd riktning som vid fallet med polariserad infallande strålning. Välj ett koordinatsystem enligt nedan:

Observationsriktningen rQ r

bestäms av vinklarna θ (polarvinkeln) och φ (azimut-vinkeln). Elektriska vektorn hos den infallande strålningen kan tänkas sammansatt av två polariserade komponenter med polarisationsriktningarna vinkelrätt mot varandra och med samma tidsmedelvärde av den infallande energiströmtätheten hos båda komponenterna (enligt superpositionsprincipen). Välj att göra uppdelningen längs x-och y-axeln. x-axeln bildar vinkeln ξ₁ med observationsriktningen rQ

r

och y-axeln bildar vinkeln ξ₂ med denna.

Thomsonspridningstvärsnittet för den opolariserade strålningen erhålles då som ett medelvärde av tvärsnitten för polariserad strålning där de elektriska vektorerna bildar vinklarna ξ₁ respektive ξ₂ med observationsriktningen rQ

r :

{

2

}

2 1 2 2 0 Th e d sin sin 2 r strålning) rad (opolarise d σ = Ω ξ + ξ

Det gäller nu att finna sambandet mellan ξ₁ och vinklarna θ och φ respektive mellan ξ₂ och vinklarna θ och φ.

De cartesiska koordinaterna (x,y,z) för punkten Q kan uttryckas med hjälp av vinklarna

θ ,φ,ξ₁ och ξ₂:

x = r_Q sin θ cos φ = r_Q cos ξ₁ y = r_Q sin θ cos φ = r_Q cos ξ₂ z = r_Q cos θ

(

)

(

ξ ξ θ

)

(

ξ ξ θ

)

θ φ θ φ θ 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 Q 2 2 2 2 2 2 Q 2 2 2 Q Q 2 Q cos sin 1 sin 1 r cos cos cos r cos sin sin cos sin r z y x r r r Q − + − + = + + = = + + = + + = ⋅ = r r Härur fås: sin 2 ξ1+ sin 2 ξ2 = 2+ cos 2

θ − cos2θ − sin2θ ⋅

(

cos2φ + sin2φ

)

= 2− sin2θ = 1+ cos2θ Då gäller:

(

)

d

(

1 cos

)

(

m /elektron

)

2 r strålning ad opolariser d 2 2 2 0 Th eσ = Ω + θ

Detta tvärsnitt är oberoende av azimutvinkeln φ. Det totala Thomsonspridnings-tvärsnittet för opolariserad strålning blir:

(

)

(

)

[

]

r

(

m /elektron

)

3 8 3 2 2 r 3 cos cos r d sin cos d sin r d sin 2 cos 1 2 r ålning str ad opolariser 2 2 0 2 0 0 3 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 Th e π π θ θ π θ θ θ θ θ π θ θ π θ σ π π π π π =       + ⋅ =               − + − ⋅ = =       + ⋅ = + ⋅ =

∫

∫

∫

Det totala Thomsonspridningstvärsnittet är detsamma för opolariserad strålning som för polariserad strålning. Detta resultat är egentligen trivialt eftersom totala

Thomsonspridningstvärsnittet för polariserad strålning givetvis är oberoende av polarisationsriktningen. Valet av koordinatsystem är helt godtyckligt och z-axeln kan vid polariserad strålning väljas parallell med den elektriska vektorn oberoende av den absoluta riktningen hos densamma. Vid integration över hela rymden faller beroendet av ett godtyckligt valt koordinatsystem bort.

Referenser:

1. R.P. Feynman et coll.: "The Feynman lectures on physics". Vol. I-II. Addison-Wesley Publishing Company (1963,1964) 1970.

2. W. Heitler: "The quantum theory of radiation". 3.ed. Oxford (1954) 1966.