Kontrollskrivning 1
Kurs: Matematisk analys, HF1905, Skrivtid: 8:15-9:00 ( 45 minuter)
Datum:
18 nov 2019Hjälpmedel: Inga hjälpmedel på KS1. (Miniräknare är inte tillåten).
Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.
För godkänt krävs 3 poäng av 5 möjliga poäng. Godkänd kontrollskrivning ger bonus enligt kurs-PM.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.
Det här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar.
Jourhavande lärare: Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic
---
Uppgift 1. (2p)
a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)=x2 +ln(6−3x)+sin(2x+3). b) Bestäm inversen till funktionen h(x)=3+8e5x+3.
Uppgift 2. (2p)
Beräkna följande gränsvärden
a) 7 15
4 15
8 7
5 lim 3
x x
x x
x +
+
∞
→
b) sin(3 6) lim 1
4 2
2 −
− −
→ x
e x
x .
Uppgift 3. (1p)
Låt 4
1 ) 3
( 2
2
−
= + x x x
f . Bestäm eventuella lodräta och vågräta asymptoter till f(x).
Lycka till.
Sida 1 av 3
Uppgift 1. (2p)
a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)=x2 +ln(6−3x)+sin(2x+3). b) Bestäm inversen till funktionen h(x)=3+8e5x+3.
Lösning:
a) Notera att x och 2 sin(2x+3) är definierade för alla x.
Därför är funktionen definierad om 2 6
3 0 3
6− x> ⇔− x>− ⇔x< .
Alltså är definitionsmängden =(−∞,2). b) Vi löser ut x ur y=3+8e5x+3. Vi har y=3+8e5x+3 ⇔3+8e5x+3 = y
3 8 5 3 = −
⇔ e x+ y
8
3 3
5 = −
⇔ + y
e x
8 ) ln( 3 3
5 + = −
⇔ y
x
8 ) ln( 3 3
5 =− + −
⇔ y
x
−
+
−
=
⇔ )
8 ln( 3 5 3
1 y
x .
Alltså
−
+
−
− =
8 ) ln( 3 5 3
) 1
1( y
y
h .
Svar: a) Definitionsmängden =(−∞,2).
b)
−
+
−
− =
8 ) ln( 3 5 3
) 1
1( y
y
h (Alt. svar
−
+
−
− =
8 ) ln( 3 5 3
) 1
1( x
x
h . )
Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 2. (2p)
Beräkna följande gränsvärden
a) 7 15
4 15
8 7
5 lim 3
x x
x x
x +
+
∞
→
b) sin(3 6) lim 1
4 2
2 −
−
−
→ x
e x
x .
Lösning:
a) 8
3 ) 8 0 (
) 0 3 ( ) 7 8 (
5 ) 3 ( lim ) 7 8 (
5 ) 3 ( 8 lim
7 5 lim 3
8 11
8 15
11 15
15 7
4
15 =
+
= + +
= + +
= + +
+
∞
→
∞
→
∞
→
x x x x
x x x
x x x
x x
x .
Sida 2 av 3
(Alternativt tittar vi direkt på kvoten mellan de dominerande termerna i täljare och nämnare,
3𝑥𝑥15
8𝑥𝑥15=38 som är det tal det rationella uttrycket närmar sig då 𝑥𝑥 → ∞, eftersom alla andra termer då är försumbara i en jämförelse med dessa).
b) sin(3 6) lim 1
4 2
2 −
− −
→ x
e x
x , [ typ ” 0 0”].
3 2 ) 6 3 cos(
3 lim 2
4 2 2
' =
= −−
→ x
e x
x H L
.
Svar: a) 8
3 , b) 3 2
Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 3. (1p)
Låt 4
1 ) 3
( 2
2
−
= + x x x
f . Bestäm eventuella lodräta och vågräta asymptoter till f(x).
Lösning:
Notera att
4 1 ) 3
( 2
2
−
= + x x x
f är en rationell funktion.
i) Lodräta asymptoter:
Nämnaren = 0 för x2 −4=0 dvs för x=−2 och x=2. Täljaren är ≠ för de x-värdena. 0 Därför har funktioner två lodräta asymptoter x=−2 och x=2.
ii) Vågräta asymptoter:
4 3 1 lim32
2 =
− +
∞
→ x
x
x ( Samma värde har vi om x→−∞ dvs 3 4
1 lim 32
2 =
− +
−∞
→ x
x
x )
Alltså är y=3 en vågrät asymptot till funktionen (åt vänster och åt höger).
Svar: Funktionen har
två lodräta asymptoter x=−2 och x=2, och en vågrät asymptot y=3.
Rättningsmall: Allt rätt = 1p.
Sida 3 av 3
