Tentamen i Linjär algebra, HF1904

Sida 1 av 8

Tentamen i Linjär algebra, HF1904

Datum:16 dec 2020 Skrivtid: 8:00-12:00

Lärare: Elias Said, Joakim Dahlfors Examinator: Armin Halilovic

För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.

• Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.

--- Uppgift 1. (2p)

För vilka värde på parameter a har nedanstående system (med avseende på x, y och z) 0

2 2 2

3 4 2

x y z

x y z

x y az + + =

 + + =

 + + =



a) exakt en lösning b) oändligt många lösningar.

Uppgift 2. (2p)

Beräkna arean av triangeln ABC där A=(1,1,2), B=(3,2,3) och C=(2,2,4).

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Låt ( 1)² 1 ²⁰²²

1

z i i i

i

= − + + +

− .

Bestäm a) Re(z) b) | z | Var god vänd.

Sida 2 av 8 Uppgift 4.(4p)

a) (2p) Bestäm X ur matrisekvationen 0 0 2 1 1 2

1 2 0 3 2 3

X   X   

+ =

     

     .

b) (2p) Bestäm alla matriser Y som uppfyller

1 1 3

2 0 2

2 1 4

Y

   

  = 

   

   

   

. Uppgift 5) (6p)

Planet  går genom punkten A=(1,1,0) och genom linjen ( , , ) (2,3,2) (1,1,1)x y z = +t a) (2p) Bestäm en ekvation för planet .

b) (2p) Bestäm skärningspunkterna mellan planet och koordinataxlarna: x-axeln , y-axeln och z-axeln.

c) (2p) Bestäm vinkeln mellan planet  och planet β: x y+ +2z= 3 Uppgift 6. (3p)

Låt Q vara projektionen av punkten P på planet Π: 2x y z+ + = . 3 Bestäm punkten Q om P = (3,1,2) .

P

Q

Uppgift 7. (2p) Lös ekvationen z³ = −27i (med avseende på z).

Ange alla lösningar på rektangulär form (dvs. a+bi form).

Uppgift 8. (2p) Låt A, B och C vara tre matriser av följande typer m n× , n p× och p q× .

Bevisa den associativa lagen för matrismultiplikation (AB)C = A(BC).

Lycka till.

Sida 3 av 8 FACIT

Uppgift 1. (2p)

För vilka värde på parameter a har nedanstående system (med avseende på x, y och z) 0

2 2 2

3 4 2

x y z

x y z

x y az + + =

 + + =

 + + =



a) exakt en lösning b) oändligt många lösningar.

Lösningsförslag:

Skriver ekvationssystemet på total matrisform

0 1 1 1 0

2 2 2 1 2 2 2

3 4 2 3 4 2

x y z

x y z

x y az a

+ + =  

 + + = ⇒  

  

 + + =  

  

Determinanten av koefficientmatrisen:

1 1 1

2 2 1 2 1 2

1 2 2 (2 8) ( 6) ( 2) 4

4 3 3 4

3 4

a a a

a a

a

= − + = − − − + − = −

a) Exakt en lösning erhålls om determinanten skilt från noll dvs. a− ≠4 0 ⇒ a≠4 b) Undersöker lösningstypen om a = , detta ger följande ekvationssystem: 4

1 2 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0

1 2 2 2 ( 3 ) 0 1 1 2

3 4 4 2 0 1 1 2

r r och r r

   

  ⇔ − + − + ⇔  

   

   

   

2 3

1 1 1 0 ) 0 1 1 2 0 0 0 2 r r

 

 

− + ⇔  

 

 

Systemet är lösbart med två ledande x,y och en fri variabel z som innebär att

ekvationssystemet har oändligt många lösningar för a =4 med t.ex. följande lösning:

Rad 2: y z+ =2 , välj t ex z t. . = ⇒ y= −2 t Rad 1: x y z+ + =0 ⇒ x= − − = − − − = −y x (2 )t t 2

Lösningen:

2

2 ,

x

y t t

z t

 = −

 = − ∈

 =



y

Rättningsmall:

- Fel värde på a ger inga poäng - Fel slutsats på a-uppgift ger -1p

- Ej motivering för oändligt många lösningar ger -1p

Sida 4 av 8 Uppgift 2. (2p)

Beräkna arean av triangeln ABC där A=(1,1,2), B=(3,2,3) och C=(2,2,4).

Lösningsförslag:

Teckna vektorerna som definierar två sidorna i triangeln.

(2,1,1) (1,1,2)

AB= och AC=

 

Triangelns area ges av

2 2 2

1 1 2 1 1 1 (1, 3,1) 1 1 ( 3) 1 11 . .

2 2 2 2 2

1 1 2 i j k

Area= AB AC× = = − = + − + = a e

  

 

Rättningsmall: Rätt kryssprodukt ger 1p. Resten rätt ger ytterligare 1p.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Låt ( 1)² 1 ²⁰²²

1

z i i i

i

= − + + +

− .

Bestäm a) Re(z) b) | z | Lösningsförslag:

𝑧𝑧 = 𝑖𝑖²− 2𝑖𝑖 + 1 +(1+𝑖𝑖)(1+𝑖𝑖)

(1−𝑖𝑖)(1+𝑖𝑖)+ 𝑖𝑖^4∙505+2 = −2𝑖𝑖 +^{1+2𝑖𝑖+𝑖𝑖}_{1−𝑖𝑖2}²+ 1⁵⁰⁵∙ 𝑖𝑖² = −2𝑖𝑖 +^2𝑖𝑖₂ − 1 = −1 − 𝑖𝑖

a) 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑧𝑧) = −1 Svar: 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑧𝑧) = −1

b) |𝑧𝑧| = √𝑧𝑧𝑧𝑧̅ = �(−1 − 𝑖𝑖)(−1 + 𝑖𝑖) = �(−1)²+ 1² = √2 Svar: |𝑧𝑧| = √2

Rättningsmall:

Rätt 𝑧𝑧 = −1 − 𝑖𝑖 ger 1p.

Korrekt 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑧𝑧) = −1 ger +1 p . Korrekt |𝑧𝑧| = √2 ger +1p

Sida 5 av 8 Uppgift 4.(4p)

a) (2p) Bestäm X ur matrisekvationen 0 0 2 1 1 2

1 2 0 3 2 3

X   X   

+ =

     

     .

b) (2p) Bestäm alla matriser Y som uppfyller

1 1 3

2 0 2

2 1 4

Y

   

  = 

   

   

   

.

Lösning:

a) 0 0 2 1 1 2 0 0 2 1 1 2

1 2 0 3 2 3 1 2 0 3 2 3

X   X     X     

+ = ⇒  + =

           

           

1 1

2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1

1 5 2 3 1 5 1 5 2 3 1 5

X X

− −

           

⇒   =  ⇒     =   

           

1

1

1 2 2 1 2 3 1 5

1 2 2 1 1 2 1 5 1 1 1 2 5 1

2 3 1 5 2 3 9 1 2 9 2 3 1 2

5 2 1 4 3 3 1 1

1 1 3 3

10 3 2 6 7 4 7 4

9 9

9 9 XE

X

X SVAR

−

−

   

⇒ =    ⇒

   

− −

           

=     =   − =    − 

 

 

− − +

   

=  − − + =   =  

 

 

Rättningsmall: Rätt

1 2 2 1 1

2 3 1 5 X

   −

=    

    ger 1p. Allt rätt ger 2p.

b)

1 1 3

2 0 2

2 1 4

Y

   

  = 

   

   

   

Y skall vara av 2x1 matris dvs. ¹¹

21

Y y y

 

=  

 

11 21 21 11 21

11

11 21 11 11

21

11 21 21 11 21

1 1 3 3 3 2

2 0 2 2 0 2 2 2 1

2 1 4 2 4 4 2 2

y y y y y

y y y y y

y y y y y y

+ = = − ⇒ =

     

   

  =  ⇒  + = ⇒  = ⇒ =

      

    + = = − ⇒ =

     

Detta ger att 1 Y  2

=  

 

Rättningsmall: Rätt ekvationssystem efter multiplikation ger 1p. Allt rätt ger 2p.

Uppgift 5) (6p)

Planet  går genom punkten A=(1,1,0) och genom linjen ( , , ) (2,3,2) (1,1,1)x y z = +t a) (2p) Bestäm en ekvation för planet .

Sida 6 av 8

b) (2p) Bestäm skärningspunkterna mellan planet och koordinataxlarna: x-axeln , y-axeln och z-axeln.

c) (2p) Bestäm vinkeln mellan planet  och planet β: x y+ +2z= 3 Lösning:

a)

Planetsnormal ges av n r P A  = × ₀ =(1,1,1) ( 1, 2, 2) (0,1, 1)× − − − = −

, där P0 är en godtycklig punkt i linjen dvs. P0 = (2, 3, 2).

Planets ekvation: ax by cz d+ + + =0 ⇒ 0x y z d+ − + =0 För att bestämma d väljs t.ex. punkt A: 1+ =d 0 ⇒ d = −1 Svar: Planets ekvation: y z− − =1 0

Rättningsmall a: Rätt planetsnormal 1p. Resten rätt ger ytterligare 1p.

b) (2p) Bestäm skärningspunkterna mellan planet och koordinataxlarna: x-axeln , y-axeln och z-axeln.

Lösningsförslag:

Skärning med x-axeln:

0 0 1 0 0 0 1 0

y= och z= ⇒ y z− − = ⇒ − − = Ej sant ⇒ ingen skärning Skärning med y-axeln:

0 0 1 0 0 1 0 1

x= och z= ⇒ y z− − = ⇒ y− − = ⇒ y= (punkten M=(0,1,0) )

Skärning med z-axeln:

0 0 1 0 0 1 0 1

x= och y= ⇒ y z− − = ⇒ − − =z ⇒ z= − (punkten N=(0,0,-1) )

Rättningsmall b: Två rätta skärningspunkter ger 1p.

c) (2p) Bestäm vinkeln mellan planet  och planet β: x y+ +2z= 3 Lösningsförslag:

Planet α: y z− − =1 0 ⇒ n_α =(0,1, 1)− Planet β: x y+ +2z=3 ⇒ n_β =(1,1,2) Vinkeln mellan planen ges av

2 2 2 2 2

(0,1, 1) (1,1,2) 1 2 1 1

cos (0,1, 1) (1,1,2) 1 ( 1) 1 1 2 2 6 12

n n n n

α β

α β

θ = = ⁻ = ⁻ = ⁻ = −

− + − + +

 

 

 

cosθ <0 ⇒ innebär att vinkeln är trubbig

Detta innebär att vinkeln mellan planen: 180 arccos( 1 ) v = ° − − 12

Sida 7 av 8 Rättningsmall c: Korrekt till cos (0,1, 1) (1,1,2)

(0,1, 1) (1,1,2)

θ = ⁻

−  ger 1p

Svar arccos( 1 )

− 12 eller 180 arccos( 1 )

v = ° − − 12 ger 2p.

Uppgift 6. (3p)

Låt Q vara projektionen av punkten P på planet Π: 2x y z+ + = . 3 Bestäm punkten Q om P = (3,1,2) .

P Q

Lösning:

Metod1:

Planets har en normalvektor 𝑛𝑛�⃗ = (2,1,1). Välj en punkt i planet, t.ex. 𝐴𝐴 = (0,0,3) och bilda vektorn 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (3,1,−1) vars ortogonalprojektion längs 𝑛𝑛�⃗ ges av 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗_∥= 𝑄𝑄𝐴𝐴�����⃗ = �^{𝐴𝐴𝐴𝐴}�����⃗∙𝑛𝑛�⃗

𝑛𝑛�⃗∙𝑛𝑛�⃗� 𝑛𝑛�⃗ =

= �(3,1,−1)∙(2,1,1)

(2,1,1)∙(2,1,1)� (2,1,1) =⁶₆(2,1,1) = (2,1,1). Ortsvektorn till Q är då

𝑂𝑂𝑄𝑄������⃗ = 𝑂𝑂𝐴𝐴�����⃗ − 𝑄𝑄𝐴𝐴�����⃗ = (3,1,2) − (2,1,1) = (1,0,1) Svar: 𝑂𝑂𝑄𝑄������⃗ = (1,0,1) Rättningsmall:

Korrekt till 𝑄𝑄𝐴𝐴�����⃗ = �(3,1,−1)∙(2,1,1)

(2,1,1)∙(2,1,1)� (2,1,1) ger 1p Korrekt till 𝑄𝑄𝐴𝐴�����⃗ = (2,1,1) ger +1p .

Allt korrekt=3p Metod 2:

Den rätta linjen genom P vinkelrät mot planet Π har ekvationer:

3 2 1 2

x t

y t

z t

= +

= +

= +

som vi substituerar i planets ekvation för att bestämma Q.

Vi får

2(3 2 ) (1 ) (2 ) 3+ t + + + + = . t t Härav t = − och därmed Q=(1,0,1) 1 Rättningsmall:

Korrekta linjensekvationer =1p Korrekt t ger+ 1p.

Allt korrekt=3p

Sida 8 av 8

Uppgift 7. (2p) Lös ekvationen z³ = −27i (med avseende på z).

Ange alla lösningar på rektangulär form (dvs. a+bi form).

Lösning:

Ansats: 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑅𝑅^{𝑖𝑖𝑖𝑖} ⇒ 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑧𝑧³ = 𝑟𝑟³𝑅𝑅^{𝑖𝑖3𝑖𝑖}

𝐻𝐻𝑉𝑉 = −27𝑖𝑖 = 27�0 + 𝑖𝑖 ∙ (−1)� = 27(cos(−𝜋𝜋/2) + 𝑖𝑖 sin(−𝜋𝜋/2)) = 27𝑅𝑅^{𝑖𝑖∙(−𝜋𝜋/2)} Identifiering av absolutbelopp och argument i VL och HL ger

𝑟𝑟³ = 27 ⇒ 𝑟𝑟 = √27³ = 3 och 3𝜑𝜑 = −^𝜋𝜋₂+ 𝑘𝑘 ∙ 2𝜋𝜋 ⇒ 𝜑𝜑 = −^𝜋𝜋₆+ 𝑘𝑘 ∙^2𝜋𝜋₃, där k=0,1 eller 2.

𝑘𝑘 = 0 ⇒ 𝑧𝑧₁ = 3 �cos �−^𝜋𝜋₆� + 𝑖𝑖 sin �−^𝜋𝜋₆�� = 3 �^√3₂ −¹₂∙ 𝑖𝑖� =^3√3₂ −³₂𝑖𝑖 𝑘𝑘 = 1 ⇒ 𝑧𝑧₂ = 3 �cos �^𝜋𝜋₂� + 𝑖𝑖 sin �^𝜋𝜋₂�� = 3(0 + 1 ∙ 𝑖𝑖) = 3𝑖𝑖

𝑘𝑘 = 2 ⇒ 𝑧𝑧₃ = 3 �cos �^7𝜋𝜋₆� + 𝑖𝑖 sin �^7𝜋𝜋₆�� = 3 �−^√3₂ −¹₂∙ 𝑖𝑖� = −^3√3₂ −³₂𝑖𝑖 Svar: 𝑧𝑧1 =^3√3₂ −³₂𝑖𝑖, 𝑧𝑧2 = 3𝑖𝑖, 𝑧𝑧3 = −^3√3₂ −³₂𝑖𝑖

Rättningsmall:

Korrekta lösningar på polär form (eller exponentialform) ger 1p Allt korrekt=2p

Uppgift 8. (2p) Låt A, B och C vara tre matriser av följande typer m n× , n p× och p q× .

Bevisa den associativa lagen för matrismultiplikation (AB)C = A(BC).

Låt M= (AB)C och N= A(BC).

Låt a_ijbeteckna element i matrisen A. (På liknade sätt betecknar vi element i matriserna B,C, M och N)

Enligt räknelagar för matrismultiplikation har vi

1 1 1 1

p n p n

il ij jk kl ij jk kl

k j k j

m a b c a b c

= = = =

 

=   =

 

∑ ∑ ∑∑

och

1 1 1 1 1 1

p p p

n n n

il ij jk kl ij jk kl ij jk kl

j k j k k j

n a b c a b c a b c

= = = = = =

=

∑ ∑

∑∑

∑∑

Alltså m_il =n_il för alla i,l och därmed M=N V.S.B.

Rättningsmall:

Korrekt

1 1

p n

il ij jk kl

k j

m a b c

= =

=

∑∑

1 1

n p

il ij jk kl

j k

n a b c

= =

=

∑∑

Allt korrekt=2p