Sida 1 av 8
Tentamen i Linjär algebra, HF1904
Datum: 17 dec 2018 Skrivtid: 14:00-18:00
Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.
• Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.
--- Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
= + +
= + +
= + +
. 1 4 3 2
2 2
0 2
z y x
z y x
z y x
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna
A=(1,2,2), B=(2,3,3), C=(3,3,3).
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)
Låt + + ⋅
+
= + (2 )2 3
1
2 i
i
z i Bestäm Re(z).
Var god vänd.
Uppgift 4. (3p)
a) (1p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna )
3 , 2 , 1
=(
A och B=(2,3,5).
b) (2p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten P= ( 0,2,1) och som är vinkelrät mot linjen L.
Uppgift 5 . (4p)
a) (2p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(1,1,1) B=(2,2,2), C=(2,2,4) och D=(4,3,5).
b) (2p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC.
Uppgift 6. (4p)
Låt
=
=
=−
3 5
0 , 2
2 1
1 , 3
1 0
0
2 B C
A .
Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (2p) AX+BX =C b) (2p) AX +XB=C
Uppgift 7. (2p)
Bestäm spegelbilden av punkten P=(3,5, 3) i planet x+2y+ = . z 4 Uppgift 8. (2p)
a) Bestäm alla lösningar till ekvationen 2z3+ = . 2i 0 b) Ange alla lösningar i rektangulärform (dvs. a+ form). bi Uppgift 9. (2p)
Låt L vara en linje genom punkten O med enhetsriktningsvektor e (alltså | e|=1) . Låt F vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i punkten P. Vi betecknar
= OP→
r
. Vridmoment ( kraftmoment) ML , runt linjen L, för kraften F
med angreppspunkten i P kan beräknas med följande formel: ML= |e ⋅M | där M r F
×
= .
Låt L vara linjen (x,y,z)=t(1,1,2). Låt F
= (1,2, 3) vara en kraftvektor med startpunkten (angreppspunkten ) i P=(2,3,1) . Beräkna vridmoment ML= |e ⋅M | runt linjen L för kraften
F
, med angreppspunkten i P. Anmärkning: Vi antar att alla storheter i uppgiften är givna i standardenheter.
Lycka till!
Sida 2 av 8
FACIT
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
= + +
= + +
= + +
. 1 4 3 2
2 2
0 2
z y x
z y x
z y x
Lösning:
= + +
= + +
= + +
. 1 4 3 2
2 2
0 2
z y x
z y x
z y x
⇔
=
=
−
= + +
⇔
1 2
0 2
y z y
z y x
−
=
=
= + +
1 1
0 2
z y
z y x
Svar: x=1, y=1, z=−1
Rättningsmall: Korrekt metod och två lösningar y=1, z=−1 ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna
A=(1,2,2), B=(2,3,3), C=(3,3,3).
Lösning:
) 1 , 1 , 1
=(
AB , AC =(2,1,1) AC
AB
N = ×
k j i k j i AC
AB 0 1 1
1 1 2
1 1
1 = + −
=
×
) 1 , 1 , 0
( −
N =
Planets ekvation: 0(x−1)+1(y−2)−1(z−2)=0eller y− z=0 Svar: y− z=0
Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)
Låt + + ⋅
+
= + (2 )2 3
1
2 i
i
z i Bestäm Re(z).
Lösning:
i i i i
i i
i i i i
i i i
i i i
i z i
5 . 3 5 . 2 3 7 2 4 7 2 3
2 4 1 10 3
5 5
) 1 4 4 9 (
1
3 6 ) 2
4 4 ) ( 3 1 )(
3 1 (
) 3 1 )(
2 ) ( 2 3 ( 1
2 2 2
+
= +
= + +
−
= +
− +
=
− + + +
+
−
= + + +
− + +
−
= + + + +
= +
2 ) 7 Re(z = Svar:
2 ) 7 Re(z =
Sida 3 av 8
Rättningsmall: Korrekt till i i
z 3 4
10 5 5− + +
= ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 4. (3p)
a) (1p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna )
3 , 2 , 1
=(
A och B=(2,3,5).
b) (2p) Bestäm en ekvation för planet Π som går genom punkten P= ( 0,2,1) och som är vinkelrät mot linjen L.
Lösning a)
) 2 , 1 , 1
=(
= v AB
) 2 , 1 , 1 ( ) 3 , 2 , 1 ( ) , , (
: x y z t
L = +
Rättningsmall (a): Rätt eller fel.
b) ) 2 , 1 , 1
=(
N
Planets ekvation: 1(x−0)+1(y−2)+2(z−1)=0 eller x+ y+2z=4 Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 5 . (4p)
a) (2p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(1,1,1) B=(2,2,2), C=(2,2,4) och D=(4,3,5).
b) (2p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC.
Lösning:
a)
Låt u =AB=(1,1,1) , v =AC=(1,1, 3) , w = AD=(3, 2, 4) Pyramidens volym är
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1
( )
6 6
x y z
V u v w x y z
x y z
= × =
.
Först beräknar vi determinanten
1 1 1 1 1 3 2 3 2 4
D= = .
Därför 1 1
2 . .
6 3
V = ⋅ = v e Svar a) 1
3 . . V = v e
Rättningsmall: Korrekt determinanten D=2 ger 1p. Allt korrekt =2p.
b)
Vi bestämmer avståndet från punkter D till planet som går genom punkterna A, B och C.
En normalvektor till planet är n = × =u v (2, 2, 0)− . Planets ekvation: 2(x− −1) 2(y− = ⇒1) 0 2x−2y= . 0
Höjden dvs. avståndet från punkten D till basen (som ligger i planet) är Sida 4 av 8
2 2
2 4 2 3 2 1
2 2 2
2 ( 2)
H = ⋅ − ⋅ = =
+ − .
Anmärkning: Det finns ( som i alla i matteuppgifter) flera andra metoder att beräkna höjden.
exempelvis kan vi beräkna basytans arean B= 2 och bestämma höjden ur formeln för pyramidens volym
3 V B H⋅
= .
Svar b) 1 2
( )
2 2
H = =
Rättningsmall: Korrekt planets ekvation (eller basytans area) ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 6. (4p)
Låt
=
=
=−
3 5
0 , 2
2 1
1 , 3
1 0
0
2 B C
A .
Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (2p) AX+BX =C b) (2p) AX +XB=C Lösning:
a)
1
1
( ) ( )
1 3
1 1 1 3 1 2 0 1 1 3 2 2
( )
1 3 2 1 1 5 3 2 3 3 3 3
2 2
AX BX C A B X C X A B C
A B X A B C
−
−
+ = ⇔ + = ⇔ = +
−
− −
+ = ⇒ = + = − = =
Svar:
1 3
1 3
1 2 2
( )
3 3 3 3
2
2 2
X
−
−
= =
Rättningsmall: Korrekt till 1 3 1 2 0
1 1 5 3
X 2 −
= − ger 1p. (Fel ordning i matrismultiplikaton ger 0 p) . Allt korrekt =2p.
b)
2 0 3 1 2 0
0 1 1 2 5 3
a b a b
AX XB C
c d c d
−
+ = ⇔ + =
Sida 5 av 8
2 0 3 1
0 1 1 2 4 3
2
2 0 0
4 3 5 3 4 5
3 3
a b a b a b a
c d c d c d c d
a b
a b a a
c d c d c d
c d
− +
+ =
+ +
+ =
+ =
= ⇒
+ + + =
+ =
Från systemet har vi 0
a= , b=2 , 12
c=11 , 7 d =11 . Alltså
0 2
12 7 11 11 X
=
.
Svar:
0 2
12 7 11 11 X
=
Rättningsmall: Korrekt till systemet
2 0
4 5
3 3
a b a c d
c d
+ =
=
+ =
+ =
ger 1p. Allt korrekt =2p.
Uppgift 7. (2p)
Bestäm spegelbilden av punkten P=(3,5, 3) i planet x+2y+ = . z 4 Lösning:
Metod 1:
P
Q
O S
Linjen genom P vinkelrät mot planet är L: ( , , )x y z =(3,5, 3)+t(1, 2,1) Skärningspunkten mellan linjen och plan får vi genom att lösa systemet
Sida 6 av 8
3 5 2 3
2 4
x t
y t
z t
x y z
= +
= +
= +
+ + =
Vi får punktent= −2,x=1,y=1,z= och därmed är 1 Q =(1,1,1) den sökta skärningspunkten.
Låt S beteckna spegelbilden av P och låt O=(0,0,,0). Då gäller 2 (3,5, 3) 2( 2, 4, 2) ( 1, 3, 1)
OS =OP+ PQ= + − − − = − − − Alltså S= ( 1, 3, 1)− − − .
Svar: ( 1, 3, 1)− − −
Rättningsmall (metod 1): Korrekt linjens ekvation ( , , )x y z =(3,5, 3)+t(1, 2,1) och kärningspunkten Q ger 1p. Allt korrekt =2p.
Metod 2:
Vi väljer en punkt i planet:, exempelvis P0 =(1,1,1). Då är
0 (2, 4, 2) P P=
Projektionen av P P0
på planets normalvektor n =(1, 2,1)
är P P n0 2 (2, 4, 2)
h n
n
= =
0 ( 1 1, 2 1, 3 1)
P S = s − s − s −
där S är en spegelpunkt.
0 0 0 0
1 2 3
1 2 3
2 2
( 1, 1, 1) ( 2, 4, 2) ( , , ) ( 1, 3, 1) P S h P P P S P P h
s s s
S s s s
+ = ⇒ = −
− − − = − − −
⇒ = = − − −
Svar: ( 1, 3, 1)− − −
Rättningsmall (metod 2): Korrekt projektionen på normalvektorn P P n0 2 (2, 4, 2) n
n
=
ger 1p.
Allt korrekt =2p.
Uppgift 8. (2p)
a) Bestäm alla lösningar till ekvationen 2z3+ = . 2i 0 b) Ange alla lösningar i rektangulärform (dvs. a+ form). bi Lösning:
a)
(3 2 )
3 3 3 3 2
2 z 2 i 0 z i 0 z i z e
k iπ+ π
+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =
Härav
( 2 )
2 3 där 0,1, 2.
k i
k z e
π+ π
=
=
Svar a)
( 2 )
2 3 där 0,1, 2.
k i
k z e
π+ π
=
=
Rättningsmall (a): Rätt eller fel.
b) För k=0 har vi
Sida 7 av 8
i i
e
z = i = + )=
sin(2 2)
cos(
2 0
π
π π
. För k=1 har vi
i i
e
z i
2 1 2 ) 3 6 sin(7 6 )
cos(7
6) (7
1 = π = π + π =− −
. i i
e
z i
2 1 2 ) 3 6 sin(11 6 )
cos(11
6 ) (11
2 = π = π + π = −
. Svar b: z0 =i , z i
2 1 2
3
1 =− − , z i
2 1 2
3
2 = − .
Rättningsmall (b): Rätt eller fel.
Uppgift 9. (2p)
Låt L vara en linje genom punkten O med enhetsriktningsvektor e
(alltså | e|
=1) . Låt F vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i punkten P. Vi betecknar
= OP→
r
. Vridmoment ( kraftmoment) ML , runt linjen L, för kraften F
med angreppspunkten i P kan beräknas med följande formel: ML= |e ⋅M | där M r F
×
= .
Låt L vara linjen (x,y,z)=t(1,1,2). Låt F
= (1,2, 3) vara en kraftvektor med startpunkten (angreppspunkten ) i P=(2,3,1) . Beräkna vridmoment ML= |e ⋅M | runt linjen L för kraften
F
, med angreppspunkten i P. Anmärkning: Vi antar att alla storheter i uppgiften är givna i standardenheter.
Lösning:
Linjens enhetsriktningsvektor är (1,1,2) 6
= 1
e .
Vi gör beräkningar enligt beskrivningen i uppgiften:
=
×
=r F M
) 1 , 5 , 7 ( 5
7 3 2 1
1 3
2 = i − j+k = −
k j
i
.
Vridmoment ML=
6 ) 4 2 5 7 ( 6 ) 1 1 , 5 , 7 )(
2 , 1 , 1 ( 6
| 1
|e⋅ M = − = − + = .
Svar: ML=
6 4 .
Rättningsmall: Korrekt M =r×F =
) 1 , 5 , 7
( − ger 1p. Allt korrekt= 2p.
Sida 8 av 8
