Kontrollskrivning 2 Version A Kurs: Linjär algebra, HF1904, Skrivtid: 8:15-9:00 ( 45 minuter)

(1)

Sida 1 av 3

24 sep 2018

Kontrollskrivning 2 Version A

Kurs: Linjär algebra, HF1904, Skrivtid: 8:15-9:00 ( 45 minuter)

Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten).

Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.

För godkänt krävs 3 poäng av 5 möjliga poäng. Godkänd kontrollskrivning ger bonus enligt kurs-PM.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.

Det här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar!

Examinator: Armin Halilovic

---

Uppgift 1. (2p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(2,2,2), B=(2,3,3), C=(3,3,4).

Uppgift 2. (2p) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen som definieras av

















t z

t y

t x

2 1 1

och planet xyz140.

Uppgift 3. (1p)

Bestäm inversen till matrisen 



 



 2 1

2

A 3 .

Lycka till.

(2)

Sida 2 av 3 Lösning:

Uppgift 1. (2p) Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(2,2,2), B=(2,3,3), C=(3,3,4).

Lösning:

Vektorn n^  ABAC är vinkelrät mot planet.

Vi beräknar AB (0,1,1) , AC(1,1,2) och därefter normalvektorn





 AB AC

n^ 1 1 1 (1,1, 1)

1 1

1 0 2 1

1 1 2 1 1

1 1

0 i  j k  i  j  k  

k j

i      

 



.

Planet går genom t. ex. punkten A=(2,2,2) och är vinkelrät mot vektorn (1,1, . 1) Därmed ges planets ekvation av

0 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 (

1 x  y  z  eller xyz20.

Svar: xyz20.

Rättningsmall: En (korrekt) normalvektor ger 1p. Korrekt planets ekvation t. ex.

0 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 (

1 x  y  z  ger 2p.

Uppgift 2. (2p) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen som definieras av

















t z

t y

t x

2 1 1

och planet xyz140. Lösning:

Vi substituerar linjens ekvationer

t z

t y

t x









 2 1 1

i planets ekvation 0 14





y z x

och får

0 14 2

1

1t  tt  .

Härav 4t 12 och därmed t3.

Vi substituerar t3i linjens ekvationer och får

3

7 3 2 1 2 1

4 3 1 1





















t z

t y

t x

Vi har fått en skärningspunkt P=( 4, 7, 3).

Svar: ( 4, 7, 3)

Rättningsmall: Korrekt t=3 ger 1p. Allt korrekt =2p.

(3)

Sida 3 av 3 Uppgift 3. (1p)

Bestäm inversen till matrisen 



 



 2 1

2

A 3 .

Lösning: Determinanten det(A)6240 som visar att matrisen är inverterbar.



 







 



 







 



4 / 3 4 / 1

2 / 1 2 / 1 3

1 2 2 4

1 1

A .

Svar: 



 







 



 







 



4 / 3 4 / 1

2 / 1 2 / 1 3

1 2 2 4

1 1 A

Rättningsmall: Korrekt till 



 







 



3 1

2 2 4

1 1

A ger 1 poäng