TENTAMEN HF1006 och HF1008
Datum TEN2 8 jan 2019 Tid 14-18
Linjär algebra och analys , HF1006 och HF1008. Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic
Betygsgränser: För godkänt krävs10 av max 24 poäng. För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.
Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
--- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad.
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna.
--- Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.)
a) (1p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)ln(2x2)ln(82x).
b) (1p) Beräkna gränsvärdet
x x
x 1 cos2
5 sin lim1
2
.
c) (1p) Beräkna gränsvärdet
x
x x
x
1 cos1
2 ln limln
1 . d) (1p) Bestäm derivatan till funktionen
) 2 arctan(
3
) 3 ln(
) 2
( x
x x
f
Uppgift 2. (4p) Låt
2
2
4 0 ( ) 0 2
2
xe xx
f x x
x x
. a) Bestäm funktionens definitionsmängd.
b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär.
c) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). d) Rita funktionens graf.
Uppgift 3. (4p)
a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 3 kring punkten x0 för funktionen ysin( x). b) Bestäm approximativt sin(0.1) och uppskatta felet.
Tips: Taylors formel kring punkten A är
. och a mellan ligger som ett tal är och ) )! (
1 (
) där (
)
! ( ) ) (
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
1 )
1 (
) 3 (
2
x c
a n x
c R f
R a n x
a a f
a x a f
a x a f
x a f a f x f
n n
n n
Var god vänd.
Uppgift 4. (2p) Beräkna följande integraler
a) (1p)
8x2cos(5x3 dx5) (Tips: substitution) b) (1p)
(4x5)cosxdx (Tips: part. int.)Uppgift 5. (2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 1
0 x , 0 yx2 1
(dvs området som begränsas av x-axeln, y axeln och kurvan y x21) roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln
Uppgift 6. (2p) Lös följande differentialekvation 2x2y2 y2
dx
xdy
Uppgift 7. (4p) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets
om induktansen L=1 henry , resistansen R= 50 ohm, kapacitansen C=
600
1 farad och spänningen U 220 volt. Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen
10 ) 0 (
i och laddningen q(0)1.
Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med Li(t).
Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med Ri(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningenq(t) (coulomb) är lika med
C t
q( )/ , där q(t) i(t).
Uppgift 8. ( 2p) Använd substitutionen y(x)(z(x))1/2 , där z(x)är en ny obekant funktion, för att lösa följande differentialekvation
) ( ) ( ) 2 (
2 y x
x x
x x y
y , där x0 och y0.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.)
a) (1p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)ln(2x2)ln(82x).
b) (1p) Beräkna gränsvärdet
x x
x 1 cos2
5 sin lim1
2
.
c) (1p) Beräkna gränsvärdet
x
x x
x
1 cos1
2 ln limln
1 . d) (1p) Bestäm derivatan till funktionen
) 2 arctan(
3
) 3 ln(
) 2
( x
x x
f
Lösning:
a) ( )f x ln(2x 2) ln(8 2 ) x Funktionen måste uppfylla två villkor:
V1: 2x 2 0 x 1 och
V2: 8 2 x 0 2x 8 (dela med -2) x 4
Definitionsmängden blir därför 1 x 4
b)
2 2
2
1 sin 5 0 5cos5 0
lim , l'H lim , l'H
1 cos 2 0 2sin 2 0
25 sin5
25sin 5 2 25
lim 4cos 2 4cos 4
x x
x
x x
typ typ
x x
x x
c)
1 1
2 2
1
1 1
ln ln 2 0 2 0
lim , l'H lim , l'H
1 cos 1 0 sin 1 0
1 1
2 1 1
lim 2
cos 1 1
x x
x
x x typ x x typ
x x
x x
x
d) 3 arctan(2 ) ) 3 ln(
) 2
( x
x x
f
.
2 2
1 2
3 arctan 2 2 ln 3
1 4 3 arctan 2
x x
x x
f x
x
Svar: a) 1 x 4 b) 25
4 c) –2
d)
2 2
1 2
3 arctan 2 2 ln 3
1 4 3 arctan 2
x x
x x
f x
x
Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 2. (4p) Låt
2
2
4 0 ( ) 0 2
2
xe xx
f x x
x x
. a) Bestäm funktionens definitionsmängd.
b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär.
c) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). d) Rita funktionens graf.
Lösning:
a) Svar: x<2
b) Statationära punkter till f(x)är lösningar till ekvationen f x( ) 0 . Genom att derivera enligt deriveringsregler ( i de inre punkterna av de två definitionsintervallen) får vi
2 2
2
2
4 8 0
( ) 2 2
0 2
2
x x
e xe x
f x x x x
x x
Notera att vi måste separat undersöka vänster‐ och högerderivatan i punkten x=0.
b1) Eventuella stationera punkter för x : 0
För x gäller: 0 2 2 2
14 8 0 4 1 2 0 1 2 0 1
2
x x x
e xe e x x x
(som uppfyller kravet x ) . 0 Därmed är 1 1
x en stationär punkt. 2
Teckentabell för f x( ):
x‐värden 1
x 2
1
2
1 2 x
( )
f x + 0 ‐
visar att 1
x 2 är en maxpunkt.
b2) Eventuella stationera punkter för 0 :x 2
2 2
2
2 2
2 32 2 4
0 0 4 0 4 0 0 , 4
2 2
x x x x x
x x x x x x
x x
.
Punkten x3 ligger utanför intervallet 04 och ska därför förkastas i den här x 2 delen. Punkten x2 är en ändpunkt till definitionsintervall och man behöver därför 0 undersöka om f x( ) är deriverbar i denna punkt dvs om vänster‐ och högerderivatan är lika i denna punkt.
b3) Notera att vi måste separat undersöka vänster‐ och högerderivatan i punkten x=0 (som är en gränspunkt till definitionsintervallen) .
Vi kan undersöka vänster- och högerderivatan till
2
2
4 0 ( ) 0 2
2
xe xx
f x x
x x
enligt definitionen. Vi har
4 ) 4 ( 0 lim
0 lim 4
0 ) 0 ( ) lim ( ) 0
( 2
0 2
0
0
x
x x
x
x e
x xe x
f x
f f
2 0 0 lim
2 0 0 lim
) 0 ( ) lim ( ) 0
( 0
2
0
0
x
x x
x x
x f x f f
x x
x .
Med andra ord är vänster och högerderivatan olika, som medför att f x( ) inte är deriverbar i punktenx0 . (Punkten x=0 är därmed inte en stationär punkt.)
Alternativ: Eftersom funktionen är kontinuerlig i punkten x=0 (enkelt att kolla) kan vi även undersöka
lim0
x f x
och
lim0 x
f x
(som är enklare den här gången).
Vi har
2 0
2 0 2
lim 4 1 2 4 1 1 0 4
4 0
lim 0
2 4
x x
x
e x
x x
x
Alltså är x kontinuerlig i punkten x=0 medan 0
0 0
lim lim
x x
f x f x
. Med andra
ord är vänster och högerderivatan olika, som medför att f x( ) inte är deriverbar i punkten 0
x .
Svar b: Det finns en stationär punkt: 1
x 2 ( som är en maxpunkt).
c) Undersöker om det finns horisontella asymptoter:
för x gäller: 0 lim 4 2 lim 42 ,l'H lim 42 0 2
x
x x
x x x
xe x typ
e e
Alltså är y en horisontell asymptot då x går mot 0 (dvs vänster horisontell asymptot. (Notera att funktionen inte är definierad för x2.)
Vertikala asymptoter:
2
lim2
2
x
x
x
vilket betyder att x2 är en vertikal asymptot
Svar c: Funktionen har en (vänster) horisontell asymptot är y 0 och en vertikal asymptot x2.
d) Vi använder ovanstående beräkningar för att rita grafen. (Funktionens värde i stationära punkten är ( 1) 2 1 0.7
f 2 e )
Rättnin
Uppgift a) Bestä b) Bestä Tips: Ta
där ) (
R x f
Lösning Vi beräk
x f( )
x f( )
x f ( )
x f ( ) Taylorp
) (x
P
( 1 0
6 x1
ngsmall: 1p
t 3. (4p) äm Taylorp äm approxim aylors form
)! ( 1 (
) (
( ) (
) 1 (
n c f
a f a f
n
g:
knar sinx, f
cosx
, f sinx
, cosx
,
polynomet a ( ) (a f a
f
!( 2 ) 0 0
x
x3
p för varje d
olynomet av mativt sin(0 mel kring pun
o )
) )(
a 1
x a x a
n
0 ) 0 ( f
1 ) 0 ( f
0 ) 0 ( f
f (0) av ordning 3
) )(x a
a
2
! 3 ) 1 0 (x
del.
v ordning 3 0.1) och upp
nkten A är
ett ta är och
! ( 2
) (
c
a a x
f
1 3 är
! ( 2
) (a x a f
)3
0 (x
3 kring punk pskatta felet
ligge som al
! 3
) )2 f (a
a
2
! 3
) ) f (a
a
kten x0 t.
o a mellan er
)
)( 3
a x
)3
)( a x
för funktion
. och
! )
)(
(
x n
a f n
(där a=0)
nen ysin
) )(
a x n
) n( x .
R
b) 6000 599 6000
1 10 1 1 . 60 1 1 . 0 ) 1 . 0
sin( 3
Felet ges av formeln ( 1) ( ) 1 )!
1 (
)
(
n x a n n
c R f
För att uppskatta felet beräknar vi även x
x
f(4)( )sin dvs f(4)(c)sinc. Vi har
240000 ) sin
1 . 0
! ( 4 ) sin 0 1 . 0
! ( 4
)
( 4 4
) 4
( c c c
R f .
Eftersom |sinc|1 har vi uppskattning
240000
| 1 240000
| sin
|
| c
R .
Svar:
a) 3
6 ) 1
(x x x
P
b) 6000
) 599 1 . 0
sin( där
240000
| 1
| felet
Rättningsmall:
a) 1p om alla derivator till och med ordning 3 är korrekta. 2p om allt är korrekt.
b) 1p för 0.13
6 1 1 . 0 ) 1 . 0
sin( .
1p för feluppskattning.
Uppgift 4. (2p) Beräkna följande integraler
a) (1p)
8x2cos(5x3 dx5) (Tips: substitution) b) (1p)
(4x5)cosxdx (Tips: part. int.)Lösning:
a)
8x2cos(5x35)dx
8cos(v)15dv C x
C
v sin(5 5) 15
sin 8 15
8 3
b)
(4x5)cosxdx
uv uvdx
(4x 5)sinx 4sinxdx
C x x
x
(4 5)sin 4cos Svar a) sin(5x )5 C
15
8 3
b) (4x5)sinx4cosxC Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 5. (2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 1
0 x , 0 yx2 1
(dvs området som begränsas av x-axeln, y axeln och kurvan y x21) roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln
Lösning:
a)
15 28 0 ]1 2 3
[ 5
) 1 2 ( 1
) (
3 5
1
0
2 4 1
0 2 2 1
0
2
x x x
dx x
x dx
x dx x f Vx
b)
2 3 0 ]1 2 [ 4 2
) (
2 1 2
) ( 2
2 4
1
0 3 1
0 2 1
0
x x
dx x x dx
x x dx
x xf Vy
Svar a) 15
28 b) 2 3
Subs: 5x3 5v, dv
dx x2
15 ,
15
2 dv
dx
x
Part. int: u x4 5 , vcosx u4 vsinx
Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 6. (2p) Lös följande differentialekvation 2x2y2 y2
dx
xdy
Lösning:
Vi separerar variabler:
2 2
2x2y y dx
xdy
2 2 1) 2
( x y
dx
xdy
(Notera att konstanta funktionen y=0 är en uppenbar lösning till DE. ) Om y≠0 (och x≠0) har vi
x dx x y
dy 2 1)
(
2 2
Vi integrerar båda leden
dyy2 (2x2x1)dxdvs.
y2dy (2x1x)dx,och får
y x x C
|
| 1 ln
2 1
eller 1 ( 2 ln| | ) C x
y x . Lösningen kan skrivas på explicitform:
C x y x
|
| ln
1
2
Svar:
C x y x
|
| ln
1
2 är den allmänna lösningen. (Ekvationen har dessutom en s.k.
singulär lösning y=0.)
Rättningsmall: 1p om man kommer till
dyy2
(2x2x1)dx.2p om man kommer till y x x C
|
| 1 ln
1 2
.
Uppgift 7. (4p) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets
om induktansen L=1 henry , resistansen R= 50 ohm, kapacitansen C=
600
1 farad och spänningen U 220 volt. Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen
10 ) 0 (
i och laddningen q(0)1.
Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med Li(t).
Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med Ri(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningenq(t) (coulomb) är lika med
C t
q( )/ , där q(t) i(t). Lösning:
Från kretsen får vi följande diff. ekv.
) ( ) 1 ( ) ) (
( q t u t
t C dt Ri
t
Ldi
dvs ( efter subst. L, R och C) 220 ) ( 600 ) ( 50 )
(
t i t q t
i (ekv 1) .
Vi eliminerar q(t) genom att derivera ekvationen (notera attq(t)i(t)).
Vi får
0 ) ( 600 ) ( 50 )
(
t i t i t
i (en homogen DE).
Härav i(t)C1e20t C2e30t.
För att bestämma C1 och C2 använder vi begynnelsevillkoren i(0)10 och q(0)1. Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar i(0)10i lösningen
t
t C e
e C t
i( ) 1 20 2 30 och får
2 10
1 C
C (ekv a)
För att få ett villkor som innehåller i(0) substituerar vi q(0)1 (och i(0)=10) i startekvationen
220 ) ( 600 ) ( 50 )
(
t i t q t
i (ekv 1) .
Vi får i(0)50i(0)600q(0)220 dvs i(0)50106001220 som ger i(0)880
Nu kan vi använda
t
t C e
e C t
i( )20 1 20 30 2 30 och få andra ekv på C1, C2:
880 30
20 1 2
C C (ekv b) Från (ekva ) och (ekvb ) har vi
158
C , C2 68
Slutligen i(t)58e20t 68e30t. Svar: i(t)58e20t 68e30t.
Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen 1 ( ) ( ) )
( )
( q t u t
t C q R t q
L ,
där q(t)är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen i(t)q(t). Rättningsmall:
Korrekt till i(t)50i(t)600i(t)0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q(t)) ger 1p.
Korrekt till i(t)C1e20t C2e30t ger totalt 2p.
Korrekt i(0)880 ger +1p Allt korrekt =4p.
Uppgift 8. ( 2p) Använd substitutionen y(x)(z(x))1/2 , där z(x)är en ny obekant funktion, för att lösa följande differentialekvation
) ( ) ( ) 2 (
2 y x
x x
x x y
y , där x0 och y0. Lösning:
Substitutionen y(x)(z(x))1/2 ger y z21z 2
1 .
Detta substitueras i ekvationen
) ( ) ( ) 2 (
2 y x
x x
x x y
y och fås
2 / 1 2 / 1 2
1 2
2 2 1
z x x
z z
z
.
Multiplikation med z1/2 ger en linjär DE x x
z 2 z .
En Integrerande faktor är 2ln| | ln| |2 2
2
x e
e e
e
F Pdx xdx x x .
Nu är )
( 4 ) 1 1 (
) 1 (
)
( 2 2 2 3 2 4
1 x
x C dx x x C
dx x x x C
Qdx F C F
z
.Från substitutionen yz1/2 har vi
2 / 4 1
2 )
( 4
1
x
x C
y ( den allmänna lösningen).
Svar:
2 / 4 1
2 )
( 4
1
x
x C
y
Rättningsmall:
Korrekt till x
x
z 2 z ger 1p. Allt korrekt=2p.
