Självständigt arbete II, 15 hp
Introduktion av bråk
- en learning study i årskurs 4
Introduktion av bråk
-en learning study i årskurs 4
Introduction to fractions
-a learning study in grade 4
Abstrakt
Syftet med studien är att kartlägga årskurs fyra elevers bråkkunskaper och utforma lektioner som på bästa möjliga sätt bidrar till elevernas lärande.
Vi har valt att använda oss av en learning study. I metoden kartläggs elevernas förkunskaper och kritiska aspekter identifieras. Dessa kritiska aspekter ligger till grund för hur lektionerna utformas. Efter två lektioner genomförs ett eftertest som ligger till grund för analysen av resultatet.
Studien lägger vikt vid variationsteori, multipla representationer och tranformationer. Genom lektionsplanering utifrån ovannämnda teorier och med elevernas kritiska aspekter i fokus visar resultatet i studien att genomförandet gav eleverna goda möjligheter för lärande och utveckling.
Nyckelord
Bråk, learning study, lärandeobjekt, multipla representationer, transformationer, variationsteori
Tack
Vi vill tacka varandra för ett intressant och givande samarbete. Vi vill även rikta ett stort tack till vår handledare Andreas Ebbelind som bidragit med många intressanta idéer och diskussioner.
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 1 2 Syfte________________________________________________________________ 2 3 Teoretisk bakgrund ___________________________________________________ 3
3.1 Learning study ___________________________________________________ 3
3.1.1 Variationsteori och lärandeobjekt _________________________________ 3 3.1.2 Lesson och learning study _______________________________________ 4
3.2 Representationer och representationsformer ____________________________ 5
3.2.1 Multipla representationer _______________________________________ 6 3.2.2 Transformationer mellan representationer __________________________ 6
4 Bråkforskning _______________________________________________________ 8 4.1 Introducera bråk __________________________________________________ 8 4.1.1 Nämnarens innebörd ___________________________________________ 9 4.1.2 Täljarens innebörd ____________________________________________ 9 4.1.3 Bråkets oändlighet ____________________________________________ 10 4.1.4 Sammanfattning introducera bråk ________________________________ 10
4.2 Bråkets många aspekter ___________________________________________ 11
4.2.1 Bråk som tal _________________________________________________ 11 4.2.2 Bråk som del av en helhet ______________________________________ 11 4.2.3 Bråk som del av antal _________________________________________ 11 4.2.4 Bråk som proportion __________________________________________ 12
4.3 Elevers bråkinlärning _____________________________________________ 12 4.4 Fortsatt bråkräkning ______________________________________________ 13
4.4.1 Addition och subtraktion av bråk med likadan nämnare ______________ 13 4.4.2 Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare ________________ 14 4.4.3 Multiplikation med bråk _______________________________________ 14 4.4.4 Division med bråk ____________________________________________ 14
4.5 Laborativt material _______________________________________________ 15
5 Metod _____________________________________________________________ 17
5.1 Val av metod och genomförande ____________________________________ 17 5.2 Urval __________________________________________________________ 19 5.3 Databearbetning _________________________________________________ 19 5.4 Etiska överväganden ______________________________________________ 19 5.5 Tillförlitlighet ___________________________________________________ 20
6 Resultat och analys __________________________________________________ 21
6.5 Sammanfattning av resultat ________________________________________ 29 7 Diskussion __________________________________________________________ 30 7.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 30 7.2 Resultatdiskussion _______________________________________________ 31 7.3 Fortsatt forskning ________________________________________________ 32 Referenser ____________________________________________________________ I Bilagor _____________________________________________________________ III
1 Inledning
Som lärare har vi ett stort ansvarsområde. Utöver undervisning är läraren även ansvarig för föräldrakontakt, elevkontakt, individuella handlingsplaner och dokumentation. I lärarens uppdrag ingår det även att fostra eleverna till att bli välfungerande samhällsmedborgare. Det innebär att en del av lärarens arbetstid går åt till annat än planering och genomförande av lektioner. Läraren har, som beskrivs ovan, ett komplext uppdrag som ställer högra krav på lärarens individuella skicklighet för att nå resultat i undervisningen. Vad som definierar en skicklig lärare är inte helt enkelt att svara på, det beror nästan alltid på de rådande omständigheterna.
I vår grundlärarutbildning har stora delar fokuserat på att läraren bör se varje individs behov och utgå från deras befintliga kunskap och bygga vidare på den. Utbildningen har också visat att lärare aldrig blir fullärda, utan vi lär för livet. Utifrån våra erfarenheter från lärarutbildning och i utbytet med personal vill vi arbeta för en öppnare klassrumsmiljö där lärare lär av varandra under hela yrkeslivet.
Vår nyfikenhet har letat sig fram till asiatiska länders sätt att undervisa matematik, nämligen att lösa en uppgift med så många olika metoder som möjligt. Detta kan jämföras med västvärlden som löser mängder av uppgifter med en och samma metod. Genom flera representationer och omvandlingarna, transformationerna, där emellan verkar det som att Asien har hittat ett vinnande koncept för matematikundervisning. Vidare välkomnar asiatiska länder, med Japan i spetsen, öppna klassrum och diskussioner kring undervisning. De använder kontinuerlig, ofta lokal, kompetensutveckling. Den vanligaste metoden kallar de “Jugyou kenkyuu” som översätts till lesson study. Vid en lesson study deltar en grupp, ofta ett arbetslag på en skola, och arbetar tillsammans för att utforma bästa möjliga undervisning. (Holmqvist 2006).
2 Syfte
3 Teoretisk bakgrund
Den teoretiska bakgrunden är uppdelad i två avsnitt där vi behandlar, för studien, relevanta teorier. Teorierna som berörs är variationsteori via learning study, samt representationsformer.
3.1 Learning study
Uppsatsen genomförs med metoden learning study, en metod som är tänkt att utveckla lärandet om undervisning utifrån den fenomenografiska ansatsen. Vi inleder med en redogörelse över learning studymetodens teorier. I en learning study utgör variationsteorin teoretiskt utgångspunkt.
3.1.1 Variationsteori och lärandeobjekt
Den grundläggande utgångspunkten för variationsteori är att lärandet inträffar först när nya perspektiv förtydligas. Holmqvist Olander (2013) menar att lärare kan få stöd och hjälp av variationsteorin när de väljer att undervisa ett specifikt innehåll. Variationsteorin hjälper även läraren att finna de kunskaper och förmågor, kritiska aspekter, som elever ska utveckla med hjälp av det utvalda innehållet.
Lärandeobjektet beskrivs som en förmåga, färdighet eller ett område som eleverna ska förbättra sina kunskaper inom, i detta arbete behandlas bråk. Ofta delas lärandeobjektet in i följande tre perspektiv (Marton och Tsui 2004; Holmqvist 2006):
Intentionellt lärandeobjekt - Tanken bakom lektionen eller planeringen som visar vad läraren har tänkt att eleverna ska lära sig eller utveckla genom undervisningen av lärandeobjektet.
Iscensatt lärandeobjekt - Beskriver vad eleverna upplever att de haft möjlighet att lära sig av undervisningen. Vilka möjligheter och hinder fanns under lektionen och påverkade de elevernas kunskaper? Vilka förutsättningar fanns eller saknades och förstod eleverna verkligen vad som togs upp i undervisningen.
Erfarna lärandeobjektet - Här beskrivs vad eleverna faktiskt har lärt sig när lektionen är till ända. Eleverna har ofta lärt sig något även om det inte alltid är vad läraren hade planerat.
Exempel - Om läraren vill att eleverna ska få förståelse för att en tredjedel av en cirkel är lika stor del som två sjättedelar, det intentionella lärandeobjektet, genom att använda bråkcirklar med både tredjedelar och sjättedelar som eleverna placerar på varandra, två sjättedelar läggs på en tredjedel, iscensatt lärandeobjekt. Efter lektionens slut har eleverna fått för sig att en tredjedel är större än två sjättedelar eftersom det räckte med en fraktion av tredjedelen medan det behövdes två sjättedelar, erfarna lärandeobjekt, så stämmer inte lärarens intentionella lärandeobjekt överens med elevernas erfarna lärandeobjekt. Eleverna, tillsammans med läraren, har då inte kommit fram till och förstått den kritiska aspekten i undervisningen.
Inom variationsteorin förekommer fyra principer:
Separation - När ett lärandeobjekt delas in i flera kritiska aspekter och hanteras enskilt utan att påverka de andra kritiska aspekterna.
Fusion - När elever förstår samtliga delar av lärandeobjektet och har insikt i hur de hanterar de flesta kritiska aspekter.
(Holmqvist 2006)
Variationsteorin tar inte hänsyn till varken lärares ledaregenskaper, motivation eller hur eleverna arbetar. Istället läggs fokus enbart på lärandeobjektet och dess kritiska aspekter. Förr ansåg flera forskare att upprepad repetition var vägen till kunskap, ett synsätt som idag kombineras med variation. Genom att repetera och variera sin undervisning har elever större möjligheter att få bestående kunskaper. Då vi alla ser objekt på olika sätt utifrån våra tidigare erfarenheter kan vi genom samtal med varandra se flera varianter kring samma objekt och därigenom utvidga vår förståelse. Kunskap och lärande är tätt sammanbundet med att uppleva sin omgivning på flera olika sätt. Det är upp till läraren att göra detta genomförbart för elever så att de kan erfara nya och kunskapsgivande perspektiv av ett specifikt lärandeobjekt (Holmqvist 2006, Holmqvist Olander 2013).
Kritiska aspekter är de moment i lärandeobjektet som eleverna, med hjälp av undervisning, måste upptäcka och utforska för att förstå lärandeobjektet. Om eleverna urskiljer de kritiska aspekterna eller inte beror huruvida undervisningen är varierad eller invarierad. Lärarens förståelse och planering kan därför vara avgörande (Marton och Tsui 2004).
3.1.2 Lesson och learning study
Lesson study är en metod som härstammar ifrån Japan och används frekvent i Asien med stor framgång. Metoden används för att genomföra, utvärdera och förbättra ett lektionsinnehåll, det är undervisningen som är i fokus. Vanligtvis deltar ett halvt dussin lärare som tillsammans utformar och analyserar lektioner för att förbättra innehållet. En lesson study pågår under en längre tid, ibland upp till ett år. Det första som bestäms när en lesson study ska genomföras är inom vilket problemområde arbetet ska genomföras. Det kan vara generella mål så som att öka elevernas intresse eller ett matematikområde, exempelvis bråkräkning. När området är bestämt planeras en lektion utifrån målet att det ska vara ett effektivt lärotillfälle med möjligheten att kunna identifiera vilka delar som är kritiska för elevernas lärande. När planeringen är färdig genomförs lektionen av en lärare samtidigt som de andra observerar. Lektionen utvärderas och omarbetas för att sedan utföras igen i en ny klass. Lektionen kan på detta sätt utvärderas och revideras så många gånger som lärarna önskar. Lesson study ger de verksamma lärarna möjlighet att utveckla sin undervisning och kunskap (Holmqvist 2006).
Learning study har utvecklats utifrån lesson study. Likt lesson study karakteriseras learning study av att lärare kollegialt utformar planering och utvärdering av undervisning. Båda metoderna bygger på ett cykliskt förlopp där metoden kan genomföras så många gånger som är önskvärt. Metoderna är menade att utveckla elevers såväl som lärares kompetens.
3.2 Representationer och representationsformer
För att kunna utgöra skillnaden mellan konkret och abstrakt kan dessa ses som två motsatser där representationer är vad som binder dem samman (Engström 2002, Wittman 2005). Taflin (2007) beskriver representationsformer som en bro mellan konkret och abstrakt. Wittman (2005) menar att representationer fungerar som konkretisering av abstrakta begrepp inom matematiken men även som en abstraktion av konkreta föremål, representationer kan alltså gå åt båda håll.
Behr et al. (1983) och Hiebert och Carpenter (1992) gör en uppdelning av representationsformer i interna och externa. I de interna representationerna är personens egna, inre, tankar. Externa representationer omfattar bilder, symboler, tecken och andra olika uttrycksformer. De externa representationerna hjälper oss att kommunicera matematik och de interna representationerna hjälper oss att tolka och bearbeta den nyvunna informationen inom oss.
Engström (2002) delar in matematikens representationsformer i följande tre delar: symbolisk, ikonisk och schematisk. En symbolisk representation går mot den abstrakta matematiken och innefattar bland annat algebraiska uttryck och diverse siffersymboler. En ikonisk representation innebär oftast en bild av uppgiften, exempelvis kan 12 ikoniseras med en halv cirkel eller en halv tårta. Den schematiska representationen utgörs av tabeller och grafer. Det är genom dessa representationer matematiken blir tolkningsbar och får en mening som elever kan använda sig av (Engström 2002).
Duval (2006) menar att en representation är en blandning av ikoner, tecken, bilder eller material som betyder, representerar, något annat än sig självt. Exempelvis kan en tredjedel representeras med symbolen 13 eller med hjälp av en bild på ett äpple delat i tre lika stora delar. Representationer är inte enbart externa, utan även interna där individens mentala konstruktioner bildar en representation. Wittman (2005) nämner att en representation kan ha olika innebörd för olika personer då vi har olika uppfattningar av världen omkring oss, därav vikten av att använda fler än en representation inom matematiken. Ett matematiskt objekt representeras på flera olika sätt.
Taflin (2003) gör följande tolkning av McCoy, Baker och Littles (1996) indelningar av representationsformer:
Konkret representation - ett fysiskt material som används för att avbilda ett objekt eller problem.
Språklig representation - när vårt naturliga språk används, talas eller skrivs.
Aritmetisk representation - matematikens symboler används.
Grafisk representation - bilder och avbildningar av aktuellt undervisningsområde med hjälp av exempelvis tabeller, areor, objekt och grafer.
Konkret representation - bråkcirklar och bråkremsor.
Språklig representation - benämner och skriver bråken som "en halv" osv. Aritmetisk representation - benämner bråken som 12 , 14 osv.
Grafisk representation - ritar på tavlan och användning av PowerPoint.
Vi kommer även använda Behr et al. (1983) och Hiebert och Carpenters (1992) definition av interna och externa representationer.
3.2.1 Multipla representationer
Ainsworth (1999, 2006) menar att det finns tre elementära perspektiv som bör uppmärksammas vid arbete med multipla externa representationer. Dessa är:
Design - Hur lärotillfället är utformat och antalet representationer. Multipla representationer använder minst två representationer och författaren menar att antalet representationer kan ha en avgörande roll vid inlärningen av matematik. Författaren poängterar dock att det inte finns anledning att gå till överdrift då ett för stort antal representationsformer samtidigt kan ha en negativ effekt.
Funktion - Författaren presenterar följande tre huvudfunktioner: komplementerande, begränsande och fördjupade funktioner.
Den komplementerande funktionen visar att representationer berikar matematisk information på olika sätt och att kombinerandet av flera representationer kan gynna förståelse för densamma. Eleverna kan därför gagnas av representationernas starka sidor, de komplementerar varandra, och får ut mer av läromomentet (Ainsworth 1999, 2006).
Den begränsande funktionen visar att representationer komplementerar varandra på olika sätt, här genom att en representation definierar innebörden av en annan representation. Funktionen tillför ingen ny information utan bistår istället med att förenkla den information som redan finns så att elever lättare kan interpretera representationerna (Ainsworth 1999).
Den fördjupade funktionen innebär att elever behöver förstå representationernas relation till varandra för att profitera på multipla representationer och dess fördelar (Ainsworth 2006).
Kognitiva förutsättningar - Elever har olika kognitiva förutsättningar och alla elever är olika, detta måste beaktas även vid arbetet med multipla representationer och det är upp till läraren att lokalisera de faktorer som inverkar på svårigheten. Därefter anpassas representationerna i en ny kombination med den enskilda elevens nivå i åtanke (Ainsworth 2006).
3.2.2 Transformationer mellan representationer
transformationer kan innebära svårigheter för vissa elever. Både Duval (2006) och Engström (2002) menar att det finns två möjliga sätt transformationer kan fullbordas på:
Genom att eleven använder symmetriska eller algebraiska lösningsmetoder inom samma system, eller
genom att eleven genomför en transformation mellan olika system, till exempel från vårt talade språk till symboler.
4 Bråkforskning
Nu för tiden används inte bråkformen i lika stor utsträckning som förr. Decimalsystemet har ersatt bråksystemet i hög grad, vilket lett till att bråkräkning knappt används i vardagen. Även i grundskolan har bråkräkningen tonats ner mer och mer de senaste åren (Löwing och Kilborn 2002). De flesta elever har egna erfarenheter kring bråk när de till exempel har delat på äpplen, kakor eller godis i halvor och fjärdedelar (Malmer 2002). Enligt Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, hädanefter benämnd Lgr11, ska eleverna i slutet av årskurs 3 ha: “grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal. Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk” (Skolverket 2011, s. 52). I centralt innehåll i matematik för årskurs 4-6 finner vi följande punkter med anknytning till bråk:
Taluppfattning och tals användning.
Rationella tal och deras egenskaper.
Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer.
Tal i procentform och deras samband med tal i bråk- och decimalform. (Skolverket 2011, s. 49)
Som vi ser i Lgr11 så finns det fortfarande flera mål och syftesformuleringar som nämner bråk inom skolan, även om de är färre än förr. Forskare lyfter fram att bråk är grundläggande och krävs för att eleverna ska kunna utvecklas vidare i matematiken. Bråkräkning är en förkunskap för både decimaltalsräkning samt för algebra. Decimaltal är en form av bråk, multiplikation och division av decimaltal görs på samma sätt som bråk. Ett decimaltal är ett bråk som är skrivet med nämnaren 10, 100, 1000 och så vidare. Utan bråk skulle eleverna inte få den begreppsmässiga grund som behövs för att lyckas med övergången till just decimaltal och algebra (Cramer et al. 2009; Duval 2006; Löwing och Kilborn 2002; Malmer 2002). Forskarna menar också att bråkräkning, trots dess svåröverskådlighet, inte får väljas bort eller försakas då ofullständiga kunskaper och tankegångar kring bråk kan komma att ställa till problem för eleverna på sikt. I Behr et al. (1983) poängteras vikten av att presentera rationella tal på ett sätt så att eleverna kan se skillnaderna och kontrasterna gentemot de naturliga talen. Vidare menar författarna att eleverna upplever bråk fundamentalt annorlunda gentemot tidigare erfarenheter inom matematik och har därför svårt att placera in bråk i sina tankemodeller.
4.1 Introducera bråk
Löwings (2008) didaktiska analyser visar att om eleverna hanterar tre begreppskunskaper så kommer eleverna även kunna hantera de flesta bråkoperationer med full förståelse. Malmer (2002) nämner liknande begrepp men med vissa modifikationer. Författaren poängterar grundläggande additions- och subtraktionskunskaper, något som Löwing (2008) tar för givet. Begreppen är valida när vi utgår ifrån att bråk är en del av en helhet. Eleverna bör alltså vara inbegripna i:
vad nämnaren betyder,
vad täljaren betyder, samt att
4.1.1 Nämnarens innebörd
När vi delar upp en chokladbit i två lika stora delar kallas en av delarna för 12 (vänstra bilden). Om vi däremot delar chokladbiten i tre lika stora delar kallar vi delen för 13 (bilden i mitten). Om vi delar chokladbiten i fyra lika stora delar så kallas en av bitarna för 14 (högra bilden).
För att förtydliga ytterligare för eleverna bör flera representationsformer användas, i detta fall cirklar som vi kallar för pizzor då Behr et al. (1983) och Cramer (2009) menar att elever lättare skapar en intern representation av cirkeln.
Vi ser tydligt att nämnaren visar hur många delar som figuren är uppdelad i.
4.1.2 Täljarens innebörd
Efter att eleven lärt sig vad nämnaren har för innebörd är det dags att lära sig hur täljaren påverkar bråket. Eleven bör förstå att:
2 3 betyder 1 3+ 1 3= 2 · 1 3 , och att 3 4 betyder 1 4+ 1 4+ 1 4= 3 · 1 4 , och att 44 motsvarar en hel, 14+14+14+14= 4 ·14 = 1
Vi förstår nu att täljaren beskriver hur många andelar av helheten som avses.
4.1.3 Bråkets oändlighet
Bråk kan skrivas och förlängas på många sätt. Bråket 12 kan vi förlänga och skriva som
2 4 = 4 8 = 8 16 = 16
32 och så vidare. Bråket 2
3 kan skrivas som 4 6 =
6 9 =
8
12 och så vidare. Det
enklaste och effektivaste sättet att konkretisera detta är att använda "chokladbitsmetoden" från ovan. 34 går att skriva om som 68 =129 =1216 som vi visar nedan med hjälp av figurer:
4.1.4 Sammanfattning introducera bråk
Ovan nämnda begreppskunskaper är viktiga då de hjälper elever att komma fram till rimliga lösningar. Enligt Pong (2000) och Engström (1997) bör eleverna dessutom ha följande grundläggande begreppsförståelse över hur begreppen interagerar med varandra:
Dels bör eleven förstå att nämnaren fungerar som enhet vid bråkräkning.
Eleven måste också förstå att delen (täljaren) och helheten (nämnaren) är sammanlänkade och påverkas av varandra.
4.2 Bråkets många aspekter
Skolverket och nationell bråkforskning gör ingen större skillnad mellan rationella tal och bråk. De menar att rationella tal innefattar både bråk och undergruppen decimaltal samt deras proportionalitet. Ett rationellt tal, bråk, kan skrivas som en kvot av två heltal:
𝐴
𝐵 där A:et är bråkets täljare och B:et, skiljt från noll, är bråkets nämnare (Engström
1997).
Inom stora delar av internationell bråkforskning, främst transatlantisk, görs det dock skillnad mellan rationella tal och bråk. De menar att alla rationella tal går att skriva som ett bråk men ett bråk är inte alltid ett rationellt tal. Exempel på ett bråk som inte är rationellt är √2
2, eftersom kvoten är oändlig utan periodisk upprepning, det vill säga
irrationell.
I denna studie används den nationella distinktionen, att ingen större skillnad görs på rationella tal och bråk. Nedan behandlas bråkets olika “ansikten” utifrån Löwing och Kilborn (2002) samt Löwing (2008). Författarna menar att bråk kan uppfattas på följande sätt.
4.2.1 Bråk som tal
Med utgångspunkt i att bråket är ett rationellt tal så kan alla bråk storleksordnas. Bråken kan även placeras ut på tallinjen, på en bestämd plats, mellan hela tal. För att kontrollera att bråket placerats på rätt plats på tallinjen kan division eller laborativt material användas, exempelvis bråket 3
5 där 3 divideras med 5 och resulterar i decimalformen 0.6.
4.2.2 Bråk som del av en helhet
Vid bråkintroduktion i skolan börjar lärare ofta med att visa eleverna hur en pizza eller tårta delas upp i delar. Denna delning innebär oftast inga problem för eleverna. Delas en pizza upp i två delar så får läraren en halv (t.v.) och skrivs 12 . Delas en chokladbit upp i fyra delar får läraren fyra fjärdedelar (t.h.). Därefter visas hur tre av dessa fjärdedelar adderas 1 4+ 1 4+ 1 4= 3
4. Exempel visas nedan:
4.2.3 Bråk som del av antal
Vid användningen av bråk för att dela upp ett antal, exempelvis vid uppdelningen av 12 stenar i tre lika stora högar, d.v.s. 1
tredjedel. Med hjälp av figuren (t.v.) ska eleverna först bestämma vad en tredjedel av 12 (rad 1) är, vilket resulterar i antalet 4. Eleverna ska även plocka ut två andelar, 23 som motsvarar (13 av 12) + (13 av 12) vilket ger oss 4+4=8. För att knyta an begreppet del av antal med del av helhet måste läraren visa att dessa två uppfattningar hör ihop. Exempelvis kan läraren dela in stenarna i ett rutnät som liknar chokladbiten (t.h.). Därigenom blir det tydligare för eleverna samtidigt som likheten och skillnaderna mellan de båda, del av helhet och del av antal, förankras.
4.2.4 Bråk som proportion
Bråkform används inte ofta i vår vardag, men när så sker är det i form av en storhet, exempelvis som kvart, halvton eller tre kvart. Bråket blir istället en proportion och motsvarar egentligen inte ett bråktal. 15 av 1000 är större än 45 av 100 även om 45 motsvarar en större del än 1
5 i bråkform.
Löwing och Kilborn (2002) sammanfattar dessa aspekter med att poängtera att vanlig bråkräkning i skolan, räknebok och genomgång på tavlan, inte räcker för att eleverna ska greppa de olika aspekter som bråk kan förmedla. Att arbeta målinriktat med bråkets olika aspekter och med olika representationsformer är enligt författarna rätt väg att gå. De belyser även vikten av att bjuda in eleverna till diskussion kring bråk och matematik.
4.3 Elevers bråkinlärning
Generellt är bråkräkning något som lärare upplever komplext och svårt att undervisa i. Behr et al. (1983) menar att bråkräkningen är bland de mest svåröverskådliga matematiska begreppen som eleven kommer att möta under sin skoltid. Dels kan det bero på bristen av bråk i vardagen, men Löwing och Kilborn (2002) menar att det är bristande didaktiska kunskaper hos lärare som är den vanligaste orsaken. Engström (1997) anser att det i längden inte fungerar att låta eleverna lära sig decimalform istället för bråk, något som ofta sker i grundskolan idag. Behr et al. (1983) menar att det finns flera fördelar med att förstå rationella tal.
Den praktiska synvinkeln: Om eleven kan räkna med bråk så kan eleven hantera vardagssituationer och lösa problem som uppstår i vardagen på ett bättre och mer effektivt sätt.
Den matematiska synvinkeln: Likt andra forskare anser Behr et al. (1983) att en förståelse för bråkräkning är utgångspunkten för att förstå algebra senare under skolgången.
Bråktal har alltid ett specifikt värde, som bestäms av helheten, vilket gör att bråkbegreppets svårighet kan påverkas av elevens taluppfattning. Ofta använder elever samma räkneregler vid rationella tal som de tidigare använde vid räkning av naturliga tal. De räkneregler som eleverna har lärt sig är att multiplikation är upprepad additio n och att division är inverterad multiplikation samt att tal representeras med en symbol, inte flera som i bråkräkning. Engström (1997) menar att ett sådant problem grundar sig i just bristande taluppfattning, i synnerhet för rationella tal. I Behr et al. (1983) poängteras vikten av att presentera rationella tal på ett sätt så att eleverna kan se skillnaderna och kontrasterna gentemot de naturliga talen. Då det i grunden är förståelsen som är problematisk och bristande anser Engström (1997) att läraryrket kan lägga mer energi på grundläggande taluppfattning och i synnerhet på tallinjen och de tal som kan representeras där.
Behr et al. (1983) har genom sina undersökningar kommit fram till att tallinjen innebär stora svårigheter när bråk behandlas. Elever har ofta problem med att föreställa sig bråkets koppling till tallinjen, vilket försvårar inlärningen. Författarna tror att det beror på att bråk oftast gestaltas grafiskt som del av helhet i de flesta sammanhang.
4.3.1 Introducera decimaltal före bråktal
Forskare har i sina undersökningar noterat att lärare ofta börjar med att undervisa decimaltal innan bråktal (Engström 1997; Löwing och Kilborn 2002; Löwing 2008). Denna ordning är inte att föredra då decimaltalen är en form av bråk och dess räkneregler i stora drag bygger på bråkräkningen vilket kan leda till att eleverna inte lär sig räknereglerna utan använder dem procedurellt. Om de istället hade gått igenom räknereglerna tidigare vid bråkräkning hade eleverna haft en helt annan förståelse (Löwing 2008). Engströms (1997) forskning visar också att eleverna gör om liknande misstag vid upprepade tillfällen vid bråk på grund av bristande förståelse för gällande räkneregler.
4.4 Fortsatt bråkräkning
De bråkbegrepp vi presenterat tidigare är en nödvändighet för elevers fortsatta bråkräkning. Nedan presenteras utvalda regler och metoder som, enligt forskning, är lämpliga att fortsätta med för att utveckla elevers bråkförståelse.
4.4.1 Addition och subtraktion av bråk med likadan nämnare
När en elev har tillägnat sig den begreppsförståelse som presenteras i avsnitt 4.1 räcker det att eleverna förstår ytterligare en räkneregel för att kunna addera, subtrahera och jämföra bråktal:
Bråk måste ha likadan nämnare, annars går det inte addera, subtrahera eller jämföra dem (Löwing 2008).
material, exempelvis bråkremsor, där eleverna får lägga ut 15+15+15 och 15 bredvid varandra så att skillnaden i storlek blir extra tydlig (Behr et al. 1983). Malmer (2002) menar också att eleverna bör få se bråken utskrivna i text, tre femtedelar och en femtedel, då det kan öka förståelsen för addition med bråk. Därefter får eleverna addera ihop 35+15 , vilket görs genom att addera täljarna 3 + 1 , vilket motsvarar (15+15+15) +
1 5 = 4 5. Vid subtraktion av 3 5− 1
5 används motsvarande beräkning, subtrahera täljarna 3 −
1 för att bestämma differensen, vilket motsvarar (15+15+15) −15=25 Undervisningsmomentet bygger på att visa eleverna att det är jämförandet av täljarna som är viktigast då nämnaren gestaltar enheten (Löwing 2008).
4.4.2 Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare
Då det inte går att addera 2 dl och 4 l med direktaddition måste vi göra om de båda storheterna dl och l, t.ex. 2 dl och 40 dl vilket resulterar i additionen, 2 + 40 = 42 dl. När addition av bråk genomförs gäller samma grundläggande princip. Addition av bråk med olika nämnare är mer komplext för elever. Användningen av begreppsförståelse, det finns oändligt med sätt att skriva tal i bråkform, är fördelaktig i samband med att eleverna får pröva sig fram (Löwing 2008). Efter testande med laborativt material på uppgiften 12+13 bör eleverna se sambandet, med guidning från lärare, att bråket 12 kan förlängas 12=24 =36= 84 och att bråket 13 kan förlängas 13= 26. När eleverna upptäcker att nämnaren blir lika vid ett visst bråk och är jämförbara så kan de gå vidare med additionen, 12+13 =36+26= 65. På samma sätt genomförs subtraktionen, 12−13 =36−26=
1 6.
4.4.3 Multiplikation med bråk
När multiplikation av bråk introduceras bör eleverna vara inbegripna i samtliga begreppskunskaper som nämnts i kapitlet samt känna till multiplikation av naturliga tal. När bråk introduceras i skolan är de flesta elever säkra på multiplikation, men de förstår oftast multiplikationen som upprepad addition (Löwing 2008). Av den anledningen bör fokus ligga på täljarens betydelse. Vid en multiplikation, 2 ·37 , utgår beräkningen ifrån nämnarens betydelse, 37 betyder 17+17+17, som med upprepad addition ger 2 ·37= (17+17+17) + (71+17+17) = 2·37 = 67
Från uträkningen ovan kan elever, med hjälp av lärare, se att 2 multipliceras med täljaren 3. Nämnaren visar eleverna att vi räknar med enheten 17. Även vid multiplikation av bråk menar Malmer (2002) att bråken bör skrivas ut med bokstäver för ökad förståelse. Löwing (2008) menar att elever nu kan använda den associativa lagen för att beräkna 3 ·27 på följande sätt:
3 · 2 ·17= 6 ·17=67 , vilket ger oss räkneregeln 𝑎 ·𝑏𝑐 =𝑎·𝑏𝑐 .
vad nämnaren betyder,
vad täljaren betyder. Vid divisionen
6 7
2 bör först bråket behandlas och redas ut. Täljaren förklarar, som vi
nämnt tidigare, hur många gånger 17 förekommer i bråket 67. Har eleverna den förståelsen så kan de själva dela upp bråket 6
7 = 1 7+ 1 7+ 1 7+ 1 7+ 1 7+ 1
7. Klarar eleverna detta är
nästa steg inte problematiskt, nämligen att dela in ovanstående i två delar (17+17+17) + (17+17+17). Med hjälp av ett strukturerat tillvägagångssätt bör nu eleverna förstå att det är täljaren, antalet sjundedelar som divideras.
Ovanstående metod fungerar väl så länge täljaren är delbar med nämnaren. När täljaren däremot inte är delbar med nämnaren uppstår svårigheter, exempelvis divisionen
2 4
3.
Med hjälp av de tre förkunskaperna som nämns i 4.1 kan divisionen lösas. Då bråk kan skrivas på oändligt många sätt förlängs bråket tills täljaren är delbar med nämnaren (Löwing 2008). 2 4 3 = (2 · 34 · 3) 3 = 6 12 3 = 2 12 = 1 6
Löwing (2008) menar att även invertering av bråk är ett användbart alternativ, men att uträkningen är svår att förklara för eleverna.
2 4 3 = 2 4· 1 3= 2 12= 1 6
Vid både multiplikation och division av bråk finns andra lösningsmetoder som behandlas av Löwing (2008) och Malmer (2002). Författarnas forskning stämmer överens i den mån att de metoder som behandlats i avsnittet är fördelaktiga vid multiplikation och division av bråk eftersom de bygger på samma begrepp som används vid introduktion av bråk.
4.5 Laborativt material
Behr et al. (1983) forskning visar att laborativt material är en, av flera, viktiga representationsformer vid bråkinlärning. Författarna nämner även att det är just transformationerna mellan dessa representationer som skapar lärande i bråk. Forskarna har kommit fram till att det inte finns ett universalt laborativt material för bråkräkning, utan olika områden kräver olika material. Ett material som är behjälpligt för en elev behöver inte vara det för en annan beroende på deras förkunskaper inom matematik. Cramer et al. (2009) lyfter även vikten av att lärarna är kunniga och pålästa om materialet de väljer att använda, något som de upptäckt brister i inom sin forskning. Löwing (2008) och Malmer (2002) poängterar också hur viktigt det är att lärarna är insatta och engagerade när de använder laborativt material. Även om laborativt material hjälper elever att förstå och skapa en inre representation av bråk så behöver eleverna också arbeta med andra representationsformer som språklig, aritmetisk och grafisk representation.
Behr et al. (1983) menar också att det kan underlätta för de interna representationerna om eleverna har en extern representation framför sig då de kan fokusera mer på lärandet. Exempelvis om eleverna har ett laborativt material framför sig när de först introduceras för bråk, skapas en grundläggande intern representation som kan utökas i takt med att svårigheten ökar.
Vilka material som ska användas vid introduktion av bråk varierar något. Behr et al. (1983), Cramer et al. (2009) och Löwing (2008) menar att bråkcirklar är det viktigaste laborativa materialet för att skapa och utveckla mentala inre representationer av bråk. Malmer (2002) och Engström (1997) anser att bråkremsor kan introduceras som första laborativa material. Författarna är dock rörande överens om att det är bråkcirklar och bråkremsor som ska användas vid introduktion av bråk, även om de inte är helt överens om vilket som ska introduceras först. Cramer et al. (2009) menar att bråkcirklar bör ordnas i färger beroende på vilket bråk som representeras samt att cirkeldelarna ska märkas ut med sin aritmetiska representation. I denna studie har vi valt att använda både bråkcirklar och bråkremsor, färgkodade och uppmärkta med bråket, vid genomgångar och lektioner. Utformningen av materialet visas nedan. Anledningen till att vi inte valde ut ett av materialen är, som redogjorts ovan, på grund av att forskningen inte är överens om vilket material som är mest fördelaktigt vid introduktion av bråk.
5 Metod
Det kommande kapitlet ämnar redogöra för val av tillvägagångssätt och genomförande.
5.1 Val av metod och genomförande
I vår studie användes en kvalitativ undersökningsmetod för att undersöka hur bråkundervisning bör utformas för elever i årskurs 4. Patel och Davidson (2003) menar att en kvalitativ metod kan ge djupare och mer detaljerade resultat jämfört med en kvantitativ metod. I vår kvalitativa metod använder vi även en kvantitativ datainsamlingsmetod då Bryman (2011) menar att ett sådant tillvägagångssätt kan gynna undersökningens syfte med förutsättningen att den sekundära metoden ej överskuggar den primära.
Som kvalitativ metod valde vi att använda oss av en learning study. Modellen ses som aktionsforskning då forskaren inte separerar sig från forskningsområdet utan ämnar att påverka det valda området (Bryman 2011). Bell (2000) poängterar att aktionsforskning kan definieras på flera olika sätt, men att det inom skolans värld vanligtvis handlar om lärare som utför forskningen och ämnar att fortsätta utvärdera och utveckla arbetet även efter avslutad studie. Då vi genomförde denna studie partiellt i syfte att utveckla vår egen kunskap som lärare är aktionsforskning en relevant modell till vår studie.
Till aktionsforskning hör lesson study och learning study. Lesson study syftar till att utforma bästa möjliga lektionstillfälle för att undervisa eleverna, det är alltså undervisningen som står i fokus. Undervisningen planeras och utvärderas i grupp, till exempel ett arbetslag på en skola. Fokus i utvärderingen är på lektionens aktiviteter, material och innehåll. Efter genomförd lektion utvärderas lektionen och revideras för att sedan genomföras i en ny elevgrupp. Learning study utgår från elevernas kunskaper och har elevernas lärande i fokus. Utförandet är snarlikt det i en lesson study men analysen av lektionen riktar sig mot att identifiera de kritiska aspekter som bidrar till lärande (Holmqvist 2006). Vi valde att använda oss av en learning study eftersom metod passar väl ihop med studiens syfte.
Vid genomförandet av lektionerna var endast en av oss aktiv i lärarrollen. Forskare 1 genomförde lektion 1 och Forskare 2 genomförde lektion 2.
Holmqvist (2006) förklarar tillvägagångssättet för att genomföra en learning study med ett antal steg som presenteras här. I vår studie har vi utgått från den modellen.
1. Bestäm lärandeobjekt och genomför ett förtest 2. Kartläggning av förtest
3. Planera lektion 1
4. Genomför lektion 1, videofilma lektionen/läraren 5. Analysera lektion 1 och planera lektion 2
6. Genomför lektion 2, videofilma lektionen/läraren 7. Analysera lektion 2
8. Lektionernas resultat analyseras, identifiera avgörande moment som gynnat lärandeobjektet
9. Eftertest genomförs
(Institutionen för didaktik och pedagogisk profession, Göteborgs Universitet 2016)
Nedan beskriver vi kortfattat hur vi genomfört stegen som Holmqvist (2006) nämner. 1. Till vår studie har vi valt bråk som lärandeobjekt. Då vi bestämt att studien skulle genomföras i åk 4 konstruerades ett förtest för att undersöka vilken nivå elevernas kunskaper låg på. Testet bestod av tio frågor med stegrande svårighetsgrad.
2-3. Förtestet rättades och vi analyserade vilken kunskapsnivå klassen låg på. Därefter utformade vi en lektion utefter elevernas förkunskaper med grund i relevant forskning. 4. Vid utförandet av första lektionen placerade vi en videokamera i klassrummet. Kameran placerades på så vis att läraren och whiteboarden, men ingen elev, filmades. 5. Efter genomförandet av första lektionen analyserades den. Vi kontrollerade att det intentionella lärandeobjektet behandlades som planerat och reviderade planeringen. 6-7. Vid lektion 2 placerades kameran på samma sätt. Efter lektionen analyserades genomförandet på samma sätt som lektion 1.
8. Lektionerna analyserades i syfte att identifiera avgörande moment för elevernas lärande av lärandeobjektet.
9. När lektionerna genomförts fick eleverna göra ett eftertest. Eftertestet var identiskt med förtestet vilket innebar att vi kunde identifiera om undervisningen hanterat lärandeobjektets kritiska aspekter.
Då begreppskunskaperna enligt bråkforskningen är kritiska för att förstå och lära sig bråk har vi valt att använda dem som kritiska aspekter vid utformandet av för- och eftertest. För- och eftertest är likadana för att elevernas resultatförändringar ska bli mätbara (Holmqvist 2006). När förtestet har genomförts och analyserats utformas lektionsplanering utifrån de kritiska aspekter som uppmärksammats i förtestet. Lektionsplaneringen kommer även den ha sin grund i representationsteorin och bråkforskningen, som behandlades i avsnitt 3.2 respektive 4.
5.2 Urval
Vi genomförde studien på en skola belägen i ett samhälle i södra Sverige. Till studien har vi använt oss av ett bekvämlighetsurval. Som namnet antyder är det deltagare som finns lättillgängliga för forskaren (Bryman 2011). Läraren i klassen som vi utförde vår studie i är kollega till en av våra tidigare VFU-handledare. Ingen av oss har haft någon tidigare kontakt med klassen. Klassen som deltog i studien är en årskurs 4 med 16 elever. Klassen har inte haft någon bråkundervisning sedan i början på årskurs 3 och ligger därmed på en introducerande nivå.
5.3 Databearbetning
Efter att vi avslutat datainsamlingen förberedde vi vårt empiriska material för det första steget i en kvalitativ analys (Denscombe 2009). Det första steget innebär bland annat att vi säkerhetskopierade materialet och sedan gjorde en sammanställning av insamlat material. Vi gick därefter igenom material och videoinspelningar flera gånger tillsammans då det enligt Denscombe (2009) är viktigt att gå igenom materialet upprepade gånger.
5.4 Etiska överväganden
Vid genomförandet av studien var vi noggranna med att ta hänsyn till de individskyddskrav som Hermerén (2011) skriver om. Individskyddskravet innefattar informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Informationskravet syftar på att de som deltar i en undersökning har rätt att få reda på undersökningens syfte samt att bli informerade om att deltagandet är frivilligt och kan avbrytas när som helst utan konsekvenser. För att upprätthålla informationskravet informerades klassläraren för klassen vi genomförde studien i på förhand via telefon för hur studien skulle genomföras. Eleverna informerades vid första tillfället vi träffade dem.
Det andra kravet är samtyckeskravet som innebär att den som deltar ska ha gett sitt godkännande. Om den deltagande personen inte är myndig ska vårdnadshavare ge godkännande. Då eleverna som deltar i studien varken spelas in på video eller intervjuas behövs ej vårdnadshavares godkännande.
genom att vi har informerat deltagarna om att insamlad data endast kommer att användas inom ramen för det självständiga arbetet. Vi informerade även om att det endast är vi och examinator som kan ta del av insamlad data.
5.5 Tillförlitlighet
För att upprätthålla tillförlitlighet i studien har vi vid presentationen av resultat och analys följt det råd som Denscombe (2009) nämner, att forskarna behöver bortse från de förkunskaper och fördomar de besitter om ämnet för att inte påverka resultatet. Tillförlitlighet i en studie innebär även att om samma studie hade genomförts av andra forskare hade resultatet förblivit detsamma (Denscombe 2009). Genom att redogöra för studiens genomförande uppnår vi högre tillförlitlighet i studien. Men då vi som forskare har deltagit i studien kan vi inte med full säkerhet påstå att studien är helt tillförlitlig. har vi upprätthållit tillförlitligheten i studien i så stor grad som möjligt
Bryman (2011) nämner trovärdighet som att studien måste vara utförd enligt de regler som gäller för den valda metoden samt att det insamlade materialet är utan felaktigheter och förvrängningar. Lektionerna vi genomförde videofilmades för att bibehålla trovärdighet i vårt insamlade empiriska material. Vi valde att videofilma våra lektioner för att underlätta analysarbetet. Med hjälp av videon kunde vi titta tillbaka på lektionen och vara säkra på att vi hade rätt uppfattning av lektionen. Inspelningar kompletterar de naturliga begränsningar som vårt minne besitter (Bryman 2011).
För- och eftertestet har vi rättat och analyserat tillsammans för att diskutera elevernas svar och tankegångar. Lektionerna utformades sedan efter analysen av förtestet. Efter varje lektion tittade vi tillsammans på videoinspelningarna efter kritiska aspekter för lärandet. Vi har valt att analysera allt tillsammans då Patel och Davidson (2003) säger att trovärdigheten i en studie ökar om flera forskare studerar samma sak.
Denscombe (2009) uttrycker överförbarhet som “I vilken utsträckning skulle fynden
kunna överföras till andra fall?" (Denscombe 2009, s.382). Då studien har genomförts i
6 Resultat och analys
Vi har valt att dela upp avsnittet utifrån vilka kritiska aspekter testets frågor behandlar. Vi börjar med att presentera resultat och analys av förtestet. Därefter redogör vi för vår tankeprocess över hur vi valde att designa våra lektioner. Slutligen presenterar vi eftertestet och analyserar studien i sin helhet.
När vi konstruerade testet förbisågs att vi lagt in två frågor i en uppgift. Till exempel uppgift 4a består av två uppgifter. I arbetet kommer uppgifter där så är fallet benämnas som “4a, A” respektive “4a, B”. Då förtestet konstruerades utgick vi från Löwings (2008) tre punkter och använde dem som kritiska aspekter för lärandeobjekt bråk.
vad nämnaren betyder,
vad täljaren betyder, samt att
det finns oändligt med sätt att skriva tal i bråkform.
Vi knöt sedan dessa kritiska aspekter till relaterad bråkforskning och formulerade därefter testets frågor. Nedan presenteras frågor (bilaga A) tillsammans med den bråkforskning som hanterar det specifika området.
Efter förtestsanalysen utvecklade vi en lektionsplanering, intentionellt lärandeobjekt, där vi behandlar vilka kunskaper vi vill att eleverna ska utveckla genom undervisningen av lärandeobjektet Marton et al. (2004) och Holmqvist (2006).
6.1 Fråga 1-3
Frågorna är utformade efter Löwings (2008) forskning om att nämnarens innebörd bör förklaras först vid introduktion av bråk. Utifrån författarens forskning använder vi även pizzabitar för att gestalta nämnarens innebörd. Genom att testa vilka representationer av bråk eleverna behärskar utifrån Taflins (2003) indelning kan vi upptäcka klassens kritiska aspekter.
Analys av svar på fråga 1-3
Tabellen nedan visar elevernas resultat på fråga 1-3. Resultatet visar att eleverna behärskar en halv (uppgift 1) men har vissa problem med en fjärdedel (uppgift 2a). Eleverna visar tecken på bristande kunskaper i den grafiska representationen av bråk. Uppgift 2b visar att eleverna har kunskaper för den språkliga representation medan 2c påvisar problem med den aritmetiska representationen. Uppgift 3 visar på att eleverna har god kunskap i att visuellt jämföra bråk. Löwing (2008) och Löwing och Kilborn (2002) menar att en sådan visuell jämförelse oftast inte skapar problem för elever på en introducerande nivå i bråk och är fördelaktigt att behandla innan andra representationer. De kritiska aspekter vi funnit utifrån analysen av fråga 1-3 är:
Grafisk representation av bråk
Behandling av fråga 1-3 i lektion 1
Då eleverna visade svårigheter med hur en fjärdedel representeras grafiskt och aritmetiskt har vi utformat en övning som ämnar att utveckla de kunskaperna. Eleverna får först höra hur bråket benämns i tal, sedan får de med hjälp av bråkcirklar, konkret representation, se hur en fjärdedel avbildas (Behr et al. 1983). Därefter visas bråkets språkliga och aritmetiska representation. Genom att använda flera representationsformer och transformera däremellan ökar elevernas förståelse menar Ainsworth (2006).
Behandling av fråga 1-3 i lektion 2
Likt lektion ett användes multipla representationer för att behandla de kritiska aspekterna i innehållet. Eleverna har fortfarande kvar sin bråkcirklar men vi introducerar även bråkremsor då bråkcirklar och bråkremsor enligt forskning anses komplettera varandra vid bråk (Behr et al. 1983; Cramer et al. 2009; Engström 1997 Löwing 2008; Malmer 2002). Till denna lektion använder vi en PowerPoint istället för att använda whiteboard under genomgången så att eleverna får ytterligare ett perspektiv. Holmqvist (2006) menar att det är upp till läraren att låta eleverna uppleva varierade kunskapsgivande perspektiv.
Eftertest fråga 1-3
Diagrammet nedan visar elevernas resultat i för- och eftertest för fråga 1-3. Genom eftertestet kan vi urskilja att eleverna har tagit till sig den kunskap som vi genom lektionerna ville förmedla. De aspekter som vi utifrån förtestet ansåg som kritiska anser vi nu som resolverade då elevernas lösningsfrekvens har ökat.
6.2 Fråga 4 och 6
Frågorna är utformade efter Löwings (2008) forskning om täljaren och nämnarens innebörd vid introduktion av bråk. Utifrån Behr et al. (1983) och Löwings (2008) forskning använder vi cirklar och rektanglar för att gestalta bråken. Genom att testa vilka representationer av bråk eleverna behärskar utifrån Taflins (2003) indelning kan vi upptäcka klassens kritiska aspekter.
Analys av svar på fråga 4 och 6
Tabellerna nedan visar elevernas resultat på fråga 4 och 6. Resultatet visar generellt att eleverna har problem med transformationen från aritmetisk representation till språklig och även från aritmetisk representation till grafiskt representation, där den förstnämnda transformationen skapar mest problem. Resultatet visar även att tredjedelar (uppgift 4d och 4e) skapar större svårigheter än en halv och fjärdedelar. Enligt Malmer (2002) kan ett sådant fenomen bero på att de flesta elever har egna erfarenheter kring bråk när de till exempel har delat på äpplen, kakor eller godis i halvor och fjärdedelar.
De kritiska aspekter vi funnit utifrån analysen av fråga 4 och 6 är:
Transformationen från aritmetisk till språklig representation
Behandling av fråga 4 och 6 lektion 1
Behandling av fråga 4 och 6 i lektion 2
Till denna lektion använder vi en PowerPoint vid genomgången istället för att använda whiteboard så att eleverna får ytterligare ett perspektiv. Likt lektion 1 användes ett laborativt material för att skapa bråktalen som behandlades vid lektionen. För att använda oss av olika representationsformer som bidrar till elevernas lärande valde vi att använda bråkremsor istället för bråkcirklar då bråkcirklar och bråkremsor enligt forskning anses komplettera varandra vid bråk (Behr et al. 1983; Cramer et al. 2009; Engström 1997; Löwing 2008; Malmer 2002).
Eftertest fråga 4 och 6
6.3 Fråga 5 och 7
Vid utformningen av fråga 5 och 7 utgick vi ifrån Behr et al. (1983) forskning som säger att elever har problem att placera ut bråktal på en tallinje och i storleksordning. Engström (1997) belyser också att tallinjen bör användas mer vid bråkräkning. Därför skapade vi två olika uppgifter som utformades på ett sätt som ökar våra chanser att hitta kritiska aspekter.
Analys av svar på fråga 5 och 7
I diagrammet som visas nedan ser vi elevernas resultat för fråga 5 och 7. Resultatet visar att storleksordning av bråk och placering av bråk på en tallinje skapar problem för flera elever. Elevers problem med att storleksordna tal kan förklaras utifrån Engströms (1997) forskning där analyser visar att många elever använder tidigare kunskap om taluppfattning och applicerar det, på ett felaktigt sätt, till bråkräkning. Behr et al. (1983) förklarar svårigheter med tallinjen med att bråk ofta gestaltas grafiskt, vilket blir problematiskt att placera in på en tallinje.
Då eleverna kunde ta sig an fråga 5 på olika sätt beroende på hur de löste uppgift 4 upplevde vi det svårt att analysera brister i elevernas tankeprocess. Utifrån det har vi ändå valt ut följande aspekter utifrån analysen av fråga 5:
Transformationen från grafiskt och aritmetiskt till storleksordning. De kritiska aspekter vi funnit utifrån analysen av fråga 7 är:
Hur aritmetisk presentation av bråk kopplas ihop med tallinjen.
Behandling av fråga 5 och 7 i lektion 1
tavlan och förklarade hur bråktal förhåller sig till tallinjen. Efter sambandsbeskrivningen placerade vi in bråken på tallinjen.
Behandling av fråga 5 och 7 i lektion 2
Lektion 2 behandlades på samma sätt som lektion 1 med skillnaden att eleverna fick använda och bygga figurerna med bråkremsor istället för bråkcirklar. Som tidigare i lektion 2 användes en PowerPoint för att ge eleverna ytterligare ett perspektiv. Eftersom PowerPointen gav utrymme, tack vare insparad tid, till mer diskussioner kring storleksordning och tallinjen fick eleverna möjligheten att förklara mer hur de tänkt kring uppgifterna. Under lektion 2 lät vi även eleverna benämna bråkens grafiska representationer aritmetiskt, i kontrast till lektion 1 då forskare 1 benämnde representationerna. Även vid tallinjen fick eleverna placera in bråken med hjälp av oss. Eleverna visade stort engagemang när de fick vara delaktiga.
Eftertest fråga 5 och 7
Diagrammet nedan visar att flera elever har ökat sin förståelse för storleksordning av bråk och tallinjens förhållande till bråk. Trots elevernas utveckling kan vi emellertid fortfarande bedöma området som kritiskt. Engström (1997) menar att lärare behöver lägga mer tid och energi på taluppfattning och hur tal kan representeras på en tallinje, en åsikt som vi delar.
Elev 2 lämnade uppgift 7 blankt på förtestet. På eftertestet hade eleven rätt svar och förklarade lösningen “Jag ritade cirklar och färglade”, bredvid uppgiften kan vi se 3 cirklar korrekt uppritade efter de bråk som uppgiften behandlade.
6.4 Fråga 8-10
Vid utformningen av fråga 5 och 7 utgick vi ifrån Behr et al. (1983) forskning som säger att elever har problem att placera ut bråktal på en tallinje och i storleksordning. Engström (1997) belyser också att tallinjen bör användas mer vid bråkräkning. Därför skapade vi två olika uppgifter som utformades på ett sätt som ökar våra chanser att hitta kritiska aspekter.
Analys av svar på fråga 8-10
Diagrammet nedan redogör för uppgifter 8-10 på förtestet. Resultaten visar att flera elever har bristfälliga kunskaper i att transformera från aritmetisk till grafisk representation när de arbetar med bråk som del av antal. Resultatet kan tyda på att eleverna saknar förankringen mellan del av helhet och del av antal (Löwing 2008). De kritiska aspekter vi funnit utifrån analysen av fråga 8-10 är:
Transformationen från aritmetisk till grafisk representation vid bråk av antal.
Behandling av fråga 8-10 i lektion 1
På grund av tidsbrist behandlades ej fråga 8-10 vid lektion 1.
Behandling av fråga 8-10 i lektion 2
Vid lektion 2 använde vi oss av en PowerPoint för att visa tolv tolftedelar, en helhet. Stegvis splittrade vi upp helheten så att bilden slutligen visade tolv separata figurer, som då visade del av antal. Genom att markera bråket 124 i samtliga figurer jämförde vi likheter och skillnader mellan del av helhet och del av antal utifrån Löwing och Kilborns (2002) preferenser.
Eftertest fråga 8-10
Elev 3 beskrev på förtestet sin felaktiga lösning på uppgift 9 som: “Jag tänkte att den största siffran var 1
6 och den minsta 1
2”. Samma elev svarade rätt på frågan på eftertestet
och förklarade sin tankeprocess såhär: “12 är störst och 16 är minst”.
6.5 Sammanfattning av resultat
Nedan presenteras en sammanställning av resultaten på både för- och eftertest. Tabellen till höger visar elevernas genomsnittliga lösningsfrekvens,
presenterat i antal poäng och procentuellt. Genom grafen och tabellen kan vi utläsa att elevernas
lösningsfrekvens ökat. Generellt kan vi se tecken på att antalet kritiska aspekter i elevernas kunskaper har minskat, men inte fullständigt eliminerats.
Snittpoäng Förtest Eftertest Max 31p 15,9p 26,9p
7 Diskussion
Under detta avsnitt diskuterar vi studiens metod och resultat samt presenterar förlag på vidare forskning.
7.1 Metoddiskussion
Studien behandlade vårt valda lärandeobjekt, bråk, genom en learning study. Learning study fokuserar på elevernas lärande och bestod av förtest, två lektioner och eftertest. Vi anser att metoden har fungerat väl för att kartlägga elevernas förkunskaper och vilka delar som var kritiska inom lärandeobjektet. Utifrån förtestet kunde vi med hög precision planera lektionens intentionella lärandeobjekt som behandlade lärandeobjektets kritiska moment. Eftertestet gav en tydlig bild av vilka kunskaper eleverna hade tagit till sig under genomförda lektioner och om någon del i lärandeobjektet fortsatte att vara kritiskt. För att med större träffsäkerhet utforma lektion 2 kunde intervjuer av elever genomförts så att vi fick höra elevernas uppfattning, iscensatt lärandeobjekt, av innehållet i lektion 1. Lektion 2 kunde då anpassats och behandlat de delar som eleverna saknade eller fann bristfälliga.
Inom området bråk finns stora mängder forskning och litteratur. Vi upplevde vid ett par tillfällen att det var svårt att avgöra vilken forskning som skulle användas till studien. Det är fördelaktigt att utgå ifrån ett par avhandlingar som grund och därigenom hitta vidare till mer relevant forskning och litteratur. Vi insåg, efter att ha läst stora mängder bråkforskning, vilken forskning som ligger till grund för annan forskning och letade därefter upp ursprungskällor. Genom detta något mödosamma tillvägagångssätt har vi utvecklat en bredare kunskap och större förståelse kring bråkbegreppet utifrån både gammal och ny forskning och på så sätt ökat tillförlitligheten i studien. Då studien är utförd som en learning study i enbart en klass är det svårt att dra generella slutsatser. Således medför det svårigheter att svara för studiens överförbarhet.
Konstruktionen av förtestet är vi i överlag tillfreds med. Vi diskuterade om det var en god idé att öka nivån på uppgift 8-10 som behandlar bråk av antal. I efterhand har vi noterat att uppgiften gav relevant insikt i elevernas förkunskaper.
Vid lektionsplaneringen upptäcktes att vi möjligtvis behandlade för många av bråkets olika aspekter och att tiden kunde bli knapp. Vi valde trots detta att genomföra hela lektionsplaneringen med motiveringen att vi överskattat delmoments tidsåtgång. Vid genomförandet av lektion 1 bekräftades våra farhågor då vi inte hade tid till att genomföra alla moment. Det hade varit klokare att göra förtestet och studien något kortare för att kunna fokusera mer på utvalda delar.
Vårt valda sätt att dokumentera via videofilmning upplever vi som gynnsamt då vi kunde gå tillbaka och analysera genomförandet av lektionerna när så behövdes, vilket var till stor hjälp vid resultatanalysen. Inspelningen var även till hjälp för att kontrollera att det intentionella lärandeobjektet faktiskt behandlades som tänkt under lektion 1. Även vid revidering av lektion 1 till lektion 2 hade vi nytta av inspelningen.
upplevas som ett extra projekt istället för vardagsplanering. Därför är det viktigt att både lärare och skolledning hjälps åt så att tid och resurser finns till förfogande.
Överlag är vi nöjda med genomförandet av studien. Vi anser att valet av learning study som metod var gynnsamt för att identifiera och behandla kritiska aspekter av ett lärandeobjekt. Arbetssättet har varit givande för oss i rollen som blivande lärare.
7.2 Resultatdiskussion
Syftet med studien var att kartlägga elevers bråkkunskaper med ett förtest som behandlade introducerande bråkkunskaper. Utifrån karläggningen utformades en lektionsplanering för två lektioner. Undervisningsmomenten följdes av ett eftertest. För att genomföra ovanstående använde vi learning study som metod och struktur. För att vi skulle kunna utforma test och lektioner behövde vi, utöver learning studystrukturen, användbara begrepp inom bråk och representationsteorin som kunde presenteras för eleverna. Utifrån Taflins (2003) tolkning av representationer som en bro mellan konkret och abstrakt tillsatte vi bråkforskningens begrepp i relation till Taflins (2003) indelningar av representationsformer. Begreppen fick då en innebörd som kunde appliceras på learning study och studiens analys och resultat.
Utifrån ovanstående förhållningssätt och baserat på vad forskningen sagt gällande representationer inom bråkintroduktion, valdes representationsformer som vi uppfattade effektiva för elevers förståelse och lärande. Resultatet på eftertestet och elevernas engagemang visar att det har skett ett lärande. Procentuellt har klassens lösningsfrekvens ökat markant efter två lektioner. Att skillnaden skulle vara så stor hade vi inte räknat med, men multipla representationer och transformationer ska enligt behandlad forskning vara ett effektivt tillvägagångssätt vilket vi i vår studie ser tecken på. Holmqvist (2006) och Holmqvist Olander (2013) menar att kunskap och lärande hänger ihop med hur elever upplever sin omgivning och att läraren ansvarar för att eleverna får uppleva olika perspektiv av ett lärandeobjekt.
Genom våra resultat kan vi utläsa att multipla representationer har effekt på elevers förståelse och lärande av bråk (Ainsworth 2006). Genom multipla representationer av olika bråktals storlek och storleksordning har elev 3 gått från en felaktig uppfattning om bråktals storlek: “Jag tänkte att den största siffran var 16 och den minsta 12” till att nu hantera bråk på ett korrekt sätt: “12 är störst och 16 är minst”. En annan elev beskriver hur storleken på bråket ändras i takt med att nämnaren blir större: “Desto fler som delar på pizzan, desto mindre blir bitarna.”
Då vi enbart genomförde undervisning av fråga 8-10 en gång uppfylls inte Holmqvist Olander (2013) kriterier för lärande genom variation av perspektiv. Vid lektion två behandlades fråga 8-10 enbart genom grafisk och språklig representation. Av eftertestets resultat kan vi urskilja att eleverna har större problem med uppgift 8-10 än med övriga delar på testet.
Fördelen med att använda en learning study är dess träffsäkerhet i att kartlägga kritiska aspekter som används för att utforma lektionsplaneringar. Genom en välarbetad lektionsplanering undviks lektioner som genomförs i andan att “bara jobba på” som, oavsett arbetssätt, sällan bidrar till bestående lärande (Löwing 2008). Behr et al. (1983) menar att det inte finns någon genväg till lärande i bråk, lektionerna måste planeras noga för att eleverna ska ha möjlig att ta till sig kunskap.
Studiens resultat har uppnåtts genom ett arbetssätt som förespråkas i en learning study, nämligen att de kritiska aspekterna behandlas på ett sätt som låter eleverna erfara variationer.
