Fluxionsmetoden i teori och praktik – En presentation av fluxionsmetodens grunder och dess tillämpningar enligt Newtons The Method of Fluxions

(1)

U.U.D.M. Project Report 2014:1

Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Staffan Rodhe

Examinator: Veronica Crispin Januari 2014

Fluxionsmetoden i teori och praktik – En presentation av fluxionsmetodens grunder och dess tillämpningar enligt Newtons The Method of Fluxions

Moa Eriksson

Department of Mathematics Uppsala University

(2)

(3)

Sammanfattning

Som blivande gymnasielärare i matematik har jag ett stort intresse av att få en bättre kunskap om bakgrunden till bland annat differentialkalkylen; ett område som utgör en stor del av gymnasiematematiken. Isaac Newton kom under slutet av 1600-‐talet fram till en metod för att lösa kalkylens två problem; att bestämma tangenten till en kurva samt att hitta arean under kurvan. En metod gav han namnet fluxionsmetoden. Detta arbete kommer, med utgångspunkt från Newtons The Method of Fluxions från 1736, att undersöka utvecklingen av fem av Newtons problem kring fluxionsmetoden, från åren 1665-‐1666 då Newton la grunden till metoden, fram till år 1671 då De Methodis Serierum et Fluxionum stod klart; Newtons fullständiga latinska verk som syftade till att presentera fluxionsmetoden. Arbetet kommer även jämföra Newtons fluxionsmetod med motsvarande teori i matematikundervisningen på gymnasiet samt att undersöka hur krökningsproblemet för kurvor skildrades av Newton och samtida matematiker. Genom detta arbete kan vi se att den främsta utvecklingen av fluxionsmetoden, från idé till färdig metod, har skett kring tillämpningar av grunderna till metoden; han har sedermera haft en klar bild kring sina principer från början. Man kan också i flertalet av de undersökta problemen se kopplingar till dagens matematikundervisning. Mest intressant är hur Newton söker förhållandet mellan fluxionerna, 𝑦/𝑥 , vilket vi kan jämföra med hur vi bestämmer derivatan idag; 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Vi kan alltså genom arbetet se att trots att fluxionsmetoden är över 300 år gammal, och kalkylen har utvecklats mycket sedan Newtons tid, är grundprinciperna fortfarande desamma.

Tillkännagivanden

Jag skulle med dessa rader främst vilja rikta ett stort tack till min handledare Staffan Rodhe som med stor entusiasm väglett mig genom detta arbete. Alla tips och råd du gett mig har varit ovärderliga! Jag vill även tacka mina vänner och familj, som trots att de inte varit insatta i ämnet, lyssnat när jag behövt råd och hjälpt mig att slutföra detta arbete.

Nyckelord: Isaac Newton, fluxionsmetoden, fluxioner, matematikhistoria, differentialkalkyl, krökning

(4)

Innehållsförteckning

1 INLEDNING ... 3

1.1 Syfte ... 3

2 METOD ... 4

3 BAKGRUND ... 5

3.1 De Methodis Serierum et Fluxionum ... 6

3.2 Influenser från andra matematiker ... 7

3.2.1 Pierre de Fermat ... 7

3.2.2 René Descartes ... 8

3.2.3 Isaac Barrow ... 9

3.2.4 Johann Hudde ... 10

4 THE METHOD OF FLUXIONS AND INFINITE SERIES: WITH ITS APPLICATION TO THE GEOMETRY OF CURVE-‐LINES ... 10

4.1.1 Metod 1: Den direkta fluxionsmetoden ... 11

4.1.2 Metod 2: Den inversa fluxionsmetoden ... 11

4.2 Disposition av The Method of Fluxions ... 11

4.3 Colsons kommentarer till The Method of Fluxions ... 13

5 NEWTONS PROBLEM I THE METHOD OF FLUXIONS ... 14

5.1 Problem 1: Att hitta relationen mellan fluxionerna givet relationen mellan deras fluenter ... 14

5.1.1 Huddes metod i problem 1 ... 16

5.1.2 Tidigare presentation ... 16

5.2 Problem 2: Att hitta relationen mellan fluenterna givet relationen mellan deras fluxioner ... 17

5.3 Problem 3: Att bestämma maximum och minimum ... 19

5.4 Problem 4: Att rita tangenter till kurvor ... 20

5.4.1 Tangentbestämning i The Method of Fluxions ... 20

5.4.2 Influenser från Descartes… ... 21

5.4.2.1 Newtons tangentmetod från 1665 ... 21

5.4.2.2 Jämförelse med Descartes tangentmetod ... 22

5.4.3 … och Fermat ... 23

5.4.3.3 Newtons tangentmetod från 1666 ... 24

5.4.3.4 Jämförelse med Fermats tangentmetod ... 24

5.4.4 Reflektion kring tangenter ... 25

5.5 Problem 5: Att hitta krökningen i en given punkt på kurvan ... 25

5.5.1 Bestämning av krökning i The Method of Fluxions ... 26

5.5.2 Presentation av krökning i The October 1666 Tract on Fluxions ... 28

(5)

5.5.3 Utveckling av problemet om bestämning av krökning ... 29

5.5.4 Mer om krökning ... 30

5.5.5 Vad andra matematiker har sagt om krökning ... 30

6 DISKUSSION OM KVANTITETEN O ... 33

7 SLUTSATS ... 33

7.1 Möjligheter till fortsatt arbete i ämnet ... 35

8 REFERENSLISTA ... 37

Litteratur ... 37

Tidskrifter ... 37

Websidor ... 38

(6)

1 Inledning

Mitt intresse för differentialkalkylens historia började med en kurs i matematikhistoria under våren 2012. Eftersom jag studerar för att bli gymnasielärare i matematik, visste jag tidigt att jag ville få en bättre förståelse samt kunskap om hur matematiken har utvecklats under åren. Det jag framförallt intresserade mig för var kalkylens historia, eftersom kalkylen tas upp i en väldigt stor del av gymnasiets matematikkurser. Jag tror mycket starkt på att en god kunskap om matematikens historia och utveckling är viktig för både intresset och förståelsen för matematik och hoppas att jag i framtiden har stor nytta av detta examensarbete för att öka intresset för framförallt kalkylen bland elever på gymnasiet.

Att Isaac Newton är en av modern tids största matematiker håller nog de flesta med om. Att många av hans upptäckter återfinns i läroplanen i främst fysik är inte heller någon nyhet. Men, Newton har gjort många stora upptäckter inom matematiken som många idag tyvärr inte vet om. En av hans största upptäckter är de idéer, som tillsammans med teorier från bland annat Gottfried Wilhelm von Leibniz, skulle komma att samlas inom differentialkalkylen.

Newtons bidrag till kalkylen kallas för fluxionsmetoden och är en genomarbetad metod för att undersöka egenskaper hos kurvor. Hans första samlade verk som innehöll teorierna kring fluxionsmetoden färdigställdes 1671 och fick namnet De Methodis Serierum et Fluxionum. Detta verk skrevs på latin och översattes inte till engelska förrän 1736 av John Colson och fick då det fullständiga namnet The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-‐lines.

I följande text kommer jag konsekvent att använda mig av det latinska namnet på verket, De Methodis, då jag pratar om Newtons outgivna original manuskript, samt den engelska titeln, The Method of Fluxions, då jag pratar om John Colsons översättning från 1736. Jag kommer inte göra några detaljerade jämförelser mellan The Method of Fluxions och De Methodis utan enbart studera detta i stora drag. Eftersom Colsons verk är en översättning är det möjligt att det finns vissa skillnader de emellan, men det är ingenting jag kommer titta på.

Detta arbete kommer inledas med att ta upp mycket bakgrundsfakta till fluxionsmetodens uppkomst genom att se på hur samtida matematiker presenterade samma eller liknande problem som Newton gjorde. Därefter kommer en del av Newtons problem från The Method of Fluxions att genomgående förklaras både teoretiskt och genom exempel. Slutligen har jag valt att diskutera den oändligt lilla kvantitet o som Newton använder för att presentera fluxionsmetoden.

1.1 Syfte

Detta examensarbete syftar till att undersöka Sir Isaac Newtons fluxionsmetod som är presenterad i verket The Method of Fluxions and Infinite Series från 1736.

Jag kommer studera Newtons framställning av fluxionsmetoden samt att även jämföra detta med hur han har utvecklat metoden från tidigare presentationer.

Arbetet syftar främst till att undersöka grunderna till fluxionsmetoden, den så kallade direkta respektive inversa fluxionsmetoden, men även att mer noggrant

(7)

undersöka problemet kring krökningen av en kurva; hur detta problem presenterades av både Newton och andra matematiker samt till viss del kopplingen till krökningsproblemet idag.

Vid undersökningen av fluxionsmetodens grunder och uppbyggnad vill jag även jämföra Newtons presentation av problemen med hur dessa presenteras och löses i matematikkurser på gymnasiet.

Jag vill alltså genom detta examensarbete besvara följande frågor:

• Hur stor utveckling av Newtons fluxionsmetod skedde från åren 1665-‐

1666 till färdigställandet av The Method of Fluxions 1671?

• Hur tydlig är kopplingen mellan undervisningen på gymnasiet och Newtons metoder med avseende på de problem jag tittar på?

• Från vilka matematiker hämtade Newton sin inspiration, och hur påverkade detta fluxionsmetoden?

• Hur skildrade Newton krökningsproblemet i The Method of Fluxions, samt hur såg andra matematiker på problemet?

2 Metod

Då detta arbete främst syftar till att undersöka Newtons problem som de är beskrivna i The Method of Fluxions and Infinite Series, kommer detta verk vara min främsta informationskälla. Jag kommer utgå från denna för att undersöka hur Newton framställde problemen i dess slutgiltiga presentation.

Jag kommer i arbetet koncentrera mig på att titta på de fem första problemen som presenteras i The Method of Fluxions. De fyra första av dessa problem ingår alla i gymnasiets matematikkurser, varför jag tror att man som läsare lättare kan relatera till och förstå såväl problemställningen som lösningen av dessa. Jag kommer vid studierna av dessa problem jämföra Newtons lösningar med hur dessa problem löses på gymnasiet med hjälp av den moderna kalkylen.

Förutom att presentera Newtons lösningar till dessa fem problem som han beskrev i The Method of Fluxions, kommer jag att jämföra dessa lösningar med hur Newton presenterade problemen och lösningarna i tidigare skrifter.

Jämförelsen med tidigare presentationer av respektive problem har jag valt att enbart göra med Newtons manuskript från 1665 och 1666. Det var under dessa år som Newton lade den största grunden till fluxionsmetoden. I de fall Newton har presenterat problemet i manuskript från 1665 eller 1666 kommer jag titta på utvecklingen av både problemformuleringen samt lösningen.

Vid studierna kring hur fluxionsmetoden har uppkommit och varifrån Newton fick sin inspiration kommer jag studera modernare sekundärlitteratur som beskriver kalkylens ursprung.

(8)

3 Bakgrund

Sir Isaac Newton är en av de största matematikerna genom alla tider och han har fått mycket uppskattning för det arbete han gjort inom naturvetenskapen. En av hans kanske största upptäckter inom matematiken var hans bidrag till differentialkalkylen; fluxionsmetoden. Fluxionsmetoden skulle däremot inte få ett så stort genomslag bland matematiker från början utan mottogs med en viss skepsis vid uppkomsten. Detta gjorde även att Newton skrev sitt kanske allra största verk, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, enbart med gamla metoder och använde alltså inte sin nyligen uppfunna fluxionsmetod.

I början av Newtons matematiska karriär var de stora problemen för matematikerna att kunna bestämma tangenter till kurvor samt att bestämma arean under en kurva. Alltså de problem som vi senare skulle komma att betrakta som grunderna till kalkylen. Många matematiker före Newton hade jobbat med dessa problem, men utan att förstå hur de var kopplade till varandra.

För att lösa de båda problemen, började Newton under 1660-‐talet att utveckla det som skulle komma att kallas fluxionsmetoden.

Newtons tidiga idéer och utvecklingar av lösningar kring dessa två problem samlade han i det som vi idag har gett namnet The October 1666 Tract on Fluxions.¹ Detta är en samling av Newtons tankar och idéer kring fluxionsteorin, skrivna just 1666, men som aldrig blev publicerade. Tankarna och idéerna som återfinns i The October 1666 Tract on Fluxions tog Newton fram redan året innan, 1665, då han la den största grunden till sin metod. Trots mycket påtryckningar från olika håll vägrade Newton konstant att publicera sina resultat i fråga. I mitten av 1670-‐talet, när Gottfried Wilhelm von Leibniz började redovisa liknande resultat som Newton inom ämnet, började Newton presentera sina idéer i form av brev till olika matematiker runt om i Europa. Eftersom Newton gjorde sina upptäcker publika först efter att Leibniz publicerat sina egna resultat, var det många som tvivlade på att Newton verkligen hade varit först med lösningarna till kalkylens två problem.

Trots att många tvivlade på Newton, och att hans metod inte blev fullt uppskattad i Europa, var det många som såg potentialen i metoden. Men först 1736, alltså nio år efter hans död, gavs The Method of Fluxions ut, som en översättning av Newtons manuskript, De Methodis Serierum et Fluxionum, från 1671.

Problemet med att hitta arean under en kurva hade flera matematiker under 1600-‐talet jobbat med att försöka lösa. Bland de första att göra detta var Evangelista Torricelli² (1608-‐1647) och Bonaventura Cavalieri³ (1598-‐1647). I mitten av 1600-‐talet började även John Wallis⁴ (1616-‐1703) intressera sig för problemet och utvecklade de båda tidigare nämndas teorier till sin egen. Vad som är gemensamt för de alla tre är att de på ett eller annat sätt försökt uttrycka arean under grafen som en summa av små areaelement. Wallis utvecklade till

1 Guiccardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 169.

2 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, 185.

3 Ibid, 125.

4 Ibid, 206.

(9)

stor del Cavalieris teori och lyckades bestämma arean under en kvadratisk respektive en kubisk kurva med hjälp av en serieutveckling.

John Wallis var kanske den matematiker som influerade Newton mest vid bestämning av arean under en kurva. Newton har själv sagt att han hämtade sin inspiration från sina tidiga studier av Wallis mest kända verk, Arithmetica Infinitorum.⁵ Wallis hävdade att detta verk, som behandlade areaberäkningar genom användandet av oändligt smala linjer, inte var till för att skapa nya regler, men att hjälpa matematikerna att vidare utveckla matematiken.⁶

3.1 De Methodis Serierum et Fluxionum

Newtons första samlade manuskript om fluxionsteorin skrevs år 1670-‐1671 och fick namnet De Methodis Serierum et Fluxionum. De Methodis innehöll Newtons samlade tankar kring sina främsta upptäckter i teorin om serier samt om fluxioner.

De Methodis skapades ursprungligen som en utveckling av hans tidigare utgivna verk De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669), en liten skrift som tog upp de resultat kring serier och serieutveckling som Newton då kommit fram till.⁷ Men Newton var inte helt nöjd med De Analysi, och ville inte publicera denna. Istället hade han redan planer på att expandera den och ge en mer omfattande bild av sin metod kring fluxioner.⁸

Därför skapade Newton De Methodis som ett verk med betydelsen att studera hur kurvor beter sig, där han förutom serieutvecklingen från De Analysi även utvecklade sina tidigare arbeten kring tangenter och kvadratur som återfanns i både Newtons anteckningar från 1665 och i The October 1666 Tract on Fluxions.

Från att inleda verket med teorin om serier, följde själva målet med skriften; att undersöka lösningar till problem kring kurvor som är tillämpade genom en rörelse i tiden.⁹

Fluxionsmetoden kan delas upp i två olika delar vilka ger lösningarna till två olika problem som härstammar från den rationella (eller analytiska) mekaniken.¹⁰ Newton kunde alltså dela upp sin metod i den direkta fluxionsmetoden (metod 1) samt den inversa fluxionsmetoden (metod 2). Den direkta fluxionsmetoden innebär i modernt språk att hitta derivatan av en funktion, medan den inversa metoden istället syftar till att hitta den primitiva funktionen. Mer om vad dessa metoder innebär och hur de fungerar förklaras kort i avsnitt 4.1.1 respektive 4.1.2.

I De Methodis får vi definierat grunderna i Newtons nya metod. Han väljer att definiera de kvantiteter som genereras av tid för fluenter och de momentana hastigheterna av dessa kallar han för fluxioner. Fluenter är, vanligen hos Newton, alltså kvantiteterna x, y, z och så vidare. Så här skriver han i The Method of Fluxions:

6 Ibid, 211.

7 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 12.

8 Burton. The History of Mathematics, 391.

10 Newton. The Method of Fluxions, xxi.

(10)

Now those Quantities that I consider as gradually and indefinitely increasing, I shall hereafter call Fluents, or Flowing quantities, and shall represent them by the final Letters of the Alphabet v, x, y and z […]. And the Velocities by which every Fluent is increased by its generating Motion, (which I may call Fluxions, or simply Velocities or Celerities,) I shall represent by the same Letters pointed thus 𝑣, 𝑥, 𝑦 and 𝑧.¹¹

Men Newtons notation har ändrats flera gånger under utvecklingen av fluxionsmetoden. I de första presentationerna av metoden representerade han fluxionerna med hjälp av bokstäverna l, m, n och r. Det vill säga m var fluxionen för kvantiteten x, n fluxionen för y och så vidare.¹² Det var inte förrän år 1691 som Newton ändrade sin notation till de mer praktiska prickade notationerna.¹³ Nu betecknades fluxionen för x med 𝑥 och den för y med 𝑦.

I De Methodis från 1671 använder Newton som förklarat ovan, bokstaven m som fluxionen av x samt bokstaven n för fluxionen av y.¹⁴ Däremot används istället en notation där p representerar fluxionen av x och q fluxionen av y, i The October 1666 Tract on Fluxions från just 1666. Denna notation använder han även i sina texter från 1665 som innehåller Newtons första tankar om de problem som senare ska fulländas i De Methodis.

Då representationen av fluxionerna lätt kan bli förvirrande, kommer jag för enkelhetens skull i detta arbete använda mig av den senare prickade notationen.

3.2 Influenser från andra matematiker

3.2.1 Pierre de Fermat

En av de allra främsta matematikerna under 1600-‐talet var den franska matematikern Pierre de Fermat (1601-‐1665). Tyvärr var inte Fermat speciellt intresserad av att publicera sina upptäcker vilket har gjort att hans påverkan på matematikens utveckling inte var så stor som den borde varit.¹⁵ Däremot lämnade han stora avtryck hos Newton som ska ha sagt att han hämtade sina egna idéer kring kalkylen direkt från Fermats metoder för att bestämma tangenter.¹⁶

Fermats tangentmetod går ut på att först hitta subtangenten till kurvan för att sedan kunna ta fram tangenten. Enligt figur1, innebär det att vi vill hitta sträckan EC.

Detta gör vi genom att titta på likformighet mellan de två trianglarna OIE samt BCE och sedan låta linjen OI röra sig mot BC. Punkten O och O’ kommer vara två olika punkter, förutom när OI sammanfaller med BC. När detta sker kommer skillnaden mellan I och C vara oändligt liten, varför Fermat inför en storhet, e, som han låter beteckna denna skillnad.

11 Newton. The Method of Fluxions, 20.

14 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol III, 72.

15 Simmons. Calculus gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, 96.

16 Ibid, 98: ”[…] from Fermat’s way of drawing tangents.”

(11)

Vad som är intressant med metoden är vad Fermat gör sedan. I slutskedet av metoden sätter Fermat storheten e till noll, vilket innebär att punkterna I och C nu är samma punkt. Detta kan jämföras med Newtons storhet o samt Leibniz dx.

Vi kommer senare se en liknande metod även hos Isaac Barrow.

3.2.2 René Descartes

René Descartes (1596-‐1650) var en fransk matematiker som under 1600-‐talet lade grunden för den analytiska geometrin. På grund av detta har han fått namnge det cartesiska koordinatsystemet som vi använder oss av idag.¹⁷ Descartes influerade Newton mycket framförallt i sina försök i att ta fram tangenten till en kurva.

I ett försök att skapa en ny metod för tangentframställning, tog Descartes fram en metod som, till skillnad från Fermat, sökte subnormalen till kurvan. Han försökte alltså hitta sträckan MP i figur 2. Bakgrunden till Descartes tangentmetod är att han inser att en cirkel med medelpunkt i P kommer skära kurvan en, två eller ingen gång. Om cirkeln endast skär kurvan en gång, det vill säga att den tangerar kurvan, har vi hittat punkten C. Det han gör är alltså att han söker en cirkel som tangerar kurvan i punkten C.

17 Nationalencyklopedin. René Descartes,

http://www.ne.se/lang/rene-‐descartes (Hämtad 2013-‐11-‐15).

Figur 1: Fermat bestämde tangenten BE genom att ta reda på subtangenten EC.

(http://www.princeton.edu/~hos/Mahoney/articles/mathnat/mathnatfr.html, 2013-‐11-‐06)

Figur 2: Descartes tog fram tangenten FC genom att först bestämma sträckan MP. (Lund 2002, s 15)

(12)

3.2.3 Isaac Barrow

Isaac Barrow (1630-‐1677)¹⁸, Newtons företrädare som professor i Cambridge, var mycket viktig för Newtons matematiska utveckling. Till skillnad från John Wallis som gärna ville införa nya idéer i matematiken, var Barrow väldigt konservativ i sina tankar och hans arbete anses därför vara direkta motsatsen till Wallis arbete.¹⁹ Newton studerade matematik i Cambridge med Barrow som lärare och dessa fortsatte senare att ha kontakt och utbyta idéer kring framförallt kalkylens problem.²⁰

Barrows främsta utgivna verk var Lectiones Opticae (1669) samt Lectiones Geometricae (1670), där den sistnämnda till stor del behandlade problem kring tangenter samt kvadratur. I problemet med att ta fram tangenter menar Boyer²¹ att Barrows metod till stor del liknade Cavalieris tangentmetod, men han skulle senare, med övertalning från Newton, presentera en metod som hade större likhet med Fermats teorier, se avsnitt 3.2.1. Detta trots att Barrow aldrig nämner Fermat i sina texter. Dessa influenser fick han dock troligen från bland annat Cavalieri och Wallis.²²

I Lectiones Geometricae demonstrerar Barrow en tangentmetod där han inför två små kvantiteter a och e, kateterna i den triangel som fås av den oändligt lilla förflyttningen M på kurvan AM, figur 3. Han kallar MR för e och NR för a och säger att eftersom förhållandet mellan e och a är densamma som mellan TP och PM använder vi den ursprungliga funktionen för att ta reda på detta förhållande.

Genom att uttrycka den ursprungliga funktionen med hjälp av 𝑥 + 𝑒 samt 𝑦 + 𝑎 och utveckla, får Barrow ett uttryck där alla termer innehåller antingen a eller e.

Han bortser sedan från alla termer som innehåller a eller e av högre dimension än ett, förmodligen genom att inse att a och e är oändligt små. Slutligen, genom att substituera a och e med värdena för MP och TP kunde Barrow ta reda på tangenten.²³

18 Boyer. A History of Mathematics, 424.

19 Ibid, 424.

21 Boyer. A History of Mathematics, 425.

22 Ibid, 426.

23 Ibid, 425.

Figur 3: Barrow kunde ta fram tangenten till kurvan AM genom att titta på den oändligt lilla triangeln MNR. (Boyer 1959, s 426)

(13)

Vi ser alltså att Barrow, i likhet med Fermat ovan, använder sig av oändligt små kvantiteter i bestämningen av tangenten TM, och kan jämföra Fermats kvantitet e med Barrows två kvantiteter a och e.

3.2.4 Johann Hudde

En matematiker som ofta omnämns i Newtons verk är den holländska matematikern Johann Hudde (1628-‐1704). Hudde arbetade bland annat med att studera Descartes La Géometrié samt att studera problem med maximum och minimum.²⁴ För att lösa dessa problem utvecklade han, i mitten av århundradet, en regel för att ta fram multipla rötter till en ekvation. En metod som senare skulle användas flitigt av bland andra Newton. År 1659, i ett appendix till La Géometrié, beskrev Hudde sin metod så här:

If in an equation two roots are equal and if it be multiplied by any arithmetical progression, i.e. the first term by the first term of the progression, the second by the second term of the progression, and so on: I say that the equation found by the sum of these products shall have a root in common with the original equation.²⁵

Huddes metod säger alltså att om en funktion har en dubbelrot i säg r, kommer r även vara rot till samma funktion multiplicerad med en aritmetisk talföljd.

Denna regel använder Hudde sedan för att bestämma en maximi eller minimi punkt till en kurva. Med modern notation kan vi uttrycka Huddes bestämning av maximi och minimipunkter så här:

Om 𝑥 = 𝑎 är ett maximum eller minimum till funktionen

𝑓 𝑥 = 𝑎_!𝑥^! + 𝑎_!𝑥^!!!+ ⋯ + 𝑎_!!!𝑥^!+ 𝑎_!!!𝑥 + 𝑎_! kommer a vara rot till

𝑛𝑎_!𝑥^!+ 𝑛 − 1 𝑎_!𝑥^!!!+ ⋯ + 2𝑎_!!!𝑥^!+ 𝑎_!!!𝑥 = 0

där man har multiplicerat funktionen 𝑓(𝑥) med den aritmetiska talföljden 𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 2, 1, 0 och låter detta vara lika med noll. Vi kommer senare i avsnitt 5.1.1, 5.2.1och 5.3.1 demonstrera hur Huddes metod kunde användas för att lösa problemen i The Method of Fluxions.

4 The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-Lines

Som tidigare nämnts är The Method of Fluxions en översättning gjord på Newtons manuskript, De Methodis Serierum et Fluxionum, från 1670-‐1671. John Colson, en av Newtons efterträdare som matematikprofessor vid Cambridge University, översatte De Methodis till engelska 1736 och publicerade denna för första gången samma år.²⁶ Newton hade själv försökt att få De Methodis publicerad, men utan resultat då det vid denna tid var ekonomiskt osäkert att ge ut matematik-‐

25 Ibid, 218.

26 Lucasian Chair. John Colson. http://www.lucasianchair.org/18/colson.html (Hämtad 2013-‐11-‐14).

(14)

böcker.²⁷ Alltså blev Newtons främsta verk kring fluxionsmetoden publicerat först 65 år efter att det färdigställdes.

Colson gör redan på titelsidan läsaren uppmärksam på att The Method of Fluxions är en översättning av Newtons latinska original manuskript som aldrig publicerades.²⁸ Han fortsätter sedan med att göra läsaren uppmärksam på att det i slutet av detta verk dessutom återfinns genomgående kommentarer på Newtons originalverk, som innehåller både illustrationer och tillägg.

4.1.1 Metod 1: Den direkta fluxionsmetoden

Som nämnt i avsnitt 3.1 delade Newton in fluxionsmetoden i den direkta respektive inversa metoden. Den direkta fluxionsmetoden (”The Direct Method of Fluxions”) arbetade Newton sig fram till för att kunna lösa följande problem:

”The Length of the Space described being continually […] given; to find the Velocity of the Motion at any Time proposed”²⁹. Vi skulle med vår moderna terminologi idag definiera detta problem som att hitta derivatan av en funktion.

Metod 1 används för att behandla det första (avsnitt 5.1), tredje (avsnitt 5.3), fjärde (avsnitt 5.4) och femte (avsnitt 5.5) av de fem första problemen i The Method of Fluxions.

4.1.2 Metod 2: Den inversa fluxionsmetoden

Den inversa fluxionsmetoden (”The Inverse Method of Fluxions”) är, enligt Newton, ett mycket svårare problem och här antar han att du som läsare är insatt i teorin³⁰. Metoden är framtagen för att lösa problemet som Newton definierade som ”The Velocity of the Motion being continually given; to find the Length of the Space described at any Time proposed”³¹. Med hjälp av moderna termer, identifierar vi detta problem som att hitta den primitiva funktionen till en given funktion.

Det problem som Newton löser med hjälp av den inversa fluxionsmetoden är problem 2 (avsnitt 5.2).

4.2 Disposition av The Method of Fluxions

Colsons engelska översättning av De Methodis är uppbyggd på samma sätt som originalet och inleder alltså med en utökad presentation av serieutveckling, lång division, rotutdragningar samt lösningar av så kallade ”affected equations”³² som återfinns i De Analysi.³³ Härefter följer de tolv problem som behandlar fluxionsmetoden och som Newton söker lösningarna på för att få en bättre bild av kurvors natur.

28 Newton. The Method of Fluxions, i: ”Translated from the author’s latin original not yet made publick”.

29 Ibid, 19.

32 affected equations: ekvationer där y är implicit definierad i termer av x genom en polynom ekvation, exempelvis 𝑦^!+ 𝑎𝑥𝑦 + 𝑎^!𝑦 − 𝑥^!− 2𝑎^! = 0.

(15)

Prob. 1. From the given Fluents to find the Fluxions.

Prob. 2. From the given Fluxions to find the Fluents.

Prob. 3. To determine the Maxima and Minima of Quantities.

Prob. 4. To draw Tangents to Curves.

Prob. 5. To find the Quantity of Curvature in any Curve.

Tabell 1: Tabellen visar de fem första problemen Newton presenterade i The Method of Fluxions, och är även de som kommer studeras i detta arbete. (Newton 1736, xxiv)

Det är, som tidigare nämnt, de fem första problemen i The Method of Fluxions som jag kommer studera närmare i detta arbete. För en presentation av dessa se tabell 1. Problem 1-‐4 återfinns i dagens matematikkurser på gymnasiet men vi skulle använda en annan terminologi för att beskriva dem. Det första och andra problemet representerar det vi skulle beskriva med att hitta derivatan respektive att hitta den primitiva funktionen till en viss funktion. Newton var själv väldigt noga med att poängtera att det, framförallt i problem ett och två, var relationen mellan fluxionerna (respektive fluenterna) han sökte. Att söka denna relation gör vi även idag då vi till exempel bestämmer derivatan av funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑦 som 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

Det tredje och fjärde problemet innebär precis som namnen beskriver, att vi söker maximi och minimi punkter till en funktion respektive att vi vill rita tangenten till en punkt på kurvan. Båda dessa problem tas tidigt upp i undervisningen om differentialkalkylen på gymnasiet.

Problem nummer fem är till skillnad från de tidigare fyra problemen, inte representerat i gymnasiets matematikkurser. Däremot kan vi finna det i kalkylkurser på högskolan. Problemet innebär att man vill hitta krökningen (”the curvature”) i en given punkt på kurvan, det vill säga att bestämma hur mycket en kurva är ”böjd” i en viss punkt. Problemet med en kurvas krökning hade länge förts med ett resonemang där man använde sig av kontaktvinkeln, alltså vinkeln mellan cirkeln som tangerar kurvan i punkten (den oskulerande cirkeln) och tangenten till kurvan i den punkten. Men efter att Newton tagit fram en metod för att bestämma krökningen med hjälp av krökningsradien började en ny period och man gick ifrån de tidigare idéerna med att titta på kontaktvinkeln.³⁴

Förutom de fem problem som nämnts ovan behandlar Newton ytterligare sju problem som alla kretsar kring kurvor (tabell 2). Detta arbete kommer inte ta upp dessa sju problem men presenteras för att få en tydligare bild av innehållet i The Method of Fluxions.

34 Villa Nova University. Dan Margalit, The History of Curvature.

http://www3.villanova.edu/maple/misc/history_of_curvature/k.htm (Hämtad 2013-‐12-‐10).

(16)

Prob. 6. To find the Quality of Curvature in any Curve.

Prob. 7. To find any number of Quadrable Curves.

Prob. 8. To find Curves whose Areas may be compared to those of the Conic Sections.

Prob. 9. To find the Quadrature of any Curve assign’d.

Prob. 10. To find any number of rectifiable Curves.

Prob. 11. To find Curves whose Lines may be compared with any Curve-‐lines assign’d.

Prob. 12. To rectify any Curve-‐lines assign’d.

Tabell 2: Tabellen visar de avslutande sju problem som återfinns i The Method of Fluxions. (Newton 1736, xxiv)

Av dessa sju avslutande problem i The Method of Fluxions är det främst problem 9 som vi känner igen från gymnasiets kurser i differentialkalkylen. Detta representerar problemet med att hitta arean under en kurva (alltså att integrera). Problem 12 återfinns inte i gymnasiets kursplaner, men är däremot representerat i kurser på högskolan. Detta problem innebär att vi vill hitta längden av en given kurva.

Efter de 12 olika problemen börjar den tredje delen av The Method of Fluxions. På de följande sidorna har Colson samlat sina kommentarer kring Newtons metod och inleder denna del med orden: ”The method of fluxions and infinite series; or a perpetual comment upon the foregoing treatise”³⁵. Colson har samlat sina kommentarer i tre delar som behandlar Newtons inledande kapitel om serieutveckling samt fluxionsmetodens problem 1 respektive problem 2.

4.3 Colsons kommentarer till The Method of Fluxions

Som Colson var noga med att poängtera på titelsidan till The Method of Fluxions, återfinns flera kommentarer längst bak i boken. Han har i den avslutande delen valt att kommentera tre delar av The Method of Fluxions; Newtons serieutvecklingsmetod samt den direkta respektive inversa fluxionsmetoden.

Allra sist av dessa kommentarer har han samlat sina egna slutsatser kring verket och ger dessutom en kort repetition av dess innehåll.³⁶ Jag kommer i detta arbete inte gå in i detalj på detta avslutande kapitel utan har valt att endast kort ta upp några av Colsons kommentarer.

I den avslutande delen av kommentarerna har Colson motiverat för läsaren hans mening med att införa egna, utförliga kommentarer på Newtons verk.³⁷ Han förklarar att han strävat efter att beskriva och förklara metoden på det enklaste

36 Ibid, 330.

37 Ibid, 330.