Om lösningar till glatta ekvationer

En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi

Om l ¨osningar till glatta ekvationer

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH

anderskallen@gmail.com

1 Introduktion

I det h¨ar kapitlet ska vi studera glatta avbildningar f : M → N mellan tv˚a glatta m˚angfalder. Differentialtopologin handlar om egenskaper hos m˚angfalder som ¨ar of¨or¨and- rade under s˚adana avbildningar (mer precist under bijektiva s˚adana, s.k. diffeomorfismer).

Efter att f¨orst ha introducerat n˚agra grundl¨aggande begrepp ska vi titta p˚a l¨osningar till ekvationer p˚a formen f (x) = y. Hur l¨osningsm¨angden ser ut beror naturligtvis p˚a dimensionerna p˚a de m˚angfalder som funktionen g˚ar mellan, men inte bara det. Om dimensionen av N ¨ar mindre ¨an den av M , ska vi se att m¨angden f⁻¹(y) i princip kan bli en godtycklig sluten delm¨angd av M , men ocks˚a att den normalt inte blir det, utan blir en underm˚angfald till N . F¨or att substantiera p˚ast˚aendet normalt h¨ar, m˚aste vi referera till en sats, Morse-Sards sats, som bildar grund f¨or m˚anga p˚ast˚aenden inom differentialtopologin.

D¨arefter diskuterar vi l¨osningar till ekvationer f (x) = y d˚a M och N ¨ar m˚angfalder av samma dimension. Normalt har vi d˚a ¨andligt m˚anga l¨osningar (om M ¨ar kompakt), och vi ska diskutera olika s¨att att r¨akna dessa l¨osningar s˚a att resultatet inte beror p˚a y.

Genom att skapa ett s˚adant m˚att som ¨aven blir stabilt f¨or kontinuerliga ¨andringar av f f˚ar vi ett verktyg att studera l¨osningarna till en speciellt ekvation. Med hj¨alp av detta kan vi enkelt bevisa algebrans fundamentalsats samt diverse l¨att f¨orv˚anande p˚ast˚aenden om avbildningar mellan sf¨arer.

2 Immersioner, submersioner och diffeomorfismer

V˚art f¨orsta problem blir att reda ut vad vi ska mena med en differentierbar funktion p˚a en glatt m˚angfald M . Antag att f : M → R ¨ar en given funktion. N¨ara en punkt p ∈ M finns d˚a en karta (φ, U ) s˚adan att p ∈ U och vi f˚ar en funktion

f_φ= f ◦ φ⁻¹ : φ(U ) → R.

Vi s¨ager att f ¨ar differentierbar i p om f_φ¨ar det (vilket vi kan g¨ora eftersom φ(U ) ⊂ R^k).

Vid f¨orsta p˚aseende kan det verka som att detta inte ¨ar en vettig definition eftersom den inneh˚aller en referens till en karta som inte ¨ar specificerad. Men om f_φ ¨ar differentierbar f¨or en karta (φ, U ) som inneh˚aller p s˚a ¨ar den differentierbar f¨or alla andra kartor som inneh˚aller p ocks˚a. Detta d¨arf¨or att f_φi = f_φj◦φ_ij, och φ_ij = φ_j◦φ⁻¹_i antas differentierbar.

P˚a samma s¨att definieras vad som menas med att en funktion Rⁿ→ M ¨ar differentierbar, n¨amligen att f_φ= φ ◦ f ¨ar differentierbar. Och fr˚an det f˚ar vi slutligen f¨oljande definition:

Definition En kontinuerlig avbildning f : M → N mellan tv˚a differentierbara m˚angfalder s¨ags vara differentierbar i en punkt p ∈ M om det f¨or n˚agra kartor (φ, U ) och (ψ, V ) s˚adana att p ∈ U och f (p) ∈ V g¨aller att funktionen ψ ◦ f ◦ φ⁻¹ ¨ar en differentierbar funktion i punkten φ(p).

Om M ¨ar en m-dimensionell m˚angfald s˚a anv¨ander man g¨arna f¨oljande uttryckss¨att: en karta (U, φ) med φ(p) = (x₁, . . . , x_m) definierar m koordinatfunktioner x₁(p), . . . , x_m(p) p˚a U . Ofta identifieras p med sina koordinater (x₁, . . . , x_m). En funktion f : M → N till

en glatt m˚angfald N av dimension n identifieras lokalt med funktionen ψ ◦f ◦φ⁻¹ : U → V som i koordinatform kan skrivas

(y₁, . . . , y_n) = (f₁(x₁, . . . , x_m), . . . , f_n(x₁, . . . , x_m)).

En av de saker som skiljer differentialtopologi, som baserar sig p˚a differentierbara funk- tioner, fr˚an vanlig topologi, som baserar sig p˚a kontinuerliga funktioner, ¨ar att en diffe- rentierbar funktion lokalt, allts˚a i en omgivning av en punkt, ofta har ett enkelt utseende, vilket beskrivs i n¨asta sats. Satsen ¨ar en mer eller mindre direkt konsekvens av inversa funktionssatsen¹.

Sats 1 Om f : M → N ¨ar en glatt funktion vars differential har konstant rang r ¨overallt, s˚a finns f¨or varje punkt x ∈ M ett koordinatsystem n¨ara x i M och ett koordinatsystem n¨ara y = f (x) i N , s˚a att f i dessa har formen

f (x₁, . . . , x_n) = (x₁, . . . , x_r, 0, . . . , 0).

Anm¨arkning Generellt ¨ar funktionen x → rang df (x) en ned˚at halvkontinuerlig funktion, d.v.s om rang df (a) = r, s˚a finns en omgivning U till a s˚adan att rang df (x) ≥ r i U . Detta d¨arf¨or att funktionalmatrisen f⁰(a) har en r × r-undermatris vars determinant ¨ar 6= 0, och d˚a m˚aste det g¨alla i en omgivning till a ocks˚a.

Tv˚a fall ¨ar av speciellt intresse.

Definition En avbildning f : M → N , d¨ar m ≤ n, s¨ags vara en immersion om dess differential df ¨ar injektiv i varje punkt p˚a M .

Villkoret betyder att rangen av df (x) ¨ar lika med m i varje punkt, vilket betyder att i ett l¨ampligt koordinatsystem f˚ar f formen av den kanoniska injektionen

R^m3 (x₁, . . . , x_m) → (x₁, . . . , x_m, 0, . . . , 0) ∈ Rⁿ.

Definition En avbildning f : M → N , d¨ar m ≥ n, s¨ags vara en submersion om dess differential df ¨ar surjektiv i varje punkt p˚a M .

I det h¨ar fallet betyder villkoret att rangen av df (x) ¨ar lika med n i varje punkt, s˚a i ett l¨ampligt koordinatsystem f˚ar f lokalt formen av den kanoniska projektionen

R^m 3 (x₁, . . . , x_m) → (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ. Slutligen har vi f¨oljande definition.

Definition En avbildning f : M → N som ¨ar b˚ade en immersion och en surjektion kallas en lokal diffeomorfism. Den ¨ar en diffeomorfism och den dessutom ¨ar bijektiv.

En lokal diffeomorfism ser lokalt ut som identitetsavbildningen. Vi s¨ager att tv˚a m˚angfalder M och N ¨ar diffeomorfa om det finns en diffeomorfism mellan dem. Diffeomorfa m˚angfalder betraktas som olika realiseringar av en och samma underliggande, abstrakt, m˚angfald och inom differentialtopologin studerar man egenskaper hos m˚angfalder som inte ¨andras under diffeomorfismer.

Vi avslutar detta avsnitt med att karakterisera avbildningar S¹ → S¹. Det ¨ar bekv¨amt att identifiera R²med C och skriva π : R → S¹ f¨or π(x) = e^ix. D˚a ¨ar π en lokal diffeomorfism, men inte bijektiv.

Lemma 1 (Konsten att reda ut garnh¨arvor) Varje glatt avbildning g : S¹ → S¹ kan lyftas till en avbildning G : R → R s˚adan att e^iG(x) = g(e^ix).

Bevis. L˚at φ = g ◦ π : R → S¹. V¨alj x₀ s˚a att π(x₀) = π(0). S¨att G(x) = x₀+ 1

i Z x0

0

φ⁰(t)dt φ(t) .

Eftersom |φ| = 1 s˚a ¨ar φ⁰/φ rent imagin¨art och G reellv¨ard. F¨or h(x) = φ(x)e^−iG(x) g¨aller att h⁰ = (φ⁰− φiG⁰)e^−iG = 0, s˚a h ¨ar konstant, vilket medf¨or att φ(x) = Ce^iG(x) = e^iG(x) eftersom φ(0) = e^ix0 = e^iG(0). Allts˚a ¨ar g ◦ π = φ = e^iG = π ◦ G.  Anm¨arkning Vi kan notera att det finns ett minsta positivt heltal q s˚adant att G(x+2π) = G(x) + 2πq.

3 Avsk¨ arningsfunktioner och Whitneys nollst¨ allessats

Efter att nu ha definierat vad som menas med glatta avbildningar mellan m˚angfalder b¨or vi f¨ors¨akra oss om att det verkligen finns n˚agra meningsfulla s˚adana. Vi ska g¨ora det genom att visa att vi kan konstruera funktioner p˚a m˚angfalder genom att s¨atta ihop konstruktioner vi g¨or i olika koordinatomgivningar. F¨orsta steget i detta blir att konstruera s.k. avsk¨arningsfunktioner till delm¨angder av Rⁿ.

Vi b¨orjar d˚a med att konstatera att funktionen

χ(t) =

(0 d˚a t ≤ 0 e^−1/t2 d˚a t > 0

¨ar en glatt funktion. Detta f¨oljer av att en godtycklig de- rivata har formen q(1/t)χ(t), t > 0 f¨or n˚agot polynom q och d˚a t → 0⁺ g¨aller att detta g˚ar mot noll. Det f¨oljer att

funktionen ¨ar deriverbar i origo hur m˚anga g˚anger som helst. Vidare ¨ar det klart att 0 ≤ χ ≤ 1. Den ¨ar dessutom str¨angt positiv d˚a t > 0 (vilket kanske inte framg˚ar av figuren).

Definiera nu f¨or  > 0 funktionen

χ_(t) = χ(t) χ(t) + χ( − t).

Den ¨ar d˚a C^∞, uppfyller 0 ≤ χ_ ≤ 1 och ¨ar s˚adan att χ_(t) = 0 precis d˚a t ≤ 0, medan χ_(t) = 1 d˚a t ≥ .

a r

r

Med hj¨alp av denna funktion kan vi approximera indi- katorfunktionen f¨or olika (m¨atbara m¨angder). Vi n¨ojer oss med att betrakta fallet med klot |x − a| ≤ r och definierar funktionen φ : Rⁿ → R genom

φ(x) = 1 − χ_(|x − a| − r).

Den ¨ar en glatt funktion p˚a Rⁿ, s˚adan att 0 ≤ φ(x) ≤ 1, och φ(x) =

(1 d˚a |x − a| ≤ r 0 d˚a |x − a| ≥ r + .

Med hj¨alp av s˚adana avsk¨arningfunktioner kan vi bevisa f¨oljande sats.

Sats 2 (Whitneys nollst¨allessats) Varje sluten delm¨angd av Rⁿ ¨ar nollst¨allesm¨angd till en glatt, reellv¨ard funktion.

Bevis. L˚at A vara en sluten delm¨angd av Rⁿ och U = A^c dess ¨oppna komplement, vilken vi kan anta ¨ar icke-tom. En ¨oppen m¨angd kan skrivas som en uppr¨aknelig union av ¨oppna klot, d.v.s vi har att

U = [

i∈N

B_ri(a_i), B_r(a) = {x; |x − a| < r}.

L˚at ψ_i ≥ 0 vara en differentierbar funktion s˚adan att n¨ar ψ_i(x) 6= 0 s˚a g¨aller att x ∈ B_ri(a_i). Definiera sedan ψ : Rⁿ → R genom

ψ(x) =

∞

X

i=1

_iψ_i(x)

d¨ar de positiva talen _iv¨aljs s˚a att derivatorna av _iψ_iav ordning ≤ i har ett absolutbelopp som ¨ar ≤ 2⁻ⁱ. Eftersom varje ψ_ioch dess derivator endast ¨ar skilda fr˚an noll p˚a en kompakt m¨angd |x − a_i| ≤ r_i, s˚a g˚ar det att hitta en s˚adan svit av _i. Det f¨oljer att summan ¨ar likformigt konvergent p˚a hela Rⁿ, liksom summorna av de deriverade termer. Detta f¨oljer eftersom dessa ¨ar dominerade av CP

i2⁻ⁱ. Det f¨oljer att ψ ¨ar en glatt funktion s˚adan att ψ(x) = 0 f¨or alla x ∈ A, eftersom detta g¨aller f¨or alla ψ_i, och att ψ(x) 6= 0 om x /∈ A, eftersom det i varje punkt g¨aller att ψ_i 6= 0 f¨or n˚agot i.  Anm¨arkning Detta ¨ar egentligen ett deprimerande resultat, eftersom det betyder att m¨angden f⁻¹(y) till en glatt funktion f : M → N kan vara vilken sluten delm¨angd som helst till M . Fr˚an topologin vet vi att varje sluten m¨angd kan f˚as som nollst¨allesm¨angd till en kontinuerlig funktion, s˚a betyder detta att det inte kommer mer struktur med glatta funktioner ¨an med kontinuerliga funktioner? Vi ska snart se att det normalt kommer mer struktur med glatta funktioner

Med hj¨alp av avsk¨arningsfunktioner kan vi utvidga en funktion som ¨ar definierad en- dast i en koordinatomgivning p˚a en m˚angfald till en funktion som ¨ar definierad p˚a hela m˚angfalden. Sedan kan vi konstruera globalt definierade funktioner genom att anv¨anda en partition av enheten.

Sats 3 Till varje ¨oppen ¨overt¨ackning av en glatt m˚angfald finns en underordnad glatt partition av enheten.

Bevis. Vi kan utan inskr¨ankning anta att varje U_i ¨ar inneh˚allet i n˚agon koordinatomgiv- ning och att varje punkt ligger i h¨ogst ¨andligt m˚anga U_i². Med hj¨alp av Whitneys sats kan vi d˚a hitta funktioner φ_i som definierar en summa som ¨ar positiv p˚a hela M . Genom att dividera med summan, som konvergerar ¨overallt eftersom endast ¨andligt m˚anga termer

¨ar 6= 0 i varje punkt, f˚ar vi en partition av enheten. 

F¨oljdsats Om A, B ¨ar tv˚a disjunkta, slutna delm¨angder av en glatt m˚angfald M s˚a finns en glatt funktion φ : M → [0, 1] s˚adan att φ = 0 p˚a A och φ = 1 p˚a B.

Bevis. Komplementen till A och B ¨ar ¨oppna m¨anger och {A^c, B^c} bildar en ¨overt¨ackning av M . Den har d˚a en underordnad partition av enheten. Om vi l˚ater φ vara summan av de element i denna som har sitt st¨od i B^c f˚ar vi resultatet.  Exempel 1 En till¨ampning av hur man kan anv¨anda paritioner av enheten f¨or att de- finiera funktioner globalt p˚a en m˚angfald ¨ar att visa att vi godtyckligt n¨ara en given, kontinuerlig, funktion alltid kan hitta en som ¨ar glatt. Det r¨acker d˚a att visa att vi kan hitta en s˚adan funktion i varje koordinatomgivning, d¨arf¨or att om f : M → N ¨ar en given funktion och {φ_i} ¨ar en partition av enheten som ¨ar underordnad en atlas i M , s˚a g¨aller att f_i = φ_if har sitt st¨od i en koordinatomgivning. Genom att v¨alja atlasen i M tillr¨ackligt fin kan vi anta att f_i tar sina v¨arden i en koordinatomgivning p˚a N . Vi kan d¨arf¨or anta att f : Ω → R^m f¨or n˚agon ¨oppen, begr¨ansad, delm¨angd Ω ⊂ Rⁿ.

Givet  > 0 tar vi nu en ¨overt¨ackning {U_i} av Ω s˚adan att |f (x) − f (y)| <  d˚a x, y ∈ U_i och en underordnad partion av enheten {φ_i}. I varje omgivning tar vi en punkt x_i och s¨atter g(x) =P

iφ_i(x)f (x_i). och d˚a g¨aller att |f (x) − g(x)| <  d˚a x ∈ Ω.

Denna observation ¨ar viktig l¨angre fram i detta kapitel.

Anm¨arkning Att man kan anv¨anda avsk¨arningsfunktioner och partitioner av enheten f¨or att konstruera glatta funktioner ¨ar n˚agot som skiljer dem fr˚an analytiska funktioner.

4 M˚ angfalder p˚ a ekvationsform

Det faktum att varje sluten m¨angd kan f˚as som nollst¨allesm¨angd till en glatt funktion ¨ar lite missvisande. Normalt sett finns det mer struktur i en s˚adan. Antag att f : Rⁿ → R^m

¨

ar glatt och att df (x) har maximal rang r i varje punkt p˚a m¨angden f (x) = 0. D˚a kan vi enligt implicita funktionssatsen lokalt l¨osa ut r variabler som glatta funktioner av de

¨ovriga n−r variablerna. Eftersom detta g˚ar i varje punkt p˚a nollst¨allesm¨angden, definierar ekvationen f (x) = 0 en glatt n − r-dimensionell underm˚angfald till Rⁿ.

Exempel 2 Om g₁, g₂ ¨ar glatta funktioner, s˚a definierar de tv˚a ekvationer g₁(x, y, z) = 0, g₂(x, y, z) = 0 en regulj¨ar kurva om det i varje punkt p˚a l¨osningsm¨angden g¨aller att differentialerna dg₁, dg₂ ¨ar linj¨art oberoende.

Vi inf¨or nu lite terminologi.

Definition En punkt x i definitionsomr˚adet f¨or den glatta funktionen f : M → N s¨ags vara en regulj¨ar punkt om df (x) har maximal rang. Ett y ∈ N s¨ags vara ett regulj¨art v¨arde till f om det g¨aller att varje punkt x s˚adan att f (x) = y ¨ar regulj¨ar. Punkter (eller v¨arden) som inte ¨ar regulj¨ara s¨ags vara kritiska eller, alternativt, singul¨ara.

Anm¨arkning Om f ¨ar reellv¨ard s˚a ¨ar x en regulj¨ar punkt precis d˚a df (x) 6= 0. Det betyder att en kritisk punkt ¨ar detsamma som en station¨ar punkt. Vidare kan vi notera att om y inte ¨ar ett v¨arde till f (allts˚a y /∈ f (M )), s˚a ¨ar y ett regulj¨art v¨arde till f . Semantiskt kanske detta ¨ar fel, men det visar sig bekv¨amt att ha den klassificeringen.

Vi s˚ag ovan att om y ¨ar ett regulj¨art v¨arde till f , s˚a g¨aller att m¨angden f⁻¹(y) ¨ar en underm˚angfald till N . Fr˚agan ¨ar bara om detta att ett v¨arde ¨ar regulj¨art ¨ar att betrakta som ett undantagsfall. Svaret ges i f¨oljande sats som anv¨ands mycket inom differentialtopologin.

Sats 4 (Morse-Sard’s sats) Om f : M → N ¨ar en glatt funktion mellan tv˚a glatta m˚angfalder, s˚a ¨ar n¨astan³ varje v¨arde till f ett regulj¨art v¨arde.

Vi bevisar inte denna sats h¨ar, utan h¨anvisar till artikeln Morse-Sards sats och transver- salitet.

S˚a normaltillst˚andet ¨ar att nollst¨allesm¨angden blir en m˚angfald.

Exempel 3 (Folium of Descartes) F¨or funktionen f (x, y) = x³ + y³− 3xy

g¨aller att df (x, y) = 3(x²−y)dx+3(y²−x)dy, fr˚an vilket vi ser att dess station¨ara punkter

¨ar (0, 0) och (1, 1). Det betyder att c ¨ar ett regulj¨art v¨arde till f precis om niv˚akurvan f (x, y) = c inte inneh˚aller n˚agon av dessa punkter, allts˚a f¨or c 6= 0, −1.

D˚a c = 0 kan vi parametrisera niv˚akurvan genom att s¨atta y = tx. Det leder till ekvationen x³(1 + t³) = 3tx², och allts˚a

x = 3t

1 + t³, y = 3t² 1 + t³.

Den definierar en ¨ogle-kurva som sk¨ar sig sj¨alv i origo, vilken ¨ar den station¨ara punkt som g¨or c = 0 till ett kritiskt v¨arde. F¨or c = −1 ser man att kurvan best˚ar dels av den isolerade punkten (1, 1), dels av den r¨ata linjen x + y + 1 = 0. Detta f¨oljer av omskrivningen

x³+ y³− 3xy + 1 = 1

4(x + y + 1)((2x − y − 1)²+ 3(y − 1)²).

D¨aremot g¨aller inte f¨or ¨ovriga c att det ¨ar m¨ojligt att parametrisera kurvan med hj¨alp av rationella funktioner.

Det niv˚akurveplotten ovan visar ¨ar att d˚a c > 0 (r¨ott) har vi sammanh¨angande kurvor som g˚ar runt (1, 1), medan d˚a −1 < c < 0 (gr¨ont) s˚a har niv˚akurvan tv˚a komponenter, en sluten del som g˚ar runt (1, 1) samt en del som ansluter v¨al till den r¨ata linjen x+y+1 = 0, som uppenbarligen ¨ar en asymptot till alla dessa niv˚akurvor. F¨or c < −1 f˚ar vi med de niv˚arkurvor (bl˚a) som ligger p˚a andra sidan om asymptoten.

L˚at oss ocks˚a titta n¨armare p˚a de kritiska punkterna. Andraderivatan ges av f⁰⁰(x, y) = 3 2x −1

−1 2y

 .

I origo har den egenv¨ardena ±1, s˚a det ¨ar en sadelpunkt, medan i (1, 1) ¨ar de b˚ada egenv¨ardena positiva, s˚a det ¨ar ett lokalt minimum.

Po¨angen med exemplet ¨ar att niv˚akurvorna ¨andrar typ n¨ar vi passerar igenom krtitiska v¨arden till funktionen f , vilket analyseras i mer detalj i den s.k. Morse-teorin⁴.

En annan viktig observation ¨ar att om M ¨ar en m˚angfald utan rand och f : M → R en glatt funktion med regulj¨art v¨arde y, s˚a ¨ar f⁻¹((∞, y]) en m˚angfald med rand f⁻¹(y).

Detta f¨oljer av att f⁻¹((∞, y)) ¨ar ¨oppen i M . Om f (a) = y s˚a ¨ar f en submersion n¨ara a och kan allts˚a efter ett koordinatbyte skrivas f (x₁, . . . , x_l) = x₁ n¨ara x = a, vilket visar p˚ast˚aendet.

Vi avslutar med ett lite mer komplicerat exempel.

Exempel 4 En n × n-matris ¨ar ett kvadratisk uppst¨allning av n² tal, s˚a m¨angden M (n) av s˚adana matriser kan identifieras med Rⁿ². En delm¨angd av dessa ¨ar de ortogonala matriserna T som uppfyller T^tT = I. Vi ska visa att dessa utg¨or en underm˚angfald O(n) till Rⁿ². F¨or detta betraktar vi funktionen

f : M (n) 3 A → A^tA ∈ S(n),

d¨ar S(n) ¨ar m¨angden av symmetriska matriser, vilken vi kan identifiera med R^N d¨ar N = n(n + 1)/2. Dess differential i en punkt A ber¨aknas genom

f (A + H) − f (A) = (A + H)^t(A + H) − A^tA = H^tA + A^tH + H^tH, s˚a

df (A)[H] = H^tA + A^tH.

F¨or att visa att O(n) ¨ar en underm˚angfald ska vi visa att identitetsmatrisen I ¨ar ett regulj¨art v¨arde till f , dvs att avbildningen H → df (T )[H] ¨ar surjektiv d˚a f (T ) = I. L˚at d¨arf¨or C vara en given, symmetrisk, matris. D˚a g¨aller att

df (T )[1

2T C] = 1

2(C^tT T + T^tT C) = C,

s˚a ekvationen df (T )[H] = C ¨ar alltid l¨osbar d˚a C ¨ar symmetrisk och T ∈ O(n). Det f¨oljer att O(n) ¨ar en m˚angfald av dimension

dim O(n) = n²− n(n + 1)

2 = n(n − 1)

2 .

Vi kan notera att O(n) best˚ar av tv˚a sammanh¨angande komponenter, definierade av huruvida det T = ±1.

5 Om 1D-m˚ angfalder och Brouwers fixpunktssats

I den kommande diskussionen kommer vi att beh¨ova anv¨anda oss av att vi faktiskt vet allt om m˚angfalder av dimension ett, allts˚a regulj¨ara kurvor. En sammanh¨angande s˚adan m˚aste n¨amligen vara homeomorf med antingen enhetcirkeln eller ett intervall, vilket kan vara ¨oppet, halv¨oppet eller slutet. Speciellt m˚aste en kompakt, sammanh¨angande, 1D- m˚angfald vara antingen en sluten kurva eller en kurva med tv˚a ¨andpunkter. En kurva med tv˚a ¨andpunkter kallar vi h¨ar en b˚age.

Den f¨or oss viktiga observationen ¨ar att antalet ¨and- punkter f¨or en kompakt kurva, inte n¨odv¨andigtvis sam- manh¨angande, alltid ¨ar j¨amnt! I figuren till h¨oger illustreras hur en 1D underm˚angfald kan se ut till en cylinder.

Observera h¨ar att de tv˚a randbitarna till cylindern sk¨ar en kurva i samma antal punkter om vi r¨aknar modulo 2. Med andra ord, antingen sk¨ar b˚ada cylinderns randbitar kurva

ett j¨amnt antal g˚anger eller s˚a sk¨ar b˚ada randbitarna ett udda antal g˚anger. De enda kurvbitarna som bidrar h¨ar ¨ar de som g˚ar fr˚an den ena rand-delen till den andra.

En viktig konsekvens av detta ¨ar f¨oljande till synes oskyldiga observation.

Lemma 2 L˚at X vara en kompakt m˚angfald med rand ∂X. D˚a finns ingen avbildning f : X → ∂X s˚adan att⁵ f (x) = x d˚a x ∈ ∂X.

Bevis. Antag att det finns en s˚adan avbildning f och l˚at y ∈ ∂X vara ett regulj¨art v¨arde till f . D˚a ¨ar naturligtvis y regulj¨ar f¨or restriktionen av f till ∂X ocks˚a. Men denna ¨ar identiteten enligt antagandet, s˚a f⁻¹(y) ¨ar en glatt 1-m˚angfald vars rand best˚ar av den

enda punkten y. Denna mots¨agelse visar lemmat. 

Denna sats kan anv¨andas f¨or att ge ett enkelt bevis f¨or en ber¨omd sats av Brouwer som generaliserar den grundl¨aggande satsen om mellanliggande v¨arden. Den g¨aller f¨or godtyckliga kontinuerliga funktioner, men vi n¨ojer oss med ett starkare p˚ast˚aende h¨ar.

Sats 5 (Brouwers fixpunktssats) Varje glatt avbildning av enhetsklottet Bⁿ i Rⁿ p˚a sig sj¨alv har en fixpunkt.

Bevis. Antag att f : Bⁿ → Bⁿ ¨ar glatt och saknar fixpunkter. Definiera d˚a funktionen g(x) som sk¨arningen mellan randen Sⁿ⁻¹ och kordastr˚alen fr˚an f (x) till x.

f (x) x

g(x) Det ¨ar d˚a klart att g(x) = x d˚a x ligger p˚a randen, s˚a om

vi kan visa att den ¨ar glatt, s˚a har vi konstruerat en glatt funktion p˚a Bⁿsom avbildar randen p˚a randen, och en s˚adan finns inte enligt f¨oreg˚aende lemma. Denna mots¨agelse visar satsen.

F¨or att se att g blir glatt, notera att

g(x) = f (x) + t(x − f (x)), t ≥ 1,

och t best¨ams av villkoret |g(x)| = 1, allts˚a av andragradsekva- tionen

t²(x − f (x))²+ 2tf (x) · (x − f (x)) + |f (x)|² = 1.

Vi ser att om x 6= f (x) f¨or alla x, s˚a ¨ar t, och d¨armed g, en glatt funktion. 

Enligt legenden ¨ar ursprunget till denna sats att hitta i Brouwer’s observation av en kopp kaffe. Om man r¨or om f¨or att l¨osa upp socker ser det ut som att det alltid finns en punkt som inte r¨or sig. Han drog d˚a slutsatsen att det i varje ¨ogonblick finns en punkt p˚a ytan som inte r¨or sig. Fixpunkten ¨ar inte n¨odv¨andigtvis den punkt som ser ut att inte r¨ora sig, eftersom turbulensens centrum r¨or sig lite. Vilken som ¨ar fixpunkt kan dessutom ¨andra sig under omr¨orningen.

En annan beskrivning av dessa kommer ocks˚a fr˚an Brouwer. Tag tv˚a identiska papper och skrynkla ihop det en av dessa och tryck sedan ihop det s˚a att det blir helt platt (t.ex. med hj¨alp av ett strykj¨arn). L¨agg det p˚a det andra papperet. D˚a finns det en punkt p˚a det hopskrynklade papperet som ligger ovanf¨or motsvarande punkt p˚a det andra papperet.

L˚at oss nu ˚aterv¨anda till cylindern ovan och sk¨arningen mellan kurvan och randen. Antag nu att cylindern ¨ar orienterad och att randbitarna f˚att den ¨arvda orienteringen. Vi ger d˚a en sk¨arningspunkt mellan kurvan och randen v¨ardet +1 om kurvans tangent och randens orientering i den punkten i denna ordning definierar orienteringen p˚a cylindern; om det inte ¨ar fallet f˚ar punkten v¨ardet −1. Vi ser d˚a att en b˚age som b¨orjar och slutar p˚a samma randbit m˚aste ha en sk¨arningspunkt som f˚ar v¨ardet +1 och en som f˚ar v¨ardet −1, eftersom tangenten i ena ¨andpunkter pekar in i cylindern och i den andra ut fr˚an den. En b˚age som b¨orjar i ena randbiten och slutar i den andra kommer d¨aremot att ha samma v¨arde i de tv˚a ¨andpunkterna: visserligen pekar en tangent in och en ut fr˚an cylindern, men orienteringarna av randbitarna ¨ar ocks˚a olika.

6 Avbildningsgrader av en funktion

F¨or att komma l¨angre i v˚ara unders¨okningar av ekvationer ska vi studera antalet l¨osningar till en ekvation f (x) = y d¨ar f : X → Y ¨ar en glatt funktion mellan tv˚a glatta m˚angfalder av samma dimension. Vi vet d˚a fr˚an ovan att om y ¨ar ett regulj¨art v¨arde till f s˚a ¨ar f⁻¹(y) en m˚angfald av dimension noll och har allts˚a ¨andligt m˚anga punkter i varje kompakt.

Enligt Morse-Sards sats g¨aller detta f¨or n¨astan alla v¨arden p˚a y, s˚a det ¨ar m¨ojligt att r¨akna antalet punkter i f⁻¹(y) ∩ K f¨or varje kompakt delm¨angd K. F¨or att f¨orenkla diskussionen antar vi i forts¨attningen att X ¨ar kompakt, s˚a att antalet l¨osningar ¨ar

¨andigt.

Detta antal beror naturligtvis p˚a v¨ardet y. Om f ¨ar en reellv¨ard funktion av en variabel s˚a ¨ar antalet punkter #f⁻¹(c) lika med sk¨arningen mellan grafen y = f (x) och den horisontella linjen y = c. Detta antal ¨andras endast d˚a vi passerar genom ett kritiskt v¨arde c till f och n¨ar vi passerar en lokal extrempunkt p˚a f hoppar antalet sk¨arningar upp eller ner med tv˚a. Men vi kan notera tv˚a saker:

a) Om vi endast bryr oss om huruvida antalet l¨osningar ¨ar udda eller j¨amnt, s˚a blir resultatet oberoende av y n¨ar vi passerar det kritiska v¨ardet

b) Antag att det finns tv˚a ytterligare l¨osningar till ekvationen

f (x) = c +  j¨amf¨ort med ekvationen f (x) = c − , d¨ar  > 0 ¨ar litet. F¨or den ena av dessa g¨aller att att tangenten har en negativ riktningskoefficient och f¨or

den andra att denna ¨ar positiv. Om vi associerar tecknet −1 till en l¨osning d¨ar riktningskoefficienten ¨ar negativ och tecknet +1 till en d¨ar denna ¨ar positiv, s˚a g¨aller att summan av dessa tecken inte ¨andrar sig n¨ar vi passerar det kritiska v¨ardet.

Allm¨ant vet vi att om y ¨ar ett regulj¨art v¨arde till f s˚adant att f⁻¹(y) = {x₁, . . . , x_N}, s˚a f¨oljer ur inversa funktionssatsen att f ¨ar en lokal difffeomorfism i en omgivning till var och en av punkterna x_k. Det betyder att det finns en omgivning V till y och omgivningar U_k till x_k s˚adana att f⁻¹(V ) =S

kU_k, d.v.s. i en omgivning av ett regulj¨art v¨arde ¨ar antalet l¨osningar konstant. Notera att en lokal diffeomorfism kan vara orienteringsbevarande eller orienteringsomkastande, och vilket det ¨ar best¨ams av tecknet p˚a det df (x_k).

Motiverad av observationen ovan f¨or 1D-funktioner g¨or vi nu f¨oljande allm¨anna definition.

Definition L˚at f : X → Y vara en glatt avbildning mellan tv˚a glatta m˚angfalder X och Y av samma dimension, d¨ar X ¨ar kompakt, och l˚at y vara ett regulj¨art v¨arde till f . Vi kan d˚a definiera den bin¨ara avbildningsgraden f¨or punkten y genom

deg₂(f, y) = #f⁻¹(y) mod 2.

Om X och Y dessutom ¨ar orienterbara definierar vi avbildningsgraden med tecken f¨or y, kortare: avbildningsgraden f¨or y, genom

deg(f, y) = X

x∈f⁻¹(y)

sign det df (x).

Exempel 5 F¨or funktionen z → z^q p˚a S¹ g¨aller att deg(z^q) = q.

Vi har nu f¨oljande grundl¨aggande lemma.

Lemma 3 L˚at F : X → Y vara en glatt avbildning mellan glatta m˚angfalder X, Y d¨ar X ¨ar kompakt med rand och dim X = dim Y + 1. L˚at f : ∂X → Y vara restriktionen av F till randen. D˚a g¨aller f¨or alla regulj¨ara v¨arden till f att deg₂(f, y) = 0.

Om dessutom X och Y ¨ar orienterade g¨aller dessutom att deg(f, y) = 0.

Bevis. Antag f¨orst att y ¨ar ett regulj¨art v¨arde till F , s˚a att F⁻¹(y) ¨ar en en ¨andlig union av cirklar och b˚agar, d¨ar ¨andpunkterna till b˚agarna alla ligger p˚a ∂X och det ¨ar dessa

¨andpunkter som ¨ar l¨osningar till ekvationen f (x) = y. Antalet s˚adana ¨andpunkter ¨ar j¨amnt, vilket visar p˚ast˚aendet f¨or deg₂.

Antag nu att X och Y ¨ar orienterade och l˚at γ vara en b˚age med ¨andpunkter a, b ∈ ∂X.

P˚ast˚aendet f¨or avbildningsgraden f¨oljer om vi kan visa att sign df (a) + sign df (b) = 0.

F¨or att visa det m˚aste vi titta n¨armare p˚a hur orienteringarna p˚a olika m˚angfalder ¨ar relaterade.

Orienteringarna f¨or M och Y best¨ammer en orientering f¨or γ som f¨oljer. L˚at x ∈ γ och l˚at (v₁, . . . , v_n+1) vara en positivt orienterad bas f¨or T_xM , d¨ar v₁ ¨ar tangent till γ. D˚a g¨aller att v₁ best¨ammer orienteringen f¨or T_xγ precis d˚a dF (x) avbildar (v₂, . . . , v_n+1) p˚a en positivt orientad bas f¨or T_xY .

L˚at v₁(x) best¨amma den positivt orienterade enhetsvektorn till γ i x. D˚a g¨aller att v₁ ¨ar en glatt funktion och vektorn pekar ut˚at i en av randpunkterna (s¨ag b) och in˚at i den andra. Det f¨oljer d˚a att sign df (a) = −1 och sign df (b) = +1, vilket visar p˚ast˚aendet.

Mer allm¨ant, antag att y ¨ar ett regulj¨art v¨arde f¨or f men inte f¨or F . Eftersom antalet l¨osningar ¨ar konstant n˚agon omgivning V av y, s˚a kan vi ers¨atta y med ett regulj¨art v¨arde utan att ¨andra v¨ardet p˚a n˚agon av de tv˚a funktionerna.  Sats 6 (Homotopi-lemmat) Antag att F : X × [0, 1] → Y ¨ar en glatt funktion d¨ar X, Y har samma dimension och X ¨ar kompakt. L˚at vidare f_j(x) = F (x, j), j = 0, 1 och antag att y ¨ar ett regulj¨art v¨arde f¨or b˚ade f₀ och f₁. D˚a g¨aller att

deg₂(f₀, y) = deg₂(f₁, y).

Om dessutom X, Y ¨ar orienterade g¨aller att deg(f₀, y) = deg(f₁, y).

Bevis. Eftersom X × [0, 1] har som rand de tv˚a bitarna X × {0} och X × {1} s˚a ¨ar antalet l¨osningar p˚a randen lika med summan av antalet l¨osningar p˚a var och en av dessa. Enligt lemmat g¨aller d˚a att #f₀⁻¹(y) + #f₁⁻¹(y) = 0 mod 2, vilket ocks˚a betyder att deg₂(f₀, y) = deg₂(f₁, y).

Om X, Y ¨ar orienterade, orienterar vi X × [0, 1] som en produktm˚angfald och ha d˚a en randbit best˚aende av X × {1} som har samma orientering som X och en best˚aende av X × {0} med den omv¨anda orienteringen, fr˚an vilket det f¨oljer att

deg(f₁, y) − deg(f₀, y) = deg(F |∂X, y) = 0.  Man inf¨or nu f¨oljande begrepp.

Definition L˚at f, g : X → Y vara tv˚a glatta funktioner mellan tv˚a glatta m˚angfalder.

Om det d˚a finns en glatt funktion F : X × [0, 1] → Y s˚adan att f (x) = F (x, 0) och g(x) = F (x, 1), s˚a s¨ags f och g vara homotopa funktioner.

Inneb¨orden av homotopi-lemmat ¨ar nu att om f och g ¨ar homotopa och y ¨ar ett regulj¨art v¨arde f¨or b˚ada, s˚a g¨aller att f och g har samma avbildningsgrad, bin¨ar s˚av¨al som den med tecken. F¨orutsatt att ¨ovriga f¨oruts¨attningar ¨ar uppfyllda.

Exempel 6 Vi vet att en glatt funktion g : S¹ → S¹ kan skrivas g(e^ix) = e^iG(x) d¨ar G(x + 2π) = G(x) + 2πq. Om vi definierar G_t(x) = tqx + (1 − t)G(x) s˚a ser vi att e^iGt definierar en homotopi mellan g och avbildningen z → z^q.

Speciellt ser vi att q = deg(g).

Vidare s¨ager vi att tv˚a diffeomorfismer f, g s¨ags vara isotopa om det finns en homotopi mellan dem s˚adan att alla avbildningar F (., t), t ∈ (0, 1), ocks˚a ¨ar diffeomorfismer.

Om vi nu har ett kritiskt v¨arde till f , s˚a kan vi g¨ora en homotop deformation av f s˚a att detta v¨arde inte l¨angre ¨ar kritiskt⁶, och om vi definierar graden f¨or f i det kritiska v¨arde som graden av den deformerade funktionen i det kritiska v¨ardet, s˚a ser vi fr˚an diskussionen ovan att vi f˚ar avbildningsgraderna v¨aldefinierade ¨aven i kritiska v¨arden y.

Dessutom kan vi definiera dessa funktioner ¨aven f¨or kontinuerliga funktioner, genom att vi g¨or en homotop approximation med en glatt funktion.

Men inte bara det: dessa blir konstanta funktioner p˚a varje sammanh¨angande komponent av Y . N¨ar Y ¨ar sammanh¨angande kan vi d¨arf¨or ta bort y fr˚an beteckningen och g¨or f¨oljande definition.

Definition Funktionen deg(f ) kallas f¨or f :s avbildningsgrad, medan deg₂(f ) kallas dess bin¨ara avbildningsgrad.

N˚agra egenskaper hos dessa avbildningsgrader som g¨or dem anv¨andbara ¨ar att

a) Om avbildningsgraden ¨ar 6= 0 s˚a finns det minst en l¨osning till ekvationen, d.v.s.

funktionen m˚aste vara surjektiv.

b) Fr˚an detta f¨oljer att om f : X → Y , d¨ar X ¨ar kompakt men Y inte ¨ar det, s˚a g¨aller att deg₂(f ) = 0 (eftersom f d˚a inte kan vara surjektiv).

c) En konstant funktion har alltid graden noll medan en diffeomorfism alltid har bin¨ar grad ett och (orienterad) grad +1 eller −1 beroende av om den bevarar eller kas- tar om orienteringen. Speciellt kan en orienteringsomkastande diffeomorfism p˚a en kompakt m˚angfald inte vara homotop med identitetsavbildningen.

Vi avslutar detta avsnitt med den allm¨anna formuleringen av Brouwers fixpunktssats.

Sats 7 (Brouwers fixpunktssats) Om B ¨ar en kompakt och konvex delm¨angd av Rⁿ s˚a g¨aller att varje kontinuerlig avbildning f : B → B har en fixpunkt.

Bevis. P˚ast˚aendet ¨ar ekvivalent med att visa att funktionen g(x) = f (x) − x har bin¨ar avbildningsgrad ett. Vi vet att satsen ¨ar sann om B ¨ar ett klot och f glatt, och eftersom en kontinuerlig funktion kan homotopt deformeras till en glatt funktion s˚a g¨aller satsen f¨or godtyckliga kontinuerliga funktioner p˚a ett klot.

F¨or en allm¨an kompakt, konvex m¨angd kan vi anta att origo ligger i det inre av B.

Definiera nu φ : Rⁿ→ Rⁿ s˚a att φ(x) = q(x)x d¨ar q(tx) = q(x) d˚a t > 0 och q(x) = |x|⁻¹ d˚a x ∈ ∂B. D˚a definierar φ en homeomorfism av B med enhetsklotet, s˚a φ ◦ f ◦ φ⁻¹ m˚aste ha en fixpunkt i enhetsklotet enligt vad vi redan visat. 

7 N˚ agra till¨ ampningar av avbildningsgrad

I det h¨ar avsnittet ska vi titta p˚a n˚agra enklare konsekvenser av diskussionen i f¨oreg˚aende avsnitt som r¨or avbildningar p˚a sf¨arer.

Vi b¨orjar med att konstatera att reflektionen x → (x₁, . . . , −x_i, . . . , x_n+1) p˚a Sⁿ ¨ar en diffeomorfism som kastar om orienteringen och d¨arf¨or har avbildningsgraden −1. Den antipodala avbildningen x → −x p˚a Sⁿ¨ar sammans¨attningen av n+1 s˚adana reflektioner, och har d¨arf¨or avbildningsgraden (−1)ⁿ⁺¹. Det betyder att om dimensionen n ¨ar j¨amn ¨ar den antipodala avbildningen inte homotop med identiteten.

Anm¨arkning Speciellt f¨oljer att det projektiva rummet Pⁿ inte ¨ar orienterbart f¨or j¨amna n. Den antipodala avbildningen ¨ar ju identiteten p˚a ett projektivt rum.

Som en till¨ampning av denna observationen har vi f¨oljande sats av Brouwer: p˚a Sⁿ finns ett vektorf¨alt utan nollst¨allen om och endast om n ¨ar udda. F¨or att se det, antag att v saknar nollst¨allen. Vi kan d˚a normalisera det, s˚a att |v(x)| = 1 f¨or alla x, vilket allts˚a definierar en funktion Sⁿ→ Sⁿ. Definiera nu

F : Sⁿ× [0, π] 3 (x, θ) → x cos θ + v(x) sin θ ∈ Sⁿ.

D˚a g¨aller att F (x, 0) = x, F (x, π) = −x, s˚a den antipodala avbildningen ¨ar homotop med identiteten. Vilket endast ¨ar m¨ojligt d˚a n ¨ar udda.

˚A andra sidan, n¨ar n = 2k − 1 har vi exemplet

v(x) = (x₂, −x₁, x₄, −x₃, . . . , x_2k, −x_2k−1) som ett exempel p˚a ett vektorf¨alt p˚a Sⁿ som aldrig ¨ar noll.

En direkt till¨ampning p˚a detta ¨ar f¨oljande v¨alk¨anda och viktiga sats.

Sats 8 (Algebrans fundamentalsats) Varje icke-konstant komplext polynom har ett nollst¨alle.

Bevis. Genom p_t(z) = tp(z) + (1 − t)zⁿdefinieras en homotopi mellan ett givet polynom p av grad n och zⁿ. Tag en cirkelskiva W med radie r s˚a stor att alla p_t har sina nollst¨allen i dess inre och definiera

φ_t: ∂W → S¹ genom φ_t= p_t/|p_t|.

D˚a f¨oljer att deg(φ₁) = deg(φ₀) = n. Men om p saknade nollst¨allen i W skulle vi kunna utvidga φ till hela W och allts˚a ha deg(φ) = 0. Med n 6= 0 f˚ar vi en mots¨agelse.  Men beviset ger oss egentligen mer.

Sats 9 L˚at W vara en glatt, kompakt, delm¨angd av C vars rand inte har n˚agra nollst¨allen till polynomet p. D˚a ges det totala antalet nollst¨allen till p i W (inklusive multiplicitet) av avbildningsgraden av p/|p| : ∂W → S¹.

Bevis. L˚at z₀, . . . , z_n vara r¨otterna till p i W . L˚at D_i vara en liten, sluten, skiva runt z_i, alla disjunkta med varandra och med randen och betrakta W⁰ = W \S D_i. D˚a g¨aller att

∂W⁰ = ∂W S(Sⁿ₀ D_i), med olika orientering av ∂W och ∂D_i. D˚a graden av p/|p| p˚a ∂W⁰

¨ar noll, f¨oljer att

deg(p/|p|) =

n

X

0

deg(p/|p||∂D_i).

Skriv nu p(z) = (z − z_i)^lq(z) med q(z_i) 6= 0. Vi vet d˚a att q saknar nollst¨allen i D_i och vi l˚ater skivans radie vara r s˚a definierar g : S¹ → ∂D_i, g(z) = z_i+ rz en orienteringsbeva- rande diffeomorfism, och allts˚a g¨aller att deg(p/|p|) = deg(p ◦ g/|p ◦ g|). Definiera nu en homotopi h_t: S¹ → S¹ genom

h_t(z) = z^lq(z_i+ trz)

|q(z_i+ trz)|.

D˚a ¨ar h₀(z) = cz^l och h₁ = (p ◦ g)/|p ◦ g|, varf¨or deg(p/|p|) = deg(h₀) = l. 

Lemma 4 (Borsuk) Om f : S¹ → S¹ ¨ar en kontinuerlig, udda avbildning, s˚a g¨aller att deg₂(f ) = 1.

Bevis. Skriv f (x) = e^iG(x) d¨ar G : R → R. Eftersom f (π) = −f (0) g¨aller d˚a att G(π) = G(0)+π(2q+1) Men eftersom avbildningen ¨ar udda f¨oljer d˚a att G(2π) = G(π)+π(2q+1), och allts˚a att G(2π) = G(0) + 2π(2q + 1). Det betyder att f ¨ar homotop med z → z^2q+1,

f¨or vilken den bin¨ara graden ¨ar ett. 

Ur denna sats f˚ar vi direkt

Sats 10 Det finns ingen kontinuerlig avbildning f : S² → S¹ s˚adan att f (−p) = −f (p) f¨or n˚agot p ∈ S².

Bevis. Antag att f ¨ar en s˚adan avbildning och l˚at g vara restriktionen av den till en storcirkel, s˚a att g : S¹ → S¹ ¨ar en kontinuerlig och udda avbildning med deg₂(g) = 1.

Men restriktionerna av f till parallellcirklar mellan denna storcirkel och en av dess poler ger oss kontinuerliga funktio- ner g_t : S¹ → S¹, 0 < t < 1. Vi har d¨arf¨or en homotopi mellan f och en konstant funktion S¹ → f (N ) d¨ar N ¨ar po- len. Figuren till h¨oger illustrerar hur g_tdefinieras: punkten p p˚a cirkeln avbildas f¨orst p˚a punkten (1 − t)p som projiceras p˚a S² med hj¨alp av stereografisk projektion fr˚an sydpolen.

Sedan applicerar vi f p˚a resultatet. Vi ser att n¨ar t = 1 blir (1 − t)p sf¨arens medelpunkt f¨or alla p ∈ S¹ och allts˚a den stereografiska projektionen nordpolen.

Men deg₂(g₀) = 1 som vi sett, och deg₂(g₁) = 0 eftersom den

¨ar en konstant funktion. Denna mots¨agelse visar att det inte finnas n˚agon s˚adan funktion

f . 

F¨oljdsats (Borsuk-Ulam) Till varje kontinurlig funktion f : S² → R² finns minst en punkt p ∈ S² s˚adan att f (−p) = f (p).

Bevis. Om det funnes en funktion f¨or vilken ingen s˚adan punkt finns skulle vi kunna definierar funktionen

g(p) = f (p) − f (−p)

|f (p) − f (−p)|,

vilken d˚a blir en kontinuerlig funktion S² → S¹. Men den skulle vara udda, vilket ¨ar en

mots¨agelse. 

Denna f¨oljdsats, som har har en naturlig motsvarighet i

h¨ogre dimensioner, har en rad intressanta konsekvenser. L˚at oss dock f¨orst konstatera att den g¨aller f¨or n = 1 ocks˚a, d.v.s. om f : S¹ → R ¨ar en kontinuerlig funktion s˚a finns minst en punkt p ∈ S¹ s˚adan att f (−p) = f (p). Om vi n¨amligen s¨atter g(x) = f (x) − f (−x) och tar en punk p s˚a g¨aller antingen att g(p) = 0, och d˚a ¨ar vi klara, eller s˚a g¨aller att g(p) och g(−p) ligger p˚a olika sidor om 0. Men enligt satsen om mellanliggande v¨arden g¨aller d˚a att det finns minst en punkt q mellan p och −p s˚adan att g(q) = 0.

En direkt konsekvens av denna senare observation ¨ar att det alltid finns tv˚a antipodala punkter p˚a ekvatorn som har samma temperatur (om vi antar att temperaturen varierar

kontinuerligt l¨angs ekvatorn). Vad Borsuk-Ulams sats s¨ager ¨ar att det alltid finns tv˚a antipodala punkter p˚a jordklotet d¨ar b˚ade temperatur och lufttryck ¨ar samma.

En annan konsekvens av Borsuk-Ulams sats ¨ar vad vi kan kalla Hamburgersatsen: om en hamburgare best˚ar endast av tv˚a br¨odbitar med en burgare emellan, s˚a ¨ar det m¨ojligt att med ett plant snitt dela alla tre i delar med samma volym.

F¨or att se detta, observera f¨orst att till varje v ∈ S² kan vi v¨alja ett plan π_v som sk¨ar burgaren i tv˚a lika stora delar, d¨ar v betecknar enhetsnormalen till planet. Definiera nu tv˚a funktioner f_i, en f¨or var br¨odskiva, genom

f_i(v) = volymen av skiva i framf¨or π_v − volymen av skiva i bakom π_v, i = 1, 2, d¨ar framf¨or betyder p˚a den sida normalen pekar mot. Om vi d˚a byter v mot −v ¨andras inte planet, men framf¨or blir bakom och tv¨artom, s˚a f_i(−v) = −f_i(v). Om vi s¨atter f (v) = (f₁(v), f₂(v)), s˚a ger Borsuk-Ulams sats att det finns en riktning p s˚adan att f (−p) = f (p). Men eftersom vi per konstruktion har att f (−p) = −f (p) ¨ar detta endast m¨ojligt om f (p) = 0, vilket betyder att alla tre delarna delas upp i tv˚a delar som har samma volym.

Fler till¨ampningar och en generalisering av Borsuk-Ulams sats till allm¨anna dimensioner diskuteras i artikeln Om vridningstal och n˚agra av dess till¨ampningar,

Noteringar

1. Se artikelnOm inversa och implicita funktioner 2. Vi antar alltid att en glatt m˚angfald ¨ar parakompakt.

3. N¨astan varje betyder att undantagen utg¨or en Lebesgue-nollm¨angd

4. Om detta kan man l¨asa i artikeln Morseteori och topologin av en m˚angfald.

5. En s˚adan avbildning kallas en retraktion av X p˚a ∂X.

6. Tag F (x, t) = f (x) + t(y − y⁰) f¨or y⁰ n¨ara y i en koordinatomgivning.