Arkitektur och teknik — Elektroteknik — Farkostteknik Kemiteknik med fysik — Teknisk fysik — Teknisk matematik

Chalmers — KTH

Arkitektur och teknik — Elektroteknik — Farkostteknik Kemiteknik med fysik — Teknisk fysik — Teknisk matematik

Matematik- och fysikprovet 2017 Fysikdelen

Provtid: 2h.

Hj¨ alpmedel: inga.

P˚ a sista sidan finns en lista ¨ over fysikaliska konstanter m.m. som eventuellt kan vara anv¨ andbara.

P˚ a uppgifter d¨ ar numeriskt svar efterfr˚ agas r¨ acker det med en eller tv˚ a signifikanta siffror, beroende p˚ a antalet signifikanta siffror i de givna storheterna. Gl¨ om inte att i f¨ orekommande fall ange enhet i dina svar.

Svar p˚ a uppgifterna 1-19 l¨ amnas p˚ a utdelat svarsformul¨ ar, uppgift 20 p˚ a l¨ osblad.

Uppgifter med svarsalternativ (13 st., 1 p/uppg.) Ett svarsalternativ skall anges p˚ a varje fr˚ aga.

1. En liten sten kastas fr˚ an markh¨ ojd snett upp˚ at med en fart v i en riktning som bildar vinkeln 45 ^◦ mot vertikalen. Marken ¨ ar plan. Hur l˚ angt fr˚ an utg˚ angspunkten landar den, om luftmotst˚ andet

¨

ar f¨ orsumbart?

A. _2g ^v B. ^v _g C. ^v _2g

D. ^v _g

2. En tung sten med massan M skall flyttas, och man b¨ orjar med att b¨ anda med ett spett enligt figuren. Spettet vilar p˚ a en fast punkt i P och verkar med en vertikal kraft p˚ a stenen i Q. Om en person med massan m l¨ agger sin tyngd p˚ a spettet i dess ¨ ande A, hur stor m˚ aste m vara f¨ or att rubba stenen?

A. m ≥ M B. m ≥ M ^a _b C. m ≥ M

¹

a

−1 D. m ≥ M _a ^b

Q

P

A

a b

M

3. Antag att luftmotst˚ andskraften p˚ a en kropp ¨ ar proportionell mot dess fart genom luften, och i

¨

ovrigt bara beror p˚ a kroppens form (inklusive dess storlek). En kropp som sl¨ apps fr˚ an h¨ og h¨ ojd kommer att accelereras ned˚ at, men dess ned˚ atriktade hastighet n¨ armar sig s˚ a sm˚ aningom en viss gr¨ anshastighet v ₀ . F¨ or olika kroppar med samma storlek och form, men olika massa m, vad g¨ aller f¨ or gr¨ anshastigheten v ₀ ?

A. v 0 ¨ ar proportionell mot m.

B. v ₀ ¨ ar omv¨ ant proportionell mot m.

C. v ₀ ¨ ar oberoende av m.

D. Inget av alternativen A, B eller C.

4. En bil med massan 1 ton accelereras p˚ a en rakstr¨ acka fr˚ an vila till farten 10 m/s under tidsrymden 5 s. Hur stor ¨ ar medelkraften p˚ a bilen under accelerationen?

A. 0.2 kN B. 0.4 kN C. 2 kN D. 4 kN

5. Tv˚ a likadana kroppar r¨ or sig rakt mot varandra, den ena med hastigheten u ˚ at h¨ oger och den andra med hastigheten v ˚ at v¨ anster (u > v). De kolliderar och fastnar i varandra, p˚ a ett s˚ adant s¨ att att den resulterande, dubbelt s˚ a tunga, kroppen inte roterar efter sammanslagningen. Vilken hastighet f˚ ar den sammanslagna kroppen?

A. ^u+v ₂ ˚ at v¨ anster B. ^u+v ₂ ˚ at h¨ oger C. ^{u −v} ₂ ˚ at v¨ anster D. ^{u −v} ₂ ˚ at h¨ oger

6. En kropp med massan m ¨ ar f¨ ast i en (idealiserad) fj¨ ader med fj¨ aderkonstant k. Den utf¨ or sv¨ angningar med amplituden A och frekvensen f . Vilken av nedanst˚ aende f¨ or¨ andringar av parame- trarna leder till en sv¨ angningsfrekvens som ¨ ar st¨ orre ¨ an f ?

A. Massan dubbleras, fj¨ aderkonstanten dubbleras.

B. Massan dubbleras, fj¨ aderkonstanten halveras.

C. Massan halveras, fj¨ aderkonstanten dubbleras.

D. Massan halveras, fj¨ aderkonstanten halveras.

7. Ett litet badrum har tv˚ a mycket h˚ arda v¨ aggar p˚ a motsatta sidor av rummet, p˚ a ett avst˚ and av 2.55 m. Dessa v¨ aggar reflekterar ljud s˚ a att ljudv˚ agor har noder vid v¨ aggarna. F¨ or vilken av nedanst˚ aende ungef¨ arliga frekvenser kan en st˚ aende v˚ ag upptr¨ ada mellan v¨ aggarna (“resonans”)?

A. 50 Hz B. 100 Hz C. 150 Hz D. 200 Hz

8. Storleken p˚ a en v¨ ateatom ¨ ar c:a 10 ⁻¹⁰ m (1 ˚ A). Detta kan betraktas som os¨ akerheten f¨ or l¨ aget f¨ or elektronen i v¨ ateatomen. Ungef¨ ar hur stor m˚ aste os¨ akerheten i elektronens hastighet minst vara?

A. 1 m/s B. 10 ³ m/s C. 10 ⁶ m/s D. 10 ⁹ m/s

9. En beh˚ allare som rymmer 1.0 liter fylls med luft av rumstemperatur (20 ^◦ C) och normalt at- mosf¨ arstryck. Den komprimeras sedan till halva volymen, och kyls till −53 ^◦ C. Vad ¨ ar d˚ a trycket i luften?

A. 6.7 × 10 ⁴ Pa B. 7.5 × 10 ⁴ Pa C. 1.0 × 10 ⁵ Pa D. 1.5 × 10 ⁵ Pa

10. Ang˚ aende den s˚ a kallade tvillingparadoxen: Enligt den speciella relativitetsteorin uppst˚ ar tids- dilatation, s˚ a att en klocka som r¨ or sig med farten v “g˚ ar l˚ angsammare” ¨ an en klocka i vila. Detta kan uttryckas som ∆τ =

√

1 − ^v _c

∆t, d¨ ar ∆τ ¨ ar tiden f¨ or klockan i r¨ orelse och ∆t f¨ or den i vila (i h¨ andelser som ¨ ar samtidiga f¨ or klockan i vila).

Det p˚ ast˚ as ibland att detta leder till att en tvilling i ett tvillingpar som f¨ oretar sig en l˚ ang rymdresa med h¨ og hastighet och sedan ˚ aterv¨ ander till jorden vid ˚ aterkomsten skulle vara yngre ¨ an sin tvilling som stannat hemma. Vilket av p˚ ast˚ aendena ang˚ aende “tvillingparadoxen” ¨ ar riktigt?

A. Det st¨ ammer att tvillingen som rest ¨ ar yngre.

B. Eftersom tidsdilatationen ¨ ar ¨ omsesidig, s˚ a kan man lika g¨ arna argumentera f¨ or att den tvilling som stannar p˚ a jorden ¨ ar yngre. Detta ¨ ar en inkonsistens hos speciell relativitetsteori.

C. Om man tar h¨ ansyn till vad som h¨ ander n¨ ar den rymdresande tvillingen v¨ ander f¨ or att resa tillbaka, finner man att de i slut¨ andan ¨ ar lika gamla n¨ ar hen kommer ˚ ater.

D. Inget av ovanst˚ aende alternativ.

11. Vilket av f¨ oljande p˚ ast˚ aenden ¨ ar vetenskapligt v¨ al underbyggt?

A. Det finns en andlig verklighet som vetenskapen aldrig kommer ˚ at.

B. Bortom den f¨ or oss synliga delen av universum finns ett otal regioner med olika naturlagar.

C. Evolution, med uppkomst av olika arter, har bara ¨ agt rum p˚ a jorden.

D. Inget av p˚ ast˚ aendena A, B eller C.

12. Tryck anges ibland i den litet f¨ or˚ aldrade enheten millimeter kvicksilver (mmHg), det tryck som i jordgravitationen ges av en kvicksilverpelare med h¨ ojden 1 mm. Kvicksilver har densiteten 13.6 × 10 ³ kg/m ³ . Vad ¨ ar 1 mmHg i SI-enheter?

A. 0.133 Pa B. 133 Pa C. 133 kPa D. 133 MPa

13. En elektron accelereras fr˚ an vila av ett statiskt elektriskt f¨ alt genom en potentialskillnad 0.51 MV. Vilken fart f˚ ar elektronen?

A. 3.0 × 10 ⁷ m/s B. 2.6 × 10 ⁸ m/s C. 3.0 × 10 ⁸ m/s D. 4.2 × 10 ⁸ m/s

Fr˚ agor till vilka endast svar skall ges (6 st., 2 p/uppg.)

14. En komet ¨ ar p˚ a v¨ ag in i solsystemet p˚ a en bana som kan approximeras med en parabel. Dess p˚ averkan av solvinden och av damm i dess v¨ ag ¨ ar f¨ orsumbar. Rita i figuren alla krafter som p˚ averkar kometen. (Storlekar och avst˚ and i figuren ¨ ar inte skalenliga.)

15. Enheten f¨ or effekt, W (watt), ¨ ar inte en grundenhet i SI-systemet. Uttryck den i termer av grundenheterna. (Grundenheterna i SI-systemet ¨ ar: meter (m), sekund (s), kilogram (kg), amp` ere (A), kelvin (K), mol och candela (cd)).

16. Vatten str¨ ommar genom ett r¨ or med tv¨ arsnittsarean 2.0 dm ² som bildar en 90 graders kr¨ ok

(se figuren). Vattnets fart in och ut ur r¨ ordelen ¨ ar 5 cm/s, samma ¨ over hela tv¨ arsnittsarean. Ange

storlek och riktning f¨ or den yttre kraft som beh¨ ovs f¨ or att h˚ alla (den avbildade delen av) r¨ oret

stilla.

17. En punktpartikel r¨ or sig i rummet s˚ a att dess l¨ agesvektor ges av

(x(t), y(t), z(t)) = (f ( _τ ^t ), g( ^2t _τ ), h( ^3t _τ )) ,

d¨ ar f , g och h ¨ ar tre periodiska funktioner med period 1, och τ ¨ ar en konstant. Vad ¨ ar medelv¨ ardet av hastighetsvektorn fr˚ an tiden t ₀ till tiden t ₀ + τ ?

18. En elektron som r¨ or sig i xy-planet under inverkan av ett konstant magnetiskt f¨ alt i z-riktningen har kvantmekaniska energiniv˚ aer, s˚ a kallade Landau-niv˚ aer, som ges av E _n = (n + ¹ ₂ )¯ hω _c , d¨ ar ω _c

¨

ar cyklotronvinkelfrekvensen ω _c = qB/mc. Antag att en foton uts¨ ands d˚ a elektronen ¨ overg˚ ar fr˚ an niv˚ an n = 1 till niv˚ an n = 0. Vilken vinkelfrekvens har denna foton?

19. Vad ¨ ar resistansen mellan A och B i den idealiserade elektriska kretsen i figuren?

R R

R R

R

B

A

Problem till vilket en fullst¨ andig redovisning av l¨ osningen kr¨ avs (5 p)

20. En kula med massan m ¨ ar f¨ ast i ett l¨ att sn¨ ore med l¨ angden ℓ, vars andra ¨ ande sitter fast i en punkt O. Kulan r¨ or sig i en vertikal cirkelbana under inverkan av gravitationen och kraften fr˚ an sn¨ oret (luftmotst˚ andet kan f¨ orsummas). Dess hastighet ¨ ar s˚ adan att n¨ ar den passerar sin h¨ ogsta punkt (A) ¨ ar kraften i sn¨ oret noll. Best¨ am kulans acceleration, till storlek och riktning, i punkterna A, B, C och D. Rita en tydlig figur med dessa accelerationer.

O A

B

C

D

F¨ or full po¨ ang kr¨ avs

— Motivering av metod och anv¨ anda ekvationer, g¨ arna ocks˚ a med figur(er);

— F¨ orenkling av resultatet s˚ a l˚ angt m¨ ojligt;

— Kontroll av dimension och rimlighet hos resultatet.

Diverse storheter och konstanter som eventuellt kan vara anv¨ andbara:

Plancks konstant h ≈ 6.63 × 10 ⁻³⁴ Js

¯

h = h/2π ≈ 1.055 × 10 ⁻³⁴ Js Newtons gravitationskonstant G ≈ 6.67 × 10 ⁻¹¹ Nm ² kg ⁻² Tyngdaccelerationen vid jordytan g ≈ 9.82 m/s ² ≈ 10 m/s ²

Jordens massa M _⊕ ≈ 5.97 × 10 ²⁴ kg

Jordens radie R _⊕ ≈ 6371.0 km

Jordens avst˚ and fr˚ an solen c:a 1 AU ≈ 1.50 × 10 ¹¹ m

Solens massa M _⊙ ≈ 1.99 × 10 ³⁰ kg

M˚ anens massa M % ≈ 7.35 × 10 ²² kg

M˚ anens avst˚ and till jorden c:a 384 000 km

Protonmassan m p ≈ 1.67262 × 10 ⁻²⁷ kg ≈ 938.272 MeV/c ² Neutronmassan m n ≈ 1.67493 × 10 ⁻²⁷ kg ≈ 939.565 MeV/c ² Elektronmassan m e ≈ 9.11 × 10 ⁻³¹ kg ≈ 0.511 MeV/c ² Elektronladdningen q e ≈ −1.6022 × 10 ⁻¹⁹ C

Ljushastigheten c = 299792458 m/s ≈ 3.00 × 10 ⁸ m/s Enheten ljus˚ ar 1 ly ≈ 9.46 × 10 ¹⁵ m ≈ 6.32 × 10 ⁴ AU Dielektricitetskonstanten f¨ or vacuum ϵ ₀ ≈ 8.854 × 10 ⁻¹² C ² /Jm

Ljudets hastighet i luft v _s ≈ 340 m/s Normalt lufttryck vid jordytan p ≈ 1.013 × 10 ⁵ Pa Luftens densitet vid havsniv˚ an c:a 1.2 kg/m ³

Avogadros tal N _A = 1 mol ≈ 6.022 × 10 ²³

Enheten elektronvolt 1 eV ≈ 1.6022 × 10 ⁻¹⁹ J

Boltzmanns konstant k ≈ 1.38065 × 10 ⁻²³ J/K

Allm¨ anna gaskonstanten R = N A k