Chalmers: Arkitektur och teknik, Kemiteknik med fysik, Teknisk fysik, Teknisk matematik

Chalmers: Arkitektur och teknik, Kemiteknik med fysik, Teknisk fysik, Teknisk matematik

KTH: Farkostteknik, Simuleringsteknik och virtuell design, Teknisk fysik

Antagningsprov 2012 - MATEMATIK - SVAR

A.

1b 2b 3a 4c 5d 6c 7d 8d 9b 10d 11d 12b 13a 14b 15b 16c 17d 18c 19b 20d

B.

21: ⁵⁶ ₄₃ 22: −1 23: 4 √

2 sin 3

24: ₁₅₃₆ ^π

+ ₁₂ ⁷ − ^√ ₄ ² − ¹ ₃ e ⁻

25: 2 + √

7 26: 2 27: ^π ₃ 28: a √

3 29: ^√ ₃ ³ 30: _{1+tan φ} ^c

1

C. L¨ osning I: L˚ at ABCD vara den givna parallellogrammen, med |AB| =

|CD| = a, |BC| = |DA| = b, |BD| = b, och |AC| = 2b. Dra DP och CQ vinkelr¨ att mot linjen AB, d¨ ar P och Q ligger p˚ a linjen AB. Triangeln ABD ¨ ar likbent och DP ¨ ar h¨ ojd mot basen i den, vilket betyder att |AP | = |BP | = a

2 . Trianglarna AP D och BQC ¨ ar kongruenta (likformiga med proportionalitetskon- stant 1), eftersom de har lika vinklar och ett par motsvarande sidor lika (hy- potenusorna). Det f¨ oljer att |BQ| = |AP | = a

2 , och |DP | = |CQ|. Pythagoras sats f¨ or de tv˚ a r¨ atvinkliga trianglarna BQC och AQC ger nu

b ² − ( a 2

) 2

= |CQ| ² = (2b) ² − ( 3a

2 ) 2

,

s˚ a att 2a ² = 3b ² , och a b =

√ 3 2 =

√ 6

2 .

L¨ osning II: Vi anv¨ ander samma beteckningar som ovan. Inf¨ or ¨ aven beteck- ningarna ∠ADB = φ, ∠DAB = α. Triangeln ABD ¨ar likbent, allts˚a ¨ar dess basvinklar lika, ∠ABD = ∠DAB = α. Dessutom ¨ar ∠BDC = ∠ABD, som alternatvinklar vid parallella linjer. Vi har φ = 180 ^◦ − 2α. Cosinussatsen f¨or trianglarna ABD och ACD ger

b ² =a ² + b ² − 2ab cos α;

4b ² =a ² + b ² − 2ab cos (α + φ) = a ² + b ² − 2ab cos (180 ^◦ − α) =

=a ² + b ² + 2ab cos α,

s˚ a att 2ab cos α = a ² = 3b ² − a ² , och vi f˚ ar igen a b =

√ 3 2 =

√ 6 2 .

2