Chalmers: Arkitektur och teknik, Kemiteknik med fysik, Teknisk fysik, Teknisk matematik

(1)

Chalmers: Arkitektur och teknik, Kemiteknik med fysik, Teknisk fysik, Teknisk matematik

KTH: Elektroteknik, Farkostteknik, Simuleringsteknik och virtuell design, Teknisk fysik

Antagningsprov 2014 - MATEMATIK - SVAR

A. 1a 2d 3d 4b 5d 6c 7a 8d 9b 10c 11a 12d 13b 14a 15c 16b 17b 18c 19b 20d

B. 21: −

₁₂₆⁸⁵

22: 0

23: −4(2 + √ 3) 24:

⁶⁵₂

−

¹₂

e

⁻⁴

+

¹₂

e

⁻²

25: 2

26: Det finns inga reella l¨ osningar.

27:

¹₂

28: √

7 + 2 √ 6 29: 6 √

2 30: 8 √

3

1

(2)

C. L¨ osning: Vi b¨ orjar med att best¨ amma de x, f¨ or vilka de inblandade funk- tionerna ¨ ar definierade. Ingen av n¨ amnarna f˚ ar bli 0, vilket betyder att x inte f˚ ar vara lika med −2 eller 1, det vill s¨aga

x ̸= −2, x ̸= 1.

Vi flyttar ¨ over alla termer till v¨ ansterledet f¨ or att kunna j¨ amf¨ ora med 0, och skriver sedan om v¨ ansterledet s˚ a att vi hela tiden f˚ ar ekvivalenta olikheter:

x − 1

x

²

+ 4x + 4 ≤ 1

x − 1 ⇔ x − 1

(x + 2)

²

− 1 x − 1 ≤ 0

⇔ (x − 1)

²

− (x + 2)

²

(x − 1)(x + 2)

²

≤ 0

⇔ (x − 1 − x − 2)(x − 1 + x + 2) (x − 1)(x + 2)

²

≤ 0

⇔ 2x + 1

(x − 1)(x + 2)

²

≥ 0.

Eftersom (x+2)

²

> 0 (kom ih˚ ag att x ̸= −2), ¨ar den sista olikheten ekvivalent med olikheten

2x + 1 x − 1 ≥ 0.

Alla l¨ osningar ges av de till˚ atna x, f¨ or vilka t¨ aljaren ¨ ar lika med 0, eller f¨ or vilka t¨ aljaren och n¨ amnaren har samma tecken. B˚ ada ¨ ar negativa f¨ or alla x s˚ adana att −∞ < x < − 1

2 , medan b˚ ada ¨ ar positiva f¨ or alla x s˚ adana att 1 < x < ∞.

Det betyder att den givna olikhetens l¨ osningar ¨ ar alla x som antingen ¨ ar mindre

¨

an eller lika med − 1

2 , utom x = −2, eller är större än 1, det vill säga alla x som uppfyller

−∞ < x < −2 eller − 2 < x < − 1

2 eller 1 < x < ∞.

2