Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 2009 - MATEMATIK - SVAR

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 2009 - MATEMATIK - SVAR

A.

1b2d 3c4d 5b6d 7d8c 10d9b 11c12b 13d14c 15a16a 17d18a 19b20a

B.

21: −₁₁₉⁴⁵ 22: −1 23: ^2√₃²

24: ¹⁹⁹₂₀ + e⁻¹− e⁻² 25: 1 +√

2 26: ^10π₃ 27: 4 28: −6 29: a²√

3 30: ⁴₃

1

C.Lösning: Eftersom triangeln ABC är likbent och ∠C = 90^◦, får vi (enligt basvinkel- satsen) att ∠A = ∠B = 45^◦. Dessutom är det givet att ∠ACP = ∠P CQ = ∠QCB =

1

3 · 90^◦ = 30^◦. Sinussatsen, tillämpad på triangel AP C, ger

|AP |

sin 30^◦ = |CA|

sin(180^◦− 45^◦− 30^◦) = 1 sin 105^◦.

Vi kan räkna ut sin 105^◦ genom att använda formeln för sinus av en summa

sin 105^◦ = sin(60^◦+ 45^◦) =

√3 2 ·

√2 2 + 1

2·

√2 2 =

√6 +√ 2

4 .

För sträckan AP får vi

|AP | = sin 30^◦ sin 105^◦ = 1

2 · 4

√6 +√

2 = 2

√6 +√

2 = 2(√ 6 −√

2) 6 − 2 =

√6 −√ 2

2 .

På samma sätt får vi (ur triangeln BCQ) att

|BQ| = |AP | =

√6 −√ 2

2 .

Pythagoras' sats ger |AB| = p|CA|²+ |CB|² =√

2, och det följer att

|P Q| = |AB| − |AP | − |BQ| =√ 2 − 2 ·

√6 −√ 2 2 = 2√

2 −√ 6.

2