TNA001
Kontrollskrivning 1 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2013-08-30 Sixten Nilsson
1. A är sant, ty produkten av linjernas riktningskoefficienter är −1.
B är falskt, ty linjerna har inte samma riktningskoefficient.
C är sant, ty punkten (1,2) satisfierar båda linjernas ekvationer.
D är sant, ty om vi sätter = 0 i ekvationen 3 + − 7 = 0 får vi = 7.
Svar: A, C, D
2. A är sant, vilket kan inses genom att HL = −1( − ) = (−1) ( − ) = ( − ) = VL.
B är falskt, ty ( + ) = | + | ≠ + om + < 0.
C är falsk, ty låt t.ex. = 1, = −1 så har vi VL = |1 − 1| = 0 ≠ |1| + |−1| = 2 = HL. Anm: Allmänt gäller triangelolikheten: | + | ≤ | | + | |.
D är sant, ty betrakta olika fall med positiva eller negativa reella tal och . E är falskt, ty låt t.ex. = 1, = 3 så har vi VL = ≠ = = HL.
Svar: A, D
3. A är inte ekvivalent med given olikhet ty jämfört med den givna olikheten betraktar vi i A enbart fallet 1 − > 0. Anm: Olikheten i A saknar lösning medan den givna olikheten gäller för alla ∈ ]1, ∞[.
B är ekvivalent med given olikhet, ty vi har multiplicerat given olikhet med (−1), vilket gör att olikhetstecknet blir omvänt.
C är ekvivalent med given olikhet, ty den är en omskrivning av den givna.
D är ekvivalent med given olikhet, ty den är en omskrivning av den givna.
Svar: B, C, D
4. Vi skall beräkna ∑ (3 − 1) = [aritmetisk summa] = (2 + (3 ∙ 200 − 1)) = 60100.
Svar: 60100
5. Ekvationen har en lösning = 1, ty vi har 1 − 4 ∙ 1 + 4 ∙ 1 − 1 = 0. Enligt faktorsatsen är alltså ( − 1) faktor i ekvationens vänstra led, d.v.s. vi har att den givna ekvationen är ( − 1) ( ) = 0, där k(x) fås via polynomdivisionen = ( ) (polynomdivisionen utförs inte här).
Vi får att ( ) = − 3 + 1, och alltså är vår ekvation ekvivalent med
( − 1)( − 3 + 1) = 0 ⇔ − 1 = 0 eller − 3 + 1 = 0 ⇔ = 1 eller =3 2±√5
2. (Anm: Lösningen av andragradsekvationen redovisas inte här.)
Svar: = 1 eller = ±√ .
