TNA001
Kontrollskrivning 4 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2016-10-06 Sixten Nilsson
Version A
1. Systemet kan skrivas
1 2 −2 2 5 −3 3 8 −4
1 3 5
⟺
1 2 −2
0 1 1
0 2 2
1 1 2
⟺
1 2 −2
0 1 1
0 0 0
1 1 0
⟺
= −1 + 4
= 1 −
=
, ∈ ℝ
Svar: =
−1 1 0
+ 4
−1 1
, ∈ ℝ
2. a) T ex 2 4 2
ty 2 4 2
= 2 1 2 1
.
b) T ex 1 0
−1 ty
1 2 1
∙ 1 0
−1
= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 0 + 1 ∙ (−1) = 0.
Svar: a) 2 4 2
, b) 1 0
−1 3. A är sant, ty 3 + 2 ∙ 1 − 2 ∙ 0 = 5.
B är falskt, ty linjens riktningsvektor är planets normalvektor, och linjen och planet har därför endast en punkt gemensam.
C är sant, ty punkten (3, 1, 0) ligger i planet och vektorerna 2 0 1
respektive 2
−1 0
är parallella med planet.
D är sant, ty
−2
−4 4
= −2 1 2
−2
= −2 .
Svar: A, C, D
4. A är sant, ty skalärprodukt ger 1 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ (−1) = 1 > 0.
B är sant, ty |3 − 2 | = 3 1 0 1
− 2 2 2
−1
=
−1
−4 5
= (−1) + (−4) + 5 = √42.
C är falskt, ty skalärprodukten är ett tal, ej en vektor.
D är sant, ty det är alltid sant oavsett och . E är sant, ty || = ∙
∙ = .
Svar: A, B, D, E
5. En riktningsvektor för linjen ges av = 4
−1 7
− 3 0 5
= 1
−1 2
.
Detta ger linjens ekvation = 3 0 5
+ 1
−1 2
, ∈ ℝ.
Linjens ekvation insatt i planets ekvation ger
3(3 + ) + (− ) − 2(5 + 2 ) = 3 ⟺ −1 − 2 = 3 ⟺ = −2
som ger skärningspunkten ( , , ) = (3 − 2 ∙ 1, (−2) ∙ (−1), 5 + (−2) ∙ 2) = (1, 2, 1).
Svar: ( , , ) = (1, 2, 1)
Version B
1. Systemet kan skrivas
1 2 −2 2 5 −3 3 8 −4
1 3 5
⟺
1 2 −2
0 1 1
0 2 2
1 1 2
⟺
1 2 −2
0 1 1
0 0 0
1 1 0
⟺
= −1 + 4
= 1 −
=
, ∈ ℝ
Svar: =
−1 1 0
+ 4
−1 1
, ∈ ℝ
2. a) T ex 1 0
−1 ty
1 2 1
∙ 1 0
−1
= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 0 + 1 ∙ (−1) = 0.
b) T ex 2 4 2
ty 2 4 2
= 2 1 2 1
.
Svar: a) 1 0
−1 , b)
2 4 2
3. A är sant, ty
−2
−4 4
= −2 1 2
−2
= −2 . B är sant, ty 3 + 2 ∙ 1 − 2 ∙ 0 = 5.
C är falskt, ty linjens riktningsvektor är planets normalvektor, och linjen och planet har därför endast en punkt gemensam.
D är sant, ty punkten (3, 1, 0) ligger i planet och vektorerna 2 0 1
respektive 2
−1 0
är parallella med planet.
Svar: A, B, D 4. A är falskt, ty skalärprodukten är ett tal, ej en vektor.
B är sant, ty skalärprodukt ger 1 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ (−1) = 1 > 0.
C är sant, ty det är alltid sant oavsett och . D är sant, ty || = ∙
∙ = .
E är sant, ty |3 − 2 | = 3 1 0 1
− 2 2 2
−1
=
−1
−4 5
= (−1) + (−4) + 5 = √42.
Svar: B, C, D, E
5. En riktningsvektor för linjen ges av = 4
−1 7
− 3 0 5
= 1
−1 2
.
Detta ger linjens ekvation = 3 0 5
+ 1
−1 2
, ∈ ℝ.
Linjens ekvation insatt i planets ekvation ger
3(3 + ) + (− ) − 2(5 + 2 ) = 3 ⟺ −1 − 2 = 3 ⟺ = −2
som ger skärningspunkten ( , , ) = (3 − 2 ∙ 1, (−2) ∙ (−1), 5 + (−2) ∙ 2) = (1, 2, 1).
Svar: ( , , ) = (1, 2, 1)
