Examensarbete
Tidig algebra
- En litteraturstudie om centrala delar och kritiska aspekter i undervisningen om tidig algebra för
elever i lågstadiet i ämnet matematik
Författare: William Alin & Emelie Einarsson
Handledare: Andreas Ebbelind Examinator: Lena Fritzén Termin: HT19
Kurs:Matematik och
matematikdidaktik, Självständigt arbete I (grundlärare), 15 hp Nivå: Avancerad
Kurskod:4GN02E
Institutionen för matematik
Abstrakt
I den här systematiska litteraturstudien fokuseras lärandet och undervisningen inom tidig algebra. Syftet med studien är att synliggöra centrala delar och kritiska aspekter i undervisningen om tidig algebra för elever i lågstadiet. För att få fram ett resultat analyseras vetenskapliga artiklar. Studiens resultat grundas i tolv vetenskapliga artiklar som svarar på syftet och frågeställningarna. I studiens resultat presenteras olika sätt av lärande och undervisning inom algebra som analyseras utifrån variationsteorins centrala begrepp. De centrala begreppen är lärandeobjekt, kontrast, separation, generalisation, fusion och variationsmönster. Genom denna kategorisering får studien en klarare bild över vilka delar inom tidig algebra som är centrala samt vad som blir kritiska aspekter i undervisningen. Elever hamnar ofta i svårigheter med algebra då flera kritiska moment finns inom arbetsområdet. Läraren har därför en betydelsefull roll när ett lärande sker inom algebra för eleverna. En viktig förutsättning för lärande är variation. Variationen möjliggör för eleverna att lära sig nya saker. I resultatet diskuteras likhetstecknets betydelse, aritmetikens grundkunskaper samt ekvationers roll inom algebra.
Nyckelord
Matematik, tidig algebra, undervisning, lågstadiet, variationsteorin, likhetstecknet, aritmetik, ekvationer.
Tack
Ett stort tack till vår handledare Andreas Ebbelind som stöttat oss genom hela arbetsprocessen samt till de klasskamrater som har opponerat på vårt arbete och hjälpt oss vidare i studien.
Innehållsförteckning
1 Inledning ____________________________________________________________ 1
2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 3 2.1 Syfte ___________________________________________________________ 3 2.2 Frågeställningar __________________________________________________ 3 3 Teoretisk bakgrund ___________________________________________________ 4 3.1 Variationsteori ___________________________________________________ 4 3.2 Variatonsteorins centrala delar _______________________________________ 5 3.2.1 Lärandeobjekt ________________________________________________ 5 3.2.2 Kontrast _____________________________________________________ 5 3.2.3 Separation ___________________________________________________ 5 3.2.4 Generalisation ________________________________________________ 5 3.2.5 Fusion ______________________________________________________ 6 3.2.6 Variationsmönster _____________________________________________ 6 3.3 Operationalisering ________________________________________________ 6 4 Metod ______________________________________________________________ 7 4.1 Insamlingsmetod __________________________________________________ 7 4.2 Databassökning ___________________________________________________ 7 4.3 Manuellt urval ___________________________________________________ 8 4.4 Övrig litteratur ___________________________________________________ 8 4.5 Analysmetod _____________________________________________________ 9 4.6 Etiska överväganden _______________________________________________ 9 5 Resultat ____________________________________________________________ 10 5.1 Lärandeobjekt - vad eleven ska lära sig _______________________________ 10 5.2 Kontrast - objekt eller värden jämför sig gentemot varandra ______________ 12 5.3 Separation - en förståelse över helhet och delar ________________________ 13 5.4 Generalisation - ett värde fokuseras där andra aspekter separeras __________ 14 5.5 Fusion - olika faktorer som påverkar lärandet __________________________ 15 5.6 Variationsmönster - en variation i undervisningen ______________________ 16 5.7 Centrala delar / Kritiska aspekter i tidig algebra ________________________ 17 5.7.1 Likhetstecken ________________________________________________ 18 5.7.2 Aritmetik ___________________________________________________ 18 5.7.3 Ekvationer __________________________________________________ 19
6 Diskussion __________________________________________________________ 20 6.1 Resultatdiskussion _______________________________________________ 20 6.1.1 Centrala delar i tidig algebraundervisning _________________________ 20 6.1.2 Kritiska aspekter i tidig algebraundervisning _______________________ 21 6.2 Metoddiskussion _________________________________________________ 21 6.3 Vidare forskning _________________________________________________ 22 7 Sammanfattning ____________________________________________________ 23
Referenslista _________________________________________________________ 24
Bilagor ______________________________________________________________ 27 Bilaga 1. Sökschema ________________________________________________ 27 Bilaga 2. Delar av Analysschemat ______________________________________ 31
1 Inledning
Ämnet matematik är ett betydelsefullt arbetsområde i de svenska skolorna eftersom matematik följer eleverna hela skoltiden från förskolan fram till slutet av högstadiet och är i stort fokus då ämnet undervisas i 1230 timmar sammanlagt. Trots detta finns det högstadieelever som har bristande grundläggande kunskaper inom en del områden i matematikundervisningen (Skolverket, 2011 rev.2018; Skolverket, 2019). Ett av områdena som eleverna har svårigheter i är algebra som beskrivs som en användning av bokstavsbeteckningar istället för tal. En möjlig orsak till svårigheterna i algebra kan vara att eleverna inte under tidigare år fått en undervisning som skapat ett lärande och en förståelse (Brorsson, 2012; Skolverket, 2011 rev. 2017).
Algebra för elever i lågstadiet är ett omdiskuterat ämne i hela världen då det finns både negativa och positiva aspekter kring algebra. De forskare som är skeptiska till att arbeta med algebra i de tidiga skolåren anser att algebra är för elever med fallenhet samt att elever istället bör fokusera på aritmetik som beskrivs som läran att räkna med olika former av tal (Brizuela & Schlimann, 2004; Brorsson, 2012). Trots forskarnas negativa aspekter med algebra i lågstadiet finns det forskare som tar fram positiva aspekter. De forskare som har en positiv inställning till algebra i den tidiga skolåldern lyfter fram elevernas möjlighet att skapa en större förståelse över likhetstecknet samt hur eleverna kan göra enklare matematiska generaliseringar (Brorsson, 2012). De positiva aspekterna är något som Skolverket anser är betydelsefullt då de har valt att införa arbetsområdet algebra i både det centrala innehållet samt kunskapskraven för ämnet matematik i lågstadiet (Skolverket, 2011 rev.2018).
I den verksamhetsförlagda utbildningen (VFU) träffar vi elever i lågstadiet som har svårigheter kring de algebraiska delarna inom matematiken. Vi upplever att elever har svårt med att förstå betydelsen av likhetstecknet, de ser det som att de ska göra en beräkning istället för att förstå innebörden av symbolen. Den andra svårigheten som observeras är att eleverna har svårt med algebra vid problemlösningar där ekvationer används. Den tredje och sista upplevelsen som iakttas är elevernas bristande kunskaper i hur uttryck kan bestå av variabler istället för tal. Utifrån observationer i klassrummen uppleves det att eleverna saknar en fördjupad förståelse av de algebraiska delarna.
Elevernas kunskaper om algebra i lågstadiet har betydelse inför framtiden då algebra förekommer både i gymnasiet och vardagslivet. Saknar eleverna grunden för hur de ska
använda algebra är det svårt när det tillkommer nya moment inom arbetsområdet (Brorsson, 2012). Vi anser därför att det är viktigt att skapa en djupare förståelse över vad vi som blivande lärare kan göra för att undervisningen ska skapa ett fungerande och hållbart lärande.
Sammanfattningsvis ser vi att algebra är en svår del inom matematiken och för att eleverna ska komma vidare i sin utveckling krävs det att eleverna får en bra grund av matematikkunskaper som går att bygga vidare på. Svårigheterna skapar därför ett intresse hos oss att undersöka mer om algebra för att få kunskaper om hur läraren kan skapa bästa möjliga grund för arbetsområdet algebra.
2 Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med litteraturstudien är att analysera centrala delar och kritiska aspekter i undervisningen om tidig algebra för elever i lågstadiet.
2.2 Frågeställningar
• Vilka centrala delar gällande undervisningen lyfts fram för att skapa ett långsiktigt lärande inom tidig algebra?
• Vilka kritiska aspekter beskrivs i relation till att undervisa om tidig algebra?
3 Teoretisk bakgrund
Variationsteorin är studiens teoretiska utgångspunkt som i sin tur har sin grund i fenomenografin. Fenomenografin beskrivs som ett intresse för hur människor upplever samma fenomen eller sak (Lo, 2014) medan variationsteorin beskrivs som hur lärandet i en undervisningssituation kan uppfattas på olika sätt av elever. Exempelvis vid en genomgång av likhetstecknets betydelse där några elever förstår symbolen på ett sätt medans andra förstår det på ett annat (Kullberg, Runesson & Marton, 2017). I studien tolkas variationsteorin utifrån Kullberg et al., 2017; Lo, 2014. I detta avsnitt tolkas och beskrivs de centrala begrepp inom variationsteorin som är viktiga för denna studie. Dessa centrala begrepp är lärandeobjekt, kontrast, separation, generalisation, fusion och variationsmönster. Avslutningsvis i detta kapitel redogörs teorins operationalisering till genomförandet av studien.
3.1 Variationsteori
Inom variationsteorin beskrivs lärande utifrån upplevelser av kritiska aspekter baserat på hur lärandet och innehåll har synliggjorts (Kullberg et al., 2017). Kritiska aspekter innebär att läraren ska hitta det väsentliga i vad som ska läras ut till den nuvarande elevgruppen för att eleverna ska kunna utvecklas inom ett specifikt lärande (Lo, 2014). I frågan om vad som ska läras ut finns det tre steg som bör granskas. Det första handlar om innehållet, det andra om utbildningsmålet och det tredje om vad som behövs läras då eleverna kan uppfatta innehållet på olika sätt vilket gör att en variation i undervisningen bör ske (Kullberg et al., 2017).
Lo nämner variationsteorin som en utveckling för att förbättra undervisningen och lärandet där en variation av arbetssätt ingår. Detta arbete använder inte variationsteorin för att förbättra undervisningen utan snarare söks centrala delar i undervisningen samt vad andra anser är kritiskt i undervisningen av tidig algebra. Variationsteorin menar att det inte enbart går att förlita sig på likheter för att ett lärande ska skapas utan eleven måste därför få ta del av variationer (Lo, 2014).
3.2 Variatonsteorins centrala delar
3.2.1 Lärandeobjekt
Lärandeobjektet beskrivs som “vad” eleven lär sig eller ska lära sig. För att lärandeobjektet ska möjliggöras krävs en fördjupad ämneskunskap hos läraren i ämnet hen undervisar i. Har läraren en tydlig målsättning blir det ett enklare val av innehåll till lektionen som bidrar till att eleverna kan uppnå målen (Lo, 2014).
3.2.2 Kontrast
Begreppet kontrast förklaras som en uppfattning av variation mellan två värden eller objekt som jämförs mot varandra. I jämförelsen letar man efter likheter, skillnader och karaktärsdrag som exempelvis kan synliggöras mellan X och Y i algebra. Inom algebra har X och Y samma betydelse då olika tal gömmer sig bakom bokstaven, vilket är likheten i kontrasten. Skillnaden som finns mellan X och Y är att de kan symbolisera olika värden.
De karaktärsdrag som finns inom X och Y är att de används och fungerar på samma sätt vid en ekvationslösning (Lo, 2014).
3.2.3 Separation
Separation innebär att eleven har en förståelse av del och helhet i en kontext. Det betyder att eleverna måste skapa en förståelse över helheten innan den kan brytas ner till delar.
Separation sker exempelvis när en elev möter en ekvationsuppgift för första gången och ser den som en odelad helhet. För att eleven ska kunna dela upp ekvationen och lösa den behöver eleven ha upplevt andra ekvationsuppgifter (Lo, 2014).
3.2.4 Generalisation
Generalisation förklaras genom att värdet som fokuseras ska vara sig likt och de andra aspekterna som inte varit i fokus ska varieras en i taget. Det värde som fokuseras generaliseras och de andra aspekter som inte fokuseras separeras. Generalisation kan ske med talet tre där det finns flera olika saker som talet tre kan symbolisera, exempelvis tre pennor, tre jackor, sidan tre i en bok eller bokstaven X i algebra. Trean i detta fall generaliseras och föremålen separeras (Lo 2014).
3.2.5 Fusion
Fusion beskrivs som att läraren har en förståelse över de kritiska aspekterna i en undervisningssituation. De finns olika faktorer som kan påverka en undervisningssituation som exempelvis motivation, kvalitét samt strukturen av en lektion.
De kritiska aspekterna kan förändras beroende på vilka förutsättningar som finns i en viss situation (Lo, 2014).
3.2.6 Variationsmönster
Variationsmönster innebär att läraren varierar sin undervisning med samma lektionsinnehåll exempelvis först jämföra olika uppgifter med likhetstecknet för att sedan jämföra likhetstecknet med andra symboler som större än och mindre än.
Variationsmönster anses som ett användbart verktyg för att skapa en struktur över undervisningen och eleverna får då en möjlighet att lära sig lärandeobjektet. Eleverna lär sig det dock endast om eleverna bildar en förståelse över variationsmönstret som används (Lo 2014:122f).
3.3 Operationalisering
I studien är intresset inriktat på de centrala delarna samt de kritiska aspekterna i undervisningen om tidig algebra för elever i lågstadiet. I denna studie kommer därför fokus vara att få svar på vilka centrala delar samt vilka kritiska aspekter som finns i undervisningen inom tidig algebra för elever i lågstadiet. För att få svar på studiens frågor kommer vetenskapliga artiklar granskas utifrån de centrala begreppen inom teorin.
Begreppen kan skapa en större och tydligare förståelse över de centrala och kritiska delarna i undervisningen om tidig algebra.
4 Metod
I metodavsnittet presenteras först metoden för insamlandet av datan för den systematiska litteraturstudien. En systematisk litteraturstudie innebär att vetenskapliga artiklar kritiskt granskas och sammanställs inom ett specifikt område för att få svar på syfte och frågeställningar (Eriksson Barajas, Forsberg, Wengström, 2013). Efter insamlandet av data för den systematiska litteraturstudien redogörs sökningarna som har gjorts för att hitta lämplig data som samlats in för att kunna svara på studiens frågeställningar vilket redogörs i databassökningen. Urvalet som gjorts förklaras i delen manuellt urval där en inblick över hur studien fått fram relevant litteratur som är kopplad till studiens syfte och frågeställningar. I studien används övrig litteratur för att förklara teorin. I slutet av metodavsnittet nämns de etiska överväganden som har gjorts i studien.
4.1 Insamlingsmetod
I studien har databasen ERIC (Educational Resource Information Center) använts för att hitta olika vetenskapliga artiklar. ERIC innehåller utbildningsvetenskapliga publikationer som är lämpligt för en systematisk litteraturstudie. Sökningarna på vetenskapliga artiklar har skett under ett flertal dagar. Ett flertal olika sökord har använts för att hitta vetenskapliga artiklar som kan svara på studiens frågeställningar.
4.2 Databassökning
Databasen ERIC är en stor databas med fokus på undervisning där flertalet artiklar är peer-reviewed vilket skapar en trovärdighet i de vetenskapliga artiklarna. De sökord som har använts för att få fram relevant litteratur är equivalence, primary education, mathematics, understanding, algebra och prealgebra. De avgränsningar som används för alla vetenskapliga artiklarna är peer-reviewed, publikationsår mellan 2000-2019 och är skrivna på antingen svenska eller engelska. I första sökningen användes sökorden (equivalence* AND primary education*) AND (mathematics*) där sökningen gav 32 träffar. Utifrån träffarna användes en artikel då de andra artiklarna inte var relevanta i vår sökning då fokus endast fanns för att hitta artiklar som handlade om undervisning. I andra sökningen användes sökorden equivalence AND (primary education) AND (Mathematics) AND (understanding) där sökningen gav 18 sökträffar. Av 18 sökträffar användes en vetenskaplig artikel då övriga artiklar i denna sökning innehöll fokus på klassrum. I den tredje sökningen användes sökorden Algebra* AND (primary education)
AND (Mathematics) AND (understanding) som gav totalt 63 sökträffar. Av 63 sökträffar användes endast en artikel eftersom resterande artiklar inte kopplades till tidig algebra. I den fjärde sökningen användes sökorden (prealgebra* AND primary education*) AND (mathematics*) där sökningen gav sju träffar. Från sökträffarna användes fem vetenskapliga artiklar då denna sökning var mer specifik och inriktad på lärandet och undervisningen inom algebra för elever i lågstadiet. I den femte sökningen användes sökorden algebra AND (primary school) där sökningen gav 142 träffar. Av alla träffar användes en artikel då studiens intresse var tidig algebra och inte algebra vilket många artiklar handlade om i denna sökning. I den sista sökningen användes sökordet (prealgebra*) som gav 51 sökträffar där en artikel användes då de andra artiklarna innehöll beräkningar och annat innehåll som inte var relevant för denna undersökning.
För en tydligare bild över vår sökning (se bilaga 1). Flera artiklar i vår sökning har uteslutits då de inte kunde ge svar på studiens forskningsfrågor.
I studien används ytterligare två vetenskapliga artiklar som har hittats genom en granskning av en annan artikels referenslista. Artikeln som granskades innehöll fakta om tidig algebra samt flera centrala delar inom området vilket skapar en trovärdig undersökning. Dessa två artiklar går att finna i denna studies referenslista.
4.3 Manuellt urval
Vid alla sökningar exkluderades ett antal artiklar utifrån vissa krav. De krav som fanns på artiklarna var att de skulle vara peer-reviewed, skrivna på 2000-talet, på svenska eller engelska samt finnas i fulltext. En del av de vetenskapliga artiklarna uteslöts för att de saknade en huvudrubrik som kunde svara på studiens frågeställningar. Andra artiklar togs bort efter att abstract granskats då artiklarna innehöll algebra för en högre åldersgrupp vilket inte var av intresse. Artiklar som saknade pedagogisk inriktning där undervisning inte var i fokus uteslöts också. Sammanfattningsvis användes tolv vetenskapliga artiklar i denna studie.
4.4 Övrig litteratur
För att kunna förklara teorin har en bok samt en artikel används. Boken heter
“Variationsteori: för bättre undervisning och lärande” skriven av Lo Mun Ling (2014). I boken förklaras variationsteori och centrala begrepp inom variationsteorin. Artikeln heter
“What is made possible to learn when using the variation theory of learning in teaching
mathematics?” skriven av Kullberg, Runesson & Marton (2017) och i denna artikeln förklaras även variationsteori samt de centrala begreppen inom variationsteorin.
4.5 Analysmetod
Resultatet i den systematiska litteraturstudien utgår ifrån den insamlade data som kritiskt granskats och analyserats. Tolv vetenskapliga artiklar har använts i denna studie där elva vetenskapliga artiklar har kopierats in i worddokument för att kategoriseras utifrån variationsteorins begrepp. En artikel har skrivits ut och markerats då artikeln var i fel format för att kunna föras över till ett worddokument. För att få en tydlig överblick över vilka centrala delar samt kritiska aspekter som finns i tidig algebra har de fetmarkerats i artiklarna. Utifrån de centrala delar samt kritiska aspekter som framkommit i de vetenskapliga artiklarna har en granskning och analys gjorts. Analysen utgår ifrån de centrala begreppen inom variationsteorin. Alla centrala begrepp i variationsteorin har markerats med en individuell färg för att enklare kunna urskilja dem från varandra. Då studien grundades på variationsteorin finns ett fokus på undervisning och lärande i analysen. För att få en tydligare bild över hur analysen har gått till finns exempel att se i bilaga 2.
4.6 Etiska överväganden
När en systematisk litteraturstudie genomförs finns det etiska överväganden som bör beaktas. En av dessa överväganden är att skapa en trovärdig forskning vilket görs genom att använda peer-reviewed granskning av artiklar. När en artikel har blivit peer-reviewed granskad fastställs det att artikeln är vetenskaplig (Vetenskapsrådet, 2017). Detta följs i denna systematiska litteraturstudie då endast peer-reviewed granskade artiklar används.
Ett annat etiskt övervägande är att forskaren ska vara objektiv och inte ha några förutfattade meningar. Forskaren måste alltid vara neutral och får därför inte ta parti för något forskaren själv tycker till om (Vetenskapsrådet, 2017). Detta följer studien genom att inte förvränga något i forskningen till egna åsikter. I studien valdes de vetenskapliga artiklarna utifrån att få svar på frågeställningarna. För att få ett trovärdigt resultat har även ett flertal vetenskapliga artiklar använts i studien. Dessa artiklar är inte valda för att ge ett önskat svar åt studien.
5 Resultat
I resultatdelen kommer variationsteorins centrala begrepp att granskas utifrån tolv vetenskapliga artiklar där tidig algebra är i fokus. Utifrån variationsteorins centrala begrepp kommer centrala delar samt kritiska aspekter diskuteras utifrån artiklarna.
5.1 Lärandeobjekt - vad eleven ska lära sig
Utifrån de tolv vetenskapliga artiklarna för studien är det sju artiklar som tar upp viktiga delar samt brister inom undervisningen i algebra. Det som ska läras ut inom tidig algebraundervisning är relationell förståelse av likhetstecknet, relationen mellan aritmetik och algebra, användningen av strategier, målsättningen för de olika delarna samt att kunna tolka ekvationer med kända och okända mängder där variabler förekommer (Blanton et al., 2015; Brizuela & Schlimann, 2004; Byrd, McNeil, Chesney & Matthews, 2015;
Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2014; Fyfe, Matthews, Amsel, McEldoon & McNeil, 2018; Pepin, Bergem & Klette, 2014).
Många elever beskriver definitionen av likhetstecknet genom en operationell definition som innebär att eleven endast ser likhetstecknet som att “få svaret” eller som “det totala”.
Detta kan bidra till att eleverna får problem att förstå de olika matematiska delarna och har svårt med olika beräkningar inom matematiken. Istället kan en relationell syn på likhetstecknet bidra med hjälp för lärandet till elever i lågstadiet. En relationell förståelse innebär att eleverna skapar en bredare och djupare kunskap inom likhetstecknet vilket gör att eleverna förstår att det ska finnas en balans mellan likhetstecknets båda sidor (Fyfe et al., 2018). Elevers tolkningar av likhetstecknet har en betydelse gällande deras utveckling av algebraiska tankar. Därför är det viktigt som lärare att möjliggöra för eleverna ett skapande av en relationell syn av likhetstecknet (Byrd et al., 2015). I en artikel beskrivs det hur elever får lära sig om likhetstecknet genom att använda olika arbetssätt för att lära sig om betydelsen. Exempelvis får eleverna använda verbet “att vara” istället för symbolen av likhetstecknet vilket skapar konsekvenser för elevernas uppfattning.
Elevernas tankar om likhetstecknet har då förändrats från “hitta svaret” till “är detsamma som”. I en undervisningssituation är det viktigt att läraren har funderat över vilka tecken som kommer att användas samt hur tecknet används. Med tanke på att likhetstecknet används på olika sätt krävs en djupare förståelse för lärarens pedagogiska praxis, gester och resursanvändning där begreppet “balansering” är betydelsefullt. Om likhetstecknet ses på en artefaktnivå, finns det tre olika nivåer som heter primär artefakt, sekundär
artefakt samt tertiärt artefakt. I den första nivån, primär artefakt, ser eleverna likhetstecknet som “lika med”, på den andra nivån, sekundär artefakt, är eleverna fästa vid att likhetstecknet innebär “beräkna”, och i den tredje nivån, tertiär artefakt, innebär det att eleverna har skapat en bredare förståelse över likhetstecknet och kan använda flera olika representationer för att beskriva likhetstecknets betydelse. Det är den tredje nivån som läraren bör sträva efter att eleverna ska uppnå (Pepin et al., 2014).
Integrering mellan aritmetik och algebra ses som en viktig del för att eleverna ska skapa en förståelse samt kunna göra generaliseringar mellan de olika matematiska innehållen.
För att eleverna ska kunna få en förståelse krävs en tydlig introduktion av de matematiska delarna inom ett visst område. Som lärare är det därför betydelsefullt att formulera sin undervisning på ett sätt som är på elevernas nivå (Brizuela & Schlimann, 2004). En modell av lärande kallas Kierans verk som fokuserar på lärandet av aritmetisk kompetens.
Detta är en betydelsefull del där läraren studerar elevernas förmåga att arbeta numeriskt samt deras förståelse för operationella lagar och relationella betydelser. Denna förståelse bidrar till elevernas grundkunskaper som kan användas vid algebraiska uttryck (Fuchs et al., 2012).
För att lära ut steg-för-steg-strategier, det vill säga “meta ekvationer” börjar eleven först med att identifiera problemet genom att bland annat kombinera, jämföra och bygga ett schema kring texten. Detta bidrar till att eleverna får ta del av en strategi som minskar deras krav på användningen av arbetsminnet samt deras resonemang. Genom att utföra en sådan här strategi kan eleverna komma vidare i sin förståelse och fokusera på rätt saker vid rätt tillfällen av problemlösningar med ekvationer som innehåller variabler (Fuchs et al., 2014). För att undervisningen inom ekvationer ska kunna läras ut bör läraren formulera tydliga mål och skapa en undervisning som möjliggör att dessa strategier kan befästas hos eleverna. När läraren exempelvis ska arbeta med målet “att kunna tolka ekvationer och skriva dessa i olika format” bryts mål ner för att bli tydligare för eleverna.
Eleverna ska då kunna lösa ekvationer med öppna tal (8+6 = __+ 5), kunna använda variabla uttryck för att förklara en problemsituation samt kunna identifiera en variabel som representerar en okänd mängd. Varje lektion bör ha grundläggande mål som talar om vilken kunskap samt vilka förmågor eleverna bör utveckla under en specifik lektion (Blanton et al., 2015).
5.2 Kontrast - objekt eller värden jämför sig gentemot varandra
I elva artiklar synliggörs kontrast genom en jämförelse av likhetstecknets relationella förståelse med den operationella förståelsen, begreppen jämlikhet och likvärdighet, matematiska uttryck med siffror, bokstäver och symboler samt okända och kända mängder (Blanton et al., 2015; Brizuela & Schliemann 2004; Driver & Powell, 2015;
Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Fyfe et al., 2018; Matthews, Rittle-Johnson, McEldoon & Taylor, 2012; Pepin et al 2014; Powell et al., 2014; Powell
& Fuchs, 2014).
Inom algebra anses relationell förståelse av likhetstecknet som ett grundläggande moment där det är viktigt att fokusera på de olika begrepp som finns runt likhetstecknet och inte endast fokusera på symbolen. Begreppen som bör jämföras gentemot varandra är operationell förståelse och relationell förståelse samt, begreppen jämlikhet och likvärdighet (Blanton et al., 2015; Matthews et al., 2012; Pepin et al.,2014). När eleverna skapar en relationell förståelse av likhetstecknet kan denna kunskap användas på ett framgångsrikt sätt när de ska lösa olika ekvationer som innehåller uttryck på båda sidorna av likhetstecknet. Elevernas förmåga att kunna beskriva relationer, se samband samt kunna göra generaliseringar utifrån de olika uttrycken bidrar till en djupare förståelse av hur jämlikhet skapas (Blanton et al., 2015; Fyfe et al., 2018; Matthews et al., 2012;).
I algebraiska uttryck anser forskare att det är betydelsefullt att göra jämföranden för att bygga en relationell kunskap inom algebra. Vid en jämförelse kan det skapas en relation mellan fysiska attributer av objekt och de matematiska uttrycken som berör siffror, bokstäver och symboler i aritmetik samt ekvationer. De symboler inom matematiken som kan användas vid jämförandet är exempelvis +, -, = och olika variabler som X och H samt siffror som 2 och 7 (Brizuela & Schliemann, 2004).
När en jämförelse används får eleverna en större förståelse av hur förändringar och kombineringar mellan olika uttryck kan uppstå. När eleven har uppfattat de likheter, skillnader och karaktärsdrag hos två olika uttryck kan eleverna använda dessa kunskaper i andra liknande uppgifter (Brizuela & Schliemann, 2004; Driver & Powell, 2015; Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2014; Matthews et al., 2012; Powell & Fuchs, 2014). En annan betydelsefull del inom algebra är att skapa en förståelse i relationen mellan okända och kända mängder. Eleverna kan exempelvis se relationen mellan symbolen X som en okänd
mängd och talet fyra som den kända mängden. När eleverna förstår relationen mellan det okända och kända kan de utveckla sina kunskaper inom algebra med fler variabler (Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014).
5.3 Separation - en förståelse över helhet och delar
I nio artiklar synliggörs separation där eleverna måste skapa en förståelse över helheten inom matematiken innan den kan brytas ner till algebra. De separationer som framkommit är den relationella förståelsen av likhetstecknet, matematiska symboler och begrepp, aritmetiken, multiplikation, matematiska ord och fraser, samt strategier och variabler (Byrd,et al., 2015; Driver & Powell, 2015; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Fyfe et al., 2018; Matthews et al., 2012; Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014; Powell & Fuchs, 2014).
För att arbeta med algebra krävs det att eleverna skapar en relationell förståelse av likhetstecknets innebörd innan de kan förstå och utvecklas inom de algebraiska delarna (Byrd et al., 2015; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Fyfe et al., 2018; Matthews et al., 2012; Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014). Symbolen för likhetstecknet är en viktig grund inom arbetet med algebra men fokuset bör inte endast vara på likhetstecknet utan även andra symboler. Eleverna gynnas av att arbeta med flera symboler samt begrepp i olika situationer för att se hur symbolerna arbetar tillsammans (Driver & Powell, 2015;
Pepin et al., 2014;).
Aritmetiken ses som en grund i algebra och eleverna bör ha införskaffat sig en förståelse över aritmetiken innan de arbetar med algebra. Det gör att eleverna lättare skapar en bild över hur algebra fungerar och lättare kan utveckla kunskaper inom algebra (Byrd et al., 2015; Fuchs et al., 2014; Fyfe et al., 2018; Powell et al., 2014). En grundläggande del i aritmetiken är multiplikation. Eleverna bör få en förståelse om hur de ska arbeta med multiplikation innan ett arbete med algebra görs för att eleverna kan blanda ihop symbolen X inom algebra med symbolen X i multiplikation (Driver & Powell, 2015;
Powell & Fuchs, 2014)
En gynnsam väg till ett lärande inom algebra är att först få en förståelse över det matematiska språket i helhet samt ett lärande över ord och fraser inom algebra (Fuchs et.,
2016; Powell et al., 2014). Ett sätt att arbeta med ord och fraser inom algebra är att arbeta med problemlösningsuppgifter för att det ses som en grund till ett lärande i algebra. När eleverna har utvecklat sina ord och fraser med användning av problemlösningsuppgifter kan läraren utmana eleverna med att använda variabler i sina problemlösningsuppgifter (Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Fyfe et al., 2018).
5.4 Generalisation - ett värde fokuseras där andra aspekter separeras
I sju artiklar ses generalisation genom likhetstecknet, nummerfamilj inom aritmetik samt ekvationer (Blanton et al., 2015; Brizuela & Schliemann, 2004; Driver & Powell, 2015;
Fuchs et al., 2016; Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014; Powell & Fuchs, 2014).
Likhetstecknet är ett värde som fokuseras i arbetsområdet algebra. Det finns olika exempel på hur likhetstecknet fokuseras medans andra aspekter runt likhetstecknet varieras. Exempelvis genom att läraren visar ett likhetstecken på tavlan och säger att det ska vara lika mycket på båda sidorna av likhetstecknet, skriver likhetstecken med ord under symbolen och stryker under ordet för att just förtydliga ordet “lika” (Pepin et al., 2014). I ett annat exempel berättar läraren muntligt tre olika scenarion. I alla scenarion är likhetstecknet i fokus där läraren konstant förklarar att båda sidor av likhetstecknet ska innehålla lika mycket. För att skapa varierande aspekter använder läraren kor, vindruvor och bollar som representationsformer (Driver & Powell, 2015).
Om eleverna har kunskaper inom aritmetiken kan de skapa ett smidigare sätt att senare kunna arbeta med algebra. Ett sätt för att utvecklas inom aritmetiken är nummerfamilj vilket är hur en siffra kopplas till andra siffror. Exempelvis vad händer med siffran två om eleven adderar två eller subtraherar med ett. Med användning av nummer familjer kan eleverna arbeta på flera olika sätt. När siffran sex är konstant och resterande aspekter varieras kan det exempelvis se ut såhär 4+2, 8-2, 3+2+1, 3x2 och 12/2. För att skapa en variation kan läraren använda sig av både muntlig och skriftlig representationsform (Blanton et al., 2015; Fuchs et al., 2016; Powell et al., 2014).
Ekvation är också ett värde som fokuseras i arbetsområdet algebra. Ekvationer kan användas på olika sätt exempelvis genom att först presentera ekvationen muntligt, Peter har 3 fler bollar än Josefin, sedan skriftligt och avslutningsvis i en ekvation P-3=J (Fuchs et al., 2016). Ekvationer kan också bli ett fokus för eleverna att lära sig om kända och
okända mängder. Läraren kan då exempelvis först lägga fram tre pennor på bordet och förklara att åtta pennor används totalt, hur många är det då i pennskrinet. Läraren kan sedan skriftligt visa den okända mängden på olika sätt som exempelvis X, Y, ? och □ (Brizuela & Schliemann, 2004; Powell & Fuchs, 2014).
5.5 Fusion - olika faktorer som påverkar lärandet
Begreppet fusion synliggörs i nio vetenskapliga artiklar där kritiska aspekter i undervisningssituationer ses genom olika faktorer som är motivation, flyt, verbala och icke verbala resonemang, bearbetningshastighet, arbetsminne, läsförmåga, variation i arbetssätt, individualiserad nivå, god kvalité och en fungerande struktur (Blanton et al., 2015; Brizuela & Schliemann, 2004; Byrd et al., 2015; Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Matthews et al. 2012; Pepin et al., 2014; Powell et al, 2014).
En betydelsefull förutsättning för att eleverna ska kunna lära sig nya kunskaper inom algebra är att eleverna har motivation. Saknar eleverna motivation går hela inlärningssituationen förlorad (Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014). Motivationen kan gå förlorad om läraren väljer att använda samma struktur i sin undervisning inom matematiken. Det kan exempelvis vara att eleverna endast får arbeta med övningar från läroböckerna. Resultatet på detta blir att många elever slutar gilla ämnet matematik då det finns för liten variation i detta arbetssätt (Pepin et al., 2014). Eleverna kan därför försöka motiveras genom ett motivationssystem. Detta motivationssystem går ut på att eleverna får en viss poäng om de klarar av exempelvis ett ekvationsproblem som i sin tur ger ett pris i form av motivation till eleverna. Därefter försöker eleverna att slå sin egen poäng de har fått vilket gör att motivationen hos eleverna kan öka (Powell et al., 2014).
Det är viktigt att eleverna får chans att arbeta med att få ett flyt i sina beräkningar, verbala och icke verbala resonemang, bearbetningshastighet samt arbetsminne i undervisningen (Fuchs et al., 2012). Ett sätt att öva upp sitt arbetsminne är genom att arbeta med problemlösningsuppgifter där eleverna har flera matematiska delar att tänka på under hela processens gång. Problemlösningsuppgifter ses även som en viktig grund i ett lärande om likhetstecknet och variabler (Byrd et al., 2015; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016). En annan faktor som kan påverka inlärningssituationer är elevernas läsförmåga. Saknar eleverna en grundläggande läsförmåga får eleverna det svårt i många matematiska delar
som bland annat problemlösningsuppgifter med algebra (Blanton et al., 2015; Fuchs et al.,2012;).
Lärare som undervisar elever i lågstadiet känner att de inte fått tillräckliga erfarenheter och kunskaper i att undervisa om algebra. Lärarna känner att de saknar kunskap i vad som utgör tidig algebra samt hur de ska ge eleverna ett varierat arbetssätt som kan utveckla deras algebraiska tänkande. Detta för att lärarna inte fått någon professionell hjälp i sin utveckling för att deras undervisning ska kunna bidra till att eleverna skapar en förståelse för likhetstecknet, ekvationer samt matematiska jämlikheter (Blanton et al. 2015;
Matthews et al. 2012). Lärare upplever även att det är svårt att differentiera övningar så att varje elev får en individualiserad nivå. Alla elever har olika erfarenheter vilket skapar svårigheter för läraren att lägga en undervisning på en grundläggande samt utmanande nivå för alla elever (Fuchs et al., 2012; Pepin et al., 2014). För att läraren ska kunna möjliggöra ett bra lärande för eleverna krävs det att förutsättningarna tillåter det. Det krävs då att eleverna upplever en god kvalité, en fungerande struktur samt att eleverna är motiverade av att lära sig något. Eleverna känner sig endast motiverade om de förstår vad de ska göra och faktiskt kan lösa ett problem, det vill säga när det är “enkelt” och de har flyt i sina beräkningar (Brizuela & Schliemann, 2004; Fuchs et al., 2012).
5.6 Variationsmönster - en variation i undervisningen
Variationsmönster skapas när läraren väljer att undervisa samma lektionsinnehåll fast på ett varierat sätt vilket framkommer i åtta av de vetenskapliga artiklarna för studien. I artiklarna har variationsmönster lyfts fram, där användning av olika representationsformer som exempelvis konkret material vilket används för att förklara likhetstecknets balans samt okända och kända mängder i ekvationer. En annan del inom variationsmönster är att ge eleverna en variation av strategier samt en variation av samma lektionsinnehåll (Blanton et al., 2015; Brizuela & Schliemann 2004; Driver & Powell, 2015; Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2016; Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014; Powell
& Fuchs, 2014).
I fyra artiklar beskrivs ett antal olika representationsformer för hur läraren kan undervisa inom algebra. Konkret material som är en representationsform kan användas av läraren i en undervisning om likhetstecknet. Det konkreta materialet kan vara en balansvåg. Ifall
eleven exempelvis tar talet tre på ena sida måste det vara tre på andra sidan för att det ska vara balans. Tre behöver dock inte endast vara talet tre utan även 1+2 och 2+1. Samtidigt som eleven testar likhetstecknets balans med användning av en våg så skrivs allt upp på tavlan för att lättare kunna koppla det konkreta i vågen till det mer abstrakta i talen på tavlan. Konkret material kan även användas för att förklara okända och kända mängder.
Exempelvis med hjälp av en låda samt ett antal godisbitar för att visa både den kända och okända mängden (Brizuela & Schliemann, 2004; Driver & Powell, 2015; Fuchs et al., 2012; Pepin et al., 2014).
Läraren har en viktig roll i undervisning inom algebra. En viktig del i lärarens roll är att ge olika strategier till eleverna. Alla elever lär sig på olika sätt och använder olika strategier. Därför måste läraren visa ett flertal strategier så att eleverna kan få just den strategi som passar hen bäst (Fuchs et al., 2016). En annan viktig roll läraren har är att variera undervisningen. Ett sätt att variera undervisningen är att läraren visar hur hen löser en uppgift för att sedan göra en uppgift tillsammans med eleverna och avslutningsvis låta eleverna lösa en uppgift själva (Powell et al., 2014; Powell & Fuchs, 2014). Ett annat sätt för att skapa variation i undervisningen är att eleverna får arbeta med något de arbetat med föregående lektion inom matematiken. Genom att gå tillbaka till tidigare kunskap skapas en variation då eleverna får ta del av samma lektionsinnehåll men på ett varierat arbetssätt (Blanton et al., 2015). Ett tredje arbetssätt som kan användas är symbolisk representation som är att använda sig av siffror och tecken och icke symbolisk representation som är att använda olika representationsformer. En användning av detta arbetssätt kan hjälpa läraren att få en bild över elevernas kunskaper och förståelse genom att läraren kan använda arbetssättet som ett bedömningsunderlag. En användning av symbolisk och icke symbolisk representation kan även bidra med en relationell förståelse mellan symboler och de numeriska belopp de representerar (Driver & Powell, 2015).
5.7 Centrala delar / Kritiska aspekter i tidig algebra
I detta arbete har flera centrala delar träffats på som likhetstecknet, aritmetik, ekvation, öppna utsagor, variabler, symbolisk och icke symbolisk, okänd och känd mängd, balans, jämvikt, högerled och vänsterled, steg-för-steg strategier, relationella förståelsen av likhetstecknet, jämlikhet, likvärdighet och nummerfamilj. Studien kommer att fokuseras
på de tre första begreppen då dessa begrepp ses som en central del i artiklarna. Inom dessa begrepp kommer även andra viktiga begrepp inom området redovisas och diskuteras.
5.7.1 Likhetstecken
Likhetstecknet är en central del inom algebra. Inom likhetstecknet finns det andra betydelsefulla delar som den relationella förståelsen för likhetstecknet samt begreppet balans. I de vetenskapliga artiklarna påpekas vikten över den relationella förståelsen för likhetstecknet. (Blanton et al., 2015; Matthews et al., 2012; Pepin et al.,2014). Forskare beskriver att lärare inte endast ska fokusera på symbolen för likhetstecknet utan även involvera andra centrala delar i begreppet (Blanton et al., 2015; Fyfe et al., 2018 Matthews et al., 2012). För att läraren ska kunna skapa en undervisning om den relationella förståelsen för likhetstecknet behöver hen ha kunskap över de kritiska aspekterna som är likhetstecknet, balans, vänsterled och högerled (Blanton et al., 2015, Fyfe et al., 2018; Matthews et al., 2012;). En grundläggande del i likhetstecknet är att förstå att det ska vara balans på vardera sida om likhetstecknet. Läraren kan skapa denna förståelse genom att arbeta varierat med likhetstecknet. Ett förslag är att använda sig av en balansvåg som ett konkret material för att visa balans i likhetstecknet. En kritisk aspekt inom balansen i likhetstecken är att arbeta på ett varierande sätt i undervisningen som kan gynna ett lärande för eleverna (Pepin et al., 2014).
5.7.2 Aritmetik
I de vetenskapliga artiklarna ses aritmetik som en central och grundläggande del inom undervisning i tidig algebra. Elevernas aritmetiska kunskaper gör det lättare att skapa en förståelse över de olika momenten inom algebra (Byrd et al., 2015; Fuchs et al., 2014;
Fyfe et al., 2018; Powell et al., 2014). Har eleven en bra grundförståelse av aritmetiken kan denne beräkna uppgifter med flyt. Att arbeta med flyt är en central del inom matematiken (Fuchs et al., 2012). Om eleven inte har ett flyt kan det bero på att hen tycker matematiken är för svår vilket kan göra att eleven förlorar motivationen för matematiken.
Om läraren arbetar med algebra innan eleverna har grundkunskaper i aritmetik kan motivationen hos eleverna gå förlorad för att de inte förstår de nya matematiska delarna.
Om elevens sifferkunskap saknas visar det att läraren har en bristande kunskap över kritiska aspekter som kan uppstå inom algebra.. Efter att eleverna har skapat en grundläggande kunskap inom aritmetiken anses ett integrerat arbete mellan aritmetiken och algebran som betydelsefullt. Om dessa delar är integrerade i undervisningen vet
läraren att en kritisk aspekt inom algebra är relationen mellan aritmetik och algebra (Brizuela & Schlimann, 2004).
5.7.3 Ekvationer
Ekvationer är en central del inom matematikområdet tidig algebra. Inom ekvationer finns det centrala delar som är okända och kända mängder samt variabler. För att eleven ska kunna skapa ett lärande inom okända och kända mängder bör eleven ha fått lära sig olika strategier för att lösa ekvationer. När varje elev har hittat en fungerande strategi för hur hen ska lösa ekvationer kan hen enklare identifiera problem i andra ekvationsuppgifter (Fuchs et al., 2014). För läraren skapas en svårighet med att hitta strategier som passar olika elever eftersom varje elev behöver mötas på sin individualiserade nivå. En kritisk aspekt är om läraren kan ge elever olika individuella strategier för att arbeta med ekvationer (Fuchs et al.,2012; Pepin et al,.2014). En annan central del i området ekvationer är begreppet variabler. Forskare betonar betydelsen av att använda variation i sin undervisning för att skapa en fördjupad förståelse hos eleverna. En kritiska aspekt inom variabler är att arbeta med varierande arbetssätt i undervisningen för att kunna nå alla elever (Blanton et al., 2015; Brizuela & Schliemann 2004; Byrd et al., 2015; Driver
& Powell, 2015; Fuchs et al., 2012; Fuchs et al., 2014; Fuchs et al., 2016; Matthews et al., 2012; Pepin et al., 2014; Powell et al., 2014; Powell & Fuchs, 2014;).
6 Diskussion
I denna avslutande diskussionsdel berörs tre olika delar. I den första delen kommer en resultatdiskussion gällande studiens resultat där centrala delar och kritiska aspekter diskuteras. I den andra delen kommer en metoddiskussion att behandlas utifrån metodens tillvägagångssätt och vi ser om metoden fungerar för att ge svar på studiens syfte och frågeställningar. I den tredje och sista delen beskrivs det hur vår vidare forskning går till och vad som kan vara intressant att studera utifrån de centrala delarna samt kritiska aspekterna i tidig algebra.
6.1 Resultatdiskussion
Intresset i denna studie är att centrala delar samt kritiska aspekter i undervisningen om tidig algebra identifieras. I resultatet blir det synligt hur forskning identifierar dessa centrala delar samt kritiska aspekter. I denna del kommer resultatet i studien diskuteras utifrån syfte samt frågeställningar.
6.1.1 Centrala delar i tidig algebraundervisning
Vi kommer fram till olika centrala delar inom tidig algebra. Den centrala del inom tidig algebra som är av störst vikt och som nämns mest i de vetenskapliga artiklarna är elevernas relationella förståelse över likhetstecknet. Det menas med att eleverna förstår att det ska vara balans på båda sidorna av likhetstecknet. Eleverna kan skapa denna förståelse genom att läraren arbetar med andra centrala delar runt likhetstecknet som begreppen balans, högerled samt vänsterled och inte bara fokuserar på symbolen för likhetstecknet. En annan central del inom tidig algebra är att grundkunskaperna inom aritmetiken bör finnas innan en start i tidig algebra. När grundkunskaperna finns bör ett samarbete startas mellan aritmetiken och tidig algebra. Med detta menas att läraren arbetar med både aritmetik och algebra enskilt samt att ett samarbete sker mellan dessa.
Förutom likhetstecknet samt aritmetik ses ekvationer som en central del inom tidig algebra. Inom begreppet ekvation finns det andra centrala delar som är okända och kända mängder samt variabler. Om eleverna skapar ett lärande över okända och kända mängder utvecklas de inom tidig algebra och kan möjligen använda fler variabler i högre åldrar.
En återkommande del inom tidig algebra är vikten för eleven att arbeta varierat. Detta ställer krav på att läraren använder sig av flera representationsformer samt lär ut strategier
till eleverna. Sammanfattningsvis är de centrala delarna i tidig algebra den relationella förståelsen av likhetstecknet, en aritmetisk grund samt ekvationer med användning av okända och kända mängder samt variabler. Alla dessa centrala delar inom tidig algebra ser vi som en hjälp i vår framtida roll som lärare.
6.1.2 Kritiska aspekter i tidig algebraundervisning
Inom tidig algebraundervisning finns det kritiska aspekter. Kritiska aspekter innebär att läraren hittar det väsentliga i vad som ska läras ut till den nuvarande elevgruppen för att eleverna ska utvecklas inom ett specifikt lärande. Detta sker när läraren arbetar med flera olika representationsformer samt ger ut olika strategier i sin undervisning så att lektionerna varieras. En representationsform som vi tar med oss ifrån resultatet är ett användande av konkret material så som balansvågen. Balansvågen aktiverar flera sinnen hos eleverna i undervisningen om likhetstecknet som gör att det kan skapas ett lärande hos eleverna. En annan betydelsefull del i undervisningen är att läraren undervisar med erfarenheter och kunskaper i tidig algebra. Om läraren saknar detta får eleverna det svårt inom de centrala delarna i tidig algebra. Slutligen är det viktigt för läraren att undervisningen är på elevernas nivå vilket minskar risken av att elevens motivation försvinner. Sammanfattningsvis är kritiska aspekter inom tidig algebraundervisning att läraren skapar en variation av arbetssätt och strategier, att läraren har kunskaper över centrala delar och erfarenheter i ett undervisande inom tidig algebra samt en undervisning som motiverar eleverna. Detta använder vi oss av som framtida lärare för att eleverna ska utvecklas inom algebra.
6.2 Metoddiskussion
Vi använder oss av en systematisk litteraturstudie för att se vad forskningen skriver om tidig algebraundervisning. I sökandet av artiklar för att se vad forskningen säger används endast engelsk samt svenskspråkiga artiklar för det är språken vi talar. Efter ett tag inser vi att det inte finns svenska artiklar som handlar om detta ämne och därför är alla våra artiklar på engelska. För att studien ska bli trovärdig används bara artiklar som görs efter år 2000 då vi anser att artiklarna innan år 2000 inte är relevanta längre. Artiklarna är även peer reviewed för att öka studiens trovärdighet. För att artiklar som är relevanta till denna studie ska hittas används sökord som kopplas till undervisning inom tidig algebra i lågstadiet. Sökorden är prealgebra, understanding, equivalence, primary education,
mathematics, algebra. Databasen ERIC används för att söka efter artiklar efter att vi fått idén av biblioteket på universitetet samt handledaren för studien.
Denna systematiska litteraturstudie använder variationsteorin centrala begrepp för att hitta centrala delar samt kritiska aspekter inom tidig algebra. Begreppen är lärandeobjekt, kontrast, separation, generalisation, fusion och variationsmönster. Dessa begrepp får en egen färg som gör att olika händelser i artiklarna kan sorteras. När begreppen delas i färger blir det tydligare och lättare att hitta viktiga delar till resultatet. Efter användningen av denna strategi i artiklarna hittas svar till syfte samt frågeställningar vilket visar att vår metod fungerar.
6.3 Vidare forskning
I detta arbete är centrala delar och kritiska aspekter i undervisningen inom tidig algebra i fokus. En framtida empirisk studie kan utföras som inriktar sig på elevernas kunskaper inom tidig algebra för att se om resultatet stämmer överens med verkligheten. Genom en empirisk undersökning kan de centrala delarna samt kritiska aspekterna i algebra visas när eleverna får göra en diagnos. I diagnosen arbetar eleverna med ett antal algebraiska uttryck där de centrala delarna används för att se om teorin och praktiken stämmer överens. Efter att eleverna har svarat på diagnoserna samlas dessa in för att granskas och summeras och på så sätt skapas en överblick över vilka delar som eleverna har svårigheter med inom de centrala delarna för algebra. Genom att vi använder en sådan empirisk undersökning får denna litteraturstudie möjligen en högre reliabilitet.
7 Sammanfattning
I denna systematiska litteraturstudie fokuserades undervisningen i tidig algebra. Detta för att det finns i det centrala innehållet för elever i lågstadiet i Lgr11 (Skolverket, 2011, rev.2018) vilket ställer ett krav på att läraren skapar en bra undervisning inom arbetsområdet. I studien lyftes centrala delar samt kritiska aspekter inom tidig algebraundervisning fram och analyserades. Relevant forskning inom tidig algebra samlades in där tolv vetenskapliga artiklar användes för studiens resultat. De olika artiklarna granskades utifrån variationsteorin för att synliggöra olika aspekter av hur undervisning och lärande uppstod inom tidig algebra. Inom variationsteorin användes sex betydelsefulla begrepp som kategoriserade ett antal olika fall där undervisningen i algebra synliggjordes. De betydelsefulla begreppen var lärandeobjekt, kontrast, separation, generalisation, fusion och variationsmönster. Denna kategorisering var till stor hjälp när de centrala delarna och kritiska aspekter inom undervisning i tidig algebra hittades. Alla de vetenskapliga artiklarna analyserades och användes i studien för att skapa en tillförlitlighet.
De centrala delarna inom algebra som hittades inom undervisningen var betydelsen av likhetstecknet, grundkunskaper i aritmetik samt momentet ekvationer där bland annat variabler användes. När de centrala delarna användes med ett varierat arbetssätt samt olika representationsformer ökade chansen att ett lärande skedde. Utifrån denna studie konstaterades ett flertal slutsatser. Den första slutsatsen som gjordes var att läraren borde ha kunskaper om kritiska aspekter inom tidig algebra för att kunna ge eleverna en undervisning som passar dem. Det andra läraren borde ha i åtanke är att innan första lektionen inom algebra behövs grundläggande kunskap inom aritmetik för eleverna. Den tredje slutsatsen som gjordes var att läraren borde lägga mer tid på likhetstecknets betydelse innan den första lektionen med ekvationer introduceras. När läraren undervisar om de olika centrala delarna inom tidig algebra är det betydelsefullt att kunna ge eleverna en varierad undervisning som kan bidra till att eleverna skapar en relationell förståelse av likhetstecknet.
Referenslista
Blanton, M., Stephens, A., Knuth, E., Gardiner, A. M., Isler, I., & Kim, J. (2015). The development of children's algebraic thinking: The impact of a comprehensive early algebra intervention in third grade. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1), 39-87. Retrieved from http://proxy.lnu.se/login?url=https://search-proquest- com.proxy.lnu.se/docview/1651856939?accountid=14827
Brizuela, B., & Schliemann, A. (2004). Ten-year-old students solving linear equations.
For the Learning of Mathematics, 24(2), 33-40. Retrieved from http://proxy.lnu.se/login?url=https://search.proquest.com/docview/1826538400?account id=14827
Brorsson, Å. (2012). Algebra för lågstadiet. NCM: Göteborgs universitet. [Elektronisk resurs]. Hämtad 2019-10-28 http://ncm.gu.se/media/stravorna/4/b/4B_brorsson.pdf
Byrd, C.E., McNeil, N.M., Chesney, D.L., & Matthews, P.G. (2015). A specific misconception of the equal sign acts as a barrier to children's learning of early algebra.
Retrieved from https://doi.org/10.1016/j.lindif.2015.01.001
Driver, M. K., & Powell, S. R. (2015). Symbolic and nonsymbolic equivalence tasks: The influence of symbols on students with mathematics difficulty. Learning Disabilities Research & Practice, 30(3), 127-134. Retrieved from http://proxy.lnu.se/login?url=https://search-proquest-
com.proxy.lnu.se/docview/1720065228?accountid=14827
Eriksson Barajas, K., Forsberg, C. & Wengström, Y. (2013). Systematiska litteraturstudier i utbildningsvetenskap: vägledning vid examensarbeten och vetenskapliga artiklar. (1. utg.) Stockholm: Natur & Kultur.
Fuchs, L. S., Compton, D. L., Fuchs, D., Powell, S. R., Schumacher, R. F., Hamlett, C.
L., . . . Vukovic, R. K. (2012). Contributions of domain-general cognitive resources and
