Problemlösning i läromedel En läromedelsgranskning av kritiska aspekter och variationsmönster i matematik för årskurs 5.

Problemlösning i läromedel

En läromedelsgranskning av kritiska aspekter och

variationsmönster i matematik för årskurs 5.

Författare: Anton Svensson Handledare: Lena Karlsson

Abstrakt

Denna studie är en läromedelsanalys som inriktar sig på två läromedel anpassade för årskurs fem och dess problemlösningsuppgifter. Läromedlen som undersöks i studien är Prima Formula matematik 5 och Mera Favorit matematik 5B. Syftet med studien är att undersöka vilka kategorier av öppna, slutna och rika problemlösningsuppgifter som läromedlen innehåller. Vidare ämnar studien urskilja vilka möjliga kritiska aspekter, kritiska drag och variationsmönster som dessa uppgifter innehåller. För att undersöka detta har studiens teoretiska ramverk varit variationsteorin. Anledningen till att detta undersökts är på grund av att det är väsentligt att en lärare att kunna urskilja kritiska drag och aspekter från ett lärandeobjekt. Detta för att kunna forma undervisningen på ett effektivt sätt som främjar elevernas lärande.

Studiens resultat visar att majoriteten av läromedlens problemlösningsfrågor består av slutna problem, i jämförelse med öppna och rika problem. Resultatet visar även att större delen av de kritiska aspekter och dragen som kan urskiljas är kopplade till division, bråk, begrepp och ordförståelse för ord som exempelvis “största” eller “växel”. Samtliga variationsmönster, alltså kontrast, separation, generalisering och fusion kan urskiljas i uppgifterna, men inte tillsammans i en och samma uppgift.

Nyckelord

Innehåll

1 Inledning ... 1

2 Syfte och frågeställningar ... 2

2.1 Frågeställningar... 2

3 Litteraturbakgrund ... 3

3.1 Problemlösning som begrepp ... 3

3.2 Problemlösning i undervisning ... 4 3.3 Problemlösningens hinder ... 4 3.4 Problemlösningens kategorier ... 5 3.4.1 Öppna problem ... 5 3.4.2 Slutna problem ... 5 3.4.3 Rika problem ... 6 3.5 Sammanfattning ... 7 4 Teoretisk utgångspunkt ... 8 4.1 Variationsteorin ... 8

4.1.1 Lärandeobjekt och lärandemål ... 8

4.1.2 Kritiska drag och kritiska aspekter ... 8

4.1.3 Variationsmönster ... 9

4.2 Sammanfattning teoretisk bakgrund ... 10

5 Metod ... 11

5.1 Urval och avgränsning ... 11

5.1.1 Prima Formula matematik 5 ... 11

5.1.2 Mera Favorit Matematik 5B ... 12

5.2 Genomförande ... 12

5.3 Etiska förhållningssätt... 13

5.4 Studiens tillförlitlighet ... 13

6 Resultat och analys ... 14

6.1 Öppna, slutna och rika problem i läromedlen ... 14

6.2 Analys av öppna problem från läromedlen ... 14

6.2.1 Öppet problem 1 – Mera Favorit matematik 5B ... 14

6.2.2 Öppet problem 2 – Prima Formula 5 ... 16

6.3 Sammanfattning av öppna problem ... 18

6.4 Slutna problem från läromedlen ... 18

6.4.1 Slutet problem 1 – Mera Favorit matematik 5B ... 18

6.4.2 Slutet problem 2 – Prima Formula 5 ... 19

6.4.3 Slutet problem 3 – Mera Favorit matematik 5B ... 20

6.4.4 Slutet problem 4 – Prima Formula 5 ... 22

6.5 Sammanfattning av slutna problem ... 23

6.6 Rikt problem från läromedlen ... 23

6.6.1 Rikt problem – Mera Favorit matematik 5B ... 23

6.7 Sammanfattning av resultat och analys... 25

7 Diskussion ... 26

7.1 Metoddiskussion ... 26

7.2.1 Kritiska aspekter ... 27

7.2.2 Variationsmönster ... 27

7.2.3 Mängden problemlösningsfrågor ... 27

7.2.4 Skillnader och likheter mellan läromedlen ... 28

7.3 Vidare forskning ... 28

Referenslista ... 29

Bilagor

1 Inledning

Problemlösnings är en väsentlig del av matematiken i skolan (Novita., Zulkardi, & Hartono, 2012, Palraj., DeWitt, & Alias, 2017). Läroplanens centrala innehåll för årskurs 4 - 6 framhåller att undervisningen ska ge eleven förutsättningar att utveckla olika strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer. Undervisningen ska även ge eleven möjlighet att formulera matematiska frågeställningar utifrån vardagliga situationer (2011). Vidare benämns det i kunskapskraven för årskurs 6 att eleven ska kunna lösa enkla problem i elevnära situationer, välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven ska även kunna beskriva tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och föra resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kunna ge förslag på alternativa tillvägagångssätt. Palraj m.fl. (2017) har genomfört en undersökning gällande lärares uppfattning om problemlösningens funktion. Undersökningen visade att problemlösning har en betydande roll i att utveckla elevers tänkande, flexibilitet och kreativitet, som i sin tur gynnar elevers framtida yrke och vardagsliv. Novita m.fl. (2012) förklarar att problemlösning i undervisningen kan leda till att elever utvecklar sin matematiska kunskap om hur de strategiskt genomför en matematisk uppgift. Detta genomförande kan enligt Boonen., Reed, H.C., Schoonenboom, & Jolles (2016) liknas vid en process på nio steg. Boonen m.fl.s problemlösningsprocess (2016) kommer i denna studie vara det eleverna är tänkt lära sig, alltså lärandeobjektet. Denna process kommer analyseras genom variationsteorin som involverar begreppen kritiska drag, kritiska aspekter samt variationsmönster. För lärare är det viktigt att ha en förståelse för dessa tre begrepp menar Lo (2014) och fortsätter med att det kan gynna lärare genom att hjälpa elever bli bra problemlösare.

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med studien är att undersöka vilka kategorier av problemlösningsuppgifter två utvalda läromedel för årskurs 5 innehåller. Vidare syftar studien till att urskilja möjliga kritiska aspekter och variationsmönster ur dessa problemlösningsuppgifter.

2.1 Frågeställningar

• Vilka kategorier av problemlösningsuppgifter finns det i de två utvalda läromedlen?

• Vilka kritiska aspekter kan urskiljas hos utvalda problemlösningsuppgifter i de två olika läromedlen?

3 Litteraturbakgrund

I kommande avsnitt följer en redogörelse om problemlösning som begrepp, problemlösningen i undervisningen, problemlösningens hinder samt de olika dimensionerna inom problemlösning.

3.1 Problemlösning som begrepp

Problemlösningsuppgifter består enligt Selden, A., Selden, J., Hauk, S., & Mason, A. (1999) av två komponenter: problemlösning och problemlösaren. Författarna menar att när problemlösaren ska lösa en problemlösningsuppgift, bör hen vara försedd med förkunskaper för att lösa uppgiften. När det inte finns någon självklar väg till lösningen betyder det att lösningen inte är synlig från början och därmed definieras som en problemlösning (Emre-Akdogan och Argün, 2016). Novita, R., Zulkardi, & Hartono, Y. (2012) nämner hur problemlösaren inte kan använda sig av en färdig ekvation när hen beräknar en problemlösningsuppgift, utan behöver resonera sig igenom uppgiften. Har däremot eleven redan resonerat sig igenom en problemlösning är vägen till lösningen inte längre okänd. Detta gör att problemlösning ofta är utmanande, vilket betyder att strategier för att ta sig igenom uppgiften blir ovärderliga (Novita. m.fl. 2012). Boonen m.fl. (2016) beskriver en strategisk process bestående av nio steg som en problemlösare tar sig genom när en problemlösning genomförs. Nedan förklaras den strategiska processen:

1. Läsa problemlösningsuppgiften 2. Förstå problemlösningsuppgiften

3. Göra en sammanhängande representation av situationen som beskrivs 4. Urskilja den matematiska informationen

5. Förstå sammanhanget mellan dessa komponenter

6. Uttrycka dessa sammanhang med hjälp av matematiska ekvationer 7. Räkna de matematiska ekvationerna

8. Tolka resultatet och formulera ett svar 9. Utvärdera svaret

inte upplever det som en problemlösning (2012). Beroende på hur eleven tar sig an problemet och sätter in det i ett sammanhang använder problemlösaren olika strategier på olika sätt. Vanligtvis är utförandet av beräkningarna inte det svåra för elever. Svårigheten återfinns istället enligt Bostic, J. D., Pape, S. J., & Jacobbe, T. (2016) i att förstå texten, urskilja matematiska komponenter och sedan förstå relationen mellan dessa två. Kopplat till Boonens strategiska process, fastnar elever oftast i något av de fem första stegen som direkt kan kopplas till förståelse och tolkning.

3.2 Problemlösning i undervisning

Många lärare lägger fokus på lösningarna av problemlösningsfrågor än själva processen dit. Detta menar Boonen m.fl. (2016) blir problematiskt eftersom elever oftare fastnar i förståelsen av texten och vid urskiljning av de matematiska komponenterna. I många klassrum är matematik associerat med att inneha kunskapen och att kunna få fram rätt svar. När läraren ställer en fråga till en elev förväntas eleven svara rätt på frågan eller använda rätt regel för att lösa uppgiften (Lampert, 1990). Om undervisningen endast handlar om att matematik innebär att kunna ge rätt svar eller applicera rätt regel, riskerar eleverna att uppfatta matematik likadant, istället för att förstå vikten av att lära sig att förstå vägen till lösningen. Lampert menar att synen på matematik och lärarens roll i ämnet inte alltid speglas i verkligheten (1990). Lampert lyfter även hur orden ”kanske” eller ”möjligtvis” väldigt sällan förekommer i klassrum, eftersom det vanligtvis inte diskuteras något mellan gissningar och antaganden. Läraren ger informationen och boken ger svaret. Kvar finns lite utrymme för resonemang och antaganden för att komma fram till rätt svar. Detta resulterar att ingen utvärdering görs av vare sig läraren eller eleverna om varför svaret i uppgiften blir det de blir. Genomför inte läraren denna utvärdering, är det stor risk att eleverna inte heller genomför den (1990). Boonen m.fl. (2016) antyder att elever skulle gynnas bättre av att lärare lägger större vikt vid förståelsen av genomförandet, istället för att endast leta efter rätt svar från eleven. Till detta kan arbete med problemlösning vara till hjälp.

3.3 Problemlösningens hinder

en visuell-schematisk representation. De elever som använder sig av den illustrerade representationen tenderar att fokusera på det visuella i problemlösningsfrågan medan de elever som använder visuellt-schematisk representation inkorporerar den relevanta texten med det visuella i problemlösningsfrågan. Elever som använder sig av visuell-schematisk representation påverkas enligt Boonen m.fl. (2013) mer positivt på grund av sin strategi i hur de lyckas förstå och lösa problemlösningsfrågor. Detta grundar sig i att elever som använder visuell-schematisk representation har en större spatial förmåga som underlättar eftersom de då kan föreställa sig ytor, längder eller kroppar bättre än elever med mindre spatial förmåga. Elever med mindre spatial förmåga tenderar då att fokusera mer på det visuella utan att inkorporera texten lika mycket. När elever får svårt att göra en representation av problemlösningsfrågan, blir steg tre av nio “göra en sammanhängande representation av situationen som beskrivs” ett dilemma för eleven (Boonen m.fl. 2016).

3.4 Problemlösningens kategorier

Problemlösningsuppgifter kan kategoriseras i flertalet kategorier. Denna studie kommer använda följande tre kategorier: öppna problem, slutna problem och rika problem. Nedan förklaras innebörden av dessa.

3.4.1 Öppna problem

Begreppet öppna problem beskriver Lilburn, P & Sullivan, P (2002) som problemlösningsuppgifter där en eller flera möjliga vägar till lösningen finns, samt flera svarsalternativ. I öppna problem fungerar det inte att enbart applicera en färdig ekvation för att få fram svaret. Problemlösaren tvingas istället tänka, resonera och reflektera fram flera svarsalternativ. Även Bais, B., Hussain, A., Hussain, H. & Samad, A. S (2012) menar att öppna problem kan innehålla flera svarsalternativ, men att svarsalternativen inte kan vara vad som helst. Problemlösaren tvingas tänka komplext och kan argumentera för ett svar när de beräknar en öppen problemlösningsuppgift. Nedan presenteras ett exempel på ett öppet problem.

Figur 1: Exempel på ett öppet problem. (Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P.,

Rajamäki, M. 2016: 21)

3.4.2 Slutna problem

svarsalternativ (Novita m.fl. 2012). Även Lilburn & Sullivan (2002) understryker hur slutna problem endast har ett svarsalternativ. Däremot är transportsträckan till lösningen i slutna problem inte lika tydlig och färdiga ekvationer fungerar inte heller i slutna problem (Novita m.fl, 2012). Istället menar författarna att likt öppna problem, tvingas problemlösaren resonera sig igenom uppgiften för att komma fram till det enda rätta svaret. Nedan presenteras ett exempel på ett slutet problem.

Figur 2: Exempel på ett slutet problem.Sjöström, B & Sjöström, J. (2016: 71)

3.4.3 Rika problem

Rika problem har delar gemensamt med både öppna och slutna problem. Rika problem kan likt öppna, lösas på flera olika sätt, men likt slutna finns det bara ett rätt svar. Liksom öppna och slutna, ska rika problem låtas ta tid. Det ska även upplevas som en utmaning och kräva ansträngning. Däremot bygger rika problem vidare på problemlösning, men definitionen är inte lika tydlig (Taflin, 2007). Nedan beskriver författaren sju kriterier ett problem ska uppfylla för att de ska klassas som rikt. Problemet ska:

1. introducera till viktiga matematiska idéer,

2. vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det, 3. upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid,

4. kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer,

5. kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer,

6. kunna fungera som brobyggare,

7. kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. Rika problem ska alltså initiera till matematiska resonemang och fungera som en brobyggare. De ska även leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. Dessa kriterier finns inte som krav för öppna eller slutna. Kraven på rika problem är alltså betydligt högre.

(a) utgör för att förstå hur stor (d) är, som i sin tur kan ge information om hur stor (e) är och så vidare. Detta kan betyda att det kommer kräva tålamod av problemlösaren.

Figur 3: Exempel på ett rikt problem. (Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P., Rajamäki,

M. 2016: 77)

3.5 Sammanfattning

4 Teoretisk utgångspunkt

I kommande avsnitt följer en presentation av de teoretiska utgångspunkterna som studien använder för att studera problemlösningsuppgifter. Studien använder sig av variationsteorin som består av tre centrala begrepp: lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter samt variationsmönster.

4.1 Variationsteorin

Grunden för variationsteorin tog form i fenomenografins forskning, som i sin tur intresserar sig för “kvalitativt” skilda sätt människor upplever ett fenomen (Marton, F. & Booth, S., 2000). Istället för att fokusera på de sätt människor upplever något, koncentrerar sig variationsteorin på hur fokuseringen av olika delar i fenomenet kan få oss att lära (Lo, 2014; Runesson, U, 2005). Fred, J och Stjernlöf, J (2014) nämner urskiljning och variation och förklarar att lärandet stödjer sig genom att se något på ett nytt sätt. Även Allwood och Erikson (2017) förklarar variationsteorin som att varje människa ser och lär sig saker på skilda vis.

Genom att variera sättet att se på ett objekt, kan den observerande urskilja aspekter hen inte tidigare sett eller förstått, vilket i sin tur leder till en djupare förståelse (Marton & Booth, 2000). För att kunna uppleva ett objekt på ett varierat sätt, behöver det upplevas i ett nytt sammanhang. Det kan exempelvis vara färgen vit, som en vit tröja, en vit vägg eller ett vitt pappersark. Genom att variera sammanhanget som färgen befinner sig i kan en urskiljning om vad objektet faktiskt är ske. Exempelvis skulle en lärare kunna peka på sin vita tröja och säga “vit”. Eleven skulle kunna förstå vad läraren menar, men eleven skulle också kunna tro att läraren menar sig själv eller tröjan istället för färgen vit. När läraren sedan pekar på den vita väggen och ett pappersark och säger “vit” skulle eleven kunna koppla att “vit” har något med färgen att göra. Här är objektet som läraren vill urskilja vit, och färgen varieras och sätts i nya sammanhang för att en förståelse ska kunna finnas (Lo, 2014).

4.1.1 Lärandeobjekt och lärandemål

Lärandeobjekt kan ha olika innebörder i olika situationer (Lo, 2014) och menar att begreppet definieras som det eleverna ska lära sig, alltså de begrepp eller förmåga som undervisningen berör. Vidare förklarar författaren att lärandeobjektet fokuserar på startprocessen i lärandet och att det kan förändras under tiden arbetet fortgår. I denna studie definieras lärandeobjektet som den valda problemlösningsförmågan Boonen m.fl. (2016) presenterar.

Lärandemål kan enligt Wernberg definieras som ett statiskt mål i undervisningen som direkt kan kopplas till läroplanens kunskapskrav (2009). Även Lo (2014) menar att lärandemål från läroplanen ofta används som referenser till undervisningen. Till skillnad från lärandeobjektet, består lärandemålet av ett korrekt och ett felaktigt svar, vilket ett lärandeobjekt inte behöver bestå av (Wernberg, 2009). Lärandeobjektet kan på sätt och vis vara en del i en process mot lärandemålet.

4.1.2 Kritiska drag och kritiska aspekter

urskiljs samtidigt. Vidare menar hon att kritiska drag bygger på att fokuseringen av ett objekt ändras, för att kunna se objektet på ett annat sätt. Detta kan implementeras genom att bryta ner objektet i mindre beståndsdelar och försöka tyda vad som kan vara problematiskt. Därigenom kan vi skaffa oss en större förståelse för det ursprungliga objektet (Lo, 2014). Skillnaden mellan kritiska drag och kritiska aspekter exemplifierar Lo (2014) genom en brun schäferhund där hundens delar delas in i kritiska drag. De kritiska dragen är i hundens fall brun som utgör färgen, schäfer som utgör rasen samt hund som utgör att det är ett djur. Inom dessa tre kritiska drag finns de kritiska aspekterna som exempelvis färg. För att förstå brun måste en förståelse för att ordet brun är en färg och hur den ser ut finnas.

Relationen mellan kritiska aspekter, kritiska drag och lärandeobjekt har därför en betydande roll i undervisningen. Därför är det är väsentligt för en lärare att urskilja dessa från ett lärandeobjekt, samtidigt som det är betydande att även eleverna utvecklar förståelse om detta. Eftersom lärare och elever kan se olika på ett lärandeobjekt är det nödvändigt för läraren att få eleverna att se på objektet likasinnat. För att komma dit behöver läraren hjälpa eleverna urskilja och minska de kritiska dragen genom att variera sättet att se på ett objekt. Genom att kunna urskilja kritiska drag tillsammans med eleverna kan läraren förstå vilka kritiska aspekter eleverna har problem med och därmed forma undervisningen för att effektivt undervisa om dessa (Lo, 2014).

Likt många andra uppgifter i matematik, innehåller problemlösningsuppgifter liknande kritiska aspekter. Handlar problemlösningsuppgiften om exempelvis flygplan och hur långt eller högt det flyger, krävs det att eleverna har en uppfattning om höjd eller längd. Saknas denna uppfattning, försvåras diskussionen om högt, lågt eller långt och kort (Lo, 2014). Utan texten kan de kritiska aspekterna urskiljas ur en problemlösningsuppgift, till exempel i en divisionsuppgift. Lo skriver att när vi ska ta ut 1/3 (en tredjedel) eller 1/10 (en tiondel) hänvisar vi till enheten 1. Dessa kritiska aspekter är inte självklara för alla elever vilket då försvårar lärandet för de som inte förstår. Vad läraren behöver göra är att försöka se problemlösningen ur elevens perspektiv, och urskilja de kritiska aspekterna samt de kritiska dragen som eleverna kan tänkas uppfatta och därmed hjälpa eleven i sin problemlösningsprocess.

4.1.3 Variationsmönster

förstår något genom att se något som objektet inte är. Exempelvis kan vi förstå vad en hund är genom att visa andra djur som inte är en hund.

Begreppet separation innebär när två lärandeobjekt separeras från varandra (Olteanu & Olteanu, 2012). Författaren menar att om två liknande bilder ställs bredvid varandra, upptäcks både likheter och skillnader mellan de två bilderna. Genom att ställa likartade problemlösningsuppgifter bredvid varandra kan de kritiska aspekterna enklare urskiljas. Genom detta sätt påstår Lo (2014) att en separation har genomförts och att en dimension av variation uppnåtts. Exempelvis kan flera bilder på hundar visas, där ras och storlek är samma på alla bilder men färgen på hundarna varierar. Aspekten färg har alltså varierats.

Genom att behålla fokuseringen på en del av lärandeobjektet samtidigt som andra aspekter ändras, används generalisering (Olteanu, C. & Olteanu, L, 2012). Författaren menar att den önskade dimensionen förblir oförändrad medan andra dimensioner varierar. Om en lärare vill lära elever om exempelvis hundar, kan läraren visa flera bilder på hundar där ras, färg och storlek varierar och endast begreppet “hund” hålls konstant. Marton (2015) menar att genom generalisering skapas en förståelse för att lärandeobjektet kan förekomma i olika sammanhang och skepnader.

Medan de andra begreppen fokuserar på specifika delar för att skapa förståelse använder fusion en variation av kritiska aspekter parallellt med varandra (Lo, 2014). När fusion möjliggörs behöver alltså flera dimensioner tas i hänsyn för att förstå problemet. Fusion kan ta plats om en lärare låter elever uppleva två dimensioner av variationer samtidigt (Olteanu, C. & Olteanu, L, 2012). I figuren nedan exemplifieras detta genom att vi tänker oss ett objekt (Z). Det finns två dimensioner som påverkar objektet: (X) och (Y). Vid fusion varieras (X) och (Y) parallellt med varandra för att visa på en förändring av (Z). Om vi tänker oss att objektet (Z) är 12 i en multiplikation, (X) är 3 och (Y) är 4. Varierar vi dimensionerna (X) och (Y) till andra siffror, förändras vårt objekt (Z).

Figur 4: Exempel på fusion.

4.2 Sammanfattning teoretisk bakgrund

5 Metod

Följande avsnitt innehåller en förklaring av studiens urval och metod. Inledningsvis beskrivs det urval av läromedel studien använder sig av samt urvalet av de olika problemlösningsfrågor i läromedlen. Detta följs upp av en övergripande förklaring av de två läromedelsserierna. Därefter förklaras analysmetoden följt av etiska förhållningssätt. Slutligen beskrivs studiens tillförlitlighet.

5.1 Urval och avgränsning

För att kunna besvara studiens frågeställningar valdes två läromedel ut som innehöll problemlösningsuppgifter. Studien har avgränsats till två läromedel, båda publicerade efter Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Skolverket, 2011). Kraven som dessa läromedel var tvungna att uppnå var att de skulle även vara aktuella i verksamheten, avsedda för årskurs 5 samt innehålla en mängd problemlösningsuppgifter. De två läromedlen som valdes ut var Prima Formula matematik och Mera Favorit matematik. Anledningen till att dessa läromedel valdes är på grund av att författaren till denna studie har tidigare erfarenheter av båda läromedlen, då de användes i undervisningen under de verksamhetsförlagda utbildningarna. Detta gjorde att författaren ansåg dessa vara vanligt förekommande läromedel i dagens skola och valdes därför ut för granskning.

När läromedlen valts ut, kunde urvalet av dess problemlösningsuppgifter börja. I denna studie har enbart de problemlösningsfrågor som uppfyller de krav som tidigare presenterats under öppna problem, slutna problem och rika problem (se avsnitt: 3.2) blivit utvalda. Uppgifterna kunde återfinnas i läromedlens olika avsnitt och är även valda genom Denscombes (2018) subjektiva urval, vilket innebär att ett medvetet urval har skett för att få ett så lönsamt resultat som möjligt. Urvalet av problemlösningsuppgifter valdes alltså för att få varierande problem som kan fokusera på olika kritiska aspekter.

5.1.1 Prima Formula matematik 5

Prima Formula matematik är en läromedelsserie bestående av olika böcker anpassade efter specificerade årskurser. I denna studie kommer Prima Formula 5, vilket är en bok av de tre böckerna som är avsedda för årskurs 4 - 6, analyseras. Läromedlets andra upplaga är utgivet 2017 och innehåller sex kapitel, där varje kapitel behandlar olika matematiska områden. Dessa kapitel erbjuder elever konkret förståelse för teorin och låter dem träna på de matematiska förmågorna som krävs för årskursen. I slutet av varje kapitel finns extrauppgifter, problemlösningsuppgifter samt repetitionsuppgifter. Vid bokens slut återfinns läxor som är kronologiskt anpassade för bokens kapitel. Lärarhandledningen

Författare till Prima Formula matematik är Bo Sjöström och Jacob Sjöström, förlaget som givit ut läromedlet är Gleerups och illustratören är Lena Thoft Sjöström.

5.1.2 Mera Favorit Matematik 5B

Favorit matematik är en finsk läromedelsserie bestående av fyra böcker per årskurs, från förskola upp till årskurs sju. De fyra böckerna per årskurs består av två grundläggande böcker med namnen Bas Favorit matematik 5A/5B och Mera Favorit matematik 5A/5B. Böckernas uppbyggnad består av fyra kapitel som är indelade lektionsvis. Till varje lektion finns i boken fyra sidor där första sidan presenterar ett nytt område, exempelvis addition eller förkortade bråk. Efterföljande sidor är till för att öva på området och varje kapitel avslutas med sammanfattning och sidor med fler uppgifter att träna på. I denna studie granskas problemlösningsuppgifter från Mera Favorit matematik

5B samt tillhörande lärarhandledning. I lärarhandledningen för Mera Favorit matematik 5B följs sidorna och utvalda uppgifter från läroboken i kronologisk ordning. Det finns tips på strategier och arbetssätt, även centralt innehåll kopplat till sidorna finns. Författarna nämner även problemlösning i form av “lärardokumentation 5B”. Sidorna fungerar likt ett bedömningsunderlag och kopplas till matematiska områden som till exempel procent, mätning och skala (Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P., Rajamäki, M. 2016). Problemlösning nämns även till sist när författarna går igenom det centrala innehållet läromedlet innehåller. Problemlösning nämns inte mer i lärarhandledningen. Uppgifterna i Mera Favorit matematik 5B är förankrade i Lgr 11. Förlaget Studentlitteratur gav ut boken 2016 och bokens författare är Karariina Asikainen, Kimmo Nyrhinen, Pekka Rokka och Päivi Vehmas. Illustratören är Maisa Rajamäki.

5.2 Genomförande

Inledningsvis gjordes en litteratursökning i databaserna ERIC, OneSearh och Swepub där sökord som bland annat problem-solving, critical aspect, mathematical problems, problemlösning användes. Relevanta artiklar valdes ut och lästes vilket följdes av noggrant val av litteratur som kunde användas i studien. Denna litteratur ligger till grund för studiens forskning. Samtliga artiklar som använts i studien har varit märkta med peer reviewed. Detta säkerställer att artiklarna har blivit vetenskapligt granskade före publicering.

Därefter gjordes en överblick över de båda läromedlen där dess problemlösningsuppgifter var i fokus. Sedan studerades hur problemlösningsuppgifterna var presenterade och vilka möjliga problem som fanns med dessa. På så vis kunde teorin användas och därmed analysera vilka kritiska aspekter, kritiska drag samt variationsmönster som fanns i problemlösningsfrågorna. Analysen utgick från en förutbestämd struktur som såg ut såhär:

2. Skapa en tabell för att se fördelningen av dessa problemlösningsuppgifter. 3. Uppgifter som ger en god representativ bild av öppna, slutna samt rika

problem väljs ut för analysering.

4. Identifiera möjliga lärandeobjekt i problemlösningsuppgiften.

5. Urskilj de utvalda problemens möjliga kritiska drag, aspekter samt variationsmönster (Lo, 2014), kopplat till lärandeobjektet.

6. Jämför de båda läromedlens möjliga kritiska drag- och aspekter samt variationsmönster med varandra. Urskilj skillnader och likheter.

7. Sammanfatta analysen och koppla resultatet till tidigare forskning.

5.3 Etiska förhållningssätt

Vetenskapsrådet (2017) beskriver fyra grundprinciper av förhållningssätt som forskare måste förhålla sig till när forskning: samtyckeskravet, informationskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.

Eftersom inga andra personer än forskaren själv är involverade i studien uppfylls samtyckeskravet. Informationskravet betyder att alla uppgiftslämnare och undersökningsdeltagare ska informeras om att de framhävs i studien. Eftersom studien är en litteraturgranskning, berör detta de två förlag som gett ut de läromedel studien använder sig av. Båda förlagen har gett sitt godkännande av användning med förutsättning att författare och illustratörer namnges korrekt. (Se bilaga 1-4). Konfidentialitetskravet betyder att personuppgifter ej får offentliggöras, vilket också uppfylls eftersom inga personer är involverade. Nyttjandekravet innebär att den information som använts för studien inte får användas under syften som inte är vetenskapliga.

5.4 Studiens tillförlitlighet

6 Resultat och analys

I följande avsnitt presenteras studiens resultat samt analys. Inledningsvis redogörs de problemlösningsfrågor som kunde kategoriseras in i öppna problem, slutna problem samt rika problem. Därefter följer en beskrivning av de utvalda problemlösningsfrågor från båda läromedlen som således representerar öppna, slutna och rika problem. Möjliga lärandeobjekt identifieras i problemet och därefter urskiljs möjliga kritiska drag- och aspekter kopplat till lärandeobjektet. Därefter urskiljs variationsmönster ur problemet.

6.1 Öppna, slutna och rika problem i läromedlen

Som nämnt i metodavsnittet är de två läromedel som används i studien Prima Formula matematik 5 och Mera Favorit matematik 5B. De båda läromedlen har liknande kapitel och innehåller flertalet problemlösningsuppgifter. I analysen har 7 olika problemlösningsfrågor valts ut som anses ge en representativ bild av öppna, slutna samt rika problem.

I Prima Formula matematik 5 kunde det urskiljas 4 öppna problem och 32 slutna problem. Däremot kunde inga rika problem urskiljas ur läromedlet. Majoriteten av uppgifterna kunde återfinnas i slutet på varje kapitel under rubriken “lösa problem”. Större delen av dessa problem var textbaserade. För mer detaljerad redovisning med sidhänvisning, se bilaga 1. I läromedlet Mera Favorit matematik 5B kunde det urskiljas 3 öppna problem, 22 slutna problem samt 1 rikt problem. Sidorna som problemlösningsuppgifterna återfanns på var oregelbundna och majoriteten av uppgifterna var textbaserade. För mer detaljerad redovisning med sidhänvisning, se bilaga 2.

6.2 Analys av öppna problem från läromedlen

Som tidigare nämnts, definieras öppna problem när problemuppgifter innehåller flera olika vägar till svaren och flera svarsalternativ (Lilburn, P & Sullivan, P, 2002). Nedan visas exempel på tre öppna problemlösningsuppgifter från Prima Formula matematik 5 och Mera Favorit matematik 5B som alla definieras som öppna problem.

6.2.1 Öppet problem 1 – Mera Favorit matematik 5B

Figur 2: Exempel på ett öppet problem. (Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P., Rajamäki, M. 2016: 21)

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

Lo förklarar att lärandeobjekt definieras som det eleverna ska lära sig (2014), vilket i denna uppgift skulle kunna vara själva problemlösningsprocessen eller att räkna addition med jämna heltal. Om problemlösningsprocessen fokuseras som lärandeobjekt, skulle möjliga kritiska drag kunna vara att problemlösaren behöver omvandla det skriftliga och bildliga i uppgiften till ett matematiskt språk innehållande symboler. Eftersom summorna och värdet på pengarna symboliseras genom bilder på sedlar och mynt, leder det till att problemlösaren behöver göra en illustrerad representation för att skapa en bildlig representation av uppgiften (Boonen. 2013). Sedlarna och mynten kan därmed utgöra kritiska drag, vilket i sin tur betyder att deras värde är en kritisk aspekt. Författaren menar att denna förmåga försvårar genomförandet av problemlösningsförmågan om eleven har svårt att göra en god bildlig representation.

exempelvis 20+5+2=27. Det betyder att eleven behöver ha en förståelse över hur addition ska beräknas med jämna heltal, annars utgör det en kritisk aspekt.

Variationsmönster i uppgiften

Det variationsmönster som kan urskiljas i problemet är kontrast. Detta eftersom eleven kan använda sig av subtraktion för att synliggöra additionen i uppgiften. Eftersom problemet frågar efter summan kan det konstateras att det är addition som problemet vill synliggöra, men om eleven istället använder subtraktion för att räkna ut vilka summor mynten kan bilda, har en kontrastering tagit plats. Exempelvis kan eleven börja från talet 27 kronor och ta bort 20 kronor, sedan 5 kronor och till sist 2 kronor. Det blir då tydligt för eleven vilka tal i rutan som går jämt ut med pengarna till vänster.

6.2.2 Öppet problem 2 – Prima Formula 5

Problemet nedan är taget ur Prima Formula matematik 5 och beskriver en bågskytteklubb med tio medlemmars medelålder 10. Problemet fortsätter med att förändra förutsättningarna för medelåldern när de två äldsta medlemmarna flyttar från bågskytteklubben, vilket drar ner medelåldern till 9 och problemlösaren ombeds därefter att beräkna den nya medelåldern. Problemlösaren ska ge minst tre olika förslag på hur gamla de två äldsta som lämnade klubben skulle kunna vara.

Figur 2: Exempel på ett öppet problem. (Sjöström, B & Sjöström, J. 2016: 199)

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

problemlösningsprocessen som innebär att eleven måste kunna uttrycka sambandet mellan olika komponenter genom matematiska ekvationer. Även efter eleven förstått att den totala åldern för 10 respektive 8 medlemmar är komponenterna som behövs, krävs det en viss förståelse för att veta hur 100 och 72 ska hanteras. Eleven behöver veta att kvoten är 9 i uträknandet av medelåldern, 8 är nämnaren och hen behöver räkna ut vad täljaren är. En möjlig kritisk aspekt blir i detta fall huruvida eleven har kunskap om vilka siffror som ska placeras vart i de matematiska ekvationerna samt hur dessa påverkar varandra. Då forskning har visat att flertalet lärare inte lägger fokus på själva processen av problemlösningsfrågor, fastnar elever oftare i förståelsen av texten och vid urskiljning av de matematiska komponenterna. Om läraren istället lägger större vikt vid förståelsen och genomförandet av denna uppgift, skulle elevers förståelse gynnas bättre(Boonen m.fl., 2016).

Om lärandeobjektet istället är problemlösningsprocessen, skulle en möjlig kritisk aspekt kunna vara att förstå förhållandet mellan den skriftliga information som kan urskiljas samt urskiljandet av den matematiska informationen. I denna uppgift handlar detta om ordförståelsen till orden “äldst”, “gamla” samt “sjönk”. Dessa utgör därmed kritiska drag som är betydande att förstå för denna uppgift. Äldst och gamla syftar till att två av de äldsta personerna efterfrågas hur gamla de är. För att förstå orden “äldst” och “gamla” behöver eleven inneha kunskapen om den kritiska aspekten “ålder”, och möjligtvis kunna att det är motsatserna till “yngst” samt “unga”. Ordet sjönk är ett verb som förklarar att någonting har rört sig nedåt eller blivit mindre. Det är inte självklart att alla elever förstår detta och då behöver läraren ha kunskap om dessa kritiska aspekter.

Skapandet av bildliga representationer kan i denna problemlösningsfråga vara fri från hinder för eleven. Bilden i uppgiften är begränsad och ger ingen mer information mer än att problemlösningsfrågan handlar om någonting som har att göra med pil och båge. Utöver bilden återfinns den skrivna texten, som ger den relevanta information som behövs för att genomföra problemlösningsfrågan. Således är bildliga kritiska aspekter i uppgiften obefintliga. Har eleven däremot svårt att ta sig an endast textbaserade problem, blir det en nackdel att inte kunna skapa sig några bildliga representationer.

Variationsmönster i uppgiften

6.3 Sammanfattning av öppna problem

I de öppna problem som analyserades från läromedlen var möjliga lärandeobjekt kopplat till olika räknesätt och problemlösningsprocessen. De möjliga kritiska dragen som kunde urskiljas var betydelsen om specifika ord, exempelvis “gamla” där den kritiska aspekten utgör ålder. De variationsmönster som kunde urskiljas i de öppna problemen var kontrast, fusion och genrealisering. Kontrast visade sig genom att uppgiften synliggjorde addition med hjälp av subtraktion. Fusion visade sig genom att problemlösaren behöver förändra exempelvis täljare och nämnare för att påverka kvoten och generalisering visade sig när medelåldern hölls konstant medan förutsättningarna för medelåldern varierades.

6.4 Slutna problem från läromedlen

Slutna problem definieras som problemlösningsuppgifter där det finns flera vägar till ett rätt svar (Novita m.fl. 2012) & (Lilburn & Sullivan 2002). Nedan visas exempel på fyra slutna problemlösningsuppgifter från Mera Favorit matematik 5B och Prima Formula matematik 5.

6.4.1 Slutet problem 1 – Mera Favorit matematik 5B

Problemlösningsfrågan visar tre liksidiga trianglar med olika tal vid varje sida samt i mitten av varje triangel. Det enda undantaget är den tredje triangeln, som döljer ett tal på ena sidan med bokstaven x. Problemlösaren förväntas ta reda på vilket tal som döljer sig bakom x.

Figur 4: Exempel på ett slutet problem. Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P.,

Rajamäki, M. (2016: 53)

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

täljarens eller nämnarens plats. Denna uppgift kräver att problemlösaren anstränger sig för att nå en möjlig lösning vilket Brehmer (2015) lyfter som viktigt för att även motivationen ska finnas där hos problemlösaren.

Om lärandeobjektet utgår från att vara problemlösningsprocessen, kan en möjlig kritisk aspekt vara relationen mellan figurerna och siffrorna. Detta relaterar till Boonens (2016) femte steg i problemlösningsprocessen, som handlar om att förstå sammanhanget mellan de olika komponenterna i uppgiften vilket även Bostic (2016) menar är en av de steg i processen elever oftast fastnar vid. Eleven måste förstå hur siffrorna och de olika trianglarna hänger ihop. Det är inte helt självklart att talet i mitten ska multipliceras med talet under, för att sedan divideras med ett tal på sidan. Även skapandet av bildliga representationer i problemlösningsfrågan kan påverka hur svår eleven upplever att problemlösningsfrågan är. Eleven underlättar för sig om hen gör en visuell-schematisk representation och försöker förstå sambandet mellan de olika siffrorna och trianglarna. För olika problemlösare kan det vara olika svårt att förstå sambandet att talet i mitten ska multipliceras med talet under, för att sedan dividera produkten med ett av talen på sidan och få fram en kvot som ska vara samma tal som talet på andra sidan. Eftersom det finns fyra tal vid varje triangel och totalt tre trianglar, finns det mängder med kombinationer av hur alla talen kan kombineras. Detta kan bli en stor problematik för problemlösaren vilket kan antas vara en möjlig kritisk aspekt.

Variationsmönster i uppgiften

De variationsmönster som kunde urskiljas ur problemlösningsfrågan var separation som innebär att två lärandeobjekt separeras från varandra (Olteanu & Olteanu, 2012). Problemlörsningsfrågans tre trianglar hålls konstanta, likaså det matematiska uttrycket för uträkningen, medan trianglarnas tillhörande siffror och tal varierar. Genom att likartade trianglar ställs bredvid varandra kan de kritiska aspekterna enklare urskiljas. På så vis har en separation genomförts och en dimension av variation uppnåtts (Lo, 2014).

6.4.2 Slutet problem 2 – Prima Formula 5

Figur 5: Exempel på ett slutet problem.Sjöström, B & Sjöström, J. (2016: 71)

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

Problemlösningens lärandeobjekt skulle kunna vara beräkning bråk eller problemlösningsprocessen. Om lärandeobjektet är problemlösningsprocessen, kan ett möjligt kritiskt drag vara ordförståelsen för ordet “resten”. Ordet kräver förståelse för delar och helhet i bråk, vilka då utgör de kritiska aspekterna i frågan. Förstår inte problemlösaren att resten är den resterande delen av en helhet, försvåras uppgiften. Detta innebär också att eleven behöver urskilja den matematiska informationen som kan kopplas till Boonens fjärde steg (2014).

Om lärandeobjektet istället är bråk, kan ett möjligt kritiskt drag vara kopplat till Boonens femte steg, där eleven måste förstå sambandet mellan de olika komponenterna (2016). De komponenterna som fokuseras först är de 120 kronor som finns kvar (alltså värdet av 4 femtedelar), samt en femtedel som är en division uttryckt i bråk. Här blir den möjliga kritiska aspekten förståelsen av division som bråk, där kunskap om vad 1/5 och 4/5 betyder samt värdet av helheten uttryck i kronor. Skapandet av bildliga representationer kan i denna problemlösningsfråga vara fri från hinder för eleven. Då uppgiften är en textbaserad uppgift, ger bilden ingen information mer än hur Bus ser ut. Därför kan det antas att bildliga kritiska aspekter inte finns i denna problemlösningsfråga. Har eleven däremot svårt att ta sig an endast textbaserade problem, kan det bli en nackdel att inte kunna skapa sig några bildliga representationer för eleven.

Variationsmönster i uppgiften

I problemlösningsfrågan ovan kunde generalisering urskiljas som variationsmönster. Olteanu & Olteanu förklarar att när en del av aspekten hålls konstant och andra varieras, har generalisering använts (2012). I uppgiften ovan hålls femtedelar, alltså nämnaren konstant. Samtidigt varieras täljaren och kvoten genom uppgiften.

Även variationsmönstret fusion kunde urskiljas i problemet. Eftersom de olika aspekterna delar, helhet, värde och bråk varieras tillsammans tyder detta på en fusion (Lo, 2014).

6.4.3 Slutet problem 3 – Mera Favorit matematik 5B

och fått en viss summa rabatt. I andra frågan (h) efterfrågas vilka varor Olivia köpt när hon använt sig av 200 kronor och fått 36 kronor tillbaka.

Figur 6: Exempel på ett slutet problem (Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P.,

Rajamäki, M. 2016: 19)

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

I problemlösningsfrågan kan lärandeobjektet vara problemlösningsprocessen, räknesätten addition och subtraktion samt beräkning av decimaltal. Om fokus på att lärandeobjektet är problemlösningsprocessen, behöver eleven först inneha ordförståelsen för “växel”, “rabatt” och “ett par strumpor”. Har eleven inte det, utgör de kritiska aspekter. Ordet växel har flera betydelser i det svenska språket och tillhör därför de kritiska dragen kopplat till telefoner, fordon och valuta. Även rabatt tillhör de kritiska dragen såsom en del av ett trädgårdsland samt valuta. Detta kan förvirra problemlösare som inte är fullt bekanta med språket. Likaså kan det vara förvirrande när problemlösningsfrågan nämner att Julius köper ”ett par strumpor”, medan enbart ”strumpor” kan återfinnas i tabellen. För en problemlösare med språkliga svårigheter kan det bli förvirrande om kostnaden för strumpor i tabellen ska dubblas, eftersom ”ett par” inte finns med. Detta kan kopplas till Boonens (2016) fjärde steg som innebär att urskilja den matematiska informationen ur uppgiften.

exempelvis jackor, väskor, skor och linnen. Däremot finns ingen av dessa föremål med i tabellen under ”produkt” som beskrivs i uppgiften. Detta kan göra att elevens bildliga representationsförmåga blir problematisk. De elever som fokuserar på det bildliga och använder illustrerande representationer, kan bli distraherade av bilden och tro att bilden ger nödvändig information för att genomföra uppgiften, vilket den inte gör. Detta kan därför vara en möjlig kritisk aspekt eftersom det är något som eleven behöver förstå för att klara av problemlösningsfrågan. Däremot behöver eleven använda den bildliga representationen när hen ska föra samman tabellen med textuppgiften.

Variationsmönster i uppgiften

I problemet urskiljs variationsmönstret kontrast, eftersom addition och subtraktion kan synliggöras i varandras variation. På så sätt kontrasteras lärandeobjekten addition och subtraktion mot varandra (Lo, 2014). Exempel på detta kan vara användningen av addition eller subtraktion kopplat till rabatten i uppgift g. Rabatten kan subtraheras med summan av kepsens, t-shirtens och strumpornas summa. Den kan även adderas på den summa som uträkningen säger Julius får tillbaka.

6.4.4 Slutet problem 4 – Prima Formula 5

Problemlösningsfrågan presenterar sju olika bråk. Dessa ska placeras i storleksordning. Problemlösaren ombeds att börja med det största bråket.

Figur 7: Exempel på ett slutet problem. (Sjöström, B & Sjöström, J. 2016: 86)

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

De lärandeobjekt som problemlösningsfrågan fokuserar på är problemlösningsprocessen eller bråk. Om lärandeobjektet fokuseras på bråk, kan kritiska aspekter vara beräkningen av bråk, att kunna utgå från en helhet, delar, blandade talsorter samt att storleksordna tal. Även bråkens delar, nämnarens och täljarens betydelse kan vara en möjlig kritisk aspekt. Det räcker att eleven inte förstår ett av bråken så fallerar problemet, eftersom eleven inte vet vart bråket ska placeras i storleksordningen. Ett bra sätt att göra detta är genom att använda ”pizzamodellen”, där eleven ritar upp en ”pizza” i form av en cirkel och delar in den i de antal som nämnaren visar i bråket och därefter fyller i så många rutor som täljaren visar. Genom detta sätt blir det tydligt hur stort varje bråk är. Detta tillhör Boonens (2016) tredje steg som handlar om att skapa sig en representativ bild av situationen.

Boonen (2016) tillhör det fjärde steget i problemlösningsprocessen, som innebär att urskilja den matematiska informationen (2016).

Bildliga representationer är i denna problemlösningsfråga obefintlig, då uppgiften speglar matematiska uttryck i form av bråk. Detta gör att problemlösarens representationskompetens inte är något problem. Möjliga kritiska aspekter kopplat till det bildliga finns därför troligtvis inte i denna uppgift.

Variationsmönster i uppgiften

I problemet ovan kunde generalisering och fusion urskiljas. Eftersom täljaren hålls konstant medan nämnaren varieras. Om denna information räcker för att lösa problemlösningsfrågan har en generalisering använts (Olteanu, C. & Olteanu, L, 2012). Behöver eleven däremot omvandla bråken och hitta en gemensam nämnare har fusion använts. När eleven gör om bråken och hittar en gemensam nämnare, behålls nämnaren konstant medan täljaren varierar. På så sätt har eleven upplevt två dimensioner av variation vilket tyder på en fusion (Lo, 2014).

6.5 Sammanfattning av slutna problem

I de slutna problem som analyserats, kunde möjliga lärandeobjekt bland annat handla om problemlösningsprocessen, beräkning av algebra, bråk, addition samt subtraktion. Problemlösningsprocessen var ett möjligt lärandeobjekt i alla slutna problem och bråk var det i två av dessa problem. De möjliga kritiska aspekterna som urskildes kunde kopplas till både ordförståelsen genom ord som “växel” eller “resten”. Även division eller bråk och deras delar (täljare och nämnare) var kritiska aspekter som kunde urskiljas. Samtliga fyra variationsmönster kunde urskiljas ur läromedlen inom slutna problem. Däremot kunde generalisering urskiljas två gånger vilket de andra tre inte gjorde.

6.6 Rikt problem från läromedlen

Nedan följer det enda rika problem som kunde urskiljas ur de båda läromedlen. Problemet är taget från Mera Favorit matematik 5B. Rika problem definieras som problemlösningsuppgifter där det finns flera vägar fram till ett korrekt svar. Under 3.4.3 beskrivs sju kriterier för att ett problem ska beskrivas som rikt. Det ska exempelvis introducera viktiga matematiska idéer eller kunna lösas på flera olika sätt med olika matematiska representationer (Taflin, 2007).

6.6.1 Rikt problem – Mera Favorit matematik 5B

Figur 8: Exempel på ett rikt problem. (Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P., Rajamäki,

M. 2016: 77)

Problemet introducerar problemlösaren för strategianvändning, resonemang och förståelse av en textuppgift. Problemet kan lösas på flera sätt, genom att bland annat använda sig av division och procent. Eftersom problemet kan lösas på flera olika sätt och med olika metoder, kan olika resonemang framträda hos eleverna. Både en lösning genom division och procent fungerar, vilket låter eleverna skapa en större förståelse för hur division och procent har kopplingar till varandra. Exempel på lösning till problemet är: Det kan urskiljas att a är 25% av kvadraten, och att b är lika stor, alltså 25%. D är hälften av a, och att e är hälften av d. Alltså är d 12,5% och e 6,25%. C är lika stor som e (6,25%). Skulle det diagonala streck fortsätta mitt genom g ser vi att hälften av g är hälften av d. Alltså är g lika stort som d (12,5%). Summan av de nuvarande procenten är 87,5% vilket lämnar 12,5% kvar för att nå 100. Alltså är f 12,5%. En liknande lösning kan genomföras med division, resultatet blir då att a och b är 1/4, d, g och f är 1/8 och c samt e är 1/16. Problemet tvingar problemlösaren att resonera, analysera och tolka innehållet för att komma fram till en lösning. De möjliga strategierna för att genomföra uppgiften kan leda till att eleven skapar en djupare förståelse för både division samt procenträkning. Dessa delar utgör de krav Taflin (2007) lyfter fram som kriterier för ett rikt problem.

Lärandeobjekt, kritiska drag och aspekter i uppgiften

sammanhanget mellan olika komponenter (2016). Att urskilja den matematiska informationen samt förstå sammanhanget mellan olika komponenter menar Bostic (2016) är några av de steg i problemlösningsprocessen som elever oftast fastnar vid. Bildliga representationer kan i problemet ovan göra genomförandet för eleven problematiskt. Elever som använder sig av illustrerad representation tenderar att fokusera på det bildliga istället för att väva samman bild med text (Boonen, 2013). Skulle en elev fokusera på figuren i uppgiften istället för att väva samman bild med text, kan det bli svårt att förstå exakt vad problemet vill att eleven gör. På så sätt kan det bildliga i problemet kunna vara en kritisk aspekt. Däremot om eleven använder en visuell-schematisk representation, väver eleven ihop texten med bild och kan lättare förstå vad det är som efterfrågas.

Variationsmönster i uppgiften

De variationsmönster som kunde urskiljas i problemet var kontrast och generalisering. De två lärandeobjekt som kontrasteras mot varandra i problemet är division och procent. Eleven kan förstå vad delar och helhet är i division med hjälp av att urskilja procenten. Samtidigt kan eleven skapa sig en förståelse vad delar och helhet är i procent med hjälp av att urskilja den division som problemet innehåller. Generaliseringen som tar plats i problemet kan urskiljas i att delarna a-g utgör lika stor del av den totala figuren, men omständigheterna förändras i form av representation. Istället för procent syns det genom division och vise versa.

6.7 Sammanfattning av resultat och analys

Sammanlagt har det kunnat urskiljas 7 öppna problem, 54 slutna problem och 1 rikt problem ur de två läromedel som denna granskning fokuserat på. Båda läromedlen hade alltså en majoritet av slutna problem kontra öppna och rika. Mera Favorit matematik 5B var det enda läromedlet där ett rikt problem kunde identifieras. Totalt analyserades fyra problem från Mera Favorit matematik 5B och tre problem från Prima Formula 5. I analysen av dessa problemlösningsuppgifter kunde det urskiljas flertalet kritiska aspekter och variationsmönster. Ur läromedlet Prima

Formula matematik 5 var de möjliga kritiska aspekterna kopplade till medelålder eller

bråk samt innebörden av ord exempelvis “resten” och “största”. De variationsmönster som kunnat urskiljas ur läromedlet har varit fusion och generalisering. De möjliga kritiska dragen som urskiljts har kunnat kopplas till Boonens problemlösningsprocess som är: göra sammanhängande representation av situationen, urskilja matematisk information, förstå sammanhanget mellan olika komponenter samt uttrycka sammanhangen med matematiska ekvationer. Urskiljandet av matematiska information kunde urskiljas ur två problem.

7 Diskussion

I följande avsnitt diskuteras inledningsvis metoden som denna studie använt sig av samt problemlösningsfrågors definition. Därefter diskuteras studiens resultat och analys där kritiska aspekter, variationsmönster, mängden problemlösningsfrågor och skillnader eller likheter lyfts. Slutligen diskuteras möjlig vidare forskning.

7.1 Metoddiskussion

Studien som gjorts har varit en läromedelsgranskning av två läromedel anpassade för årskurs 5, där analysen har fokuserat på att ta ut möjliga kritiska aspekter och variationsmönster ur dess problemlösningsfrågor. De problemlösningsfrågor som studien analyserat har definierats med hjälp av forskare som Lilburn, P & Sullivan, P (2002), Novita m.fl. (2012), Bais m.fl. (2012) och Taflin (2007). Efter att antalet problemlösningsfrågor och definitionen av dessa urskiljts ur läromedlen, valdes totalt 7 problem ut för granskning. I Prima Formula matematik 5 valdes 3 uppgifter ut och 4 uppgifter från Mera Favorit matematik 5B. I de båda läromedlen fanns problemlösningsfrågor som ansågs ha en god representativ bild av dess olika problemlösningsuppgifter.

Studien har behandlat större mängd litteratur kopplat till området problemlösning. Teorin som studien har använt sig av valdes tidigt eftersom tanken var att försöka hitta det som är hinder i problemlösning, vilket jag antog att kritiska aspekter bidrog till. Variationsteorin är däremot en väldigt bred och abstrakt teori som ofta upplevs svår att greppa eller förstå. Problemlösning i läromedel är inte heller ett område som lärs ut likt exempelvis bråk, utan används istället som ett medel för att stärka kunskap inom ett matematiskt område (Magnusson, J. & Maunula, T. 2011). Problemlösning kan också vara både ett lärandeobjekt samt ett lärandemål, vilket gör att valet av teori ifrågasättas eftersom appliceringen av teorin på problemlösningsuppgifter därmed blivit svårt. Men för att göra studiens analys lättare behövdes därför ett mer konkret lärandemål med problemlösning beskrivas. I denna studie har lärandemålet varit den problemlösningsprocess som Boonen m.fl. (2016) beskriver. Genom detta sätt kunde variationsteorin användas på ett effektivt sätt som främjade studiens frågeställningar. Att arbeta ensam har även gjort att reflektioner och bedömningar som gjorts, endast har fått feedback från studiens författare själv eller handledaren. Att arbeta i grupp hade kunnat medföra gynnsamma diskussioner och argumentationer som bidragit till de olika bedömningarna som genomförts i studien. Trots ensamt arbete har studiens författare hela tiden strävat efter objektivitet för att öka studiens tillförlitlighet.

7.2 Resultat- och analysdiskussion

Studiens analys har gett en bild av vilka möjliga kritiska aspekter och variationsmönster som utvalda problemlösningsuppgifter i två läromedel innehåller. Eftersom problemlösning inte är statiskt, kan det finnas problem med att kategorisera problemlösningsuppgifter (Novita m.fl. 2012). Trots tydliga definitioner av öppna,

slutna och rika problem kan det finnas fler problem i läromedlen än vad studien

undersökningen görs oberoende av någons åsikter. Resultatet som denna studie presenterar hade kunnat bli annorlunda beroende på vilka problem valts att analyseras i studien. Eftersom tiden inte räcker till för att analysera alla problem i böckerna, behövdes därmed ett urval av problemlösningsfrågor göras. Hade andra problem valts ut, hade analysen kunnat se annorlunda ut och andra möjliga kritiska aspekter och variationsmönster hade kunnat redovisats.

7.2.1 Kritiska aspekter

Studien visade att i stora delar av problemlösningsfrågorna kunde det urskiljas kritiska aspekter kopplade till medelålder, bråk eller ordförståelse för ord som exempelvis ”växel” eller ”största”. Dessa kritiska aspekter är i sin tur kopplade till steg fyra och fem i Boonen m.fl. (2016) process som handlar om att urskilja matematiska information och förstå sammanhanget mellan olika komponenter. Bostic lyfter hur elever oftare fastnar vid urskiljandet av den relevanta informationen och förstå hur de olika delarna har för koppling till varande i ett sammanhang (2016). I flera av problemlösningsfrågorna som använts i studien var sammanhanget mellan komponenterna bild och text. En anledning till att de kritiska aspekterna i denna studie kunde urskiljas kan bero på studiens metod. Eftersom variationsteorin endast är teoretisk och inte involverar någon faktisk elevlösning, riskerar resultatet att minska i tillförlitlighet. Att tillsammans med eleven försöka urskilja möjliga svårigheter inom matematiska uppgifter menar Lo (2014) underlättar för läraren att förstå vart elever kan stöta på hinder. För att tillförlitligheten skulle varit högre, hade elever kunnat få göra de utvalda problemlösningsfrågorna. Studien hade då kunnat använda sig av elevlösningar för att studera om, och i så fall var eleven fått svårt att gå vidare i problemlösningsfrågan.

7.2.2 Variationsmönster

I studiens analys framkom det att generalisering kunde urskiljas ur båda läromedlen. Kontrast kunde även urskiljas i 3 problem, men enbart från Mera Favorit matematik

5B. Beroende på vilka problem som väljs ut för analys, kan också variationsmönster

skilja. Marton m.fl. (2004) nämner hur elever själva behöver uppleva variation för att lärande ska äga rum. Eftersom studien inte tagit hjälp av elever för att identifiera variationsmönster, betyder det inte att eleverna upplever den variation om studien skulle användas för att forma undervisning.

7.2.3 Mängden problemlösningsfrågor

klassats som problemlösning är utvalda av en universitetsstudent. Detta kan resultera i att en elev i årskurs 5 kanske hade upplevt fler uppgifter som problemlösning än vad studien visar.

7.2.4 Skillnader och likheter mellan läromedlen

Läromedlen som använts i studien har både likheter och skillnader. Ur de möjliga kritiska aspekterna kunde det till exempel urskiljas att det fanns en likhet med möjliga kritiska aspekters koppling till urskiljandet av matematisk information. Denna kritiska aspekt återfanns i båda, men utgjorde en liten del av Mera Favorit matematik

5B samtidigt som den utgjorde alla de möjliga kritiska aspekterna av Prima Formula matematik 5.

Studien har redogjort att i Mera Favorit matematik 5B kan det urskiljas flera olika möjliga kritiska aspekter, medan Prima Formula matematik 5 endast har en möjlig kritisk aspekt som återkommer. Variationsmönster innehöll däremot en majoritet i båda läromedlen. Huruvida det är bra att variera möjliga kritiska aspekter kan diskuteras. Däremot handlar variationsteorin om att lära sig genom att se objekt på nya sätt (Marton & Booth, 2000). Om fler möjliga kritiska aspekter kan urskiljas ur ett läromedel, kan det betyda att flera olika sorters fallgropar kan finnas. Detta kan betyda att objektet behöver synas på flera nya sätt, vilket bidrar till lärande för det ursprungliga objektet (Lo. 2014).

7.3 Vidare forskning

Referenslista

Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P., Rajamäki, M. (2016). Mera

Favorit matematik. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur

Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P., Vehmas, P., Rajamäki, M. (2016). Mera

Favorit matematik, Lärarhandledning. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur

Bais, B., Hussain, A., Hussain, H. & Samad, A. S (2012). How to construct open

ended questions. Procedia – Social and Behavioral Sciences. Tillgänglig på internet:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S187704281203861X

Boonen, A., Van der Schoot, M., Van Wesel, F., De Vries, M., & Jolles, J. (2013). What underlies successful word problem solving? A path analysis in sixth grade students. Contemporary Educational Psychology, 38(3), 271-279.

Boonen, A.J.H., Reed, H.C., Schoonenboom, J. & Jolles, J. (2016). "It's Not a Math Lesson--We're Learning to Draw! Teachers' Use of Visual Representations in Instructing Word Problem Solving in Sixth Grade of Elementary School", Frontline

Learning Research, vol. 4, no. 5, pp. 55-82.

Bostic, J. D., Pape, S. J., & Jacobbe, T. (2016). Encouraging sixth-grade students' problem-solving performance by teaching through problem solving. Investigations in

Mathematics Learning, 8(3), 30-58. Retrieved from http://proxy.lnu.se/login?url=https://search.proquest.com/docview/1826529857?acc ountid=14827

Brehmer, D. (2015). Problem solving in mathematics textbooks. Mälardalen University Press Licentiate Theses, Mälardalen Studies in Educational Sciences, 2015.

Bryman, A., & Nilsson, B. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder (Upplaga 3. ed.). Stockholm: Liber.

Denscombe, M. & Larson, P. (2018). Forskningshandboken: för småskaliga

forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Fjärde upplagan., Studentlitteratur.

Fred, J & Stjernlöf, J (2014). Uppgifter som redskap för mediering av kritiska aspekter i matematikundervisning. Forskning om undervisning och lärande. :12, s. 21–43 http://su.diva-portal.org/smash/get/diva2:746214/FULLTEXT01.pdf

Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: mathematical knowing and teaching. American Educational Research

Journal 27(1), 29-63.

Lester, Frank K. (1994). Musings about Mathematical Problem-Solving Research: 1970-1994. Journal for Research in Mathematics Education, 25(6), pp.660–75. Lilburn, P. & Sullivan, P. (2002). Good Questions for Math Teaching: Why ask them

and what to ask, K-6. Australia: Oxford University Press.

Maunula, T., Magnusson, J. & Echevarría, C. (red.) (2011). Learning study:

undervisning gör skillnad. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.

Marton, F. (2015). Necessary conditions of learning. London: Routledge. Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande, Lund: Studentlitteratur.

Marton, F., Runesson, U., & Tsui, A.B.M. (2004). The space of learning. I: F. Marton och A.B.M. Tsui (red.), Classroom discourse and the space of learning (s. 3-42). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Novita, R., Zulkardi, & Hartono, Y. (2012). Exploring primary student's problem-solving ability by doing tasks like PISA's question. Indonesian Mathematical Society

Journal on Mathematics Education, 3(2), 133-150

Olteanu, C. & Olteanu, L. (2012). Improvement of effective communication- the case of subtraction. International Journal of Science and Math Education 10:803. DOI: 10.1007/s10763-011-9294-z

Palraj, S., DeWitt, D. & Alias, N. (2017). Teachers Beliefs in Problem Solving in Rural Malaysian Secondary Schools. Malaysian Online Journal of Educational

Technology, vol. 5, no. 4, pp. 45-57.

Runesson, U. (2005). Beyond discourse and interaction. Variation: a critical aspect for teaching and learning mathematics. Cambrigde Journal of Education, 35(1), s. 69-87

Selden, A., Selden, J., Hauk, S., & Mason, A. (1999). Do calculus students eventually learn to solve non-routine problems? technical report. no. 1999-5. (). Retrieved from

ERIC Retrieved from

http://proxy.lnu.se/login?url=https://search.proquest.com/docview/870283827?acco untid=14827

Sjöström, B. & Sjöström, J. (2016). Prima Formula matematik 5. (1. uppl.) Malmö: Gleerups

Sjöström, B. & Sjöström, J. (2016). Prima Formula matematik 5, Lärarhandledning. (1. uppl.) Malmö: Gleerups

Skolverket. (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet

2011. Stockholm: Skolverket

Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. pp.Doctoral thesis / Umeå University, Department of Mathematics, 2007.

Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Stockholm.

doi:https://www.vr.se/analys-och-uppdrag/vi-analyserar-och-utvarderar/alla-publikationer/publikationer/2017-08-29-god-forskningssed.html

Wernberg, A. (2009). Lärandets objekt [Elektronisk resurs]: vad elever förväntas lära

sig, vad görs möjligt för dem att lära och vad de faktiskt lär sig under lektionerna.

Bilagor

Bilaga A: Tabeller över antal problemlösningsuppgifter.

Prima Formula matematik 5

Öppna Slutna Rika

Antal 4 32 0 Uppgifter 81(25), 35(52) 115– 116(199) 80-85(25-26), 113-120(71-72), 175-176(86), 77-82 (115-116), 48-53(147-148) 113-114(199), 117-118(200), 44-45(231)

Mera Favorit matematik 5B

Öppna Slutna Rika

Bilaga C: Samtyckesbrev (Gleerups)

Hej Gleerups!

Mitt namn är Anton Svensson och jag är en lärarstudent som läser min sista termin på Linnéuniversitetet i Växjö med inriktning för årskurserna 4–6. Vi skriver just nu självständigt arbete och jag har valt att skriva en läromedelsgranskning kring problemlösning.

Min fråga är om jag får tillstånd av er för att skanna in eventuella uppgifter till arbetet. Tanken är att inte hela sidor skannas in, utan enbart enskilda problemlösningsuppgifter. Källhänvisningen kommer självklart hanteras enligt forskningsetikens standard. De fyra grundprinciperna för etiska förhållningssätt enligt Vetenskapsrådet (2017). God forskningssed. Stockholm används för att skydda information och självklart er som förlag.

Den tänkta boken är: Prima Formula matematik 5

Får jag tillstånd för att skanna in enskilda uppgifter ur Prima Formula matematik 5? Med vänliga hälsningar, Anton!

Svar från Gleerups:

Hej Anton,

Tack för ditt mejl. Det går bra om du använder den andra upplagan, samt anger förlag, författare, illustratör, foto.

Önskar dig en fortsatt fin dag! Vänliga hälsningar