Resultatet meddelas p˚ a ”Mina sidor”. Via studentwebben kan man f˚ a informa- tion om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Tentamen i Matematik I - Differentialkalkyl Kurskod M0038M Tentamensdatum 2011-05-17

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30

Resultatet meddelas p˚ a ”Mina sidor”. Via studentwebben kan man f˚ a informa- tion om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or Teknikvetenskap och matematik

1 (3)

Uppgift 1

(a) F¨ orenkla s˚ a l˚ angt som m¨ ojligt

x 1 − y

x 1 + y x

+ y x y − 1 x

y + 1 (2 p)

(b) Best¨ am alla l¨ osningar till

sin(2x) = cos x.

Svara i radianer. (2 p)

Uppgift 2

Best¨ am (a) lim

x→0

sin x

2x (1 p)

(b) lim

x→

sin x

2x (1 p)

(c) lim

h→0

√ x + h − √ x

h (2 p)

(d) lim

x→∞

(1 + 2 x) x ²

3 x ³ − 2 (2 p)

Uppgift 3

Givet f¨ oljande funktion

f (x) = x ² − x + 1 (x − 1) ²

(a) best¨ am alla asymptoter och lokala extrempunkter, till funktionen. (3 p) (b) Skissa funktionskurvan y = f (x) med hj¨ alp av analysen i deluppgift

(a). (2 p)

Uppgift 4

Givet funktionen

f (x) = x tan(π x/2), 0 < x < 1 best¨ am

(f ⁻¹ ) ⁰ (1/2)

givet att 1/2 = f (1/2). (5 p)

2 (3)

Uppgift 5

En cylindrisk tunna ska rymma 20 m ² . Materialet i topp och botten kostar 10 kr/m ² och materialet till sidorna kostar 8 kr/m ² . Best¨ am dimensionerna

p˚ a den tunna som har l¨ agst materialkostnad. (5 p)

Uppgift 6

L¨ os endast en av de f¨ oljande uppgifterna. Om du l¨ oser flera, f˚ ar du po¨ ang enligt den uppgift som gick s¨ amst.

Uppgift 6.1

Med vilken hastighet m˚ aste du sl¨ appa ut linan, om en drake som du flyger p˚ a 30 m h¨ ojd, och p˚ a 40 m horisontellt avst˚ and, ska r¨ ora sig horisontellt iv¨ ag

fr˚ an dig, med en hastighet av 10 m/min? (5 p)

Uppgift 6.2

Best¨ am alla x som uppfyller olikheten x

1 − x > 2 x + 1

(5 p)

3 (3)