Resultatet meddelas: Via studentportalen https://portal.student.ltu.se/.

Tentamen i Differentialkalkyl Kurskod M0029M Tentamensdatum 2008-03-29

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Jourhavande l¨ arare: Staffan Lundberg Tel: 0920-491869

Betygsgr¨ anser: 14–18=3, 19–23=4, 24– =5.

Resultatet meddelas: Via studentportalen https://portal.student.ltu.se/.

F¨or att se n¨ar den r¨attade skrivningen kan

h¨amtas ut, bes¨ok hemsidan www.ltu.se/atorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga.

Till alla uppgifter skall fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, ekvationsl¨ osningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨or matematik

1. Visa att

n

X

k=1

(2k − 1) ² = n · (2 n − 1)(2 n + 1) 3

f¨or alla heltal n ≥ 1. (5 p)

Show that

n

X

k=1

(2k − 1) ² = n · (2 n − 1)(2 n + 1) 3

for all integers n ≥ 1. (5 p)

2. Best¨am f¨oljande gr¨ansv¨arden (a) lim

x→1

√ x − 1

1 − x (1 p)

(b) lim

x→∞

ln(e ^{4 x} + e ^{5 x} )

x (2 p)

(c) lim

x→0

cos 2x − 1

x ² (2 p)

Find the following limits (a) lim

x→1

√ x − 1

1 − x (1 p)

(b) lim

x→∞

ln(e ^{4 x} + e ^{5 x} )

x (2 p)

(c) lim

x→0

cos 2x − 1

x ² (2 p)

3. (a) Visa att

f (x) = x + cos x + arctan x

¨ar omv¨andbar. (2 p)

(b) Best¨am (f ⁻¹ ) ⁰ (1). (3 p)

(a) Show that

f (x) = x + cos x + arctan x

is invertible (one-to-one). (2 p) (b) Find (f ⁻¹ ) ⁰ (1). (3 p)

4. Rita kurvan

y = x · e ^{− x}

^/2 .

Best¨am eventuella asymptoter, lokala maximi- och minimipunkter samt inflexions-

punkter. (5 p)

Sketch the graph of

y = x · e ^{− x}

^/2 .

Find any asymptotes, local maximum and mi- nimum points, and inflection points.

(5 p)

5. Best¨am kortaste avst˚ andet fr˚ an origo till den del av kurvan

x ² y ⁴ = 1

som ligger i f¨orsta kvadranten. (5 p)

Find the shortest distance from the origin to the part of the curve

x ² y ⁴ = 1

that lies in the first quadrant. (5 p)

2 (3)

6. L¨ os en och endast en av de tre f¨ oljande uppgifterna

Solve one and only one of the following assignments

6.1 Visa att funktionen

f (x) = arctan(x) + arctan 1

x
, x > 0,

¨ar konstant. Best¨am d¨arefter funktionens v¨arde.

Show that the function

f(x) = arctan(x) + arctan 1

x
, x > 0, is constant. Then find the value of the func- tion.

(5 p) (5 p)

6.2 Antag att f ¨ar deriverbar i intervallet I. Vi- sa att om f ⁰ (x) > 0 f¨or alla x ∈ I s˚ a ¨ar f v¨axande i intervallet I. (5 p)

Suppose that f is differentiable on an interval I. Show that if f ⁰ (x) > 0 for all x ∈ I, then

f is increasing on I. (5 p)

6.3 Visa kvotregeln f¨or derivator, dvs d

dx

 f (x) g(x)



= f ⁰ (x) · g(x) − f(x) · g ⁰ (x) (g(x)) ²

Show the Derivative Quotient Rule, i.e.

d dx

 f (x) g(x)



= f ⁰ (x) · g(x) − f(x) · g ⁰ (x) (g(x)) ²

(5 p) (5 p)

Anm: arctan x = tan ⁻¹ x.

Tentamen M0029M(080329) - L¨ osningsskisser

Uppgift 1

P˚ ast˚ aende

n

X

k=1

(2k − 1) ² = n · (2 n − 1)(2 n + 1)

3 (1)

Startsteget (n = 1)

VL: (2 · 1 − 1) ² = 1. HL: 1 · (2 · 1 − 1)(2 · 1 + 1)

3 = 1, dvs. p˚ ast. (1) sant f¨or n = 1.

Induktionssteget

Induktionsantagande:

P˚ ast˚ aendet (1) sant f¨or n = p, dvs.

p

X

k=1

(2k − 1) ² = p · (2 p − 1)(2 p + 1)

3 .

Visa: P˚ ast˚ aendet (1) sant f¨or n = p + 1, dvs.

p+1

X

k=1

(2k − 1) ² = (p + 1) · (2 (p + 1) − 1)(2 (p + 1) + 1)

3 =

= (p + 1) · (2 p + 1)(2 p + 3)

3 .

p+1

X

k=1

(2k − 1) ² =

p

X

k=1

(2k − 1) ² + (2(p + 1) − 1) ² =

= (Ind. antagandet) = p · (2 p − 1)(2 p + 1)

3 + (2(p + 1) − 1) ² =

= 2p + 1

3 2p ² + 5p + 3
= 2p + 1

3 (p + 1)(2p + 3) , och vi ¨ar klara.

Slutsats

Enligt induktionsaxiomet och ovanst. punkter, ¨ar p˚ ast˚ aendet (1) sant f¨or varje heltal n ≥ 1.

Uppgift 2

(a)

√ x − 1 1 − x = ( √

x − 1)( √ x + 1) (1 − x)( √

x + 1) =

= x − 1

(1 − x)( √

x + 1) = − 1

√ x + 1 → − 1

2 d˚ a x → 1.

1

(b)

ln(e ^{4 x} + e ^{5 x} )

x = ln(e ^{5 x} (e ^{− x} + 1))

x =

= ln e ^{5 x}

x + ln(e ^{− x} + 1)

x → 5 d˚ a x → ∞.

(c)

cos 2x − 1

x ² = cos ² x − sin ² x − 1

x ² = 1 − 2 sin ² x − 1

x ² =

= −2 sin ² x

x ² → −2 d˚ a x → 0.

Uppgift 3

(a)

f ⁰ (x) = 1 − sin x + 1

1 + x ² > 0 f ¨ar v¨axande och d¨armed omv¨andbar.

(b) x = (f ⁻¹ )(1) ⇔ f(x) = 1, dvs x = 0.

(f ⁻¹ ) ⁰ (1) = 1

1 − sin x + 1+ ¹ x

     x=0

= 1

2 .

Uppgift 4

y = x · e ^{− x}

^/2

y ⁰ = −(x + 1)(x − 1) · e ^{− x}

^/2 y ⁰⁰ = (x + √

3) · x · (x − √

3) · e ^{− x}

^/2 Station¨ ara punkter: x = ±1.

Inflexionspunkter: x = 0, ± √ 3.

Lokala max-/min-punkter: x = 1 (lok. max-pkt), x = −1 (lok. min-pkt).

Asymptoter: y = 0, ty lim

| x|→∞ f (x) = 0.

–0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6

–3 –2 –1 1 2 3

x

Uppgift 5

Uppgift: Minimera funktionen d ² = x ² + y ² med villkoret x ² y ⁴ = 1.

Eftersom vi befinner oss i f¨orsta kvadranten, g¨aller att y ² = 1 x , och f(x) = d ² = x ² + 1

x .

D˚ a f (x) → ∞ d˚ a x → 0 respektive d˚ a x → ∞, samt att f(x) ¨ar kont. f¨or x > 0, inneb¨ar detta att f har sitt minsta v¨arde i en station¨ar (inre) punkt. Vi deriverar:

f ⁰ = 2x − 1 x ² . f ⁰ (x _m ) = 0 ger att det minsta v¨ardet intr¨affar i x m = 1

√

2 . S¨ okt v¨ arde: d = pf(x m ) = √

2 ^{−2 /3} + 2 ^{1 /3} .

Alternativ: Tangenten till kurvan x ² y ⁴ = 1 i tangeringspunkten P m : (x m , y _m ) skall sk¨ara lin- jen fr˚ an origo genom tangeringspunkten under r¨at vinkel f¨or att minimera det s¨okta avst˚ andet.

Tangentens riktningskoefficient i P _m : y ⁰ (x _m ) = − y _m 2x m

. Det m˚ aste g¨alla att − y _m 2x m · y _m

x _m = −1.

M.a.o.: y _m ² = 2x ² _m , vilket insatt i kurvans ekvation ger x m = 1

√

2 o.s.v.

3