Dagens 5 okt: 1abe, 2, 3.

Dagens 5 okt: 1abe, 2, 3.

1. S¨ok st¨orsta och minsta v¨ardet av funktionen f d˚a a. f (x, y) = x²− 6x + y²− 2y

b. f (x, y) = 1 − xy − x² − y²

c. f (x, y) = x²+ 4y²+ 3xy + 7y − 1 d. f (x, y) = 8x − y⁴− 4x²

e. f (x, y) = 4x² − y²+ 8x

2. Ett f¨oretag producerar tv˚a varor X och Y . F¨oretagets vinstfunktion ¨ar π(x, y) = 180x + 240y − 2x² − 5y² − xy,

d¨ar x respektive y ¨ar antalet tillverkade enheter av X respektive Y . Hur mycket skall f¨oretaget producera av de b˚ada varorna f¨or att maximera vinsten?

3. F¨or ett f¨oretag antas f¨oljande produktionsfunktion g¨alla:

Q(K, L) = 500 ln(KL²),

d¨ar K > 1, L > 1. F¨oretaget s¨aljer sin vara till det givna priset 100:-. Priset f¨or kapital, K, ¨ar 100:- och f¨or arbetskraft, L, 500:-. Hur stor ¨ar den maximala vinst som f¨oretaget kan uppn˚a och hur mycket kapital och arbetskraft skall f¨oretaget anv¨anda sig av f¨or att uppn˚a denna vinst?

Ledning: Vinstfunktionen ges av π(K, L) = 100 · Q(K, L) − 100K − 500L =

= 100 · 500 ln(KL²) − 100K − 500L. Maximera π.

Svar

1. a. Minimum f (3, 1) = −10. Maximum antas inte.

b. Maximum f (0, 0) = 1. Minimum antas inte.

c. Minimum f (3, −2) = −8 Maximum antas inte.

d. Maximum f (1, 0) = 4. Minimum antas inte.

e. St¨orsta och minsta v¨ardet saknas.

2. x = 40 enheter av X och y = 20 enheter av Y ger maximala vinsten π(40, 20) = 6000.

3. Maximala vinsten 50000 ln 20000000 − 150000 ≈ 690562 f˚as f¨or K = 500, L = 200.

Dagens 8 okt: 1abe, 2, 3.

1. S¨ok st¨orsta och minsta v¨ardet av funktionen f d˚a a. f (x, y) = −5xy + 5x²+ y²+ 6y

b. f (x, y) = −4xy + 5x²+ y²+ 6y

c. f (x, y) = 3x² + 12xy + 2y³, d¨ar y > 2 d. f (x, y) = 3x² + 12xy + 2y³, d¨ar y < 2

e. f (x, y) = 16xy + 5x²− 16y²− 3x³, d¨ar x > 1.

2. Ett f¨oretag kan s¨alja sin vara p˚a tv˚a helt separerade marknader. Det pris P₁ och P₂ som f¨oretaget kan ta ut p˚a dessa marknader beror p˚a hur mycket man s¨aljer enligt

P₁(Q₁) = 132 − Q₁ och P₂(Q₂) = 240 − Q₂,

d¨ar Q₁ och Q₂ st˚ar f¨or f¨ors¨aljningsvolymer p˚a respektive marknader. Den totala kostnaden f¨or att producera varan visas av

C(Q₁, Q₂) = 10 + (Q₁+ Q₂)².

Antag att f¨oretaget vill maximera vinsten. Hur stor blir f¨oretagets produktion, hur mycket s¨aljs p˚a respektive marknad och till vilka priser?

Tips: Vinstfunktionen π(Q₁, Q₂) = P₁· Q₁+ P₂· Q₂− C.

3. Vilken ¨ar den maximala produkten av tre positiva tal med summan 6?

Tips: Maximera f (x, y, z) = xyz, d˚a x + y + z = 6 och x > 0, y > 0, z > 0. J¨amf¨or med Problem 3 och 7 p˚a sidan 461 och Example 3 p˚a sidan 460.

Svar

1. a. St¨orsta och minsta v¨ardet saknas.

b. Minimum f (−6, −15) = −45. Maximum saknas.

c. Minimum f (−8, 4) = −64. Maximum saknas.

d. St¨orsta och minsta v¨ardet saknas.

e. Maximum f (2, 1) = 12. Minimum saknas.

2. Vinstfunktionen ges av π(Q₁, Q₂) = 132x + 240y − 2x²− 2y²− 2xy − 10.

Q1 = 4, Q2 = 58 ger maximala vinsten π(4, 58) = 7214.

3. Eftersom z = 6 − x − y s˚a f˚ar man att xyz = xy(6 − x − y) ={teckna detta}= g(x, y) som skall maximeras. St¨orsta v¨ardet ¨ar 8 och f˚as d˚a x = y = z = 2.

Dagens 9 okt: 1abcd, 2a, 3, 4, 5, 8a. 1/3 1. Vi antar att x ≥ 0 och y ≥ 0. Anv¨and Lagrange’s metod f¨or att best¨amma l¨osningen

till f¨oljande problem

a. max xy under bivillkoret 2x + 3y = 12.

b. max 2xy + y² under bivillkoret x + 2y = 9.

c. max xy + 2y² under bivillkoret x + 5y = 6.

d. max x√

y + 1 under bivillkoret x + y = 5.

e. max 6√³

xy under bivillkoret x + 3y = 4.

f. min 9√

x −√

y under bivillkoret 3x − y = 26.

g. min x²− 4x − y under bivillkoret 2x + y − 9.

h. max x²− 4x − y under bivillkoret 2x + y − 9.

2. Best¨am st¨orsta och minsta v¨ardet av funktionen a. f (x, y) = 2√

x − 3√

y under bivillkoret x + y = 25.

b. f (x, y) =√

x + 2√

y under bivillkoret x + y = 20.

3. En konsuments nyttofunktion kan skrivas som U (x, y) = xy², d¨ar x och y visar konsumerad kvantiteten av de tv˚a existerande varorna. Konsumenten har en inkomst p˚a 6000:- och priserna p˚a varorna ¨ar px = 10:- och py = 40:-. L¨os konsumentens nyttomaximeringsproblem.

Tips: Du skall l¨osa problemet max xy² under bivillkoret 10x + 40y = 6000.

4. Antag att en individs preferenser f¨or varorna X och Y kan beskrivas med nytto- funktionen U (x, y) = 1000 · ln(x²y), d¨ar x och y ¨ar konsumerad kvantiteten av X respektive Y . Individen har en budget p˚a 3000:- att anv¨anda till k¨op av de tv˚a varorna. Priset p˚a vara X ¨ar 10:- medan priset p˚a vara Y ¨ar 1:-.

a. L¨os individens nyttomaximeringsproblem. Hur m˚anga X respektive Y kommer individen att k¨opa?

b. L¨os sedan problemet f¨or en godtycklig budget B. Visa att oavsett budgetens storlek kommer individen att k¨opa varorna i samma proportion.

5. Vid konsumtionen av varorna X och Y har en person nyttofunktionen U (x, y) = 2x^0.4y^0.6.

Vara X kostar 2 kronor per enhet och vara Y kostar 3 kronor per enhet.

a. Hur f¨ordelar personen ink¨open om hon disponerar 360 kr?

b. Hur stor nytta uppn˚ar personen i nyttomaximum?

c. Ungef¨ar hur stor nytto¨okning f˚ar personen om hon f˚ar 1 krona mer att handla f¨or? (Nya ink¨opskvantiteter ska inte ber¨aknas!)

Dagens 9 okt (forts¨atter p˚a n¨asta sidan): 1abcd, 2a, 3, 4, 5, 8a. 2/3 6. a. Ett f¨oretag har produktionsfunktionen Q(K, L) = 2K²L. Utg˚a ifr˚an priset 100 kronor f¨or L och 500 kronor f¨or K och v¨alj den kombination av K och L som minimerar kostnaden f¨or att producera 5000 enheter.

b. Best¨am marginalkostnad och genomsnittskostnad vid en produktion p˚a 5000 enheter, givet att f¨oretaget har valt K och L som i uppgift a.

7^∗. Ett f¨oretag ¨ager tv˚a produktionsanl¨aggningar f¨or att producera en och samma vara.

L˚at oss kalla produktionen i anl¨aggning X f¨or x och produktionen i anl¨aggning Y f¨or y. Den totala kostnaden f¨or produktion i respektive anl¨aggning anges nedan:

C_X(x) = 20x + x² och C_Y(y) = 110y + 0.5y².

a. Antag att f¨oretaget skall producera en viss kvantitet q till l¨agsta m¨ojliga kost- nad. Hur kommer f¨oretaget att f¨ordela produktionen p˚a sina tv˚a anl¨aggningar?

Anv¨and Lagrangemultiplikator-metoden f¨or att l¨osa problemet. L¨osningen kom- mer d˚a att visa optimala v¨arden f¨or x och y f¨or godtyckliga v¨arden p˚a q.

F¨orklara varf¨or du ¨and˚a inte kan acceptera din l¨osning f¨or alla v¨arden p˚a q, samt hur l¨osningen av f¨oretagets problem ser ut i dessa fall.

b. Antag att vi vet att den vinstmaximerande kvantiteten f¨or f¨oretaget ¨ar 150 enheter. Hur skall produktionen mellan X och Y f¨ordelas?

8. S¨ok st¨orsta och minsta v¨ardet av funktionen a. f (x, y) = 2x² + y²− 2xy − 2y

b. f (x, y) = x²+ 3y²− 2xy − 4y.

Svar

1. a. max = 6 d˚a x = 3 och y = 2. b. max =27 d˚a x = 3 och y = 3 c. max = 3 d˚a x = 1, och y = 1. d. max = 4√

2 d˚a x = 4 och y = 1.

e. max = 6 d˚a x = 1 och y = 1. f. min = 26 d˚a x = 9 och y = 1.

g. min = -10 d˚a x = 1 och y = 7. h. max = 2.25 d˚a x = 4.5 och y = 0.

2. a. St¨orsta v¨ardet f (25, 0) = 10, minsta v¨ardet f (0, 25) = −15.

b. St¨orsta v¨ardet f (4, 16) = 10, minsta v¨ardet f (20, 0) =√

20 ≈ 4.47.

3. Max = 2000000 d˚a x = 200 och y = 100.

4. a. max d˚a x = 200 och y = 1000.

b. max d˚a x = B/15 och y = B/3, allts˚a 200/1000 = (B/15) : (B/3).

5. a. x = 72 och y = 72. b. Nyttan ¨ar 144.

c. Nytto¨okningen blir approximativt λ = 0.2.

6. a. K = 10 och L = 25. b. Marginalkostnad = λ = 0.5.

Dagens 9 okt: : 1abcd, 2a, 3, 4, 5, 8a. 3/3 7. a. Minimera CX(x) + CY(y) under bivillkoret x + y = q. Lagrangefunktionen L(x, y) = 20x + x²+ 110y + 0.5y²+ λ(x + y − q) ger x = 30 +¹₃q, y = −30 +²₃q och λ = 80 + ²₃q. Detta ger negativa v¨arden f¨or y f¨or q < 45. F¨or q < 45

¨ar l¨osningen ist¨allet att y = 0 samt x = q. F¨orklaring: Marginalkostnaden i anl¨aggning X ¨ar λ = 20 + 2x, medan den i anl¨aggning Y ¨ar λ = 110 + y. ¨Anda fram till q = 45 ¨ar marginalkostnaden i anl¨aggning X l¨agre ¨an i Y . F¨orst vid en produktion ¨overstigande 45 ¨ar det l¨onsamt att utnyttja anl¨aggning Y . b. Eftersom q = 150 > 45 skall x = 30 +¹₃q = 80 och y = −30 + ²₃q = 70.

8. a. Minimum f (1, 2) = −2. Maximum saknas.

b. Minimum f (1, 1) = −2. Maximum saknas.