Matematisk statistik 9 hp F¨orel¨asning 6: Linj¨arkombinationer

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss

Matematisk statistik 9 hp

F¨orel¨asning 6: Linj¨arkombinationer

Anna Lindgren

27+28 september 2016

Summa av tv˚a oberoende, Z = X + Y

p Z (k) = X

i+j=k

p X (i) · p Y (j) =

k

X

i=0

p X (i) · p Y (k − i)

f Z (z) = d

dz

Z Z

x+y≤z

f X (x) · f Y (y) dx dy



Rita!

Maximum/Minimum av fler oberoende

Z = max(X ₁ , . . . , X n ) F Z (z) =

n

Y

i=1

F X

(z)

Z = min(X ₁ , . . . , X n ) F Z (z) = 1 −

n

Y

i=1

[1 − F X

(z)]

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss sum/max/min V.v./var

V¨antev¨arde

V¨antev¨ardet anger tyngdpunkten f¨or f¨ordelningen

E(X) =

(R ∞

−∞ x · f X (x) dx Kont.

P

k k · p X (k) Diskr.

Varians

Variansen anger hur utspridd X ¨ar kring sitt v¨antev¨arde.

V(X) = E

 h

X − E(X) i 2 

= E(X ² ) − E(X) ² ≥ 0

Standardavvikelse, D(X), σ, σ X

D(X) = pV(X)

Betingat v¨antev¨arde

Det betingade v¨antev¨ardet f¨or X givet att Y = y blir (inget nytt)

E(X | Y = y) =

(R ∞

−∞ x · f X|Y=y (x) dx kont.

P

k k · p _X|Y=y (k) diskr.

Satsen om total sannolikhet f¨or v¨antev¨arden

E(E(X | Y)) = E(X), dvs

E(X) =



 



 



Z ∞

−∞

E(X | Y = y) · f Y (y) dy

X

k

E(X | Y = k) · p Y (k)

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss

Ex (forts): Om f X,Y (x, y) = e ^−y , 0 ≤ x ≤ y

Vi hade tidigare att

f X|Y=y (x) = 1

y , 0 ≤ x ≤ y dvs X | Y = y ∈ R(0, y)

f _Y|X=x (y) = e ^−(y−x) , y ≥ x dvs Y | X = x ∈ ⁰⁰ x + Exp(1) ⁰⁰

f X (x) = e ^−x , x ≥ 0 dvs X ∈ Exp(1)

f Y (y) = ye ^−y , y ≥ 0 dvs X ∈ Γ (2, 1)

I Vad blir E(X | Y = y) och E(Y | X = x)?

I Vad blir E(X) och E(Y)?

Beroendem˚att

Kovarians

Kovarians, C(X, Y)

C(X, Y) = E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} = E(XY) − E(X) · E(Y)

I Kovariansen anger hur mycket linj¨art beroende som finns mellan X

och Y .

I Ur definitionen f˚as C(X, X) = V(X)

I X och Y oberoende ⇒ C(X, Y) = 0 dvs X och Y ¨ar okorrelerade.

I Obs. C(X, Y) = 0 6⇒ X och Y oberoende

Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y

ρ X,Y = C(X, Y)

D(X)D(Y)

I − 1 ≤ ρ X,Y ≤ 1

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss Linj¨arkombination Oberoende Exempel

Korrellation

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss Linj¨arkombination Oberoende Exempel

Linj¨arkombination

I E(aX + b) = aE(X) + b

I V(aX + b) = a ² V(X)

I D(aX + b) = |a|D(X)

Allm¨ant

I E

n

X

i=1

a _i X _i

!

=

n

X

i=1

a _i E(X _i )

I V

n

X

i=1

a i X i

!

=

n

X

i=1

a ² _i V(X i ) + 2 X

i<j

a i a j C(X i , X j )

| {z }

=0 om okorrelerade

Kovariansen ¨ar bilinj¨ar

dvs linj¨ar i b˚ada argumenten (jfr polynommultiplikation)

C





X

j

a j X j , X

k

b k Y k



 = X

j

X

k

a j b k C(X j , Y k )

Exempel:

1. Ber¨akna E(X 1 + 2X ₂ ) och E(3Y 1 − 4Y ₂ )

2. Ber¨akna V(X ₁ + 2X ₂ ) och V(3Y ₁ − 4Y ₂ )

3. Ber¨akna C(X ₁ + 2X ₂ , 3Y ₁ − 4Y ₂ )

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss Linj¨arkombination Oberoende Exempel

Specialfall av oberoende och likaf¨ordelade s.v.

L˚at E(X i ) = μ, V(X i ) = σ ²

Summa: Y = P n

i=1 X i

I E(Y) = E

n

X

i=1

X

!

=

n

X

i=1

E(X

) =

n

X

i=1

μ = nμ

I V(Y) = V

n

X

i=1

X

!

=

n

X

i=1

1

V(X

) =

n

X

i=1

σ

= nσ

Medelv¨arde: X ¯ n = 1

n

n

X

i=1

X i

I E( ¯ X

) = 1

n

n

X

i=1

E(X

) = 1

n

n

X

i=1

μ = 1

n · nμ = μ

I V( ¯ X

) = 1

n

n

X V(X

) = 1

n

n

X

σ

= 1

n

· nσ

= σ

n

Exempel: Br¨ador

Kapa br¨ador med oberoende l¨angder X _i . E(X _i ) = 1 m och

V(X i ) = 0.1 m ² . Best¨am E(Y) och V(Y) om Y ges av

a) Sammanlagda l¨angden av 10 stycken.

b) Tag en br¨ada, kapa nio till exakt lika l˚anga.

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss

Tio oberoende realiseringar f¨or succesiva medelv¨arden av

standard exponential f¨ordelning

Vi har h¨ar E(X) = 1.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Succesiva medelvärden standard exponentialfördelning

Stora talens lag

Om X ₁ , X ₂ , . . . , X n ¨ar oberoende och likaf¨ordelade med E(X _i ) = μ s˚a

g¨aller

P(| ¯ X n − μ| > ε) → 0, n → ∞

f¨or alla ε > 0.

Det vill s¨aga medelv¨ardet konvergerar i sannolikhet mot v¨antev¨ardet d˚a

n v¨axer mot o¨andligheten!

Vi har till och med att:

P n

n→∞ lim

X ¯ n existerar och ¨ar lika med μ o

= 1

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel

Linj¨arisering av g(x) kring punkten μ = E(X)

← g(x)

g(x) ≈ g(µ) + g’(µ)(x−µ) →

g(µ)

µ

Gauss approximationsformler i en variabel

Y = g(X). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X)

g(X) ≈ g(μ) + (X − μ) · g ⁰ (μ) =⇒

I E(Y) ≈ g(E(X))

I V(Y) ≈ (g ⁰ [E(X)]) ² · V(X)

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel

Exempel

L˚at E(X) = μ och V(X) = σ ² .

a) Best¨am approximativt v¨antev¨arde och varians f¨or

Y = g(X) = πX ² .

b) Best¨am v¨antev¨ardet f¨or Y utan approximation.

Vi ser att approximationen av v¨antev¨ardet alltid ¨ar f¨or liten men

st¨ammer bra om σ ¨ar liten i f¨orh˚allande till μ.

Gauss approximationsformler i n variabler

F¨or en funktion av n variabler f˚as p˚a samma s¨att

Y = g(X 1 , . . . , X n )

E(Y) ≈ g(E(X ₁ ), . . . , E(X n ))

V(Y) ≈

n

X

i=1

c ² _i V(X i ) + 2 X

i<j

c i c j C(X i , X j )

d¨ar c i = ∂g

∂x i

(E(X ₁ ), . . . , E(X n ))

Repetition Betingat v.v. Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel

Gaussaproximation f¨or tv˚a variabler

F¨or en funktion av tv˚a variabler g(X, Y) blir Gauss

approximationsformler (med E(X) = μ X , E(Y) = μ Y )

E g(X, Y)
≈ g(μ X , μ y )

V g(X, Y)
≈ g ⁰ _X (μ X , μ Y )  2

V(X) + g ⁰ _Y (μ X , μ Y )  2

V(Y)

+ 2g ⁰ _X (μ X , μ Y )g ⁰ _Y (μ X , μ Y ) C(X, Y)

d¨ar sista termen ¨ar noll d˚a X och Y ¨ar okorrelerade.

g ⁰ _X och g ⁰ _Y ¨ar partiell derivata map X resp. Y. J¨amf¨or detta med det

generella uttrycket f¨or en funktion av n variabler.

Exempel

Vi har X och Y d¨ar E(X) = μ X = −5, E(Y) = μ y = 4,

D(X) = σ X = 2 och D(Y) = σ Y = 1. Best¨am approximativa v¨arden

p˚a v¨antev¨arde och standardavvikelse f¨or g(X, Y) = X ln Y om

1. X och Y ¨ar oberoende,

2. X och Y ¨ar beroende med korrelationskoefficient ρ = 0.9.