JOHANNES PETR. FRÖBERG

VELOCITATIBUS

VIRTUALIBUS,

UT PRINCIPIO TOTiUS

MECHANICiE,

CONSIDERATIS.

DISSERTATIO j

Q^UAM

VEN. AMPL. FAC. PHILOS, UPSALIENS.

F. EX P.

MAG.

JOHANNES PETR. FRÖBERG

PHYSICES THEORETIC^: DOCENS STIP, AHLOF.

ET

^fr λsovs l $ g e s?3e & ν λ NOBILIS STIP, HELMFELDT,

IN AUDIT. GUSTAVIANO D, XIII JUN. MDCCCIX,

UPSALI/E_j TYPIS EDMANNIANIS.

IN

sacram regiam ΜAJEstateΜ

/

magna: fidei viro

PROVINCIARUM GUBERNATORI

©RDINiS DE STELLA POLAR! COMMENDATORI ACADEMIJE SVECANiE SECRETARIO

NOBILISSIMO ET GENEROSISSI MO

Λ2Κ

MiECENATJ OPTIMO

S A C R U M.

kongl. maj:ts tromast

och

porste expeditions-secreterare

välborne herr

CARL KLINGENSTIERNA

min huldaste farbror!

Då Välgöraren icke måfer tacksamhetens vilja efter dess förmåga eiJer erkänslans ringhet af offrets, så skänker mig

mitt hjerta det ljufva hopp ^att min Hulda Farbror med

godhet torde anfe tiilegnandet af desfa blad såsom ett, ehuru

ringa, bevis af den vördnad, med hvilken jag lefver

min huldaste farbroders

Lydige Brersoifc,

FREDRIC,

IN

SACRAM REGIAM MAJEÖTATEM

S Ρ Ε C T Λ T JE FIDEI VIRO

MAXIME REVE8ENDO ATQUE CELEBERRIMO

S. S. THEÖL» DCCTORI, H1STORIAR. PROF. REG. ET ORD.

PASTORI ET FRÄPOSITO ECCLES. ALUNDA ET MORKARLA MER1TISSIMO VIGILANTISSl MO

DOMINO MAGISTRO

ERICO MICH. FANT

AFFINI ET FAUTORI OPTIMO!

Quid Tibi, pro infigni in nie favore et fempiterna benevoientia rependam? — Accipias itaque. Optime Affinis, ^{pro more} Tuo, fa- cilis, gratisfimae mentis numquam|intermoriturum cultum! Accipias

in tesferam eeternse venerationis hafce teneras nafcentium virium

primitias, quas , beneficiorum memor, Tibi confecratas volui, cer- tisiimus, _quofuerint majora hsec, boc indulgentius ignofci gratiarum

tenuitatem.

FREDR1C IC LINGENSTJERNA.

DE

VEL0C1TATI1SUS VIRTUALIBUS,

UT PRINCIl'IO_V TOTIUS MECHANICiE, CQNSIDERATIS.

§·

i.

|l—I

auriuntur primae

fimpficesque

Mechanicte notiones ab expe«

rientia & phcenomenis naturae, quasque diuturna horum

obfcrvatione elicere denini» valuit ingenium humanuni generale«

regulae nihil tarnen aliud fuere, quam ignotarutn efftduum ca-

usfarum enuntiationes, nihil _quam latenrium virium, quas seter-

num fibi ipil identica, in grandi ingentique fua fabrica fequitur

natura, indagata ienfim veiligia. Iinmutabili necesiitate _progre-

diuntur omnts phyfiei mundi opcrationesj necesiitas autém eil

vis _rerum, identice fibi ipfi ^agens. Vis itaque eil priinum uni«

cumque mechanismi natura elemcntum; cujus manente, invidiofe

vel prudenter, rccondita femper intrinfeca indoie, hominibus fu- perefi, quod ctiam hic ^non vires ludat felicibus, calculus folus

efFeduum. Ducobus ^vcro diverfis in efFedibus fiiis fefe prabet

hoc elementum modis; vel deftrudis invicem viribus in csquili-

briifiatu vel fuperante alteram una in motu cujuscunque gene- ris. IIlas ^nunc detegere univerFales leges, fecund.umquas in hisce operafionibus procedit ^natura, utintrofpiciantur, quantum quidem potefi fieri, quotidianorum phccnomenorum causias, fublimis Fyfle-

matis mundani pateat mechanismus, omnium generum machinte

humanis ufibus cOußruantur, quid quod

ipfas

mortuas natura vires ad fua adhibeat commoda homo, negotium eil Mechanicce.

A J. II.

) » t

§ ΪΙ.

Corpora refpicit Mechanica vel ^ur conßßentla vcl ur fiuida;

unamquamque autem horum clasfem in Aatu vel aquilibrii vei

motus; unde ort» quatuor hujus fcientiae partes: Statica ^, Hy- druftatica, Dynamica & Hydrodynamica. Qua? in Iiis finguÜs

occurrerunt ad infinitum ftre nuinerum diverfLfirni inter fe _ge- neiis plus minusve complicata

problemata

ita folverunt pluruni Geometrie, ut pro quactmque fere qu»fiione fpecialem quum de-

derunt fojutionem, iJiam dedudlam pracbuerint a priucipio, illi

foii proprio, five per ratiocinium a priori, fi/e a puro empi-

rismo, defumto ; adeo ut non folum tot inter fe difiind» ori-

rentur fcientiaj, _quot esfent partes gerterajes Mechanic», Ted in¬

trä ipfum harum territorium diverfae quaifiiones ad diverfa perti-

nerent principia, Sic in S atica, qua? eil dodlrina de aequipon-

dio vitium per mutuam dtAruclionem promifcue referebant le-

ges hujus defiruCtionis nunc ad hoc nunc ad illud principium:

ad vettern, ut Archimedes & qui fecuti funt illum, ad paralle- logrannna virium, ut Robervat, Wallis fed praefertim Varignon, qui in fuo nouvtlle mechanique eleganter ex illo deduxit rotam Statices theoriam vel ad principium follicitationis ad motum ,

quod primo tribuitur aucAori Gaiilaeo. Sic in Hydroßatica, ubi

per empirice obfervatas quasdam lluidorum corporum proprieta-

tes leges presfionis dt aequiiibrii colligcrunt, ut Archimedes &

Stevin, qui primus paradoxon hydrofiaticum detexerit; vel _ge¬

nerale« exhibuere formulas, asfumta, ut priucipio, nunc perfe¬

cta mobilirate, nunc aequJita'.e presfionis per totam difFulae ^mas-

iam. Sic in Dynamica, cujus omnium primus cerfe Araverit

fundamenta Galilceus, ut principium legum lapfus gravium ^cor¬

porum asfuuifit ipie notioncm uniformiter aecelerati motus',

quum alii poA illum, quodque natura? viderur convenientius rei, ipfas primum leges aecelerati ^{motus, ex} conilderatione unifor¬

miter agentis Gravifatis vis, deduxerunt; Sub manibus Hugenii

& Newtoni ad novarn totamque

exfurgit

feientiam Dynamica,

adeo

')

^{3 (}

adeo ut excipientibus illos Geometris, detedlo differentiali cai- cuio, tantuni fuerit cordi difperfa illorum magnaque inventa ad analyticas redigere formulas ^, donec fuum expofuerit principium

d'Alembertius _per quod diredla & generali methodo, omnia fe-

re dynamica problemata, fi non femper folvi ^, attamen ad aequa- t'ones reduei posfint. Sic in Hydrodynamica, qua; tota recen- t oris asvi eil _opus, empirice iilam ilatuebat Toricelli legem,

aqua;, ex orificio vafis cujusdam exiguo profluentis, celeritatem

esfe radici quadraticse ex alfitudine äqualem, quam in 2:do li-

bro Principiorum niathematicorum demoηilra re conatus eil New-

tomts, quique primus calcuio fubjecit motus fluidorum. Varia poil illuin asfumfere principia alii & d'Alembertius theoriam Hydrodynamica; ad differentialen asquationes referens, non po- tuit, quin diverfam ab dynamica conflilentium corporum con- deret feien iam. Posfmt nihilominus bas diverfa; Mechanica; par¬

tes iniiniteque variata illarum problemata ad unum idemque re- duci omnia principium ^, quod ^cum evidentia id maxime conjun- git commodi, ut per iimplices analyticas methodos ad gene- rales fofmulas & acquatiOnes ducat, ^{to tam} compledlentes

fcien-

tiam, facillime difHciliimi indaginis quaciliones de bita applicario-

ne folventes, & hoc eil principium velocitatum virtualium, cujus

•dåre explicationem principii in animo eil, formulas riominatas generales deinde exhibituris.

$. Iii.

Per velocitates virtuales, _quas etiam dici posfent initiales

intelledlam voluerunt Mechanici illam celeritatem, _quam acqui-

reret primo temporis momento certum in sequilibrio fyilema vi- rium, cujus rumperet aequipondium adveniens quaecunque caus- fa *). Örtum exinde niotum, quocunque etiam modo fit corn-

A 2

pa-

*) $oh. Bernoulli Oper. Omn* Tom. 1ΪΙ p. 23, Prony Nouv.

Archit. Hydrau!. $. 136 cet.j La Gr_ange, Mecbanique Anal. plur.

ioc. & rr.ulti alii.

) 4 {

paratus, fiobis ^tarnen

femper

compofitum fingere posfumus , vel

a motu translationis Omnibus fyftematis corpotibus communi,

vel a motu rotatiönis circa certum punctum; quod aiferri posfet tertium motus genus mutuum mutatum corporum fitum refpicientis non pertinet ad generaiem cafum, Horum ^utro- rumque motuum veiocitates virtuaies reprasfentabunt portiunculae

lineas vel redas vel _curvas, quas primo dirupti asquilibrii mo-

mento omnia percurrunt fyftematis corpora quotcunque. Ipil jam notioni harura velocitatum ingreditur, ut poA foiutionem ^ae- quilibrii, faltem primo illius momento ita invicena maneant jun-

da corpora, ut datus uni tanfum motus aliorum omnium deter- nit. Hoc pofito facile videtur, hane velocitatis fpeciem toto ccelo posfe discrepare tam diredione quam quantitate ab illis

velocitatibus quas re vera habent in fy(temate vires iequilibrii

motrices; lcilicet in rotatione orthogonales funt portiunculas li-

nearum, velocitatum virtualium reprasfentatrices, iIii ipii iineoe,

in quam agunt v;res, quarum vero dirediones esfe posfunt quas·

cunque; in translatione rurius diveriisfime variare posfunt dire¬

diones velocitatum virtualium. Quod ^autem ad quantitatem at- tinet illa omnino indtterminata eft, <k pendet a natura illius,

quas asquilihrium rupit, causfae. Explicita flc ipfa notione af-

ferenda

fequimr

generalis illa proprietas, quas iundamentum ^eft

folutionis omnium, quas umquam oriri posfunt de arquilibrio, quasftionum: Si quasdam punda vel corpora, quibuscunque lub·

jeda motricibus in asquilibrio funt & aquilibrium, causfa _qua-

cunque, folveretur; adeo ut percurrerent corpora exiguas qms- dain portiunculas line», veiocitates iliorum virtuales reprasfen-

tatrices, & has poriiuncu're in duabus refolvantur, quarum una esfet orrhogonia ipil diredioni vis agenfis, altera vero huic pa-

rallela, tunc erir lumma omnium fadorum ex his parallells, negative vel pofitive fumtis, prout requirat illarum diredio, in

refpedivas vires motrices zz, o. Hasc proprietas eft iρ(um lau-

datum velocitatum virtualium principium. _Hujus principii, quum uulla datur ntque dari poteft omnino generalis & direda de¬

mon»

) ^s (

monfiratio, illud tamen axiomaiis inAar asfumi posfe nulli af-

firmare dubitamus. Si autem hxiitaret quis habere axiomaiis perfpicaciam convincendique vim

asfertioneiii

hane

ad fequentem

attendendum eil demonfirationem, tanta gaudentem , quantte umquam capax

fit

rei natura, ftringenti vi.

Hane

autem

ob

rem aliud cogimur asfumere prius

principium; quod

vero per

fe omnino evidens eil majoremqüe longe habet intuitivum

chara-

derem, quam vel principium vedis vei

parallelogramma virium,

per quae cdnati

fimt

alias explicare principium

velocitatum vir·

tualium. Scilicet indubium eß, in polyspafiis, qua? ex pluri-

bus compofita fnnt trochleis, öc mobilibus &

fixis, esfe

poten-

tiam: pondusr: ι: numerum funium,

mobiles trochleas circum-

euntiutn. Hoc pofito, fit fyfiema corporum

vel

potius

pundo-

rum quomodocunque invicem diflributorum Sc

quodcunque

ex

una pluribusve juxta datas dirediones

tradum viribus; quaedam

eß generalis hujus fyßematis

iequilibrii lex? Sit Ρ communis

virium menfura, _quam minima etiam; tunc

exprimi posfunt

^a-

gentes

ad

sequilibrium vires per

βΡ, bP, cP &c. ubi

o,

b,

c

Sc

c.

numeri funt integri; quia uniuseujusque

efftdus vis repraefentari

Ρ

poteß per

efftduin ponderis

—,

potentiie loco poßti in polyspa-

ßo, ubi funt α trochleas mobiles, cujus

ideo

totalis vis

eß

⁼

Ρ

2ßrr Pa. Idem valet de ceteris, Sc planum cß

diverfaa

3

omnes ißas vires aP, bP, cP See produci posfe ^per unum Ρ

idemque pondus —,

fin

i

funis cujusdam,

per

alterum fuum exi-

tum fixi, appofitum,

furcesfiveque unieuique fyßematis pundo

eomperentes trochleas chcumeunns

In taii virium dißributione

sequilibrium

fyßematis

^non

obtinet, nifi ita

comparatus

fir fitus

illius ut non amplius

defeendere posfit pondus Hoc pirrnnsfo,

fimplicitatis ergo

fupponamus primuin lunis

exitum

esle afiixum

) 6 (

prima; immobil» {rochiere,

alterumque

trahere pondus, poftquani

ultimas trochleas, fixam mobilemque ^, circumiit. Sit χ diilantia

inter duas priinas trochleas, mobilem unam alteramquc fixam

ex quibus oritur vis dP, ydifiautia inter proxime fucctdentes, ex

quibus oritur bΡ, ζ inter iIlas ^ex quibus cP producitur &c.

Forro reprefentet/difcrimeninterprimam

fecundamque

fix;m tro-

chleam, g inter lubfequentes, h deinde &c ; dcnium fit U lon-

gitudo funis inter ulfimam fixam & pondus —.P Nunc quia nu¬

merus funium, qui primas åmbas trochleas conjungunt, efi ^2n, integra ideo iongitudo funis has trochleas circumeuntis efi zzz 2ax, pofihabito diamerro trochlearum; & integra Iongitudo par¬

tis illius ambas

fubfequentes

jungentis efi ²by ficque porro &

exinde habemus totam longitudinem fimul fumrarum partium funis, feu L =r zax -+- 2by4- 2cζ -f- &c. 4- /"4-_g 4-A -4- &c.

4. U; quare U L — 2ax — iby— icz — &c. — f^—_{g —}

h— &c. In hac requatione confiantes funt f, g, h &c. ut etiam numeri _ay b, c &c. per naturam fyfiematis. Quoniam

autem nunc magnitudinem ra U deferminat defcenfus ponderis

Ρ

—; Iiicque in fiatu rcquilibrii fyfiematis, generaliter fi Joquimur,

2

debet esfe maximum, habemus 2adx 4~zbdy 4- ir.dz 4- &c. ⁼ Ρ

o qure requatio in — duefia dat Padx 4- P^y, ^4" Pc-dz -t- &c.

ΞΞ o. Denotant heic dx, dy, dz variationes oiiundas ex

licunque momentaneo fyfiematis motu in ipfarum diretfiionibusqua- virium; continet itaque arquatio hac demonfiratio enunciati fu- pra principii velocitatum *}.

§. IV.

*) Confiderari etiam posfunt dx, dy, dz ut funétiones primae ori- ginariae cujusdam funftionis ^, & hoc dato charaftere _etiam repraefen·

tant velocitates virtuales. Vide Theorie des fonélions Tom. II. §.210, Sed fimplicior videtur data in contextu fignificatio.

) 7 (

§. IV.

Sequuntur

deducendre

generales illie

formufa;

cx quibus to¬

ta evolvi potefl fcientia. Omnis in eo j:.m difncultas fit«. ef},

ut indoli iyfiematis dati convenienter detefminari posfint varia-

tiones dx, dy, dz, in ipfa ptincipii requatione. Ut analytice

hoc hat, fimpiicisfimum videtur, omnia dati fyfiematis pundla

ad orthogonales referre per o.rthognrphicani projedionem coor- dinaras tribus axibus _x, y^Ί ζ paraileias; majprisque perfpicaciic evitandarumque tricarum ergo étiam heic feparatim motum trans- Jationis & rotafionis confiderare licear. Sit β anguins, quem in fpatio abfoluto per niotum priorem, parallelum axi χ defcri-,

bit pundum quoddam fyfiematis radioω, reprxfentatrice velocita-.

tis virtuaüs illius pundi; ^nunc per confiderationem Cofinus re- fertur hacc velociras ad ipfam motricis diredionem, unde prin*

cipiutn fupcrius expofitum dat produdum Ρω Cof

β.

Sint P\

P'\ P'" &c. cetera: fyfiematis in aquilibrio motrices orieturqu©

a-quatio: Ρω Cof

β

-p- Ρω Cof

β'

—|— Ρ'ω Cof

ß"

-f- <3cc. ~ o.

V'ocato _y angulo, quem defcribit motrix per motum parallelum,

axi y &

$

angulo quem confiituit direclio motricis motu axi ζ

parallelo, fimiles omuiri© obtinemus requ.-fiones pro duobus ai-

teris motibus iuxta dirediones reliquorum axium, unde txpres- fionem conditionum aequilibrii refpedn motus translationis, tri¬

bus invicem orthogoniis axibus parallell, habtmus, divfilone

fcilicet fada _{per ω:}

P Cofβ+ Ρ' Cof β'4-Ρ" Cof

β'

4- &c.= ο ρ Cofy -f- Ρ' Cofy

4-

Ρ'' Cofy" + &c.= ο Ρ Cof b -ρ- Ρ' Cof -Ρ- ΡΊ Cof

Γ

-Η &C. = ο

Si dirediones viritim funt inter fe parallel#. tuiic fiunt β ^rs β' ^—β" ^— _{&c., y zzi} y'zzz y"rzSic.,

$ j"

=

f'

~ Sic. &

p'-+-p"-4- Sic. o, quod indtcat aequalem esfe fumnianv

adionum virium, uno fenfu fumtarui», fummse adionum _oppo- ilrse partis.

Quum

) § (

Quum habet fyftema virium, pundo vei corpori cuidam applicatum, refpedu trium axiuin datorum proprietates per for-

niulas przcedentes enunciatas, _aeque iisdem gaudebit refpedu cujuscunque axis in fpatio abfoluto fumti, quia motus huic pa- rallelus feinper refoivi poteft in tres alios, tribus axibus datis

paralielos *), &fihi pofteriores funt= o etiaiu erit primus zzo,

§.

V. ^. -

Ut determinetur conditio scquiiibrii pro rotationis motu circa tres axes χ, y, ζ nobis repraefenrare debemus lineam or¬

thogonalster ab axi των ζ ex. gr. dudam in diredionem _ipfius

vis. Erit etiam hacc linea perpendicularis piano, quod diredionem

motricis tranfit. Quoniam nunc ipfa adio vis cuicunque dire-

dionis fuas pundo applicata ceufcri potefl, illarn esfe asfuma-

mus in illo pundo, ubi ab axi ζ orthogonalis Jinea occuirit lineae dlrecflionis vis, quodque pundum, perfpicacire causfa, de- fignemus per a. Hoc pofito, fi rotatorium circa axem των ζ

habebit motum fyfiema, tunc defcribeiet lioc ipfum punctum α

primo momento arcum infinite _parvum, abfolutum velocitatis virtuans valorein indicantem. Ab liujus ^arcus extremo demisfa orthogonia linea in diredionem vis determinat hanc eandem

pundi ^α velocitatem, in diredione ipiius vis computatam h. e.

cofinum anguli in fpatio abfoluto per rotatorium fyrtematis ^mo¬

tum defctipti. Si autem huic arcui, velocitatis virtuaiis abfolu-

tie menfurae, in pundo a ducatur perpendicularis ^vel parallela

linea ipfi axi ^{των ζ} faciet Iiasc linea cum diredione vis angu- lum, quem in psiori §. nominavimus S, _{quippe qui} eomplenjenrum

eil anguli ab abfoluta veiocitate virtuali trajedi; ideoque colinus hujus =: ilnui illius, Sit _porro ωzzz arcui, cujus radius ^ur.itas

eo-

*) ViJefis de bac re Application de l'analyfe a la Geometrie _par Monge non minus _quam Esfai de Geometrie fur les plans & furfaces courbes par la Croix.

) 9 (

eodemque

gaudenti angulari valöre

ac arcus, quem

emenfum eft

pundum a; hujusque

radio pofito

= q

.fit ipfe

arcus ~ ooq

&

exinde rad: Sin

$n:ooq

^:&q Sin velocitati virtuali in dire-

dione ipfius vis, asilimatic. Hac impetrata

expresfione eadein

procedendum efi: via ^ac in motu

translationis,

qua

demum in-

dicatur iequilibrii

conditio refpedu

motus

rotationis circa

axem

των Ζ per Pq Sin

$

-4-

Ρ'

^q Sin

S'

zzz

Ρ'' q' Sin &c.

=o , circa axem των y, pofito ρ = lineas

perpendiculari communi

huic & diredioni motricis

Ρ_ρ Siny-+■ Ρ'ρ Sin

y'-+-P''p"Sin

^no& circa axem τωνχ

PrSinβ P'r'Sin P"r"Sinß"-\r&c. ^zzzo

Si dirediones virium funt inter fe parallel# fiunt Pq -+- Pq' +

P"q"

= o,Pp%-4-

P'p' +\P"p"-\-

&c.= o,

Pr P'r

-+-

P'r'' -f- &c. =:o ex quibus formulis nullo^ negotio

evoivi

pos- fpnt formulae centri gravitatis & sequilibrii ; huic autem

disqui-

fitioni immorari non lubet, ne dicas faciilimum

folutu

nos de- legisfe,

exempli causfa, problema, difficilioris indaginis qu#fiio-

nem mox allaturi ne nudam omnique omnino

defiitutam appli-

catione proponamus theoriam;

prius

^autem

obfervatum voluimus

de ipfo motu rotationis, ut

de

motu

translationis didum efi,

fcilicet fi obtinet tequilibrium rotationis circa tres

invicem

or¬

thogonales axes,

idena fubfifiere a?quilibrium circa

quemcunque

axem, pundum

occprfus

trium primorum

axium

transeuntein.

Nititur haec veritas proprietate analoga

proprietati

motus trans¬

lationis, refolvi fcilicet

posfe

motus rotationis

circa

quemcunque

axem in tres alios; quoniam autem

nihilominus

non

immediata

efi ^ex priori

confequentia illam analytice demonfiravit La Grange

multumque illufiravit Prony &

obtinent ultimum dd

=:

dm* ubi d-φ, du, dty,

fignificant rotationes^ ele¬

mentares circa tres axes & dQ rotationem elementarem, circa

quamcunqe axem, qua:

ideo formula

·

monfirat unicum

motum angularem

po$fe

in trcs

difiribui & reciproce.

§. VI.

Sit, cxenipli cujusdam

afFerendi

ergo,

propofitum determi-

nare legem

atquilibrii

in curva

fornicum, vel catenaria h.

e. ae-

B qua-

} ΙΟ

quation'em hujus

curvae", variationis

quaquc

fpecie contifluitatis

legi fubjeda.

Primum

aurem breviter a

fre

remus

primarias

^quas-

das formularum transformationes, huic non folum qujeftioni»

fed plerisque iolvendis probieniatibus

necesfarias

&

utiles. Re-

fum;mis ^eam ob causfam torniulas §. 4:tas &

Π quod ibi

con- ceprum eft in

fpatio,

heic

fimul

projtclum

intelligitur in planis,

horizontali & elevationis, obiervatoqüe

quod femper reprtefen-

tare potefl linea

data

rec1:a & diredlionem &

inteniitarrm vis

etiain dafse cujusdam, deiignantibus φ anguium projedionis

motricis cum axe χ, ξ anguium project. morr. cum axe z, er

anguium diretflionis motricis in

fpatio

cum

piano horizontal»

öc

τ anguium direeh motr. cum piano elevationis,

abeunt iilse

per debitam fuH/litutinem in

PCofaCofφ 4-

Ρ' CoyVCo/ψ'

-4-

Ρ"

Cof

a'Cof φ"

4-&c. = ο

ΡCof<TSin ψ-f P' CofVSin φ' 4- Cof

σ"

Sin φ"4- &c.= ο

PCoJ^τCof^ξ 4~ Ρ Cofτ Cof

f

4- Ρ'

Cof τ" Cof ξ'

4- &c. nr o Brevitafis causfa _ponamus funmum datam omnium produdoruin

formae P' Cofσ Cofφ', &c. tsfe = S(ρ Cofs Cofx); fummam

datam omnium produftorum forn ae

P'Ccf

σ Sin

φ'

åic.

esfe

EES S _ρCofs Sin χ) &. fummam datam omnium produftorum formχ

Ρ'Cofτ Cof &c.esfe rrzS(p Sinr), quia ii iila linea^, quam

projed m in piano elevationis

repratfentat

Ρ

Cof

τ

Cof

ξ

confide-

satur in fpatio in triangulo, cujus bafis efi projedio τα Ρ inf piano

horizrntali

&

hypofhenufa ipfa

Ρ

eil Ρ Cof

τ

Cof

ξ SEE

ΡSina,' & habebimus priores formulas transformeras in

ΡCofσ Cofφ 4" £(^ΡCofs Cofχ) π: o Ρ CoJ⁷ Sinφ4- Sρ Cofs Sin x) se: o

Ρ Sin c 4~ S{ρSin s zzz o

Si aute m in eodem vel parallelis

funt

planis viresmotrrcer,

ipfse lineae, virium repracfematrices fiunt projediones

& Sinais

O-, Cofσ s=i, S(p Sins) zzz o & φ ss β adeo ut mutentur tres Jise atquationes in ΡCof$4-S{ρ Cofb)zzzo & ΡSin

β

4- SρSinb)

ET: o. Si aufem vires in unam compofuimus hujusque dirt«flio

esfet in ipfo ^{axe χ} (quod fas eft asfumere) tunc fit Sin

β

ss:o,

Cof

β

es t de

ipfac

fornmlae, Ρ4-

P'Ccfβ'

·$·> &c, ss o,

i?

^Sin

β*

! 1

+ P"SinB'-{-&c ~o adeo w, ii vires mofrices esfent ^fres

evaeieret Ρ = Ρ'Cöfß* 4-Ρ" Cofβ" & Ρ1Sin13'⁼ Ρ'Sinβ'C

§. VII.

Jgm confideremus poligoniuni funiculare in atquilibrio & in Spntio & in proje&ione. Pone μ, μ\ μ , Sic = projedionibus

vrriutn motrichini Ρ, Ρ', Ρ 'Sic.; ό\ Υ Υ', Sic. = angulis, quos

cum chordis vel iateribus poligohii faeiunr projedHones r&jy Ρ;

φ, φ',φ'', Sic. s: anguiis ipforum lagrum Sz τ,τ, t" Sic. zzz

projeéiionibus iftärum IHiearum, ^quas teniiones iarerum rep;aefen-

tant, erit τ zz μ\ ex fine autem prioris §. r = μ CofY 4-

, μ'Sin ö Sin φ*

τ Cofφ' δζ μ'Sin

J

τ' 5m(?>', unde r'= —7 & ——-

Sin φ Cofφ

μ Sin

Y

zzz Tang

φ'

zzz ^{Similes o-biincmus} formulas _pro

τ-μ Cof

Y

τr"\ Sic. & Tang φ'\ Tang

φ"',

Sac. Prior Harum arqua- tionum indicat tenfionem fecundas chord« teuere aequilibrlum primae chordac Sa vi /u; Hase eadem tenfio.» conilderata ^{ut as-} quilibrium

fa.

iens cum tertia cliorda Sa vi μ' dat ^τ =

μ'SinC360°~{φ"-f-ο

''))

μ*

Siu{f

4-

Υ')

, ex quo autem

μ' Sin

Y

Sin φ'' Sin φ''

μ Sin

Υ

μ' Sin {φ" 4-

Y

}

Provcn:t _{"w Sin} φ°

μ'(Sin φ"

Co/Τ

4- Sin

Γ

Cofφ")

Sinφ'

Sinφ'

Abeimte nunc polygonio

in curvam latera fiunt elementa arcus cutva?r angulus φ" zzz

ι$ο" praxime Si Cof

φ"

zzz^«·-t. Hoc ^mutat aequationem in

μ SinY ^. μ"Sin

—~7"_Sin "fr"

t*"

Cof

Y*

— —-7 zzz e. Eft autem reipedlu le-

φ' Sinφ"

r

gis cantinuitatis

μ"

^m:

μ' + άμ'\ Y'z^ Υ

Hh

dY, φ''

zzzφ' άφ'

Sa exiade

SmS _{μ Sin}$

Sin

φ°

^, Sin φ'

μSinό'

±rf*'CoSl"

=

) »* (

μ Cord"-j~

d{μ!

Cof

$');

öuibus

fubilitutis valoribus oritur <5e-

μ'Sin

mum df _Sin ^—) -4»μCof zzz o; quia

d(μ' Cof J

)=

Hase

φ

asquatio eil

generalis formula

curvas

funicularis

ex qua omnes qu*iliones

Je probletnate catenario folvi posfunt, five fit quasilio

de cafu ^catenae gravis & uniformiter

crasfas, vel variabijis

cras- fitiei, ilve de redificatione iilius &c., five etiani

de

curva ca-

tenaria duplicis curvaturas, cujus

quodque pundum follicitatum

eil viribus in diverfis planis diredis,

quod

vero monilrare no·

ilrum neque nunc eil, neque brevifas

quasfita permittit.

5. VIII.

Quas exhibuimus generaies Statices formulas totius

evolurio·

nis Scientiasin fe contintnt gerinina; ^neque credas

Hydroßaticam

has reeufare, quippe quas

confiderat

iluidorum

asquijibrium.

Sive funt hascelailica five incompresfibilia femper tarnen materialia

manent corpora eanique iolam ob proprietatem

generalibus ob·

noxia asquipondii legibus. De

dynamica

autem

fi

putares, toto

coelo illaui ^a theor.ia Staticas diilare, indicatum volumus, per famofum d'Alembertii prineipium, cum prineipio in

prasfenti dis-

^.

fertatione expofito conjunduin: realem^nempe

fyileinatis cujusdatn

corporum motum a duobus

compofiium femper esfe,

uno, quem re vera

habet, altero qui

mutuo

conjuadorum in fyile-

mate corporum infiuxu tollitur &

defiruitur;

per hoc prineipium,

inquam, ad unum eundemque, illas referri generalem afpeduin; &

Hydrodynamicam

facile

vides a Dynamica

pendere posfe

ut

Hy-

droilatica Staticas fubjeda eil, licet agnofeere cogiinur inter o-

mnes Mechanicac partes maxime illam

generalium formularum

vineulis reludari; _quae omnia

oilendere

minime confiridte pa- tiuntur limites opeliae,

cui.fat

eil hoc

folum

indicasfe,

fufeepto

qualitercur.que

defundac

opere.