Adam Jonsson Lennart Karlberg

Poäng totalt för del 1: 25 (8 uppgifter) Tentamensdatum 2011-06-04 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 Lärare: Ove Edlund

Adam Jonsson Lennart Karlberg

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa,

Kursboken Vännman: Matematisk statistik, Kursmaterialet Vännman: Regressionsanalys,

Kursmaterialet ”Några ofta förekommande fördelningar”, Tabeller

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. På del 1 ges inga delpoäng på uppgifterna.

Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in.

Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Med 2 extrapoäng från KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt.

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in.

Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen.

Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 9, 10 eller 11.

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

1. Ett företag som köper grävmaskiner från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av maskinerna kommer att vara felaktiga. Tre olika feltyper förekommer, som betcknas feltyp a, b respektive c. Sannolikheten att fel a förekommer på en slumpmässigt vald grävmaskin är 6 %. Motsvarande san- nolikhet för fel b och c är 2 % respektive 5 %. Felen uppkommer oberoende av varandra.

(a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald grävmaskin har minst

ett av de tre felen. (2p)

(b) Antag att en maskin visat sig ha felen a och b. Vad är sannolikheten att

den även har fel c? (1p)

2. Trots att Victor är mycket duktig på att skriva maskin så händer det att han gör feltryckningar. Antalet feltryckningar per sida är Poissonfördelat. Det förvän- tade antalet feltryckningar på en sida är lika med 8. Beräkna sannolikheten att Victor gör minst 10 feltryckningar på en sida. (2p) 3. Den kontinuerliga slumpvaribeln ξ har frekvensfunktionen

f (x) = {

cx

om − 1 ≤ x ≤ 0, 0 annars,

där c är en viss konstant.

(a) Konstanten c måste ha ett speciellt värde för att funktionen ovan skall vara en frekvensfunktion. Vilket är detta värde? (1p) (b) Beräkna väntevärdet av ξ. (Konstanten c skall ej ingå i svaret.) (2p) 4. Antag att en befolknings vuxna män har en normalfördelad längd med vänte-

värde 180 cm och standardavvikelse 6 cm och att befolkningens vuxna kvin- nor också har normalfördelad längd, men med väntevärde 168 cm och stan- dardavvikelse 5 cm.

(a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kvinna är mellan 160 cm och 176 cm? Ange ditt svar i procent med två decimaler. (1p) (b) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kvinna är längre än en

slumpmässigt vald man? (2p)

5. I en dator avrundas vid addition varje tal till närmaste heltal. Antag att alla av- rundningsfel är oberoende och rektangelfördelade på intervallet (−0.5, 0.5).

Om 1000 tal adderas, hur stor är sannolikheten att absolutbeloppet av det

totala felet överstiger 5? (2p)

6. Johan är brottare. För att kunna tävla i sin viktklass får han inte väga mer än 78 kg. Johans våg är inte helt tillförlitlig. Avvikelsen mellan hans faktiska vikt och den vikt som vågen visar är normalfördelad med väntevärde noll.

Den vikt som vågen visar kan därför ses som en observation från N (θ, σ) fördelningen, där θ är Johans verkliga vikt och där σ är en okänd konstant.

(a) Johan väger sig en gång per dag den sista veckan innan tävlingen. Den vikt som vågen visar på dag i kan då ses som en observation från N (θ

, σ)- fördelningen, där θ

är Johans verkliga vikt dag i = 1, 2, . . . , 7 och där σ är en okänd konstant. Vad är sannolikheten att vågen visar en vikt som är högre än Johans sanna vikt under minst fyra av de 7 dagarna? (2p) (b) På morgonen en dag då Johan skall tävla vill han avgöra om han behöver

bada bastu (för att på så vis bli av med ytterligare vikt). Han beslutar sig för att väga sig 6 gånger direkt efter varandra och testa, på 5 % signifikansnivå, om hans vikt är exakt 78 eller om den är större än 78 kilo. Som testvariabel använder han kvoten

¯ x − 78

s/ √ 6 ,

där ¯ x är stickprovsmedelvärdet och där s är stickprovsstandardavvikel- sen. Vilket är det kritiska värdet på testvariabeln? (1p) (c) De sex mätningarna gav vikterna

1 2 3 4 5 6

77.78 78.22 77.85 78.05 77.96 78.21

Beräkna ett 99 % konfidensintervall för Johans vikt. Svara med den övre

gränsen. (2p)

7. Amanda jobbar på ett företag som tillverkar elektriska komponenter. Kom- ponenternas vikter kan betrakas som slumpmässiga med väntevärde 0.35 kilo varians 0.0025 kilo. Amanda behöver förklara detta för några amerikanska kollegor som använder pounds (lbs) istället för kilo, där 1 lb= 0.45359237 kg.

Mätt i pounds, vad är väntevärdet och standardavvikelsen för komponenter-

nas vikter? (2p)

8. Ett datamaterial som beskriver hur omfattningen av brandskador, DAMAGE (enhet tusentals dollar), beror av avståndet till brandstationen, DISTANCE (enhet miles), har matats in i Minitab och gett upphov till regressionsanalysen i tabell 1. Datamaterialet består av 15 observationer. Förutom analysen i ta- bellen, har även följande kvantiteter beräknats: X = 3.280, TSS

= 34.784, där X

är observationer på den förklarande variabeln DISTANCE.

(a) Bestäm förklaringsgraden R

. (1p)

(b) Beräkna ett konfidensintervall med konfidensgrad 98% för väntevärdet av DAMAGE, givet att DISTANCE = 3. Redovisa den övre gränsen. (2p) (c) Bestäm ett 90 % konfidensintervall för koefficienten för den genom-

snittliga förändringen av brandskadekostnaden (DAMAGE) då avstån- det (DISTANCE) ökas med en enhet. Redovisa den undre gränsen. (2p)

Tabell 1

DAMAGE = 10,3 + 4,92 DISTANCE

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 10,278 1,420 ? ?

DISTANCE 4,9193 0,3927 ? ? S = 2,31635 R-Sq = ? R-Sq(adj) = 91,8%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression ? 841,77 Residual Error ? 69,75

Total ? ?

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell för svar till del 1

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Fråga Svar Poäng

1 a Sannolikhet

(procent, en decimal)

12.5 2

b Sannolikhet

(procent, en decimal)

5.0 1

2 Sannolikhet

(procent, en decimal)

28.3 2

3 a konstanten c

(tre decimaler)

3.000 1

b Väntevärde (tre decimaler)

−0.750 2

4 a Sannolikhet

(procent, två decimaler)

89.04 1

b Sannolikhet

(procent, två decimaler)

6.18 (Φ(−1.54)) 2

5 Sannolikhet

(procent, en decimal)

58.23 2

6 a Sannolikhet

(procent, två decimaler)

50.00 2

b Kritiskt värde (tre decimaler)

2.015 1

c Övre gräns (fyra decimaler)

78.3122 2

7 Väntevärde i Ibs =

pounds (två decimaler)

0.77 1

Standardavvikelse i Ibs = pounds (två decimaler)

0.11 1

8 a R

(procent, två decimaler)

92.35 1

b Övre gräns (två decimaler)

26.67 2

c Undre gräns (två decimaler)

4.22 2

Totalt antal poäng 25

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga re- dovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

9. I uppgift 2 antog vi att antalet feltryckningar har en Poissonfördelning (med väntevärde 8). Diskutera med utgångspunkt i Binomialfördelningen varför antalet feltryckningar per sida (åtminstone approximativt) kan antas ha en Poissonfördelning. Varför är normalfördelningen inte en lämplig modell för att beskriva antalet feltryckningar? Kom ihåg att redovisa införda beteckning-

ar och eventuella antaganden! (10p)

10. Differensen av det värde som Johans våg visar och den verkliga vikten är N (δ, σ)-fördelad, där σ = 0.04 kilo. Johan misstänker att δ > 0, dvs han misstänker att vågen systematiskt visar en för hög vikt. För att testa H

: δ = 0 mot H

: δ > 0 gör Johan 18 vägningar av ett föremål som väger exakt 20 kg och noterar de 18 differenserna z

= x

− 20, där x

=visad vikt på mätning nummer i, i = 1, . . . , 18. Johan väljer mellan två olika test. Det första testet skall baseras på d =antal positiva differenser. Det andra testet baseras på kvoten

z = z ¯ 0.04/ √

18 .

(a) Bestäm lämpliga beslutsregler för test baserade på d respektive z så att båda testen får en signifikansnivå som ligger så nära 5 % som möjligt. (4p) (b) Beräkna styrkan i △ = 0.0336 för de båda testen i (a). (4p)

(c) Kommentera resultatet i (b). Varför tror du att styrkan skiljer sig mellan

de två testen på detta sätt? (2p)

(d) Vilket test bör man föredra och varför? (3p)

11. En kvasar är en mycket avlägsen himlakropp som avger enormt starka ra- diovågor. I tabell 2 redovisas resultatet av astronomiska observationer av 25 kvasarer. Beroende variabel är ”Rest frame equivalent width”, RFEWIDTH.

(a) I tabell 3 redovisas en multipel regressionsanalys, gjord i Minitab, där alla förklarande variabler finns med. Redovisa dina steg, för att beräk- na den justerade förklaringsgraden R

, och hur du gör hypotesprövning för att avgöra om LUMINOSITY har någon signifikant effekt. Gör hy-

potesprövningen med signifikansnivå 10%. (3 p)

(b) Regressionsanalysen i tabell 4 är slutresultatet efter en process där alla

icke signifikanta förklarande variabler tagits bort, givet en signifikansni-

vå på 5%. Ange fullständigt modellantagande för den skattade model-

len i tabell 4, betrakta och tolka tillhörande residulplottar i figur 1, samt

Tabell 2

Line Rest frame

Quasar Redshift Line flux luminosity AB1450 equivalent width

1 2.81 −13.48 45.29 19.50 117

2 3.07 −13.73 45.13 19.65 82

3 3.45 −13.87 45.11 18.93 33

4 3.19 −13.27 45.63 18.59 92

5 3.07 −13.56 45.30 19.59 114

6 4.15 −13.95 45.20 19.42 50

7 3.26 −13.83 45.08 19.18 43

8 2.81 −13.50 45.27 20.41 259

9 3.83 −13.66 45.41 18.93 58

10 3.32 −13.71 45.23 20.00 126

11 2.81 −13.50 45.27 18.45 42

12 4.40 −13.96 45.25 20.55 146

13 3.45 −13.91 45.07 20.45 124

14 3.70 −13.85 45.19 19.70 75

15 3.07 −13.67 45.19 19.54 85

16 4.34 −13.93 45.27 20.17 109

17 3.00 −13.75 45.08 19.30 55

18 3.88 −14.17 44.92 20.68 91

19 3.07 −13.92 44.94 20.51 116

20 4.08 −14.28 44.86 20.70 75

21 3.62 −13.82 45.20 19.45 63

22 3.07 −14.08 44.78 19.90 46

23 2.94 −13.82 44.99 19.49 55

24 3.20 −14.15 44.75 20.89 99

25 3.24 −13.74 45.17 19.17 53

Tabell 3

LUMINOSITY; AB1450

The regression equation is

RFEWIDTH = 21088 + 108 REDSHIFT + 558 LINEFLUX - 340 LUMINOSITY + 85,7 AB1450 Predictor Coef SE Coef T P

Constant 21088 18553 ? ?

REDSHIFT 108,45 88,74 ? ?

LINEFLUX 557,9 316,0 ? ?

LUMINOSITY -340,2 320,8 ? ?

AB1450 85,681 6,273 ? ?

S = 15,4155 R-Sq = 91,2% R-Sq(adj) = ? Analysis of Variance

Tabell 4

RFEWIDTH = 1233 + 205 LINEFLUX + 85,7 AB1450 Predictor Coef SE Coef T P Constant 1232,8 199,1 6,19 0,000 LINEFLUX 205,42 18,82 10,92 0,000 AB1450 85,739 6,547 13,10 0,000 S = 16,3228 R-Sq = 89,1% R-Sq(adj) = 88,1%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 2 48054 24027 90,18 0,000 Residual Error 22 5862 266

Total 24 53915

Figur 1