Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter tillkommer. För godkänt krävs preliminärt 16 p.

Tentamen i Modern Fysik, 5A1247, 2007-08-17, kl 8:00-13:00

Hjälpmedel: 2 A4-sidor med egna anteckningar, Beta och fickkalkylator samt institutionens tabellblad utdelat under tentamen.

Examinatorer: Bengt Lund-Jensen och Mats Wallin

Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter tillkommer. För godkänt krävs preliminärt 16 p.

1. När CERN’s nya accelerator, LHC, startar försommaren 2008 tillåter den högre energin att nya tunga partiklar kan skapas. En sådan partikel som man hoppas kunna hitta är den s.k. Higgs-partikeln som ingår i förklaringen av hur massa uppstår. I simulering av ett scenario för att studera hur en mätning skulle kunna se ut fick man skurar av starkt växelverkande partiklar vilka antogs komma från två sönderfallande tau-mesoner. I en simulerad mätning fick man att tau-mesonernas kinetiska energi var 65,0 respektive 70,0 GeV samt att deras riktningsvektorer från punkten där Higgs-partikeln sönderföll, var , 0 )

2 , 1 2 ( 1 

respektive (-0.6578, 0.6578, 0.3669).

a) Beräkna massan hos Higgs-partikeln (3p).

b) Medelivstiden för Higgs-partikeln i detta scenario förväntas vara så liten som 210

^-22

s. Beräkna medelsträckan Higgspartikeln i det studerade fallet förväntas färdas innan den sönderföll. (2p).

Lösning: a) Massan för Higgs-partikeln får ur energin och röreslemängdens bevarande.

Total energi för respektive tau är kinetiska energin + massenergin = 65,0 + 1,777 GeV respektive 71,777 GeV. Rörelsemängden för respektive partikel fås ur p

²

c

²

= E

²

–m

²

c

⁴

till 66,7534 respektive 71,7550 GeV/c. Total rörelsemänd blir då:

x-led: 1/2  66,7534 – 0,6578  71,7550 ≈ 110

^-3

GeV/c ≈ 0 y-led: pss ≈ 0

z-led: 0.366971,7550 ≈ 26,32 GeV/c

Totala energin: E

tot

= 71.7550 + 66,7534 ≈ 138,51 GeV

Massan fås nu ur: M  E

_tot²

 p ^

_tot²

 138 , 51

²

 26 , 32

²

 136 , 0 GeV / c

²

b) Medelsträckan som partikeln färdas ges av:











 c m s

Mc c p

L 3 , 0 10 /

0 , 136

32 ,

26

₈





 210

^-22

s ≈ 1,210

^-14

m,

(att jämföras med protonradien som är ≈10

^-15

m)

2. I myonium har protonen ersats av en antimyon. Beräkna skillnaden i våglängd för en foton som utsänds vid övergång mellan 2:a och 1:a exiterade tillståndet jämfört med motsvarande foton från en vanlig väteatom. (5p)

Lösning: Myonens massa är mycket lägre än protonens. Använd reducerade massan:







m m

m m

e e



  .

För väteliknande atomer gället att

_{2 2 2}

0 2 2

1 )

4 ( 2

) (

n Zq

E

_n

 m

^e



  ^{, där Zq}

^e

är antalet

kärnladdningen. Om man utgår från väte får vi då att myonium har energinivåerna:

(myonens massa är 105,7 MeV/c

²

)

  eV eV n

m n eV m m n

E

e e e

n 2 2 2

53 . 13 6 1

, 511 13 , 0 7 , 105

7 , 105 6 1

,

13    

 





 

Detta ger att E E E keV 1 , 88 eV

9 1 4 53 1 ,

2

13

3

 



 

  









3. En röntgenfoton med energin 100 keV Comptonsprids i en kristall.

a) Vilken är den längsta våglängden den Comtonspridda fotonen får? (3p) b) Vilken rörelsemängd får i detta fall den spridda elektronen? (2p) Lösning: Våglängden för inkommande foton är: nm

keV nm eV E

hc 0 , 0124

100 1240

0

 





 .

a) Längst våglängd får den Comptonspridda fotonen om sprindningvinkeln är 180

^◦

. nm nm

c nm m

h

e

0173 , 0 01726

, 0 )

cos 1 ( 00243 , 0 0124 , 0 ) cos 1

0

 (        







b) Rörelsemängden för en foton är h/λ. Rörelsemängden bevaras ger att p

e

c= hc/λ

0

+ hc/λ´≈1240 eVnm/0,0124 nm + 1240 eVnm/0,0173 nm ≈ 172 keV, dvs p

e

≈ 172 keV/c.

4. En väteatom i sitt grundtillstånd har radiella vågfunktionen.

/ 0

2 / 3 0

) 2

( e

^{r a}

r a

R 

^

Hur mycket sannolikare är det att hitta elektronen på avståndet a från kärnan än på

₀

avståndet 2 a

₀

/ ? (5p)

Lösning: 1 . 47

) 2 / (

) ( )

( ) ( )

2 / (

) (

1 2 0

2 2 0 2

/ 2 2

2 2

0 0

0

0

 

 











e a

e a r

R r

r R r a

r P

a r P

a r

a r

Svar: Det är 47% sannolikare.

5. Fotonenergin för vibrationsövergångar i CO-molekylen är 0,26 eV. Beräkna den klassika vibrationsamplituden i grundstillståndet och jämför detta med

bindningsavståndet för CO som är 0,113 nm. (5p)

Lösning: Fotonenergin i en vibrationsövergång är ħω . Ur detta fås att

ω=ΔE/ħ=3,95×10

¹⁴

rad/s. Reducerade massan (12 u och 16 u) blir µ=1,14×10

^-26

kg och kraftkonstanten kan bestämmas ur K=µω

²

.

Vibrations energin för grundtillståndet är ħω/2. Klassiskt motsvaras detta av KA

²

/2 där K är kraftkonstanten och A vibrationsamplituden. Detta ger

 ^{1 . 14 1 10 . 055}

²⁶

 ^{10 3 . 95 10}

¹⁴

 ^{0 . 0048 nm}

34







 



_ ^

 ^

A

vilket bara är ca 4% av bindningsavståndet.

6. En elektronstråle sänds mot en U  6 . 00 eV energibarriär som är L  0 . 200 nm bred. Om barriären behandlas som”bred” så ges tunnlingssannolikheten

approximativt av

 ) ( , 2

2

m U E

e

T

^L







^



a) Använd denna formel för att bestämma den energi som ger 1% transmission. (1p)

b) En protonstråle med samma energi som i a) skickas genom samma barriär som i a). Hur stor blir transmissionen? (2p)

c) Förklara med en matematisk härledning eller med ett fysikaliskt resonemang vad det är som försummas i approximationen ovan och varför approximationen väntas vara bra för en bred barriär. (2p)

Lösning:

(a)

95 . 0

·10 6 . 1

·0.200·10 / 2

01 . 0 ln

·10 11 . 9

· 2

) (1.055·10 00

. 2 6

ln 2

) ln (

2 2 2

19 - 2

9 - 31

- 2 34 2 -

2 2

 



 



  

 



 



  







 







^

L T U m

E

T E L

U L m

e

T

^L



 



Svar: E  0 . 95 eV (b)

 

) 197 exp(

10 200 . 10 0

055 . 1

10 6 . 1 ) 94 . 0 00 . 6 ( 10 1.67 2 2

exp

) ( 2 2 exp 2

exp

9 34

19 27

-





 







 



  













 





 







 



 















E L U L m

T  

dvs ett försumbart antal protoner passerar barriären.

(c) Lösningen e

^xx

inuti barriären försummas i formeln för en bred barriär, vilket motsvarar partiklar som reflekteras tillbaks in i barriären i stället för att transmitteras. Denna

reflektion blir försumbar när barriären är bred.

7. Naturligt natrium består enbart av

²³

Na vilket är stabilt. Genom att bestråla med termiska neutroner kan natriet omvandlas till

²⁴

Na vilken beta-sönderfaller med en halveringstid av 15,0 h. Tvärsnittet för infångning av termiska neutroner av

²³

Na är 0,53 b. Ett materialprov bestrålades under 30 minuter med 2,010

¹⁸

neutroner/(sm

²

). Varvid provet fick aktiviteten 0,20 MBq (från

²⁴

Na sönderfall).

Beräkna mängden natrium i materialprovet. (5p)

Lösning: Efter 30 min bestrålning sönderfaller R

0

=2,0×10

⁵²⁴

Na per sekund. Med en halveringstid av 15,0 h innebär detta att det då fanns N

0

= R

0

/λ = R

0

T

1/2

/ln2≈1,56×10

¹⁰

24

Na atomer i provet. Under bestrålningen hinner en del av de

²⁴

Na som skapats att sönderfalla. Några

²⁴

Na hinner att sönderfalla under de 30 min som bestrålningen pågår.

För de

²⁴

Na som skapades vid tiden t=0 har 1-e

^-0,5ln2/15

≈ 0,02, dvs ca 2% sönderfallit.

Andelen som sönderfallit under bestrålningen kan därför försummas jämfört med

precisionen i de värden som givits i lydelsen. Om vi antar att det finns n

²³

Na i provet från början kommer under 30 minuter n×0,53b×2,0×10

¹⁸

/(s×m2)*1800s 24Na att skapas.

Detta ger n≈1,56×10

¹⁰

/(2×10

¹⁸

×1800×0,53×10

^-28

)≈8,2×10

¹⁶

atomer ≈ 3,2 µg

8. Maxwell-Boltzmann fördelningen för hastigheterna hos en ideal gas ges av att

antalet partiklar med hastighet mellan v och v  dv är

dv e

T v k N m dv v

n

^{mv kT}

B

2 B

/ 2 2 / 3

2

4 2 )

( 

^



 



 

 

Bestäm förhållandet mellan medelhastigheten v och RMS hastigheten v

_RMS

 v

²

, där streck betecknar medelvärdet med avseende på Maxwell-Boltzmann

fördelningen. (5p)

Lösning:

Medelhastigheten:

^

   

^{ }

 



 

0

2 / 3 2 / 3

0

2

4 2 ) N (

= 1 v e dv

T k dv m

v vn

v

^{mv kT}

B

B

 

Med hjälp av standardintegralen

₂

0 3

2 1

2

dx a e

x

^ax









får vi

m T k T

k m T

k

v m

^B

B

B



  ⁸

) 2 / ( 2

1 4 2

=

₂

2 / 3

 



 





Medelkvadrathastigheten fås ur ekvipartitionsteoremet

m T v k

v T k v

m

_{B RMS}

3

^B

=

₂^{3 2}

2

21

  

vilket fås genom en användning av standardintegralen

_5/2

0 4

8 3

2

dx a e

x

^ax



 

 

.

Alltså blir 1 . 09

8 3 /

8 /

3  

 

 m T k

m T k v

v

B RMS B