Kap 1 - Algebra och funktioner

(1)

Kap 1 - Algebra och funktioner

1

(2)

1.1 Algebra och polynom

2

(3)

POLYNOM

Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet

y = 2,15 + 2,1x – 0,41x²

(4)

Terminologi

y = 2,15 + 2,1x – 0,41x

²

+2,15 är en konstantterm

+2,1x och -0,41x² är variabeltermer

talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter

y innehåller värdet på polynomet

(uttrycket)

(5)

Potenslagarna

SE F OR M EL BL AD ET !

(6)

Definitioner

0  1 a

x x

a a 1

 

 0 a

ETT GENOM

(7)

Definitioner

x 1 a x

a

 

 0

a

(8)

Definitioner

4 3

2

0 1 2 3

1

10000 10 10 10 10 10 1000 10 10 10 10

100 10 10 10 10 10 10

1 10 0,1 10 0,01 10 0,001 10



    

   

  

 



(9)

Definitioner

a a

a

a ) ²    (

 0

a

(10)

Definitioner

  ⁷ ² ^ ⁷ ^ ⁷ ^ ⁷

 0

a

(11)

Lagar för kvadratrötter

b a

ab   ^a _b ^ _ ⁰ ₀

b a

b a  ^a ^ ⁰

 0

b

(12)

Lagar för kvadratrötter

3 4   3  4 ^a _b ^ _ ⁰ ₀

16 16

4 4

4   ^a ^ ⁰

 0

b

(13)

Andragradsekvationer

0 8

+ 6x -

x

²

 x

²

 px  q  0

p q

x p  



 



 





2

2 2

Halva

koefficienten för x med ombytt

tecken

X

=

Kvadraten på halva

koefficienten för x

Konstanta termen med ombytt

tecken

Lösningsformel n

SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

(14)

Andragradsekvationer

8 + 6x -

x

y 

²

x

²

 x 6  8  0

2 8 6 2

6

²

 



 



 



 x

  ³ ⁸

3 

²



 x

8 9

3  

 x

1 3 

 x

1 3 



x

₁

 3  1  2 x

₂

 3  1  4 x

8 + 3 6 - 3

y 

²



-1 8

+ 8 1 - 9

y  

Minimipunk

t

( 3 ,  1 )

Symmetrilinje

(15)

Andragradspolynom

) )(

( )

( x k x a x b

p   

a och b är polynomets nollställen

) 4 )(

2 (

)

( x  k x  x 

p

(16)

Andragradspolynom 0

8

2

 x 6   x

1

2 x 

2

4 x 

) 4 )(

2 (

)

( x  x  x  f

x 2  4 x  2 x  8

0 8

2  x 6  

x

(17)

Andragradspolynom

Vad heter denna funktion?

(18)

Andragradspolynom

1

2 1

2 x

x  



Nollställen

2 2

( ) 1 ( 2 )( ( )) 1 ( 2)( 1 )

2 2 2

1 f x x x x x

x x x x x

        

      



 

0 ger f x 2 ?? ?

x    k 

( 2) 1 0,5

k      k

 

^0,5



² ²



^0,5^x² ^0,⁵^x ¹

f x   x  x   

( ) ( )( )

p x  k x  a x b

(19)

Andragradspolynom

Funktionen heter:

^{f x}

 

^ ^0,5^x² ^ ^0,5^x ^¹

(20)

Andragradspolynom

Vad heter denna funktion?

f(x)=0.5(x+1)(x-4)

-2 -1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

(21)

Andragradspolynom

Vad heter denna funktion?

f(x)=-0.5(x+4)(x-1)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

(22)

Räkning med polynom

(8 + 2x) + (3 – 4x) =

8 + 2x +3 – 4x =

11 – 2x

(8 + 2x) – (+3 – 4x)

=

8 + 2x – 3 + 4x = 5 + 6x

ARBETA NEDÅT!

(23)

Kvadreringsreglerna

(a + b)

²

= a

²

+ 2ab + b

²

(a - b)

²

= a

²

- 2ab + b

²

1:a kvadreringsregeln

2:a kvadreringsregeln

(24)

Konjugatregeln

(a + b)(a - b) = a

²

– b

²

(2x + 3)(2x - 3) = 4x

²

– 9 (2x)

²

–3

²

= 4x

²

- 9

(25)

Faktorisera

56  1890 

2 x   2

7 x

2

 49 x 

2

4 p  

2

6 9

x  x  

25 p

2

 80 p  64 

Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

(26)

1.2 Rationella uttryck

33

(27)

Faktorisera

2

4 p  

2

6 9

x  x  

25 p

2

 80 p  64 

Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

(28)

TALMÄNGDER

(29)

Rationella uttryck

(30)

Rationella uttryck

För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat?

0 12

10 2 x

²

 x   0 6

2

 x 5   x

2 6 5 2

5

²

 



 



 



 x

4 1 2 5 



 x

2 1 2 5 



 x

2 3 6 2

1 2

5

1

      

x

2 2 4 2

1 2

5

2

      

x

Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

(31)

Rationella uttryck

För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat?

Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

Testa!

(32)

Förlängning

(33)

Förkortning

(34)

Enklaste form

(35)

Förlängning, exempel

(36)

Förlängning, exempel

(37)

Enklaste form, exempel

(38)

Enklaste form, exempel

(39)

Enklaste form, exempel

Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

(40)

Varning!!

3 går ej att förkorta

x y

x



VARFÖR!

(41)

Varning!!

3 går att förkorta x xy

x



3 (1 3 )

1 3 , 0

x xy x y

x y x

x

     

(42)

Bryt ut (-1)

(43)

Bryt ut -1

(44)

1.3 Funktioner

53

(45)

Funktioner

(46)

Funktioner

DEFINITIONSMÄNGD

VÄRDEMÄNGD

(47)

Räta linjens ekvation

x

y  0 , 3

(48)

Räta linjens ekvation

m = 1

(49)

Räta linjens ekvation

m = 6

(50)

Räta linjens ekvation

(51)

Räta linjens ekvation

m kx

y  

1 2 

 x

y

(52)

Räta linjens ekvation

m kx

y  

(53)

DESMOS

Klicka på bilden för att gå till DESMOS

(54)

Buskar på rad

(55)

Buskar på rad

(56)

Buskar på rad

5 3

y  x 

(57)

Andragradsekvationer

11 +

6x -

x

²

x

²

- 6x + 9 x

²

- 6x + 8

Inget nollställe

Ett nollställe

(dubbelrot) Två nollställen

0 0 0

NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X- AXELN

(58)

Andragradsekvationer

2 - 2x -

x

²

- x

²

- 2x  2

0 2

- 2x -

x

²

 - x

²

- 2x  2  0

NOLLSTÄLLEN

(59)

Andragradsekvationer

0 8

+ 6x -

x

²

 x

²

 px  q  0

p q

x p  



 



 





2

2 2

Halva

koefficienten för x med ombytt

tecken

X

=

Kvadraten på halva

koefficienten för x

Konstanta termen med ombytt

tecken

Lösningsformel n

SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

(60)

Andragradsekvationer

8 + 6x -

x

f(x) 

²

x

²

 x 6  8  0

2 8 6 2

6

²

 



 



 



 x

  ³ ⁸

3 

²



 x

8 9

3  

 x

1 3 

 x

1 3 



x

₁

 3  1  2 x

₂

 3  1  4 x

8 + 3 6 - 3

y 

²



-1 8

+ 8 1 - 9

y  

Minimipunk

t

( 3 ,  1 )

Symmetrilinje

(61)

DESMOS

Klicka på bilden för att gå till DESMOS

(62)

Logaritmer

10 2  100

”2 är 10-logaritmen för

100” lg100 2 

(63)

Logaritmer

10 3  1000

”3 är 10-logaritmen för 1000”

lg1000 3 

(64)

Logaritmer

7 10 ^x 

”x är 10-logaritmen för 7”

5 8 ^x 

”x är 8-logaritmen för 5”

(65)

Logaritmer

7 10 10 ^lg ^x ⁷  7

845 ,

0 7

lg 

7 10 ⁰ ^, ⁸⁴⁵ 

Enligt

räknaren…

(66)

Logaritmer

(1)

lg 3  4  lg 3  lg 4

(1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]

(2)

lg( 4 / 3 )  lg 4  lg 3

(2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]

(3)

lg 3

⁴

 4  lg 3

(3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]

(67)

7 ^x  17

Logariter – ett exempel

7 g 7 1

l ^x  lg

lg 7 lg17 x  

lg 7

lg 7 l

lg 7 g17 x 



(68)

Logariter – ett exempel

lg 7

lg 7 l

lg 7 g17 x 

 lg1

g 7 7 x  l

1, 45598364109...

x 

På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109

(69)

Logariter – samma sak?

lg17 17

lg ?

lg 7 7

 

  

 

(70)

Logariter – NEJ!

lg17 17

lg 7 lg 7

 

  

 

(71)

Exponetialfunktioner &

potensfunktioner

(72)

Potensfunktioner

x a

C x

f ( )  

C är ”startvärde”

x är förändringsfaktor

a kan exempelvis vara tid i år

(73)

Potensfunktioner

x

a

C x

f ( )  

Uppgift:

Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen?

2 , 3 4

,

2  x

⁵



Lösning:

Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x^och

får då:

Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9

% per år.

4 , 2

2 ,

5

 3 x

C är ”startvärde”

x är förändringsfaktor

a kan exempelvis vara tid i år

5 1

4 , 2

2 3  ,



 



 

x x  1 , 0592

(74)

Exponentialfunktioner

a x

C x

f ( )  

C är ”startvärde”

a är förändringsfaktor

x kan exempelvis vara tid i år

(75)

Exponentialfunktioner

a

x

C x

f ( )  

Fråga:

En stad har folkmängden 50 000 invånare.

Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden

är 60 000?

60000 50000 1,02  

^x

Lösning:

60000 6

1,02 1,02

50000 5

x x

   

a är förändringsfaktor

x kan exempelvis vara tid i år

lg 6

6 6 5

lg lg1,02 lg lg1,02

5 5 lg1,02

x x x

  

           

   

   

lg 6

5 9, 2 lg1,02

x

  

    Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

(76)

Exponentialfunktioner

a x

C x

f ( x )   ^x

f ( )  5  0 , 7

(77)

Exponentialfunktioner

a x

C x

f ( x )   ^x

f ( )  1  1 , 2

(78)

Exponentialfunktioner

x x

f ( )  1 , 2

(79)

Vilken är

exponentialfunktionen?

y C a  

x

Vad vet vi om a?

(80)

Vilken är

exponentialfunktionen?

Jag hittar två punkter

(0,5) (1, 4)

Exponentialfunktion

y C a  

x

Insättning av (0,5) ger:

5   C a

0

  C 5

5

^x

y   a

(81)

Vilken är

exponentialfunktionen?

Exponentialfunktion

Insättning av (1,4) ger:

1

0 4 5

4 4

5 5 , 8

a

a a

  

   

5

^x

y   a

Den sökta

exponentialfunktion:

,8 5 0

^x

y  

(0,5)

(1, 4)

(82)

Vilken är

exponentialfunktionen?

y C a  

x

Vad vet vi om a?

(83)

Vilken är

exponentialfunktionen?

y C a  

x

Vad vet vi om a?

1 2

^x

y  

2

^x

y 

(84)

Folkmängd

Fakta

›Folkmängden ökar med 5 % varje år.

›Första året ökar folkmängden med 750 personer.

Uppgift

›Hur stor är folkmängden om 10 år?

(85)

Folkmängd

Folkmängd från början:

0,05 750

750 = 15000 0,05

x x



Folkmängd om 10 år:

   

10

×

15000 1,05 ^ 10 15000 1,05 24

24433,4194 400

01 7...

 



(86)

Sätt namn på grafen

(87)

Sätt namn på grafen

   

2 2

2 2 4

4

y x x

y x x x

y x

  

   

 

Vi ser att när 0, så är -2

Hur gör vi då? Jo, vi multiplicerar med 0,5.

x  y 

   



²



2

0,5 2 2

0,5 4 0,5 2

y x x

y x

   

 

Funktionen som ger denna graf heter y 0,5(x2)( - 2) eller x y 0,5 - 2x2

Kontrollera med grafräknare eller med dator!

(88)

Kan du det här? 1 (s. 64)

(89)

Kan du det här? 1 (s. 64)

(90)

Kan du det här? 1 (s. 64)

(91)

VAD HETER FUNKTIONEN?

(92)

VAD HETER FUNKTIONEN?

(93)

VAD HETER FUNKTIONEN?

(94)

VAD HETER FUNKTIONEN?

  

³

 

²



f x  x  x 

 

2 2

2 3 6

6

f x x x x

f x x x

   

  

Men detta stämmer ju inte!

Vad göra…?

 

¹



² ⁶



f x    x  x

 

² ⁶

f x    x x

Testa!![ Länk till DESMOS ]

(95)

VAD HETER FUNKTIONERNA?

(96)

Befolkningsproblem

x

a

C x

f ( )  

Uppgift:

2 , 3 4

,

2  x

⁵



Lösning:

får då:

4 , 2

2 ,

5

 3 x

5 1

4 , 2

2 3  ,



 



 

x x  1 , 0592

(97)

Befolkningsproblem

x

a

C x

f ( )  

Uppgift:

2 , 3 4

,

2  x

⁵



Lösning:

får då:

Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9

% per år.

4 , 2

2 ,

5

 3 x

5 1

4 , 2

2 3  ,



 



 

x

På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1,05922384105…

(98)

Befolkningsproblem

Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911

invånare i staden.

Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.

Vilken är den årliga procentuella ökningen?

Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

(99)

Befolkningsproblem

invånare i staden.

(100)

Befolkningsproblem

invånare i staden.

(101)

Befolkningsproblem

invånare i staden.

(102)

Befolkningsproblem

Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden.

y C a  

x

20

122000

199911 122000

y a

a

 

(103)

Befolkningsproblem

y C a  

x

 

20

1 201

20 20 20

122000

199911 122000

199911 199911

122000 122000

y a

a

a a

 

 

    

 

(104)

Befolkningsproblem

y C a  

x

 

20

1 201

20 20 20

122000

199911 122000

199911 199911

122000 122000

1,0249999...[Lagrar i räknaren i bokstaven U]

y a

a

a a

a

 

 

     

 



HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

(105)

Befolkningsproblem

 

20

1 201

20 20 20

199911 122000

199911 199911

122000 122000

1,0249999...[Lagrar i räknaren i bokstaven U]

Svar: Den årliga procentuella ökningen är c:a 2,5 %.

a

a a

a

 

 

       



(106)

Befolkningsproblem

122000 35 289530,5113 [Förändringsfaktorn

290000 Svar: 2015

1,0249999... fin bor det c:a 29

ns lagrad i 0000 inånar

U]

e i staden.

a

U  



(107)

Befolkningsproblem

500000 122000 500000 122000

500000 500000

lg lg lg lg

122000 122000

500000

lg 122000 57 lg

Svar: Antalet invånare kommer att vara en halv miljon 2037 (2035 - 2040).

x

U U

U x U

x U

 



   

      

 

 

 

 

(108)

ATT KUNNA TILL PROV 1

› ATT KUNNA TILL PROV 1

Kap 1 - Algebra och funktioner