II. Analys av polynomfunktioner

En webbaserad analyskurs Grundbok

II. Analys av

polynomfunktioner

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH

anderskallen@gmail.com

Introduktion

N¨ar vi h¨ar diskuterar hur man analyserar funktioner, kommer vi att g¨ora det p˚a en niv˚a som var matematiskt accepterad f¨or 150 ˚ar sedan, men inte idag. N¨ar analysen (det som p˚a engelska kallas calculus) uppt¨acktes av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz omkring 1670 bestod uppt¨ackten av n˚agra grundl¨aggande principer som visade sig mycket anv¨andbara f¨or att l¨osa m˚anga vetenskapliga problem, speciellt inom mekaniken. Men det logiska fundamentet var skakigt till l˚angt in p˚a 1800-talet, och begrepp som gr¨ansv¨arden var l¨ange f¨orem˚al f¨or heta diskussioner. V˚ar diskussion i detta kapitel kommer att till stor del f¨oras utan det logiska fundament som med tiden utkristalliserades sig. Ist¨allet f¨oljer vi i mycket 1700-tals matematikerns intuitiva s¨att att resonera.

Men f¨or att kunna g¨ora det m˚aste vi h˚alla oss till enkla funktioner, s˚a att inga obehagliga

¨overraskningar dyker upp. Vi fokuserar d¨arf¨or p˚a de kanske enklaste funktionerna, poly- nomen. I kommande kapitel ska vi genomf¨ora motsvarande diskussioner f¨or andra s.k.

element¨ara funktioner (att en funktion ¨ar element¨ar inneb¨ar bara att den ing˚ar bland de funktioner som ¨ar mest f¨orekommande i till¨ampningar, och inte att den ¨ar enkel).

Ett polynom ¨ar ett uttryck av typen x²+ 2x− 3 och f˚ar inget v¨arde f¨orr¨an vi best¨ammer vad x ska vara. Vi s¨ager d¨arf¨or att v¨ardet av uttrycket ¨ar en funktion av vilket v¨arde vi s¨atter p˚a x. Vi skriver detta som

f (x) = x²+ 2x− 3.

T.ex. g¨aller att d˚a x = 2 blir 2²+ 2·2−3 = 5, vilket betyder att f(2) = 5. f ¨ar namnet p˚a funktionen, vilket vi vill anv¨anda p˚a precis samma s¨att som vi namnger barn och hundar – f¨or att kunna prata om och till dem. En funktion som ber¨aknas genom att vi ber¨aknar ett polynom kallar vi en polynomfunktion.

Anm¨arkning Ibland vill vi referera till en funktion utan att ge den ett namn. Vi borde d˚a skriva n˚agot i stil med x → x² + 2x + 3, men ofta skriver vi endast ut uttrycket. Detta ¨ar dock slarvigt!

Allm¨ant sett ¨ar en funktion en regel som tar en upps¨attning indata och producerar en upps¨attning utdata utifr˚an dessa. Om indata ¨ar reella tal och utdata ¨ar reella tal har vi en funktion av en variabel. I det h¨ar kapitlet kommer vi att analysera polynomfunktioner, allts˚a funktioner p˚a formen

n

X

k=0

akx^k= a0+ a1x + . . . + anxⁿ

d¨ar a0, . . . , an ¨ar reella tal, men delar av diskussionen kommer att vara allm¨annare, och innefatta allm¨anna p˚ast˚aenden om kontinuerliga och deriverbara funktioner. Dessa p˚ast˚aenden formuleras som satser som sedan till¨ampas p˚a andra funktioner ¨an polynom- funktioner i kommande kapitel.

I detta sammanhang spelar begreppet kontinuitet en grundl¨aggande roll, som vi dock ska g¨ora v˚art b¨asta att sopa under mattan. Vi s¨ager att en funktion f ¨ar kontinuerlig i en punkt a om det g¨aller att f (x)→ f(a) d˚a x→ a. Detta skriver vi ofta som^[1]

xlim→af (x) = f (a),

och om en funktion ¨ar kontinuerlig i alla punkter som den ¨ar definierad i, s¨ager vi att den

¨ar en kontinuerlig funktion. Vi kommer ocks˚a att, utan n¨armare kommentar, anv¨anda det till synes sj¨alvklara p˚ast˚aendena att om tv˚a funktioner ¨ar kontinuerliga, s˚a ¨ar ¨aven deras summa och deras produkt kontinuerliga^[2].

Anm¨arkning Att en funktion ¨ar kontinuerlig betyder intuitivt att den “h¨anger ihop”. D¨aremot kan den vara v¨aldigt “hackig”. Om f ¨ar kontinuerlig i a och f (a) > 0, s˚a g¨aller att det finns en omgivning till a s˚adan att f (x) > 0 n¨ar x ligger i denna omgivning^[3]. Denna observation beh¨over vi senare i detta kapitel.

Grafen av en funktion

Om vi ber¨aknar alla v¨arden av funktionen f s˚a kan vi betrakta funktionen som en “ta- bell” med tv˚a kolonner: den v¨anstra best˚ar av x-v¨ardena och den h¨ogra av de ber¨akna funktionsv¨ardena f (x). Data fr˚an en s˚adan tabell kan vi sedan rita i ett koordinatsystem d¨ar vi har en x-axel och vinkelr¨at mot den en y-axel. Resultatet blir en kurva i detta plan, och denna kurva kallas grafen av f .

Ett s¨att att l¨ara k¨anna en funktion blir d˚a att f¨ors¨oka rita denna kurva. Detta kan vi l¨att g¨ora med en dator, med den viktiga begr¨ansningen att vi bara kan se en del av kurvan, och bara till en viss detaljnoggrannhet. F¨or att f¨ors¨akra oss om att vi verkligen har f˚att med det v¨asentliga av funktionen m˚aste vi hitta n˚agon metod att avg¨ora n¨ar s˚a ¨ar fallet.

y

−b/2a x c− b²/4a²

De enklaste polynomen ¨ar f¨orst˚as en konstant (som har gradtalet 0), vars graf ¨ar en horisontell linje.

N¨ast enklast ¨ar f¨orsta ordningens polynom, allts˚a de som ¨ar p˚a formen kx + m, k 6= 0. Deras graf best˚ar av en r¨at linje med riktningskoefficient k.

D¨arefter kommer, i sv˚arighetsgrad, andragradspoly- nom

f (x) = ax²+ bx + c = a(x + b

2a)²+ c− b² 4a, d¨ar a 6= 0. H¨ar har vi kvadratkompletterat uttrycket d¨arf¨or att det hj¨alper oss n¨ar vi ska rita grafen. Vi har

n¨amligen att om a > 0 s˚a g¨aller att uttrycket har sitt minsta v¨arde d˚a x =−_2a^b och detta minsta v¨arde ¨ar c− _4a^b2. Om a < 0 ¨ar detta ist¨allet det st¨orsta v¨ardet. Med hj¨alp av den informationen ritar vi l¨att ut en skiss f¨or hur grafen till ett andragradspolynom ser ut.

En b¨attre figur f˚ar vi genom att ocks˚a ber¨akna eventuella nollst¨allen till f (x) och sedan dra kurvan genom dessa.

Med andra ord: ska du rita grafen till ett andragradspolynom ska du kvadratkomplettera och l¨asa av hur grafen ser ut fr˚an det.

Exempel 1 En vanligt anv¨andning av andragradspolynom ¨ar som beskrivning av s.k. kastparabler. Om man kastar ett f¨orem˚al i ett lufttomt rum d¨ar den enda kraft som p˚averkar f¨orem˚alet ¨ar tyngdaccelerationen g, s˚a kommer h¨ojden p˚a vil- ken f¨orem˚alet befinner sig som funktion av tiden, r¨aknad fr˚an kast¨ogonblicket, att ges av en funktion

h(t) = h0+ vt− gt²/2.

y

x v cos φ

v sin φ

φ

H¨ar ¨ar h0 h¨ojden ovan marken d¨ar utkastet sker och v den lodr¨ata hastigheten med vilken f¨orem˚alet kastas iv¨ag.

Om vi inte kastar rakt upp utan med en vinkel φ mot markplanet, kommer h¨ojden ¨over marken alltj¨amt att ges av v¨asentligen samma uttryck. Vi m˚aste bara ers¨atta v med v sin φ, eftersom detta ¨ar utkasthastighetens stor- lek i vertikal riktning.

Vad g¨aller r¨orelsen i horisontell riktning ¨ar utkasthas- tigheten v cos φ, och eftersom det inte finns n˚agon kraft som p˚averkar i horisontell riktning, kommer avst˚andet fr˚an utkastplatsen att ges av uttrycket tv cos φ.

Anm¨arkning Om du i v¨anster hand har en pistolkula och i h¨oger hand en pistol med en kula i loppet, och skjuter iv¨ag skottet horisontellt i samma ¨ogonblick som du sl¨apper pistolkulan i v¨anster hand, vilken av kulorna kommer f¨orst att n˚a marken?

Vi antar att marken ¨ar helt plan och att b˚ada hand och pistolmynning ¨ar lika l˚angt fr˚an marken.

Det f¨orv˚anande svaret ¨ar att de sl˚ar i marken samtidigt, i varje fall i vakuum. Enligt antagandet har vi n¨amligen att φ = 0, s˚a det finns ingen vertikal komponent av utg˚angshastigheten p˚a pistolkulan som skjuts iv¨ag. De tv˚a kulornas h¨ojd ¨over marken vid olika tidpunkter beskrivs d¨arf¨or av samma funktion h(t) = h0 − gt²/2, varur p˚ast˚aendet f¨oljer.

Interpolerande polynom

Om vi har n + 1 punkter (xi, yi), i = 0, . . . , n, d¨ar alla xi ¨ar olika punkter, s˚a finns det precis ett n:te-gradspolynom f (x) =Pn

k=0akx^k vars graf g˚ar genom dessa punkter.

Att s˚a ¨ar fallet kan ses som en ¨ovning i linj¨ar algebra. Vi tar ett exempel f¨orst.

Exempel 2 L˚at oss best¨amma det andragradspolynom vars graf g˚ar genom punk- terna (1, 1), (2, 3) och (3, 1). Ett s˚adant andragradspolynom kan skrivas

p(x) = a0+ a1x + a2x², och villkoren ¨ar att

p(1) = 1, p(2) = 3, p(3) = 1.

Detta inneb¨ar att vi har f¨oljande tre ekvationer







a₀+ a₁ + a₂ = 1 a₀+ 2a₁+ 4a₂ = 3, a₀+ 3a₁+ 9a₂ = 1

.

Detta l¨oses med s.k. Gauss-elimination, t.ex. genom







a0+ a1+ a2 = 1 a1+ 3a2 = 2, 2a1+ 8a2 = 0

⇔







a0+ a1+ a2 = 1 a1+ 3a2 = 2, a2 =−2

⇔







a0 =−5 a1 = 8, a2 =−2

.

Det polynom som uppfyller villkoret ¨ar d¨arf¨or

p(x) =−5 + 8x − 2x².

Som i exemplet, f¨or att best¨amma koefficienterna a0, a1, . . . , an i det allm¨anna fallet ska vi l¨osa ekvationerna

n

X

k=0

akx^k_i = yi, i = 0, . . . , n.

Detta system best˚ar av n + 1 ekvationer i n + 1 obekanta, och man kan visa^[4] att det alltid har en entydig l¨osning.

Anledningen till att vi n¨amner detta ¨ar att det betyder att vi kan approximera en god- tycklig funktion med polynom. Med v¨al valda punkter, och om den funktion vi ska app- roximera ¨ar “sn¨all” till sitt utseende, kommer approximationen i allm¨anhet att vara god, annars kanske inte. Men det visar att mycket av det vi kan g¨ora f¨or godtyckliga polynom kan vi ocks˚a g¨ora f¨or “sn¨alla” funktioner. Fr˚agan ¨ar bara vad vi ska mena med “sn¨alla”

funktioner. Det ¨ar h¨ar begrepp som kontinuitet och differentierbar kommer in.

Derivator och tangenter

En polynomfunktion ¨ar en sn¨all funktion i f¨oljande mening: om vi tittar i tillr¨ackligt stor f¨orstoring kommer dess graf n¨astan att se ut som en r¨at linje i det (lilla) omr˚ade vi d˚a ser. Det betyder att vi lokalt n¨ara en punkt kan approximera grafen med en speciell r¨at linje, n¨amligen tangenten till grafen i punkten ifr˚aga.

Varf¨or ¨ar det s˚a? Vi vet fr˚an faktorsatsen att

f (x)− f(a) = Q(x)(x − a)

d¨ar Q(x) ¨ar ett polynom. Det inneb¨ar att f ¨ar deriverbar i punkten a enligt f¨oljande definition.

Definition 1

En reellv¨ard funktion s¨ags vara deriverbar i punkten a om det finns en kontinuerlig funktion A(x) som ¨ar definierad i en omgivning av a och ¨ar s˚adan att

f (x)− f(a) = A(x)(x − a).

Talet A(a) kallas derivatan av f i a och betecknas f⁰(a).

Anm¨arkning Funktionen A kan vi kalla kvotfunktionen i uttrycket och den beror naturligtvis p˚a vilken funktion f det handlar om. Vi skriver d¨arf¨or ibland Af f¨or att beteckna den kvotfunktion som h¨or till f , i fall detta inte ¨ar sj¨alvklart av samman- hanget. Naturligtvis beror A ocks˚a p˚a vilken punkten a ¨ar.

Anm¨arkning Notera att vi f˚ar en sorts faktorsats av detta, n¨amligen att om f ¨ar deriverbar i punkten a och f (a) = 0, s˚a delar polynomet (x− a) funktionen f med en kvot som ¨ar en kontinuerlig funktion i punkten a. Normalt ¨ar dock inte kvotfunktionen ett polynom.^[5]

Exempel 3 Om f ¨ar en konstant funktion, allts˚a f (x) = c f¨or alla x, s˚a g¨aller att f (x) = f (a) f¨or alla x och vilkoret p˚a A(x) ¨ar d˚a att A(x)(x− a) = 0 f¨or alla x.

Om vi d¨arf¨or tar A(x) = 0 f¨or alla x s˚a f˚ar vi en kontinuerlig funktion som uppfyller villkoret i definitionen. Eftersom A(a) = 0 f¨oljer att f⁰(a) = 0. Om ist¨allet f (x) = x s˚a g¨aller att funktionen A(x) = 1 duger i definitionen, och allts˚a ¨ar f⁰(a) = 1.

Vi kan forts¨atta detta. Om f (x) = x² s˚a g¨aller att

f (x)− f(a) = x² − a² = (x + a)(x− a),

s˚a A(x) = x + a duger. F¨or den g¨aller att A(a) = 2a, s˚a f⁰(a) = 2a. Med hj¨alp av den geometriska summan har vi allm¨ant att om f (x) = xⁿ d¨ar n ¨ar ett positivt heltal g˚a g¨aller att

f (x)− f(a) = xⁿ− aⁿ = A(x)(x− a) d¨ar A(x) =

n−1

X

k=0

a^n−1−kx^k.

Funktionen A(x) ¨ar kontinuerlig och A(a) = Pn−1

k=0aⁿ⁻¹ = naⁿ⁻¹, s˚a det g¨aller att f⁰(a) = naⁿ⁻¹.

Anm¨arkning I exemplet har vi anv¨ant att polynom ¨ar kontinuerliga funktioner.

Detta f˚ar anses sj¨alvklart, men vi ska snart ge ett alternativt bevis f¨or resultatet i exemplet d¨ar kontinuiteten ¨ar en konsekvens av deriverbarheten. Det ¨ar f.¨o. vad som kommer att g¨alla f¨or de ¨ovriga element¨ara funktionerna som vi ska diskutera i kommande kapitel.

En f¨orsta, n¨armast trivial, konsekvens av definitionen ¨ar att om en funktion f ¨ar deriverbar i en punkt a, s˚a ¨ar den n¨odv¨andigtvis kontinuerlig i a. Det f¨oljer av att

f (x)− f(a) = A(x)(x − a) → A(a) · 0 = 0 d˚a x → a.

En annan, n¨astan lika enkel konsekvens, ¨ar

Sats 1

Om f och g ¨ar deriverbara i punkten a s˚a g¨aller att f + g ¨ar deriverbar i punkten i a med derivatan

(f + g)⁰(a) = f⁰(a) + g⁰(a).

Bevis. Enligt antagandet finns det kontinuerliga funktioner Af(x) och Ag(x) s˚adana att f (x)− f(a) = A^f(x)(x− a), g(x)− g(a) = A^g(x)(x− a).

Det betyder att

(f + g)(x)− (f + g)(a) = (f(x) − f(a)) + (g(x) − g(a))

= Af(x)(x− a) + A^g(x)(x− a) = A(x)(x − a)

d¨ar A(x) = Af(x) + Ag(x) ¨ar kontinuerlig i punkten a, d¨ar den har v¨ardet A(a) = Af(a) + Ag(a) = f⁰(a) + g⁰(a). Detta visar satsen.  Vi kan notera att kvotfunktionen A(x) ges av den s.k. differenskvoten

A(x) = f (x)− f(a) x− a

d˚a x 6= a. Att kr¨ava att A(x) ¨ar kontinuerlig i x = a ¨ar d¨arf¨or detsamma som att kr¨ava att gr¨ansv¨ardet

f⁰(a) = lim

x→a

f (x)− f(a) x− a

existerar, vilket ¨ar den vanliga defintionen av derivatan. Det vi gjort i v˚ar definition ¨ar en- dast att ersatt begreppet gr¨ansv¨arde med begreppet kontinuitet. Differenskvoten inneb¨ar den genomsnittliga f¨or¨andringen i intervallet [a, x] av f , vilket betyder att derivatan kan tolkas som den momentana f¨or¨andringshastigheten av f i punkten.

Notera ocks˚a att om vi skriver h = x− a s˚a blir definitionen ist¨allet f⁰(a) = lim

h→0

f (a + h)− f(a)

h ,

vilket ibland har ber¨akningsm¨assiga f¨ordelar.

Exempel 4 L˚at oss h¨arleda derivatan av funktionen f (x) = x² i punkten a p˚a detta s¨att. Vi skriver d˚a

f⁰(a) = lim

h→0

(a + h)²− a²

h = lim

h→0

2ah + h²

h = lim

h→0(2a + h) = 2a.

F¨or att tolka vad det betyder geometriskt att en funktion ¨ar deriverbar i en punkt skriver vi om villkoret som

f (x) = f (a) + f⁰(a)(x− a) + R(x), d¨ar

R(x) = (x− a)(A(x) − A(a)).

H¨ogerledet best˚ar h¨ar av f¨orstagradspolynomet p(x) = f (a)+f⁰(a)(x−a) vars graf ¨ar den r¨ata linjen genom (a, f (a)) som har riktningskoefficient f⁰(a), samt en felterm R(x) som

¨ar s˚adan att den f¨orsvinner (eftersom A ¨ar kontinuerlig i punkten a) bredvid f⁰(a)(x− a) n¨ar x ¨ar mycket n¨ara a. Vi antar h¨ar att f⁰(a)6= 0.

R(x)

f^′(a)(x− a) (a, f (a))

(x, f (x))

x− a

Detta betyder att n¨ar vi zoomar in p˚a omr˚adet kring punkten (a, f (a)) s˚a kommer kurvan y = f (x) att mer och mer se ut som den r¨ata linjen y = p(x). Men en linje med denna egenskap ¨ar tan- genten till kurvan i punkten (a, f (a)). Tangentens ekvation p˚a enpunktsformen ¨ar d¨arf¨or

y− f(a) = f⁰(a)(x− a).

Speciellt ges linjens riktningskoefficient av f⁰(a)

Anm¨arkning Ett annat s¨att att uttrycka det- ta p˚a, ¨ar att tangenten ¨ar grafen till det linj¨ara

polynom p(x) = kx + m som ¨ar s˚adant att p(a) = f (a) och p⁰(a) = f⁰(a).

Vi avslutar detta avsnitt med att h¨arleda ytterligare en r¨akneregel f¨or derivation, n¨amligen hur man deriverar en produkt. Om vi har tv˚a polynom f och g kan vi naturligt derivera deras produkt f (x)g(x) genom att f¨orst multiplicera ihop polynomen och sedan derivera den utr¨aknade produkten. Men det kan ibland vara b¨attre att anv¨and f¨oljande produkt- regel f¨or derivation

Sats 2

Om f och g ¨ar deriverbara funktioner i punkten a, s˚a ¨ar ¨aven deras produkt f g deriverbar i a och derivatan ges av

(f g)⁰(a) = f⁰(a)g(a) + f (a)g⁰(a).

Bevis. Vi ska naturligtvis anv¨anda definitionen av deriverbarhet, och b¨orjar d˚a med att skriva om skillnaden

(f g)(x)− (fg)(a) = f(x)g(x) − f(a)g(a) = f(x)g(x) − f(x)g(a) + f(x)g(a) − f(a)g(a).

H¨ar har vi bara lagt till och dragit ifr˚an samma term, men denna ¨ar vald med omsorg, eftersom

f (x)g(x)− f(a)g(x) + f(a)g(x) − f(a)g(a) = g(x)(f(x) − f(a)) + f(a)(g(x) − g(a)).

Enligt f¨oruts¨attningarna vet vi n¨amligen att det finns kontinuerliga funktioner Af(x) och Ag(x) s˚adana att

f (x)− f(a) = Af(x)(x− a), g(x)− g(a) = Ag(x)(x− a), och s˚adana att Af(a) = f⁰(a), Ag(a) = g⁰(a). Vi f˚ar d˚a att

(f g)(x)− (fg)(a) = g(x)A^f(x)(x− a) + f(a)A^g(x)(x− a) = A(x)(x − a), d¨ar

A(x) = g(x)Af(x) + f (a)Ag(x).

Men A(x) ¨ar en kontinuerlig funktion vars v¨arde i x = a ¨ar

A(a) = g(a)Af(a) + f (a)Ag(a) = g(a)f⁰(a) + f (a)g⁰(a).

D¨armed ¨ar satsen bevisad. 

F¨oljande exempel visar nu hur vi kan anv¨anda desssa satser f¨or att se att alla poly- nomfunktioner ¨ar deriverbara (och d¨armed kontinuerliga) och dessutom f˚a en formel f¨or derivatan.

Exempel 5 Funktionen x → x ¨ar uppenbarligen deriverbar med derivatan 1. Det f¨oljer d˚a ur Sats 2 att funktionen x² = x· x ¨ar deriverbar med derivatan x + x = 2x.

Men d˚a f¨oljer att ¨aven x³ = x²·x ¨ar deriverbar, och det med derivatan 2x·x+x² = 3x². Forts¨atter vi s˚a, ser vi att funktionen xⁿ ¨ar deriverbar och har derivatan nxⁿ⁻¹. Med hj¨alp av satserna 1 och 2 f¨oljer nu att varje polynom ¨ar deriverbart, och att

f (x) =

n

X

k=0

akx^k ⇒ f⁰(x) =

n

X

k=1

kakx^k−1.

Notera att vi inte anv¨ant att polynom ¨ar kontinuerliga funktioner. Ist¨allet ser vi att de ¨ar kontinuerliga funktioner, eftersom de ¨ar deriverbara i varje punkt.

Eftersom derivatan av ett polynom ocks˚a ¨ar ett polynom kan vi derivera den ocks˚a. Och s˚a vidare. Efter tillr¨ackligt m˚anga deriveringar blir derivatan av ett polynom till slut noll

¨overallt.

Vad kan vi anv¨ anda derivatan till?

Vi ska nu se lite allm¨ant vad man kan anv¨anda derivatan till n¨ar den finns. Derivatan ¨ar ju riktningskoefficienten f¨or tangenten i punkten, vilket intuitivt betyder att funktionen

¨ar v¨axande n¨ar derivatan ¨ar positiv och avtagande n¨ar den ¨ar negativ. F¨or att precisera detta beh¨over vi inf¨ora n˚agra definitioner och formulera och bevisa n˚agra satser.

Definition 2

En funktion f har ett lokalt maximum i en punkt a om det f¨or alla x i n˚agon (aldrig s˚a) liten omgivning till a g¨aller att f (x)≤ f(a).

P˚a motsvarande s¨att definieras vad som menas med ett lokalt minimum genom att v¨anda p˚a olikheten, och man anv¨ander begreppet lokal extrempunkt f¨or en punkt i vilken funk- tionen har ett lokalt maximum eller ett lokalt minimum. F¨oljande sats torde vara v¨alk¨and.

Sats 3

Om punkten a ¨ar en lokal extrempunkt till en funktion f som ¨ar deriverbar i den punkten, s˚a g¨aller att f⁰(a) = 0.

Bevis. Vi har att f (x)− f(a) = A(x)(x − a) d¨ar funktionen A ¨ar kontinuerlig i a. D˚a x6= a g¨aller att

A(x) = f (x)− f(a) x− a

och om f har ett lokalt maximum i punkten a ¨ar t¨aljaren ≤ 0 f¨or x n¨ara a. Det betyder att n¨ar x < a ¨ar n¨amnaren negativ och kvoten allts˚a≥ 0. Om x > a ¨ar n¨amnaren positiv och kvoten d¨arf¨or ≤ 0. Med andra ord, f¨or x n¨ara a g¨aller att

A(x) =

(≥ 0 om x < a

≤ 0 om x > a.

 Enda m¨ojligheten f¨or A att vara kontinuerlig i a ¨ar d˚a att A(a) = 0, d.v.s. f⁰(a) = 0.

L¨asaren kan sj¨alv modifiera beviset d˚a a ¨ar en lokal minimipunkt.

Definition 3

Punkter a som ¨ar s˚adana att f⁰(a) = 0 s¨ags vara station¨ara punkter till f .

S˚a vad vi vet ¨ar att om vi letar lokala extrempunkter till en funktion, och funktionen ¨ar deriverbar, s˚a ska vi leta bland de station¨ara punkterna. Finns det punkter d¨ar funktionen inte ¨ar deriverbar (s˚adana kan t.ex. uppkomma p.g.a. ett absolutbelopp i funktionsuttryc- ket), s˚a m˚aste de punkterna unders¨okas separat.

Anm¨arkning Alla station¨ara punkter beh¨over inte vara lokala extrempunkter. T.ex.

g¨aller att funktionen x³ har en station¨ar punkt d˚a x = 0, men funktionen har ingen lokal extrempunkt d¨ar.

En station¨ar punkt (f¨or en funktion av en variabel) som inte ¨ar en lokal extrempunkt kallas en terrasspunkt.

Innan vi g˚ar vidare g¨or vi en liten parantes om intervall. N¨ar vi s¨ager att n˚agot g¨aller p˚a ett intervall, menar vi att det g¨aller i hela intervallet. Om vi s¨ager att n˚agot g¨aller i ett intervall menar vi att det g¨aller i alla punkter utom i eventuella ¨andpunkter.

Exempel 6 En funktion ¨ar kontinuerlig p˚a I = [a, b] om den ¨ar kontinuerlig i alla punkter x s˚adana att a ≤ x ≤ b. Den ¨ar deriverbar i I om den ¨ar deriverbar i alla punkter x s˚adana att a < x < b.

F¨or att ordentligt utreda sambandet mellan tecknet p˚a derivatan och huruvida funktionen

¨ar v¨axande eller avtagande beh¨over vi en ordentlig definition av vad som menas med att en funktion ¨ar v¨axande eller avtagande.

Definition 4

Att en funktion ¨ar v¨axande p˚a ett intervall inneb¨ar att om x1 och x2 ¨ar tv˚a punkter i intervallet s˚adana att x1 < x2, s˚a g¨aller f (x1)≤ f(x2). Funktionen s¨ags vara str¨angt v¨axande om det g¨aller att f (x1) < f (x2).

Anm¨arkning Notera att definitionen inte har n˚agonting med derivator att g¨ora!

Om f ¨ar deriverbar i en punkt a kan vi skriva f (x) − f(a) = A(x)(x − a) d¨ar A ¨ar kontinuerlig n¨ara a. Om vi dessutom vet att f ¨ar str¨angt v¨axande n¨ara a, s˚a g¨aller att f (x)− f(a) > 0 d˚a x > a och x ligger n¨ara a. Men d˚a m˚aste A(x) > 0 f¨or s˚adana x. Ur det f¨oljer att f⁰(a) = A(a) ≥ 0, eftersom A ¨ar kontinuerlig i a. D¨aremot finns det ingen garanti f¨or att vi har str¨ang olikhet.

Anm¨arkning Funktionen x³ ¨ar ett exempel p˚a att derivatan inte m˚aste vara positiv

¨overallt ¨aven om funktionen ¨ar str¨angt v¨axande. Dess derivata ¨ar ju noll i origo^[6]. Dock g¨aller omv¨andningen: om f⁰ > 0 i ett intervall s˚a ¨ar f str¨angt v¨axande i detta intervall. Detta bevisas genom att man f¨orst bevisar f¨oljande viktiga sats.

Sats 4: Medelv¨ardessatsen

Om f ¨ar kontinuerlig p˚a I = [a, b] och deriverbar i I, s˚a g¨aller att det finns ett ξ i I s˚adant att

f (b)− f(a) = f⁰(ξ)(b− a).

Anm¨arkning T¨ank dig att du k¨or bil mellan tv˚a orter. D˚a s¨ager medelv¨ardessatsen att om medelhastigheten f¨or hela resan ¨ar v, s˚a finns det n˚agot tillf¨alle under resan n¨ar den momentana hastigheten ocks˚a var just v. Ganska sj¨alvklart, eller hur?

y

x a

f (a)

b f (b)

ξ Beviset kr¨aver en noggrannare analys av vad

kontinuitet inneb¨ar^[7], men man kan l¨att tro p˚a satsen med hj¨alp av figuren nedan.

Vad medelv¨ardessatsen s¨ager ¨ar att den r¨oda lin- jen, som har riktningskoefficient

f (b)− f(a) b− a ,

har samma riktningskoefficient som minst en tangent till kurvan i intervallet. I exemplet i fi- guren till h¨oger har vi tv˚a s˚adana punkter ξ:

den ena ¨ar utritad, den andra antydd genom en streckad tangent till punkten.

Det ¨ar viktigt i satsen att funktionen ¨ar deriverbar i intervallet. Finns det en punkt d¨ar den inte ¨ar deriverbar, beh¨over satsen inte g¨alla. Liksom den inte beh¨over g¨alla om funktionen inte ¨ar kontinuerlig p˚a hela intervallet, inklusive ¨andpunkterna.

Innan vi g˚ar vidare tar vi en matematisk till¨ampning av medelv¨ardessatsen.

Exempel 7 Vi ska visa att

(1 + x)ⁿ≥ 1 + nx, om x ≥ −1.

Vi antar h¨ar att n ¨ar ett positivt heltal, ¨aven om beviset fungerar f¨or godtyckliga reella tal sedan vi v¨al definierat, och kan derivera, allm¨anna potensfunktioner.

F¨or att visa olikheten definierar vi

f (x) = (1 + x)ⁿ. D˚a g¨aller att

f⁰(x) = n(1 + x)ⁿ⁻¹ och medelv¨ardessatsen medf¨or att

f (x)− f(0) = f⁰(ξ)(x− 0) ⇔ (1 + x)ⁿ− 1 = n(1 + ξ)ⁿ⁻¹x, d¨ar ξ ligger mellan 0 och x. Men

a) om x≥ 0 g¨aller att 1 + ξ ≥ 1, s˚a (1 + ξ)ⁿ⁻¹x≥ x,

b) om −1 ≤ x < 0 g¨aller att 0 ≤ 1 + ξ < 1, s˚a (1 + ξ)ⁿ⁻¹x≥ x (t¨ank igenom!^[8]).

I b˚ada fallen f˚ar vi allts˚a att n(1 + ξ)ⁿ⁻¹x≥ nx, varigenom vi har visat olikheten.

Antag nu att f ¨ar deriverbar i ett intervall ]a, b[ och tag tv˚a punkter (vilka som helst) x1 < x2 i intervallet. D˚a finns ett ξ mellan x1, x2 s˚adant att

f (x2)− f(x1) = f⁰(ξ)(x2− x1).

Om vi vet att f⁰ > 0 i hela intervallet s˚a ¨ar f⁰(ξ) > 0, varur det f¨oljer att f (x2) > f (x1).

Men detta betyder precis att f ¨ar str¨angt v¨axande. Om vi bara vet att f⁰ ≥ 0 f¨oljer att f (x₂)≥ f(x1), d.v.s. att f ¨ar v¨axande (men inte n¨odv¨andigtvis str¨angt v¨axande).

Motsvarande g¨aller n¨ar derivatan ¨ar negativ. Vi har d¨armed bevisat f¨oljande sats.

Sats 5

Antag att f ¨ar deriverbar i ett intervall I. Om f⁰ ≥ 0 i I, s˚a ¨ar f v¨axande p˚a I, och om dessutom f⁰ > 0 i I, ¨ar f str¨angt v¨axande p˚a I. Om f⁰ ≤ 0 i I ¨ar f avtagande p˚a I, och str¨angt avtagande p˚a I om f⁰ < 0 i I.

Anm¨arkning Det ¨ar Sats 5 som ligger till grund f¨or de teckentabeller som vi anv¨ander i n¨asta avsnitt f¨or att avg¨ora om en station¨ar punkt ¨ar en lokal extrempunkt, och i s˚a fall, vilken typ av extrempunkt.

Om vi ist¨allet har att f⁰ = 0 ¨overallt i intervallet f˚ar vi att f (x2) = f (x1). Eftersom detta g¨aller f¨or alla val av x1 < x2 f¨oljer att f bara antar ett v¨arde, t.ex. f (a). Vi formulerar

¨aven detta som en sats.

Sats 6

Om f⁰ = 0 i ett intervall g¨aller att f ¨ar en konstant p˚a detta intervall.

Exempel 8 Som en till¨ampning av Sats 6 kan vi motivera varf¨or kastparabeln i Exempel 1 ¨ar just en parabel. Den fysikaliska bakgrunden ¨ar naturligtvis Newtons andra lag, som s¨ager att massan g˚anger accelerationen ¨ar lika med den verkande kraften, d.v.s. mh⁰⁰(t) = −mg d¨ar m ¨ar f¨orem˚alets massa. Vi vill d¨arf¨or best¨amma alla funktioner h(t) s˚adana att h⁰⁰(t) =−g.

Om vi b¨orjar med att s¨atta v(t) = h⁰(t), s˚a ska vi allts˚a l¨osa ekvationen v⁰(t) =−g.

Men eftersom t → gt har derivatan g, betyder det att (v(t) + gt)⁰ = 0 f¨or alla t.

Enligt satsen g¨aller d˚a att v(t) + gt ¨ar en konstant, v, och allts˚a v(t) =−gt + v.

I n¨asta led ska vi l¨osa ekvationen h⁰(t) = −gt + v. En funktion som har samma derivata som h ¨ar funktionen t→ −gt²/2 + vt, vilket betyder att skillnaden mellan h och denna funktion har en derivata som ¨ar noll ¨overallt:

(h(t)− (−gt²

2 + vt))⁰ = 0 ¨overallt.

Enligt satsen har vi d¨arf¨or att h(t)− (−gt²/2 + vt) = h0 ¨ar en konstant, vilket ¨ar p˚ast˚aendet: h(t) =−gt²/2 + vt + h0. Notera att h(0) = h0 och h⁰(0) = v.

Att skissera grafer

Vi ska nu se hur vi kan anv¨anda p˚ast˚aendena fr˚an f¨oreg˚aende avsnitt till att skissera grafen till n˚agra polynomfunktioner.

Exempel 9 Vi ska skissera grafen till polyomfunktionen f (x) = x⁴− 8x³+ 22x²− 24x + 10.

Vi b¨orjar d˚a med att ber¨akna dess derivata till

f⁰(x) = 4x³− 24x² + 44x− 24 = 4(x³− 6x²+ 11x− 6).

H¨ar ser vi att x = 1 ¨ar ett nollst¨alle och kan d¨arf¨or enligt faktorsatsen bryta ut faktorn (x− 1):

f⁰(x) = 4(x− 1)(x²− 5x + 6) = 4(x − 1)(x − 2)(x − 3).

Vi ser allts˚a att de tre station¨ara punkterna ¨ar x = 1, 2, 3.

F¨or att se vad det ¨ar f¨or typer av station¨ara punkter anv¨ander vi denna faktorisring och Sats 5 till att g¨ora en teckentabell:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

x

x 1 2 3

f⁰(x) − 0 + 0 − 0 + f (x) & 1 % 2 & 1 %

I f¨orsta raden har vi h¨ar gjort en teckenanalys av derivatan i olika intervall, och sedan i den andra raden anv¨ant resultaten fr˚an f¨oreg˚aende avsnitt f¨or att dra slutsatser om hur funktionen uppf¨or sig i motsvarande intervall. Vi har ocks˚a r¨aknat ut funktionsv¨ardena i de station¨ara punkterna i den sista raden.

Vi ser att x = 1 och x = 3 b˚ada ¨ar lokala minima medan x = 2 ¨ar ett lokalt maximum. Fr˚an detta

kan vi rita en skiss av dess graf, vilken i dator- ritad version finns ovan. Vi kan notera att detta polynom inte har n˚agot nollst¨alle.

Tyv¨arr kr¨aver analysen att vi kan hitta alla nollst¨allen till polynom, vilket inte alltid ¨ar s˚a l¨att. F¨or ett allm¨ant polynom l˚ater detta sig endast g¨oras numeriskt.

En enkel, men r¨akneintensiv, metod att best¨amma n¨armev¨arden p˚a nollst¨allen till en kontinuerlig funktion bygger p˚a att man f¨orst ritar upp grafen f¨or att f˚a en grov skattning av var ett nollst¨alle kan ligga. Sedan anv¨ander man en metod som kallas intervallhalvering.

Exempel 10 Best¨am alla nollst¨allen till polynomet f (x) =−x³+ 3x + 4.

Vi deriverar

f⁰(x) = 3− 3x² = 3(1− x)(1 + x).

De station¨ara punkterna ¨ar d¨arf¨or x =±1 och vi har f¨oljande teckentabell:

x −1 1

f⁰(x) − 0 + 0 − f (x) & 2 % 6 &

−2

−1 1 2 3 4 5 6

−2 −1 1 2 3 4

x

Fr˚an grafen ser vi att polynomet har precis ett nollst¨alle. Eftersom f (2) = 2 > 0 och f (3) =−14 < 0,

m˚aste detta ligga i intervallet [2, 3]. V¨ardet mitt i detta intervall ¨ar f (2.5) = −7.125 < 0, vilket betyder att nollst¨allet faktiskt m˚aste ligga i inter- vallet [2, 2.5].

Vi kan sedan forts¨atta p˚a detta s¨att, d.v.s. vi delar det intervall som nollst¨allet m˚aste ligga i p˚a mit- ten och best¨ammer tecknet p˚a funktionen i mitt- punkten och f˚a p˚a s˚a s¨att ett h¨alften s˚a stort in- tervall som nollst¨allet m˚aste ligga i. H¨arigenom kan vi f˚a ett b¨attre och b¨attre n¨armev¨arde p˚a nollst¨allet, som blir 2.19582 . . .

Att hitta ett nollst¨alle p˚a detta s¨att g¨or man naturligtvis inte f¨or hand!

Anm¨arkning Vi anv¨ander h¨ar att om f ¨ar en kontinuerlig funktion s˚adan att f (a) < 0 och f (b) > 0, s˚a finns ett ξ som ligger mellan a och b som ¨ar s˚adant att f (ξ) = 0. Detta kan verka sj¨alvklart, men att det ¨ar s˚a har att g¨ora med att reella tal ligger tillr¨ackligt t¨att och p˚ast˚aendet ¨ar d¨arf¨or ganska djupt. Detta p˚ast˚aende kallas satsen om mellanliggande v¨arden.

Om andraderivatans anv¨ andning

Andraderivatan av en funktion ¨ar derivatan av dess derivata, allts˚a f⁰⁰(x) = (f⁰(x))⁰.

P˚a motsvarande s¨att definieras h¨ogre derivator rekursivt: den k:te derivatan av f beteck- nas f^(k)(x) och definieras av att

f^(k)(x) = (f^(k−1)(x))⁰. Som tidigare skriver vi

f⁽¹⁾(x) = f⁰(x), f⁽²⁾(x) = f⁰⁰(x) och ocks˚a f⁽³⁾(x) = f⁰⁰⁰(x).

Andraderivatan kan ofta (men inte alltid) vara anv¨andbar till att avg¨ora om en viss station¨ar punkt ¨ar en extrempunkt eller inte. Och i s˚a fall vilken typ av extrempunkt det r¨or sig om.

x a

f⁰(x) − 0 + f (x) & f(a) % Antag att f⁰(a) = 0 och att f⁰⁰(a) > 0 och att andraderivatan ¨ar kontinuerlig n¨ara punkten a. Det f¨oljer d˚a att f⁰⁰(x) > 0 i n˚agon omgivning till a, vilket i

sin tur betyder att i den omgivningen ¨ar f⁰ en v¨axande funktion.

Eftersom den ¨ar noll i a m˚aste vi d˚a ha att f⁰(x) < 0 d˚a x < a och f⁰(x) > 0 d˚a x > a (d˚a x ligger i omgivningen ifr˚aga). Men det betyder att f ¨ar avtagande till v¨anster om a och v¨axande till h¨oger om a. Det i sin tur betyder att a ¨ar ett lokalt minimum till f (se teckentabellen till h¨oger).^[9]

P˚a samma s¨att ser vi att om ist¨allet f⁰(a) = 0 och f⁰⁰(a) < 0, s˚a har f ett lokalt maximum i a.

Exempel 11 Andraderivatan av funktionen f (x) =−x³+ 3x + 4 i Exempel 10 ¨ar f⁰⁰(x) =−6x.

Vi ser d¨arf¨or att

f⁰⁰(−1) = 6 > 0, f⁰⁰(1) =−6 < 0,

och allts˚a att −1 ¨ar ett lokalt minimum medan 1 ¨ar ett lokalt maximum. Samma resultat som teckentabellen gav.

D¨aremot vet vi inte vad f¨or sorts punkt a ¨ar om f⁰(a) = f⁰⁰(a) = 0. Om t.ex. f (x) = x⁴ g¨aller att f⁰(0) = f⁰⁰(0) = 0, och vi har ett lokalt minimum i origo. Om vi ist¨allet tar f (x) = −x⁴ har vi ett lokalt maximum i origo. Slutligen, om vi tar f (x) = x³, s˚a g¨aller samma sak, men denna funktion ¨ar str¨angt v¨axande ¨overallt (och har en terrasspunkt i origo).

Det finns ett annat s¨att att se p˚a detta som, i motsats till ovanst˚aende resonemang med en teckentabell, g˚ar att generalisera till h¨ogre dimensioner. Vi ska g˚a igenom det f¨or polynomfunktioner och b¨orjar med n˚agra allm¨anna observationer.

L˚at

f (x) = a0 + a1x + a2x²+ . . . + anxⁿ=

n

X

k=0

akx^k

vara ett godtyckligt n:tegradspolynom. Vi ser d˚a att f (0) = a0, och deriverar vi f˚ar vi att f⁰(x) = a1 + 2a2x + . . . + nanxⁿ⁻¹, som i sin tur medf¨or att f⁰(0) = a1. Deriverar vi en g˚ang till ser vi att f⁰⁰(0) = 2a2, och forts¨atter vi p˚a det s¨attet ser vi att f^(k)(0) = k(k− 1) . . . 2 · 1 · a^k.

F¨or heltal k inf¨or vi beteckningen

k! = k(k− 1)(k − 2) . . . 2 · 1

som kallas k-fakultet, och allts˚a inneb¨ar att vi multiplicerar ihop alla heltal mellan 1 och k. Man inf¨or av bekv¨amlighetssk¨al beteckningen 0! = 1. Vi ser d˚a att ak = f^(k)(0)/k!, vilket betyder att vi kan skriva

f (x) = f (0) + f⁰(0)x + f⁰⁰(0)x²

2 + . . . + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ n! =

n

X

k=0

f^(k)(0)x^k k!. Innan vi till¨ampar det p˚a v˚art egentliga problem, l˚at oss g¨ora en liten detour.

F¨or f (x) = (1 + x)ⁿ har vi att^[10] f^(k)(0) = n(n− 1) . . . (n − k + 1) d˚a k ≤ n, vilket ocks˚a kan skrivas som

n(n− 1) . . . (n − k + 1) = n(n− 1) . . . (n − k + 1)(n − k) . . . 2 · 1

(n− k) . . . 2 · 1 = n!

(n− k)!. Det betyder att vi har att

(1 + x)ⁿ=

n

X

k=0

n k



x^k, d¨ar n k



= n!

k!(n− k)!

kallas binomialkoefficienter. Det finns mycket intressant att s¨aga om dem^[11], bland annat leder de direkt till det s.k. binomialteoremet genom att vi s¨atter x = b/a:

(a + b)ⁿ =

n

X

k=0

n k



a^n−kb^k.

Exempel 12 F¨or polyomet f (x) = (1 + x²)ⁿ g¨aller att alla udda derivator ¨ar noll i origo, medan

f^(2k)(0) = (2k)!n k



, k = 0, . . . , n.

F¨or att se att s˚a ¨ar fallet anv¨ander vi binomialteoremet med a = 1 och b = x². D˚a f˚ar vi att

(1 + x²)ⁿ=

n

X

k=0

n k

 x^2k,

s˚a koefficienten framf¨or x^2k ges av binomialkoefficenten ⁿ_k
. Men den koefficienten ska vara lika med f^(2k)(0)/(2k)!, och s¨atter vi de tv˚a uttrycken lika f˚ar vi resultatet.

De udda derivatorna f^(2k+1)(0) ¨ar noll, eftersom koefficienten framf¨or x^2k+1 ¨ar noll.

L˚at oss nu ˚aterv¨anda till v˚art problem att anv¨anda andraderivatan f¨or att avg¨ora om en station¨ar punkt till ett polynom ¨ar en lokal extrempunkt. Antag att a ¨ar en station¨ar punkt till polynomet f och skriv g(t) = f (a + t). D˚a g¨aller att g^(k)(0) = f^(k)(a) och allts˚a att

f (a + t) = g(t) =

n

X

k=0

f^(k)(0)t^k k!. Om vi nu skriver x = a + t s˚a f¨oljer att

f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)(x− a)^k

k! = f (a) + f⁰(a)(x− a) + f⁰⁰(a)(x− a)²

2 + . . . + f⁽ⁿ⁾(a)(x− a)ⁿ n! . Vi kan skriva om detta som att

f (x) = f (a) + f⁰(a)(x− a) + (x − a)²Ba(x− a), d¨ar

Ba(h) = f⁰⁰(a)

2 + h(f⁰⁰⁰(a)1

3!+ . . . + f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ⁻³ n! ).

(Vi antar att n≥ 3, polynom av l¨agre grad ¨ar redan avklarade.)

N¨ar h → 0, g¨aller att B^a(h) → f⁰⁰(a)/2, s˚a om f⁰⁰(a) > 0 s˚a g¨aller att Ba(h) > 0 om h ligger i n˚agon punkterad omgivning^[12] till origo. Antag vidare att a ¨ar en station¨ar punkt till f , s˚a att f⁰(a) = 0. D˚a har vi att

f (x) = f (a) + (x− a)²Ba(x− a) > f(a)

i n˚agon punkterad omgivning till origo. Det betyder att f har ett str¨angt lokalt minimum i a. P˚a motsvarande s¨att ser vi att f har ett str¨angt lokalt maximum om f⁰⁰(a) < 0. Om emellertid f⁰⁰(a) = 0 m˚aste vi f¨orfina analysen; vi kan d˚a inte avg¨ora om punkten ¨ar en lokal extrempunkt ifr˚an andraderivatan enbart. Detta ¨overl¨amnas ˚at l¨asaren att fundera p˚a.

En annan till¨ampning av formeln

(1) f (x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)(x− a)^k k!

f¨or ett polynom f (x) av grad n ¨ar att man kan anv¨anda derivation ist¨allet f¨or polynomdi- vision f¨or att best¨amma kvoten vid division med (x− a). Vi illustrerar med ett exempel.

Exempel 13 Polynomet f (x) = x³− 6x² + 11x− 6 har ett nollst¨alle i x = 1. Det betyder att utvecklingen (1) f¨or a = 1 inte har n˚agon konstant term. Vi kan d¨arf¨or bryta ut (x− 1) ur summan. F¨or att best¨amma vad som blir klar ber¨aknar vi

f⁰(x) = 3x² − 12x + 11, f⁰⁰(x) = 6x− 12, f⁰⁰⁰(x) = 6, vilket betyder att f⁰(1) = 2, f⁰⁰(1) =−6, f⁰⁰⁰(1) = 6 och allts˚a

f (x) = 2(x− 1) − 6(x− 1)²

2 + 6(x− 1)³

3! = (x− 1)(x²− 5x + 6).

Detta ¨ar ett alternativ till att g¨ora polynomdivision.

Approximation med polynom n¨ ara en punkt - Taylor polynom

Vi ska nu titta n¨armare p˚a fr˚agan om hur ett polynom ska se ut som approximerar en given funktion bra i en omgivning av en punkt. Den b¨asta linj¨ara approximation k¨anner vi sen tidigare; det ¨ar den fundamentala observationen att tangenten ¨ar den r¨ata linje som b¨ast approximerar kurvan. Men hur ser t.ex. b¨asta andragradsapproximation ut?

F¨orhoppningsvis gav f¨oreg˚aende avsnitt viss insikt i vad svaret ¨ar. Den sv˚ara fr˚agan i sammanhanget ¨ar dock: hur vet vi att det ¨ar en bra approximation? Med andra ord, hur f˚ar vi kontroll ¨over felet. Vi ska se att denna diskussion v¨asentligen bygger p˚a me- delv¨ardessatsen.

Vi b¨orjar d¨arf¨or med en utvidning av “den vanliga” medelv¨ardessatsen.

Lemma 1 (Cauchys medelv¨ardessats) Antag att funktionerna g och h ¨ar kontinuer- liga p˚a intervallet I = [a, b] och deriverbara i det. D˚a finns minst ett ξ i I s˚adant

(g(b)− g(a))h⁰(ξ) = (h(b)− h(a))g⁰(ξ).

Anm¨arkning Notera att vi medelv¨ardessatsen ¨ar specialfallet d˚a h(x) = x (och g = f ).

Bevis. Vi ska anv¨anda medelv¨ardessatsen p˚a funktionen

φ(x) = (g(b)− g(a))h(x) − (h(b) − h(a))g(x).

F¨or den g¨aller n¨amligen att φ(a) = φ(b) (kontrollera!), s˚a medelv¨ardessatsen s¨ager att det finns ett ξ i det inre av intervallet s˚adant att φ⁰(ξ) = 0. Men det ¨ar precis p˚ast˚aendet

i lemmat. 

Vi ˚aterv¨ander nu till diskussionen i f¨oreg˚aende avsnitt. Om f ¨ar en tillr¨ackligt m˚anga g˚anger deriverbar funktion definierad n¨ara x = a s˚a kallar vi polynomet

(2) pn(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)(x− a)^k k!

f¨or Taylorpolynomet av ordning n runt punkten x = a. Vi ska nu h¨arleda en sorts utvid- ning till medelv¨ardessatsen som ber¨attar n˚agot om hur bra approximation till funktionen f detta polynom ¨ar n¨ara x = a. F¨or detta betraktar vi uttrycket i h¨ogerledet som funktion av a. Det betyder att vi definierar funktionen

g(t) =

n

X

k=0

f^(k)(t)(x− t)^k k! . H¨ar h˚aller vi allts˚a x fix! Vi ser att

g(x) = f (x), g(a) = pn(x).

Funktionens derivata ¨ar g⁰(t) =

n

X

k=0

(f^(k+1)(t)(x− t)^k

k! − f^(k)(t)k(x− t)^k−1

k! ).

Skriver vi ut summan i h¨ogerledet ser vi att den ¨ar f⁰(t)(x− t) + (f⁰⁰(t)(x− t)²

2 − f⁰(t)(x− t)) + . . . + (f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x− t)ⁿ

n! − f⁽ⁿ⁾(t)(x− t)ⁿ⁻¹ (n− 1)! ).

Detta ¨ar en s.k. teleskoperande summa i vilken termerna tar ut varandra, vilket betyder att vi har

g⁰(t) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x− t)ⁿ n! .

Vi ska nu anv¨anda Cauchys medelv¨ardessats (med b = x) p˚a funktionen g(t) och funk- tionen

h(t) = (x− t)ⁿ⁺¹, f¨or vilken det g¨aller att

h(x) = 0, h(a) = (x− a)ⁿ⁺¹, h⁰(t) =−(n + 1)(x − t)ⁿ. Cauchys medelv¨ardessats s¨ager d˚a att det finns ett ξ mellan a och x s˚adant att

−(f(x) − pⁿ(x))(n + 1)(x− ξ)ⁿ= (0− (x − a)ⁿ⁺¹)f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x− ξ)ⁿ n! . Detta kan vi skriva om som

f (x)− pn(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x− a)ⁿ⁺¹ (n + 1)! . D¨armed har vi visat f¨oljande sats.

Sats 7: Taylors formel

Om f ¨ar tillr¨ackligt m˚anga g˚anger deriverbar i en omgivning av punkten x = a g¨aller att

f (x) = pn(x) + R_n+1(x),

d¨ar pn(x) ¨ar Taylorpolynomet (2) av ordning n runt x = a och Rn+1(x) ¨ar en restterm som kan skrivas

Rn+1(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x− a)ⁿ⁺¹ (n + 1)!

f¨or n˚agot ξ ligger mellan a och x.

Om vi kr¨aver att den (n + 1):a derivatan av f ¨ar kontinuerlig f¨oljer att vi kan skriva resttermen p˚a den svagare formen

Rn+1(x) = B(x)(x− a)ⁿ⁺¹,

d¨ar B(x) ¨ar en begr¨ansad funktion n¨ara punkten x = a. Vi har nu f¨oljande sats.

Sats 8: Entydigheten f¨or Taylorutvecklingen

Om f (x) = qn(x) + B(x)(x− a)ⁿ⁺¹ d¨ar qn(x) ¨ar ett polynom i (x− a) av grad n och B(x) ¨ar begr¨ansad n¨ara x = 0 s˚a g¨aller att qn(x) ¨ar Taylorpolynomet.

Bevis. Om vi ers¨atter f (x) med sin Taylorutveckling och flyttar om lite s˚a inneb¨ar an- tagandet att vi har att pn(x)− qⁿ(x) = B(x)(x− a)ⁿ⁺¹ f¨or n˚agon funktion B(x) som ¨ar begr¨ansad n¨ara x = a. Skriv nu

qn(x) =

n

X

k=0

ak(x− a)^k.

Efter division med (x− a)ⁿ⁺¹ kan vi d˚a skriva

n

X

k=0

(f^(k)(a)

k! − a^k)(x− a)^k−n−1 = pn(x)− qn(x)

(x− a)ⁿ⁺¹ = B(x).

L˚ater vi h¨ar x → a s˚a ser vi att alla koefficienter i polynomet m˚aste vara noll, eftersom termerna annars blir obegr¨ansade. Och det f˚ar de inte bli eftersom h¨ogerledet ¨ar en

begr¨ansad funktion n¨ara x = a. 

N¨ar man utvecklar en funktion p˚a detta s¨att runt a = 0 talar man om Maclaurinut- vecklingar. Det ger oss polynomapproximationer av funktioner p˚a den vanliga formen Pn

k=1akx^k som ofta ¨ar anv¨andbara.

Vi avslutar detta avsnitt med att se hur detta kan anv¨andas till att ber¨akna vissa gr¨ansv¨arden genom att derivera t¨aljare och n¨amnare var f¨or sig. Vi b¨orjar med f¨oljande enkla observation: om f och g ¨ar deriverbara i punkten x = a kan vi skriva

f (x)

g(x) = f (a) + Af(x)(x− a) g(a) + Ag(x)(x− a).

Om vi nu dessutom antar att f (a) = g(a) = 0, s˚a att kvoten ¨ar 0/0 s˚a x = a, s˚a blir detta, efter att vi f¨orkortat med (x− a),

f (x)

g(x) = Af(x)

Ag(x) → f⁰(a) g⁰(a)

d˚a vi l˚ater x → a. Detta eftersom A^f(a) = f⁰(a) och motsvarande f¨or g Detta kallas L’Hospitals regel och f¨oruts¨atter naturligtvis att vi inte dividerar med noll, allts˚a att g⁰(a)6= 0.

Med hj¨alp av Taylorpolynomet kan vi generalisera detta. Antag att f och g ¨ar k + 1 g˚anger deriverbar i a och att

f (a) = f⁰(a) = . . . = f^(k−1)(a) = 0, g(a) = g⁰(a) = . . . = g^(k−1)(a) = 0, men att g^(k)(a)6= 0. D˚a g¨aller att

xlim→a

f (x)

g(x) = f^(k)(a) g^(k)(a).

Appendix

I det h¨ar kapitlet har vi diskuterat en del teori utan att klarg¨ora dess fundament. Detta diskuteras utf¨orligare p˚a andra st¨allen^[13] men en grov ¨oversikt ¨over det v¨asentliga ingre- dienserna kan vara nyttig. Om inte av andra sk¨al ¨an att det kanske ytterligare klarg¨or teorin som diskuterats ovan.

Analysen bygger p˚a att de reella talen ¨ar fullst¨andiga i n˚agon mening som inte ¨ar helt trivi- al att definiera, men i princip betyder att varje konvergent svit av tal har ett gr¨ansv¨arde som ¨ar ett reellt tal. Som j¨amf¨orelse g¨aller att de rationella inte ¨ar fullst¨andiga. T.ex.

g¨aller att vi kan bilda rationella tal xn genom att ta decimalutvecklingen av √

2 med n decimaler, f¨or vilka det g¨aller att xn→√

2 d˚a n → ∞, men gr¨anspunkten√

2 ¨ar inte en rationell punkt.

Det andra fundamentet f¨or analysen ¨ar begreppet kontinuitet. En funktion ¨ar kontinuerlig i en punkt a om det g¨aller att varje talf¨oljd xn → a avbildas p˚a en talf¨oljd f (xn) som ocks˚a konvergerar, och att den konvergerar mot f (a). Det ¨ar relativt l¨att att utifr˚an en l¨amplig omformulering av detta (det s.k. − δ-argumentet) visa n˚agra allm¨anna satser om kontinuerliga funktioner, s˚asom att om f och g ¨ar kontinuerliga en punkt a, s˚a ¨ar

¨aven f + g, f g och f /g det (i det sista fallet kr¨avs att g(a) 6= 0 eftersom man aldrig f˚ar dividera med noll!). En annan egenskap hos kontinuerliga funktioner ¨ar att om g

¨ar kontinuerlig i punkten a och f ¨ar kontinuerlig i punkten b = g(a) s˚a ¨ar funktionen h(x) = f (g(x)) kontinuerlig i punkten a. Dessa satser visas t¨amligen direkt utifr˚an den ordentliga definitionen av kontinuitet.

Den viktiga observationen som knyter ihop kontinuitet och de reella talens fullst¨andighet

¨ar nu den fundamentala satsen

Sats 9: Satsen om mellanliggande v¨arden

Om f ¨ar kontinuerlig p˚a intervallet [a, b] s˚a antar f varje v¨arde mellan f (a) och f (b).

Att bevisa denna sats kr¨aver att vi har gjort v˚art grundarbete ordentligt, och det har vi inte gjort. Att det ¨ar n˚agot som beh¨over g¨oras framg˚ar om vi betraktar funktionen f (x) = x² − 2 p˚a intervallet 0 ≤ x ≤ 2 men endast f¨or rationella tal x. D˚a g¨aller att f (0) < 0 och f (2) > 0 s˚a vi f¨orv¨antar oss att det ska finnas en l¨osning p˚a ekvationen f (x) = 0. Men det g¨or det inte: “l¨osningen” ¨ar ju x = √

2 och det ¨ar ju inte ett rationellt tal. Om vi d¨aremot betraktar funktioner f¨or reella tal s˚a har ekvationen en l¨osning. Vi ser h¨ar hur fullst¨andigheten av de reella talen och begreppet kontinuitet samverkar.

En annan sats som anv¨ands utan att refereras till ¨ar f¨oljande observation, som ¨ar en annan fundamental observation om samspelet mellan kontinuitet och fullst¨andigheten av de reella talen.

Sats 10

Om f ¨ar en kontinuerlig funktion p˚a det kompakta intervallet [a, b] s˚a antar f b˚ade ett st¨orsta och minsta v¨arde p˚a detta.

Men den sats som verkligen ¨ar grunden f¨or diskussionen i detta kapitel ¨ar medelv¨ardessatsen.

Vi har geometriskt motiverat den ovan. Men l˚at oss avsluta kapitlet med att visa hur den f¨oljer ur satsen om mellanliggande v¨arden.

Bevis (Av medelv¨ardessatsen). Antag att f ¨ar kontinuerlig p˚a det slutna intervallet [a, b]

och s¨att, f¨or h > 0,

A(x, h) = f (x + h)− f(x)

h , a≤ x ≤ b − h.

Vi b¨orjar d˚a med att dela in intervallet i tre lika stora delar: [a, a + h], [a + h, a + 2h], [a + 2h, b] d¨ar h = (b− a)/3. Vi har d˚a att

f (b)− f(a) = (f(b) − f(a + 2h)) + (f(a + 2h) − f(a + h)) + (f(a + h) − f(a))

= (A(a, h) + A(a + h, h) + A(a + 2h, h))h, s˚a

f (b)− f(a) b− a = 1

3(A(a, h) + A(a + h, h) + A(a + 2h, h)).

Men d˚a g¨aller att antingen ¨ar de tre termerna i h¨ogerledet lika (och d˚a lika med v¨ansterledet), eller s˚a ¨ar tv˚a av punkterna, kalla dem x1 och x2, intilliggande och s˚adana att

A(x₁, h)≤ f (b)− f(a)

b− a ≤ A(x2, h)

Vilken som ¨ar st¨orst av x1 och x2 spelar ingen roll, bara att de definierar ett intervall av l¨angden h. Kalla v¨anster ¨andpunkt av detta intervall f¨or a1 och h¨oger f¨or b1.

Enligt satsen om mellanliggande v¨arden finns det nu ett ξ mellan a1 och b1 s˚adant att

(3) A(ξ, h) = f (b)− f(a)

b− a .

Men nu kan vi forts¨atta detta: dela in det nya intervallet i 3 lika stora delar och tag h = (b− a)/3². Med exakt samma resonemang f˚ar vi d˚a ett intervall [a2, b2] av l¨angden (b− a)/3² s˚adant att det finns ett ξ i detta som uppfyller (3) f¨or h = (b− a)/3².

Genom att upprepa denna procedur f˚ar vi en svit av intervall [an, bn] av l¨angden (b−a)/3ⁿ s˚adana att det i detta finns ett ξns˚adant att (3) g¨aller med ξ = ξnoch h = hn= (b−a)/3ⁿ. Men (eftersom de reella talen ¨ar fullst¨andiga) d˚a m˚aste det finnas ett ξ s˚adant att ξn→ ξ d˚a n → ∞. Det ˚aterst˚ar d¨arf¨or bara att visa att om f dessutom ¨ar deriverbar s˚a g¨aller att

(4) lim

n→∞A(ξn, hn) = f⁰(ξ).

Men

A(ξn, hn) = f (ξn+ hn)− f(ξⁿ) hn

= f (ξn+ hn)− f(ξ) − (f(ξⁿ)− f(ξ)) hn

= A(ξ, ξn+ hn− ξ)(ξⁿ+ hn− ξ) − A(ξ, ξⁿ− ξ)(ξⁿ− ξ) hn

= (1− t)A(ξ, ξⁿ+ hn− ξ) + tA(ξ, ξⁿ− ξ), t = (ξ − ξⁿ)/hn,

som ¨ar ett tal som ligger mellan A(ξ, ξn+ hn− ξ) och A(ξ, ξⁿ− ξ) Men h¨ar g¨aller att A(ξ, ξn+ hn− ξ) → f⁰(ξ), och A(ξ, ξn− ξ) → f⁰(ξ) d˚a n→ ∞,

s˚a (4) ¨ar visad. D¨armed ¨ar medelv¨ardessatsen visad. 

Noteringar

1. Den moderna definitionen av kontinuitet ¨ar att det f¨or varje  > 0 finns ett δ > 0 s˚adant att om |x − a| < δ, s˚a g¨aller att|f(x) − f(a)| < .

2. Den intresserade kan sj¨alv bevisa detta utifr˚an den strikta definitionen av kontinuitet. Fr˚an det ¨ar det sedan enkelt att se att ett godtyckligt polynom ¨ar en kontinuerlig funktion.

3. Med en omgivning kring a menar vi ett intervall |x − a| < δ f¨or n˚agot δ > 0 4. Det visas med linj¨ar algebra. Determinanten f¨or systemet kallas Vandermonde determinanten och ges av

1 x₀ x²₀ . . . xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ . . . xⁿ₁ ... ... ... ... 1 x_n x²_n . . . xⁿ₀

=Y

j<k

(x_k− xj)

som inte ¨ar noll eftersom alla x_i:na ¨ar olika.

5. En utf¨orligare diskussion om derivatan finns i kapitlet Differentierbara funktioner.

6. Notera att x³− 0³ = x²(x− 0), s˚a A(x) = x².

7. En mer ing˚aende analys av medelv¨ardessatsen finns i kapitlet Differentierbara funktioner, som i sin tur refererar vidare till kapitel om kontinuerliga funktioner

8. Det ¨ar det negativa tecknet p˚a x som ¨ar avg¨orande!

9. Vi beh¨over egentligen inte anta att andraderivatan ¨ar kontinuerlig i n¨ara a. Vi har att f⁰(x)− f⁰(a) = A₁(x)(x− a), d¨ar A1(x) ¨ar kontinuerlig med f⁰⁰(a) > 0. Det f¨oljer av att vi antar att f⁰ ¨ar deriverbar i a. Men d˚a f¨oljer att f⁰(x) = f⁰(x)− f⁰(a) har samma tecken som x− a.

10. Vi anv¨ander h¨ar att om g(x) = f (a + x) s˚a g¨aller att g⁰(x) = f⁰(a + x). Kontrollera i definitionen av derivata att det ¨ar s˚a.

11. Se kapitlet Binomialsatsen och lite kombinatorik

12. Med en punkterad omgivning till a menas alla x s˚adana att 0 <|x − a| < δ f¨or n˚agot δ > 0 13. Se kursen Analysens grunder