Del II

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1912/SF1914/SF1915/SF1916 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 20:E DECEMBER 2018 KL 8.00–13.00.

Examinator f¨or SF1914/SF1916: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator f¨or SF1915: Bj¨orn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Examinator f¨or SF1912: Per-J¨orgen S¨ave-S¨oderbergh, 08-790 65 85.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen), minir¨aknare.

Tentamen best˚ar av tv˚a delar, ben¨amnda del I och del II. Del I best˚ar av uppgifterna 1-12. P˚a denna del skall endast svar anges, antingen i form av ett numeriskt v¨arde med tre v¨ardesiffrors noggrannhet eller i form av val av ett av de m¨ojliga svarsalternativen. Svaren p˚a uppgifterna i Del I (dvs uppgifterna 1-12) skall anges p˚a den bifogade svarsblanketten!

Studenter som ¨ar godk¨anda p˚a kontrollskrivningen beh¨over ej besvara uppgift 1-3, utan f˚ar till- godor¨akna sig dessa tre uppgifter. Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 9 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 8 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Del II best˚ar av uppgifterna 13-16 och varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang. Del II r¨attas bara f¨or studenter som ¨ar godk¨anda p˚a del I och po¨ang p˚a del II kr¨avs f¨or h¨ogre betyg ¨an E. P˚a denna del skall resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras och numeriska svar skall anges med minst tv˚a v¨ardesiffrors noggrannhet. Studenter som ¨ar godk¨anda p˚a datorlaborationen f˚ar 4 bonuspo¨ang p˚a del II p˚a ordinarie tentamenstillf¨allet och det f¨orsta omtentamenstillf¨allet.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Del I

Uppgift 1

P (A | B) = 0.2. P (B | A) = 0.4. P (B) = 0.5. Vad ¨ar P (A ∪ B)?

A: 0.65 B: 0.75 C: 0.85 D: 0.95

Uppgift 2

Tyko och hans syskon har f˚att en ask marmeladkulor som julklapp. Det finns tv˚a smaker, den ena sorten ¨ar gr¨ona kulor och den andra sorten ¨ar r¨oda. Tykos mamma har givit honom lov att ¨ata upp fyra kulor efter maten. Tyko vill v¨aldigt g¨arna ha lika m˚anga r¨oda som gr¨ona kulor. Tyko tar fyra kulor ur asken p˚a ett slumpm¨assigt s¨att. Ber¨akna sannolikheten att Tykos ¨onskan g˚ar i uppfyllelse om asken inneh˚aller sex gr¨ona och fyra r¨oda kulor.

A: 0.071 B: 0.296 C: 0.375 D: 0.429

Uppgift 3

L˚at X och Y vara stokastiska variabler s˚adana att D(X) = 2, D(Y ) = 3 och C(X, Y ) = −1.

Best¨am D(Z) d¨ar Z = 2X − Y + 1.

Uppgift 4

Tiden mellan tv˚a ¨oversv¨amningar i ett flodomr˚ade anses vara exponentialf¨ordelad med v¨antev¨arde 8 m˚anader. Ber¨akna medianen f¨or tiden mellan tv˚a ¨oversv¨amningar.

A: 5.545 B: 8.000 C: 8.693 D: 10.455

Uppgift 5

I en kvalitetskontroll av tillverkade enheter tas slumpm¨assigt 15 enheter ut och partiet avskiljs om mer ¨an 1 enhet ¨ar felaktig. Vad ¨ar konsumentrisken om felandelen i partiet ¨ar 0.10, dvs vad

¨ar sannolikheten att ett s˚a pass d˚aligt parti godk¨anns i kontrollen?

3

Uppgift 6

Vid ett reningsverk m¨ats dagligen syrekoncentrationen i vattnet (mg/l). M¨atningarnas resultat anses vara utfall av oberoende stokastiska variabler som f¨oljer N (µ, σ)-f¨ordelning d¨ar σ betecknar standardavvikelsen. F¨or en m˚anads m¨atningar blev summan av de 31 m¨atv¨ardena 69.70 och stickprovsvariansen 1.2772. Ange den ¨ovre gr¨ansen till det tv˚asidiga 95%-iga konfidensintervallet f¨or µ.

A: 2.59 B: 2.66 C: 2.64 D: 2.72

Uppgift 7

Antag att X ∈ N (0, 1). Best¨am konstanten a s˚a att P (|X| > a) = 0.10.

Uppgift 8

Antag att X ∈ f f g(p) d¨ar 0 < p < 1 ¨ar ok¨and parameter. Vi har tv˚a utfall av X, x₁ = 12 och x₂ = 19. Ta fram Minsta-Kvadrat skattningen av p med hj¨alp av dessa tv˚a utfall.

Uppgift 9

Antalet samtal som inkommer till ett kontor anses vara en stokastisk variabel som ¨ar Poisson- f¨ordelad med intensiteten 0.5 samtal per minut. Ber¨akna sannolikheten att det inkommer h¨ogst ett samtal till kontoret under en 5 min period.

A: 0.082 B: 0.205 C: 0.287 D: 0.503

Uppgift 10

Vid renovering av sovrum har man f¨oljande nollhypotes H₀: 4/9 av kunderna f¨oredrar bl˚aa tapeter, 3/9 f¨oredrar gr¨ona och resten vill ha gula. 33 kunder tillfr˚agas om vad de vill ha f¨or f¨arg p˚a tapeterna i sovrummet. Det visar sig att 19 kunder vill ha bl˚aa, 10 vill ha gr¨ona och resten vill ha gula.

A: H₀ kan varken f¨orkastas p˚a riskniv˚an 1% eller riskniv˚an 5%

B: H0 kan b˚ade f¨orkastas p˚a riskniv˚an 1% och riskniv˚an 5%

C: H₀ kan f¨orkastas p˚a riskniv˚an 1% , men inte p˚a riskniv˚an 5%

D: H₀ kan f¨orkastas p˚a riskniv˚an 5% , men inte p˚a riskniv˚an 1%

Uppgift 11

L˚at X_i, i = 1, 2, 3 vara oberoende stokastiska variabler med v¨antev¨arde µ och standardavvikelse σ.

Antag att µ skattas med µ^∗_obs = (x₁+ x₂+ 2x₃)/4 och σ skattas med stickprovsstandardavvikelsen s. L˚at utfallen p˚a X_i vara x₁ = 5, x₂ = 9 och x₃ = 7. Best¨am medelfelet f¨or skattningen av µ.

A: 0.866 B: 1.22 C: 2.00 D: 2.45

Uppgift 12

L˚at X_i, i = 1, . . . , 5 vara oberoende, Poissonf¨ordelade stokastiska variabler med v¨antev¨arde µ.

Med fem utfall p˚a Xi f˚ar man ¯x = 16. Ange nedre gr¨ansen till det ensidigt ned˚at begr¨ansade konfidensintervallet f¨or µ med den approximativa konfidensgraden 95%.

A: 12.49 B: 13.06 C: 14.43 D: 14.68

5

Del II

Uppgift 13

F¨ors¨akringsbolaget BilTrygg skriver f¨ors¨akringskontrakt med nya bilf¨orare enligt f¨oljande mo- dell: 50% av bilf¨orarna klassificeras som l˚agriskf¨orare, 30% som mediumriskf¨orare och resten som h¨ogriskf¨orare. Bolaget vet inte vilken kategori en bilf¨orare tillh¨or, men bed¨omer att f¨ors¨akringsbolaget beh¨over betala ut ers¨attning till 5% av l˚agriskf¨orarna det n¨armaste ˚aret. Motsvarande andel f¨or mediumriskf¨orarna ¨ar 10% samt f¨or h¨ogriskf¨orarna 20%.

a) Om f¨ors¨akringsbolaget har betalat ers¨attning till en p˚a m˚af˚a vald bilf¨orare under f¨oreg˚aende

˚ar, vad ¨ar d˚a sannolikheten att personen ¨ar en h¨ogriskf¨orare? (4 p) b) Best¨am sannolikheten att f¨ors¨akringsbolaget m˚aste betala ut ers¨attning till en p˚a m˚af˚a vald bilf¨orare under minst tv˚a av de n¨astkommande fem ˚aren. (6 p)

Uppgift 14

Av erfarenhet vet man att antalet d¨ack som m˚aste bytas ut under en vecka p˚a ett transportbolag har f¨oljande f¨ordelning:

Antal trasiga d¨ack en vecka 0 1 2

Sannolikhet 0.50 0.25 0.25

Ber¨akna med en l¨amplig och v¨almotiverad approximation sannolikheten att 40 d¨ack r¨acker f¨or transportbolagets f¨orbrukning under ett ˚ar. (Antag att ett ˚ar best˚ar av exakt 52 veckor). (10 p)

Uppgift 15

Antag att maximala v˚agh¨ojden p˚a ett visst st¨alle ett visst ˚ar beskrivs med en stokastisk variabel X med t¨athetsfunktionen

f_X(x) = ( x

θ e^−x22θ f¨or x ≥ 0 0 f¨or x < 0, d¨ar θ > 0 ¨ar en ok¨and parameter.

Man har under 8 ˚ar observerat f¨oljande maximala v˚agh¨ojder (i meter):

2.5 2.9 1.8 0.9 1.7 2.1 2.2 2.8.

a) Best¨am Maximum-Likelihood-skattningen av θ under f¨oruts¨attningen att de 8 uppm¨atta v˚agh¨ojderna kan anses vara utfall av oberoende observationer av X. (4 p) b) Ber¨akna med hj¨alp av skattningen av θ i a)-uppgiften 1000-˚arsv˚agens h¨ojd, med vilket menas en v˚agh¨ojd som ¨overtr¨affas i genomsnitt bara en g˚ang per 1000 ˚ar. (6 p)

Uppgift 16

L¨akemedel kan ge nedsatt salivk¨ortelproduktion, vilket ¨ar en riskfaktor f¨or karies och andra sjuk- domar i munh˚alan. P˚a 7 slumpm¨assigt valda patienter som alla fick samma medicin m¨atte man den s˚a kallade tuggstimulerade saliven. Resultat (ml/min):

1.06 0.65 0.70 0.27 0.86 1.11 0.38.

Normal m¨angd saliv under dessa f¨orh˚allanden ¨ar 1 ml/min. Som modell antog man att sa- livm¨angden ¨ar normalf¨ordelad med v¨antev¨arde µ och standardavvikelse σ, d¨ar σ anses vara 0.4 ml/min.

a) St¨odjer data v˚ar misstanke att medicinen s¨anker salivproduktionen? Svara p˚a fr˚agan genom att utf¨ora ett l¨ampligt test p˚a signifikansniv˚an α = 0.05. (3 p) b) Antag att medicinen ger upphov till det sanna v¨ardet 0.8 ml/min p˚a salivproduktionen. Hur stor ¨ar sannolikheten att man kommer att missa den nedsatta salivproduktionen med testet i

a)-uppgiften. (4 p)

c) Hur m˚anga patienter ska man m¨ata p˚a om man vill att testet i a-uppgiften ska uppt¨acka en nedsatt salivproduktion p˚a 0.7 ml/min med sannolikheten 0.90. . (3 p)

Avd. Matematisk statistik

L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG TENTAMEN I SF1912/SF1914/SF1915/SF1916 SANNOLIKHETSTEO- RI OCH STATISTIK.

TORSDAGEN DEN 20:E DECEMBER 2018 KL 8.00–13.00.

Uppgift 1

Multiplikationssatsen ger att P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = 0.2 · 0.5 = 0.1 Vidare har vi fr˚an definitionen av betingad sannolikhet

P (B|A) = P (B ∩ A)

P (A) ⇔ P (A) = P (A ∩ B) P (B|A) = 0.1

0.4 = 0.25 Till sist ger additionsformeln

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.25 + 0.50 − 0.10 = 0.65

Uppgift 2

L˚at X st˚a f¨or antal gr¨ona marmeladkulor vid urvalet. Eftersom Tyko ¨ater upp kulorna drar vi kulorna utan ˚aterl¨aggning. Om Tyko f˚ar tv˚a gr¨ona kulor n¨ar han tar ut fyra kulor, s˚a m˚aste han f˚a tv˚a gr¨ona och tv˚a r¨oda vilket ¨ar vad han ¨onskar.

P (X = 2) =

4 2

₆

2

10 4

= 6 · 15 210 = 3

7 = 0.429

Uppgift 3

V (Z) = V (2X − Y + 1)

= V (2X − Y )

= 4V (X) + V (Y ) − 2 · 2 · C(X, Y )

= 4 · 4 + 9 − 2 · 2 · (−1)

= 29 Allts˚a blir D(Z) = √

29 = 5.39.

Uppgift 4

F¨ordelningsfunktionen f¨or exponentialf¨ordelningen med v¨antev¨arde ˚atta ges som F_X(x) = 1−e^−x8. Medianen ¨ar l¨osningen till ekvationen F_X(x) = ¹₂. Allts˚a l¨oser vi

1 − e^−x8 = 1

2 ⇔ x = (−8)(− ln 2) = 5.545

Uppgift 5

L˚at X=antal felaktiga enheter i partiet. Vi k¨anner inte till partiets storlek, s˚a vi kan inte ber¨akna den exakta sannolikheten med hj¨alp av den hypergeometriska f¨ordelningen. D¨arf¨or g¨or vi en bi- nomialapproximation av f¨ordelningen f¨or X. D˚a ¨ar X ∈ Bin(15, 0.1).

P (partiet godk¨anns) = P (X ≤ 1) = [se tab 6 : n = 15, p = 0.1, x = 1] = 0.549 Uppgift 6

Ett 95%-igt konfidensintervall f¨or µ d˚a ett stickprov betraktas som observationer p˚a N (µ.σ) ges som

P31 i=1xi

n ± t_0.025(n − 1) s

√n D˚a n = 31, s² = 1.2772 och P31

i=1x_i = 69.70, samt t_0.025(30) = 2.04 blir den ¨ovre gr¨ansen f¨or µ 69.70

31 + 2.04

√1.2772

√31 = 2.662

Uppgift 7

Vad betyder olikheten |X| > a? Den betyder att X < −a eller att X > a. Eftersom X ¨ar symmetrisk, s˚a r¨acker det att best¨amma den ena av dessa. Vi v¨aljer den sista. Den m˚aste vara 5%

eftersom den ¨ar endast halva biten. Ur en tabell hittar vi 5%-kvantilen λ_0.05 = 1.6449. V¨aljer vi a = 1.6449 blir det r¨att.

Uppgift 8 V¨antev¨ardet i ffg-f¨ordelningen ¨ar 1/p. D¨arf¨or blir

Q(p) =

 x1− 1

p

2

+

 x2− 1

p

2

=

2

X

i=1

 xi− 1

p

2

d

dpQ(p) =

2

X

i=1

2

 x_i− 1

p

  1 p²



= 0 ⇔

2

X

i=1

 x_i− 1

p



= 0 ⇔

2

X

i=1

x_i = 2

p ⇔ p^∗_obs = 2 P2

i=1x_i D˚a P2

i=1x_i = 31 har vi att p^∗_obs = 2/31.

Uppgift 9

L˚at X=antalet h¨andelser under tiden t. D˚a ¨ar X ∈ P o (λt) Tiden m¨ats i minuter, s˚a t = 5.

Intensiteten per minut ¨ar λ = ¹₂. D¨arf¨or ¨ar X ∈ P o ⁵₂

P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1)

= e⁻⁵² + e⁻⁵² 5 2

= e⁻⁵²

 1 + 5

2



= e⁻⁵²7 2

= 0.287

3

Uppgift 10

Situationen ¨ar den som beskrivs i avsnitt 13.10 a) Test av given f¨ordelning. Vi har att r = 3 och n = 33. Dessutom ¨ar x₁ = 19, x₂ = 10 och x₃ = 4. Slutligen ¨ar p₁ = ₉⁴, p₂ = ³₉ samt p₃ = ²₉. Detta ger

Q_obs =

3

X

j=1

(x_j − np_j)² npj

= 19 − 33 ·⁴₉
2

33 ·⁴₉ + 10 − 33 · ³₉
2

33 ·³₉ + 4 − 33 · ²₉
2

33 ·²₉ = 2.886364

5%- och 1%-kvantilerna p˚a χ²-f¨ordelningen med r − 1 = 2 frihetsgrader ¨ar 5.99 och 9.21. Allts˚a kan vi inte f¨orkasta H₀ p˚a vare sig 1%- eller 5%-niv˚an.

Uppgift 11

V (µ^∗_obs) = V  X₁+ X2+ 2X3

4



= 1

16(V (X₁) + V (X₂) + 4V (X₃))

= 1

16 σ²+ σ²+ 4σ²

= 3 8σ² Allts˚a blir

D (µ^∗_obs) = r3

8σ Vi uppskattar σ med s, s˚a att d (µ^∗_obs) =

q3 8s.

D˚a x₁ = 3, x₂ = 5 och x₃ = 7 blir P3

i=1(x_i− x)² = 2² + 2² = 2 2². Eftersom n = 3 blir s² =P3

i=1(x_i− x)²/2 = 2² och s˚aledes s = 2. Allts˚a blir d (µ^∗_obs) =

r3 8s =

r3 8 · 2 =

r3

2 = 1.22 Uppgift 12

x − λ_0.05 rx

n = 16 − 1.6449 r16

5 = 13.06 Uppgift 13

a) Vi inf¨or beteckningarna

E = ”F¨ors¨akringsbolaget betalar ut ers¨attning”, samt

L = ”L˚agriskf¨orare”, M = ”Mediumriskf¨orare” samt H = ”H¨ogriskf¨orare”.

Vi vet fr˚an uppgiftsformuleringen att P (L) = 0.50, P (M ) = 0.30 samt P (H) = 0.20. Vidare g¨aller det att P (E|L) = 0.05, P (E|M ) = 0.10 samt P (E|H) = 0.20. Med hj¨alp av Bayes sats f˚as

P (H|E) = P (H)P (E|H)

P (L)P (E|L) + P (M )P (E|M ) + P (H)P (E|H)

= 0.20 · 0.20

0.50 · 0.05 + 0.30 · 0.10 + 0.20 · 0.20 = 0.4210526316 Svar: Sannolikheten att en p˚a m˚af˚a vald bilf¨orare som f¨ors¨akringsbolaget betalat ut

ers¨attning till under f¨oreg˚aende ˚ar ¨ar en h¨ogriskf¨orare ¨ar 42.1%.

b) Sannolikheten att f¨ors¨akringsbolaget m˚aste betala ut ers¨attning beror p˚a om f¨oraren ifr˚aga

¨

ar l˚agriskf¨orare, mediumriskf¨orare eller h¨ogriskf¨orare. F¨or en l˚agriskf¨orare ges antalet ˚ar som bolaget beh¨over betala ut ers¨attning under de n¨astkommande fem ˚aren av en Bin(5, 0.05)- f¨ordelad stokastisk variabel X_L. P˚a liknande s¨att ges antalet ˚ar som bolaget beh¨over betala ut ers¨attning till en mediumriskf¨orare av en Bin(5, 0.1)-f¨ordelad stokastisk variabel XM och antalet ˚ar som bolaget beh¨over betala ut ers¨attning till en h¨ogriskf¨orare av en Bin(5, 0.1)- f¨ordelad stokastisk variabel X_H. L˚at X beteckna antalet ˚ar som bolaget beh¨over betala ut ers¨attning till en godtyckligt vald bilf¨orare. Lagen om total sannolikhet ger d˚a

P (X ≥ 2) = P (X ≥ 2|L)P (L) + P (X ≥ 2|M )P (M ) + P (X ≥ 2|H)P (H)

= P (X_L ≥ 2)P (L) + P (X_M ≥ 2)P (M ) + P (X_H ≥ 2)P (H).

Med hj¨alp av sannolikhetsfunktionen f¨or binomialf¨ordelningen f˚as P (X_L ≥ 2) = 1 − P (X_L≤ 1) = 1 −5

0



0.05⁰0.95⁵−5 1



0.05¹0.95⁴ = 0.02259, och p˚a analogt vis P (X_M ≥ 2) = 0.08146 samt P (X_H ≥ 2) = 0.26272. Sammanfattningsvis f˚as

P (X ≥ 2) = 0.02259 · 0.5 + 0.08146 · 0.3 + 0.26272 · 0.2 = 0.08828.

Svar: Sannolikheten att f¨ors¨akringsbolaget m˚aste betala ut ers¨attning till en p˚a m˚af˚a vald bilf¨orare under minst tv˚a av de fem n¨astkommande ˚aren ¨ar 8.8%.

Uppgift 14

a) Om X=”antalet trasiga d¨ack under en vecka” s˚a g¨aller att

E(X) =

3

X

k=1

kp_X(k) = 0 · 1

2+ 1 · 1

4+ 2 · 1

4 = 0.75

E(X²) =

3

X

k=1

k²p_X(k) = 0²·1

2 + 1²· 1

4 + 2²· 1

4 = 1.25 V (X) = E(X²) − (E(X))² = 1.25 − 0.75² = 0.6875

5

b) F¨or en vecka har vi att X_i=”antalet trasiga d¨ack under vecka i” med E(X_i) = µ = 0.75 och V (X_i) = σ² = 0.6875.

Totalet antalet trasiga d¨ack under 52 veckor ¨arP52

i=1Xi. Eftersom vi summerar m˚anga oberoende stokastiska variabler, alla med samma f¨ordelning, g¨aller enligt centrala gr¨ansv¨ardessatsen:

52

X

i=1

X_i ≈ N 52 · µ,

√

52 · σ²

= N

52 · 0.75,√

52 · 0.6875

P

52

X

i=1

X_i ≤ 40

!

= P

P52

i=1Xi− 52 · 0.75

√52 · 0.6875 ≤ 40 − 52 · 0.75

√52 · 0.6875

!

= Φ (0.17) = 0.5675

Uppgift 15

a) Varje enskild observation x_i antas utg¨ora en observation p˚a en stokastisk variabel X_i med t¨athetsfunktionen

fX(x) = x

θ e^−x22θ, x ≥ 0 D˚a blir likelihooden en funktion i θ:

L(θ) = f_X1(x₁) f_X2(x₂) · · · f_Xn(x_n)

= x₁

θ e^−x22θ1 x₂

θ e^−x22θ2 · · ·x_n θ e^−x22θn

= θ⁻ⁿ

n

Y

i=1

x_i

! e⁻

Pn i=1 x2

i 2θ

Logaritmering och derivering med avseende p˚a θ ger ln L(θ) = −n ln θ + ln

n

Y

i=1

x_i

!

− Pn

i=1x²_i 2θ d

dθ ln L(θ) = −n θ + 1

2θ²

n

X

i=1

x²_i = 0 ⇔ θ =

Pn i=1x²_i 2n Fr˚an data har vi att Pn

i=1x²_i = 38.62. D˚a blir θ^∗_obs =

Pn i=1x²_i

2n = 38.62

2 · 8 = 2.418125 b) H¨ojden p˚a 1000-˚arsv˚agen ¨ar h¨ojden h s˚adan att P (X > h) = ₁₀₀₀¹ .

P (X > h) = Z ∞

h

x

θ e^−x22θdx

= h

−e^−x22θi^x=R

x=h

= −e^−R22θ + e^−h22θ

→ e^−h22θ d˚a R → ∞.

Allts˚a ska vi l¨osa ekvationen e^−h22θ = ₁₀₀₀¹ i h.

−h²

2θ = − ln 1000 ⇔ h² = 2θ ln 1000 ⇒

h = √

2θ ln 1000

Vi uppskattar h med hj¨alp av ML-skattningen fr˚an a). Detta ger h^∗_obs =p2θ^∗_obsln 1000 =p

2(2.418125) ln 1000 = 5.78

Uppgift 16

a) De sju m¨atningarna x₁, . . . , x₇¨ar observationer av X=”salivproduktion”; X ∈ N (µ, 0.4). Intres- santa hypoteser ¨ar H₀ : µ = 1 mot H₁ : µ < 1. H₀ f¨orkastas p˚a niv˚a α om (x − 1) /

0.4√ 7



< −λ_α vilket ¨ar ekvivalent med att x < 1 − λ_α^√0.4

7 = k. Med α = 0.05 f˚as λ_0.05= 1.65 och k = 1 − 1.65^√0.4

7 = 0.751. Eftersom x = 0.719 g¨aller att x < k och H₀ f¨orkastas p˚a niv˚a 0.05. Ja, data st¨oder miss- tanken att l¨akemedlet minskar salivproduktionen.

b) Testets styrkefunktion ger

P (missa nedsatt salivproduktion | µ = 0.8) = P (ej f¨orkasta H₀ : µ = 1 | µ = 0.8)

= P



X > 1 − 1.650.4

√7| µ = 0.8



= P



X > 0.751 | X ∈ N



0.8, 0.4

√7



= 1 − Φ 0.751 − 0.8

0.4√ 7

!

= Φ(0.32) = 0.626

c) Best¨am n s˚a att P (uppt¨acka nedsatt salivproduktion | µ = 0.7) = 0.90. Men

P (uppt¨acka nedsatt salivproduktion | µ = 0.7) = P (f¨orkasta H0 : µ = 1 | µ = 0.7)

= P



X < 1 − 1.650.4

√7| µ = 0.7



= P



X < 0.751 | X ∈ N



0.7, 0.4

√n



= Φ 0.751 − 0.7

√0.4 n

!

D˚a detta uttryck ska vara lika med 0.90 inneb¨ar det att 0.751 − 0.7

√0.4 n

= λ_0.10

7

vilket ger

n =



λ_0.10· 0.4 0.751 − 0.7

2

= 100.8 Man m˚aste ha 101 patienter.