Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

1

Uppföljning av

diagnostiskt prov

HT-2016

2

Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen

1.

Räknefärdighet 1 – 7

2.

Algebra, ekvationer 1 – 7, 8 – 10

3.

Koordinatsystem, räta linjer 8 – 10

4.

Funktionerna ln x och

e

^x. 11 – 17

5.

Trigonometri 18 – 21

Repetitionen, om den görs på egen hand, bör göras enligt följande tabell:

Uppgifter på diagnostiska provet Avsnitt i repetitionsmaterialet (*)

1-7 Kap 1 - 2.2

8-10 Kap 2.5, Kap 3

11-17 Kap 4

18-22 Kap 5

(*)

De som följer den lärarledda uppföljningen får instruktioner i samband med denna.

3 Uppföljning av diagnostiskt prov ITN – HT 2016

Sixten Nilsson Planering

Onsdagar 13-17

Innehåll (ungefärligt)

Uppgifter I Görs här!

Uppgifter II Görs här och

hemma!

Inlämnings- uppgifter Onsd 14/9

TP 51

Bråkräkning, kvadratrötter, potenser

1, 2, 3a, 4ab, 5ab, 6, 8abcd, 10abcd, 11, 12, 13ad, 14ab, 15, 16, 18ab, 19ac, 20, 21, 22ab, 23ab, 24, 25

3bc, 4c, 5c, 7, 8efgh, 9, 10ef, 14cd, 17, 18cd, 19bd, 22cd, 23c

Delas ut ca 16.00.

Lämnas senast fredag 16/9

Onsd 21/9 TP 51 OBS 13-15

Algebra (räkneregler m.m.)

26bc, 27bcef, 28ac, 30abcd, 31abc, 32ac, 33abce, 34abcdefg, 35ab, 37abd, 38abd

26ad, 27ad, 28bd, 29abcde, 30ef, 31def, 32b, 33df, 36ab, 37cef, 38cef

Delas ut ca 14.30.

Lämnas senast fredag 23/9 Onsd 28/9

TP 51

Algebra,

ekvationer m.m.

39a, 40a, 41a, 42ac, 43c, 44abcd, 45abceg, 46ace, 47a, 48ab, 50, 51a

39bc, 40b, 41bc, 42b, 43ab, 45dfhi, 46bdf, 47bc, 51bc, 52, 53

Delas ut ca 14.30 Lämnas senast fredag 30/9

Onsd 5/10 TP 51

Koordinatsystem, räta linjer,

naturliga logaritmen, exponential- funktioner

54abcd, 55, 57ad, 58b, 59a, 60ac, 63a, 64abc, 65abc, 66abcd, 67abcd, 68ab, 69a, 71ab, 71ab

57bce, 58acd, 59bcd, 60bd, 61bd, 62ab, 63bc, 69b, 70ab, 71cd

Delas ut ca 16.00.

Lämnas senast fredag 7/10

Onsd 12/10 TP 52

Trigonometri 73, 74, 75abc, 76ab, 77ac, 78, 79, 80, 81ab, 83ac, 84bc, 87abc, 88abd, 89abc, 90abc, 91abc, 93ab, 95bc

75de, 76c, 77bd, 81c, 82, 83a, 84a, 85ab, 86ab, 88c, 89d, 92abc, 93c, 94ab, 95ad

Delas ut ca 16.00.

Lämnas senast fredag 14/10

Inlämningsuppgifter (fyra omgångar) skall lösas gruppvis med två eller tre medlemmar i varje grupp, och lämnas senast fredagen i samma vecka som

undervisningstillfället (se ovan). Inlämningsuppgifterna kommer att delas ut ca kl

16.00 vid de fyra första tillfällena.

4 1. Räknefärdighet

1.1 Bråkräkning

1. Beräkna och beskriv vilka prioriteringsregler som används.

a) 623 b) (62)3 c) 7 2

14 8



 d)

7 14 2 8

2. Faktorisera i primtalsfaktorer

a) 12 b) 22 c) 32 d) 72

3. Bestäm minsta gemensamma nämnare till bråken a) 12

1 och 22

1 b)

32 1 och

48 1

c) Ordna nedanstående tal i storleksordning med det minsta talet först.

72 , 7 54 , 5 9 1

4. Beräkna och skriv svaret i enklaste form (med minsta möjliga nämnare).

a) 6

5 4 1 9

4  b)

10 8

1 27

4 15

2

 

 c)

9 1 42

1 14

1  

5. Utför multiplikationerna och svara i enklaste form.

a) 2

1 2 3 3

4  b)

4 9 18

7 21

12  c)

12 38 30 24 95

144  



6. Beräkna och skriv på enklaste form.

a) 6

5 8

3 b)

4 1 4 3 9 4

 c)

4 6 3 8 2 5

7. Beräkna och skriv på enklaste form.

a)

28 3 21

2 8 3 4 1





b) 3 1 1 2

5 1 3





c)

7 51 3 21 4 21 

1.2 Kvadratroten ur a, a  0 och n:te roten ur a (

ⁿa

).

8. Förenkla

a) 5 49 4³ 1252



11



² b) 2 64363 169144 c)

25

49 d) 18  4

e) ³ 27

1000 f) ³1000

g) ⁵32 162 h)



³ 27

 

²  16

  

³  ⁵ 8 ⁵ 9. Bestäm x, x 0, om

5

a) x5 b) ³x3 c) ⁵x2

10. Förenkla så långt som möjligt. Skriv svaret utan kvadratrot i nämnaren. (Tips: Förläng eventuellt med nämnarens konjugatuttryck.)

a) 2

1 b)

1 2

1 2



 c)

1 3

3 2



d) 6

1 6 3

1 

 e) 5

1 5

8 

 f)

8 1 2 5 2

1 



1.3 Potenser

11. Ange värdet på det tal som i potensform har

a) basen 2 och exponenten 5 b) basen 9 och exponenten 3 12. Beräkna

a) 3 ² 3³ b) 3 ² 3³ c) 3 ² 3³ d) ₃

2

3 3

13. Beräkna

a) _{3 3}

4 2

5 3

3 5



 b)

 

 

²

3 3

2 3

2

 c) ₂

4 5 2

3 2 2 3

  d) _{3 2 2}

3 2

) 7 5 (

) 7 5 (











14. Skriv (om det går) som en potens med basen 3 a) 3²



27^1



² b) _{8 0 7}

3 2

) 18 ( 3

) 3 ( 9



 ^{ }

c) ^ 

 2

1 3

243 ) 81

( d)

 

2 4

6 3 2 

15. Förenkla

a) (3)² b) (1)¹⁰ c) (1)²⁷ d) (2)^3 e) 4^14³4^4till en potens av 2

16. Beräkna och skriv i bråkform

a) 3^22² b) 5⁰5^25^3

17. Beräkna värdet av 3x^3y^zom x2, 2

1

y och z2.

18. Beräkna

a) 49¹² b) ¹³ ₁₄

81

125^  1 c) 8^23 d) 1000 ⁴³

19. Skriv som en potens av 2

a) 8¹³ b) 32^23 c)

 

8 ⁴³ d)

5 1 3 32

1 ^









6 2. Algebra

2.1 Potenser

20. Förenkla så långt som möjligt

b) a ² a³ b) a ² a³ c) b ² b³ d) ₃

2

x x

21. Förenkla b) _{3 3}

4 2

a b

b a



 b)

 

 

²

3 3

x y

x

 c) ₂

4 5 2

 

x y y

x d) _{3 2 2}

3 2

) (

) (









 b a

b a

22. Skriv (om det går) som en potens med basen a multiplicerad med en konstant.

b) a^2

  

a^{3 1}



² b)

 

^{0 7}

8

3 2 2

) 6 (

) (

a a

a a



 ^{ }

c)

   

 

^{ }



5 2 3 1 4

a

a d)

 

 

²

4

3 2 a a

23. Förenkla till en potens av a.

a) ( a )² b) (a)^3 c)

     

a^{2 1} a^{2 3} a^{2 4} 24. Förenkla och skriv som ett rationellt uttryck

a) x^2y² b) x⁰x^2x^3

25. Skriv som en potens av a

a)

 

^{a313 b)}

 

a^{5 23} c)

 

^{a3 43 d)} ₃¹_{5 }^15









 a

2.2 Räkneregler, konjugatregeln, kvadreringsreglerna, faktorisering, rationella uttryck.

26. Skriv som en summa

a) 



 



 



 



 

3 2 1

2 1 x

x b) 



 



 



 



 

4 3 8 1

3 s

s

c) (ab)(a²abb²) d) (ab)(a²abb²) 27. Skriv som en summa

a)

2

3 2 5

3 



 



  x b)

2

5 3

2 



 



 x

c) (2y1)(2y1) d)



6 2



6 2



e)



2 31



2 31



f) 



 



 



 



 

5 3 5

3 x

x

28. Skriv som en summa

a) (32x)(2x3) b) (s4)(4s)

c) 



 



 



 



  1

2 3 2

1 3x x

d) (10,1x)(0,1x1)

7

29. Skriv som en summa.

a) (abc)² b) (abc)² c)

2

3

2 



 



  y z x

d) (12x)³ e)

3

3 1



 



y

30. Undersök om följande uttryck kan delas upp i faktorer. Utför faktoriseringen där så är möjligt a) y ² 4x² b) x³2x²x

c) x⁴2x³x² d) a(xy)b(xy) e) acbcab f) x(ab)y(ab) 31. Förenkla

a) 3 3 15 x

b) x y x

6 3

3 15



 c)

8 4

12 x d) xy x

x 8 4

12

 e)

5 13

2  x

x f)

y y

y 4 9

17

2 

32. Förenkla

a) 2 8

8 2

2  

 x x

x b)

ab b a

ab 9 7

2

2  c)

4 2

8 4 2

3

2 ^{2 2}











 x

x x x x

33. Förenkla de rationella uttrycken a) 1 (2 3)

) 1 ( ) 3 2 (









 x

x

x b) _{2 2}

2 2

) (

y x

xy y x





 c)

x x



 1

2 1

d) _{2 2}

2 2

4 9

4 12 9

y x

y xy x





 e)

x ax

x x a





2 3 2

f) ₂

2 3

t t

t t





34. Förenkla

a) a b

a

 

1 b)

x x x

x   

 ²

1 1 1

3 c) _^











 













 

y x

x y

x 1 1

1

d) 1 1





y x y x

e)

2 2

1 1

1 1

b a

b a





f)

p p p

1 3 2 3 3







g) h

x h x )^{2 2}

(  

35. Skriv om till ett uttryck med kvadratrot bara i täljaren.

a) 1

1



 x

x b)

1 1



 x

x c)

x x 1

1

2

36. Skriv om till ett uttryck med kvadratrot bara i täljaren.

a) 1

1



 x

x b)

1

2 1



 x x

8 2.3 Kvadratkomplettering

37. Kvadratkomplettera polynomen

a) x²3x1 b) x²9x20 c)

10 1 5

2 3x x

d) 2

2 x

x 

 e) 3x²2x1 f) 2x²5x2

38. Bestäm eventuella största eller minsta värden för polynomen i uppgift 37 ovan.

Ange också för varje polynom det x-värde för vilket respektive extremvärde antas.

2.4 Faktorsatsen, polynomdivision

39. Bestäm kvoten och resten vid division av p(x) med q(x) om

a) p(x)x²2x3, q(x)x1 b) p(x)x³5x²x1, q(x)x3 c) p(x)9x³2x², q(x)x3

40. Skriv följande rationella uttryck som en summa av ett polynom och ett rationellt uttryck.

a) 2

2 1





 x

x

x b)

3 5 17 ²



 x

x

41. Visa att polynomet

a) f(x)x⁶2x⁵x³x3 har en faktor x1 b) g(x)x⁷128 har en faktor x2

c) h(x)x⁴⁷5x⁷³4x¹¹ är delbart med x1 42. Faktorisera i förstagradsuttryck

a) p1(x)x³2x²5x6

b) ³

2

2( ) 8x x4 x

x

p   

c) p3(x)13x²44xx³32

2.5 Ekvationer

43. Lös ekvationerna a) 4x155x3

b) x x x

3 2 5

1 3

14   

c) 4(2x3)3(2x)2(1x)

44. Lös ekvationerna (tänk på att alla är s.k. nollprodukter).

a) (x3)(2x)0 b) (2x1)(23x)0 c) 9x(2x1)0

d)



84



0

2 2 1 ) 1

(   



 



 

 x x

x

9

45. Lös ekvationerna

a) 2x² 6x30 b) 12x9x² 4 c) 4x(x3)7 d) 242 33



 x

x e) 3x² 129x f) 11x122x²

g) 1

2 3   x

x h)

1 4 2

3

 

 x

x

x i)

1 1 3 2

2



 

 x

x x x

46. Konstruera en andragradsekvation som har lösningarna (rötterna) a) x5 eller x2

b) x10 eller x20 c) x1  2 eller x1  2 d) x1  5 eller x1  5 e) dubbelroten x3 f) dubbelroten x1  2

47. Sök alla reella rötter till ekvationerna

a) x⁴14x²450 b) (x²1)²2(x²1)8 c) x⁶ 98x³

48. Sök alla reella rötter till ekvationerna

a) x³2x²x20 b) x³8x5x²4 49. Faktorisera i förstagradsuttryck polynomet

a) p1(x)x³2x²5x6 b) ³

2

2( ) 8x x4 x

x

p   

c)p3(x)13x²44xx³32

50. Visa att ekvationen x³6x² 3x100 har lösningen x1. Bestäm därefter ekvationens övriga lösningar.

51. Lös ekvationerna

a) x³2x10 b) 2x³5x30 c) x³2x² 6x90

52. Polynomet p(x)x³ 5x²8x48 är givet. Ekvationen p(x)0 har en dubbelrot x4. Bestäm alla rötter till ekvationen.

53. Lös ekvationerna

a) 14x4x1 b) 3x + 2x2

c) x 3x7 1

10 3. Koordinatsystem, räta linjer

54. Rita linjen som har ekvationen 2



x

y b) y2 x 3 c) y2 d) x2 55. Ange tre punkter på linjen med ekvationen y10 x 4.

56. Rita linjerna med ekvationerna nedan i samma koordinatsystem.

a) 2xy10 b) x2y4 c) y2 x 1 57. Bestäm en ekvation för den räta linje som går genom punkterna

a) (1,2) och



1,4



b) (1,2) och



1,4



c) (3,5) och



1,4



d)



2 , 200



och



13 , 200



e)



120,300



och



13 , 200



58. Bestäm en ekvation för den räta linje som har den givna riktningskoefficienten, k, och som går genom den angivna punkten.

a) k2 och punkten är (1,1) b) k4 och punkten är (  2, 1)

c) 3

 1

k och punkten är (3,1)

d) 5

2

k och punkten är (40,30)

59. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan linjerna a) y2 x 1 och y2 x 2

b) y2 x 1 och y3 x 2 c) y2 x 1 och 2

2



 x y

d) y2 x 1 och 30xy20

60. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan koordinataxlarna och linjen a) y4 x 5

b) 3x4y8 c) x2 d) y500

61. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan linjen y4 x 5 och linjen

a) y4 b) y 3 c) x2 d) x10

62. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan linjen y5 x 8 och linjen a) xy0 b) 10x2y16 0

63. Bestäm (valfria) värden på konstanterna a, b och c så att den räta linjen axbyc0blir a) parallell med linjen y3 x 8.

b) parallell med yaxeln c) parallell med x axeln

11 4. Funktionerna ln x och e .

^x

64. Förenkla

a) ln2ln4 b) ln12ln3 c) ln3³ 3 ln1 9

ln  

65. Förenkla

a) ln e ² b)

e e1 ln

ln  c) lne^e

66. Lös ekvationerna

a) ln x 3 b) ln(2x)2 c) ln(x1)1 d) ln(x1)1 67. Lös ekvationerna

a) e^x4 b) e^9x 1 c) e^3x12 d) e^4x31 68. Lös ekvationerna

a) ln (x + 3) - ln (x + 1) = ln 2 b) 2 ln (x + 2) = ln x + 2 ln 3 69. Bestäm definitionsmängderna till uttrycken

a) x

x 2

ln b) ln(x² x2)

70. Bestäm lösningsmängden till olikheterna

a) ln(2x3)ln(52x) b) ln(x²6)lnx

71. Antag att e^x 2 och e^y 8. Förenkla så långt som möjligt

a) e^xy b) e^2x c) e^xy d) e^{4 x2y} 72. Förenkla följande uttryck (inte samma x och y som i föregående uppgift)

a) _xy

y x

e e e

 2 

b)

1 2

2 













y x

y x

e e

e e

12 5. Trigonometri

73. Rita ett koordinatsystem med en enhetscirkel som har medelpunkt i origo. Markera en godtycklig punkt ( ba, )på enhetscirkelns rand och utnyttja denna punkts koordinater för att definiera cosinus, sinus och tangens för ett reellt tal x . Finns det något eller några x som respektive funktion INTE gäller för?

74. Ange ett samband mellan radianer och grader (1 varv = 360 ). ^ 75. Skriv om till radianer

a) 0 ^ b) 30 ^ c) 45 ^ d) 60 ^ e) 90 ^ 76. Skriv om till radianer

a) 120 ^ b) 180 ^ c) 360 ^ 77. Skriv om till grader

a) 3

π b)

3

4π c)

12

π d)

4 5π

78. Bestäm cos , v sinvoch tanvom 6 ,5 4 ,3 3 ,2 ,2 ,3 ,4 ,6

0 π π π π π π π

v  respektive v π.

79. Ange additions- och subtraktionsformlerna för cosinus och sinus.

80. Visa formlerna för cos2v och ^sin2v genom att använda resultatet i uppgift 79.

81. Bestäm de exakta värdena på återstående trigonometriska funktionerna då a) cos α = 3/5 och α ligger i första kvadranten.

b) sin α = 7/25 och α ligger i andra kvadranten.

c) tan α = 3 och α ligger i tredje kvadranten.

82. Bestäm exakta värden för sin15^, cos15^och tan15^. Ledning: 15^ 45^30^

83. Förenkla följande uttryck

a) 



 



 





 



  π x

π x

sin 3 sin 3

b) 



 



 





 



  π x

π x

cos 6 cos 6

c) 



 



 





 



  π x

π x

sin 4 cos 4

84. Bevisa följande trigonometriska formler

a) α

α

2

2 1 tan

cos

1   b) α

α

2

2 1 cot

sin

1   c)

α

α α₂

tan 1

tan 2 2

tan  

13

85. a) α är en vinkel i andra kvadranten, sinα= 4/5. Bestäm sin2α och sin2α. b) cos = 1/3 . Bestäm α cos2αom α är en vinkel i första kvadranten.

86. Bevisa följande trigonometriska formler

a) 2

cos 1 sin²α2  α

 b)

2 cos 1 cos² 2α  α



87. Rita, med enhetscirkeln som utgångspunkt, en relevant figur som illustrerar lösningsmängden till ekvationen

a) sinx a b) cosx a c) tanx a

88. Lös ekvationen a) sin sinπ5

x  b)

2

sin x 1 c) sinx0 d)

2 sinx 3

89. Lös ekvationen a) cos cos20π

x  b)

2

cos x 3 c) 2cosx1 d) cosx0

90. Lös ekvationen

a) 7

tan2

tan π

x  b) tanx 3 c) 3tanx1 d) tan²x1 (Ledning: Ekvationen är ekvivalent med tanx1) 91. Bestäm samtliga lösningar till ekvationen

a) 2

3 1

sin x b)

2 1 2 6

cos 



 



 π

x c) 1

5 4

cos 



 



 π

x om 0x π. 92. Lös ekvationen genom att t.ex. utnyttja att 



 



 

 π v

v sin 2

cos eller 



 



 

 π v

v cos 2

sin .

a) cos3xsin4x b) 



 



 

sin 2

cos2 π

x x

, 





 2

,3π π x

c) 



 



 





 



 

cos 4

sin 4 π

x π x

93. Lös ekvationen

a) 2

cos²x1 b)

4 sin²x3

c) 2cos²x3cosx10 (Sätt t.ex. först cosx t)

94. Lös ekvationen genom att bl.a. utnyttja trigonometriska ettan.

a) 2cos²xsinx1 b)

4 cos 5 sin²x x

95. Lös ekvationen a) cosxsinx0 b) sin2x2sinx

c) cos2xcos²x3sinx, x



3π,0



d) sin2x 2cosx,







 2 ,3

0 π

x

14 Svar

1. a) 0 b) 12 c)

5

6 d) 2

2. a) 223 b) 2 11 c) 22222 d) 22233

3. a) 132 b) 96 c)

9 1 72

7 54

5  

4. 36

 5 b)

270

11 c)

63

 1

5. a) 1 b)

2

1 c) 6

6. a) 20

9 b)

108

37 c) 11

7. a) 34

 21 b)

15

 2 c) 27

8. a) 37 b) 5 c)

5

7 d) 6 2

e) 3

10 f) 10 g) 2⁵162 h) 65

9. a) x25 b) x27 c) x32 10. a)

2

2 b) 3 2 2 c) 3  3 d)

6 6 3 6 

e) 5  2 f) 8

5

11. a) 32 b) 729

12. a) 243 b) 36 c) 18 d)

3 1

13. a) 5

3 b)

9

128 c)

2

81 d) 7

14. 3^4 b) 3 ⁰ c) 3^2 d) går inte

15. a) 9 b) 1 c) 1 d)

8

1 e) 2^4

16. a) 9

 35 b)

125 121

17. 8

35

18. a) 7 b)

15

 2 c)

4

1 d) 10000

19. a) 2 b) 2^103 c) 2² d) 2¹³

20. a) a ⁵ b) a ² a³ c) b ² b³ d) x 1

21. a) a

b b) ₂

7

y

x c)

y x⁴

d) b

22. a) a ^4 b) a ⁰ c) a ^2 d) ²

9 16a

23. a) a² b) a ^3 c) a ^4 24. a) ₂

2

1 2

x y x

 b) ₃

3 1

x x x  

25. a) a b) a^103 c) a ² d) a¹³ 26. a) x² + 13x/6 + 1/3 b) -s²/8 + 11s/6 - 4

c) a³ + b³ d) a³ - b³

15

27. a) 9/25 - 4x/5 + 4x²/9 b) 4x²/25 + 12x/25 + 9/25

c) 4y² - 1 d) 4

e) 11 f) x²/25 - 9/25

28. a) 4x² + 12x + 9 b) -s² + 8s - 16 c) - 9x²/4 + 3x - 1 d) 0.01x² - 1

29. a) a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc b) a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc c) x² + y²/4 + z²/9 - xy + 2xz/3 - yz/3 d) 1 + 6x + 12x² + 8x³

e) y³/27 - y²/3 + y - 1

30. a) (y + 2x)(y - 2x) b) x(x + 1)² c) x²(x - 1)² d) (x + y)(a - b)

e) (a - b)(c - 1) f) Ingen gemensam faktor finns.

31. a) 5 x 1 b)

y x

x 2

1 5



 c)

2 3 x

d) 2

3

y e)

5 13

2  x

x f)

4 9

17 y 32. a)

2 2

x b)

9 7

ab c)

2 3 x

33. a) 2

1 b) 1 c) x1

d) x y

y x

2 3

2 3



 e) ax1 f) t

34. a) b a

b

 b)

1 2

x c)

x 1

d) x y y x



 e)

a b

ab

 f)

3 3 p

g) 2x + h

35. a)

1 1 2





 x

x

x b)

1 1 2





 x

x

x c) x²1x

36. a) x1 b) (x1)( x1)x xx x1

37. a) (x + 3/2)² - 13/4 b) (x - 9/2)² - 1/4 c) (x - 3/10)² + 1/100 d) - (x + 1/4)² + 1/16 e) 3(x - 1/3)² + 2/3 f) - 2(x - 5/4)² + 9/8 38. a) m = (-3/2, - 13/4), d.v.s. minsta värde = -13/4 och fås för x = -3/2.

b) m = (9/2, - 1/4) c) m = (3/10, 1/100)

d) M = (-1/4, 1/16) d.v.s. största värde = 1/16 och fås för x = -1/4.

e) m = (1/3, 2/3) f) M = (5/4, 9/8)

39. a) q(x) = x - 1, r = 2 b) q(x) = x² + 2x - 7, r = 22 c) q(x) = -x² - x - 3, r = 0

40. a)

2 3 7

 

 x

x b)

3 51 158 17   

x x

41. a) Ty f(-1) = 0 (faktorsatsen) b) Ty f(2) = 0 c) Ty f(-1) = 0 42. a) (x - 1)(x - 3)(x + 2) b) -x(x - 1/2)(x + 1/4) = - (2 1)(4 1)

8 x x x

c) -(x - 1)(x - 4)(x - 8)

43. a) x18 b)

7

30

x c)

13

 20 x 44. a) x1 = 3 , x2 = 2 b) x1 = 1/2 , x2 = - 2/3

c) x1 = 0 , x2 = -1/2 d) x1 = 1 , x2 = - 1/4 , x3 = - 84

16

45. a) x = 3/2 ± 3/2 b) x1,2 = 2/3 c) x1 = 1/2, x2 = - 7/2 d) x₁11,x₂ 22 e) x₁4, x₂ 1 f)

4 217 11

2 , 1

  x

g) x₁2, x₂3 h) x_1,26 33

i) 10

65 2 1

2 ,

1  

x

46. T.ex. a) x²3x100 b) x² 30x2000 c) x²2x10 d) x² 2x40 e) x² 6x90 f) x²2x(1 2)32 20

47. a) x^{1, 2} = ± 3 , x^{3, 4} =  5 b) x^{1, 2} =  3 c) x1 = - 1, x2 = ³9

48. a) x₁1, x₂1, x₃ 2 b) x₁1, x2,32 49. a) (x - 1)(x - 3)(x + 2) b) -x(x - 1/2)(x + 1/4) = - (2 1)(4 1)

8 x x x

c) -(x - 1)(x - 4)(x - 8) 50. x¹ = 1 , x² = 2, x³ = 5 51. a) x¹ = 1,

2 5 1

3 , 2





x b) x¹ = 1,

2 7 1

3 , 2



 

x c) x¹ = 3 ,

2 13 1

3 , 2



  x 52. x = 4 (dubbelrot) eller x = -3

53. a) ¾ b) 2/9 c) -1

54.

55. T.ex. punkterna ( 0, 4), (1,6) och (1,14) 56.

17

57. a) yx3 b) x1 c)

4 17 4

x y d) y200 e) 500x133y201000 eller

133 20100 133

500 

 x

y 58. a) y2 x 1 b) y4 x 7

c) 3

y x d) 14

5 2 



 x

y 59. a) 



 



 2 ,1 4

3 b) 



 



 5 ,1 5

3 c) 



 



 5 ,7 5 6

d) 



 



 

14 , 17 28

3

60. a) 



 



 ,0 5

4 respektive



0,5



b) 



 



 ,0 3

8 respektive



0  , 2



c)



2,0



med x-axeln, ingen skärning med y-axeln d)



0 , 500



med y-axeln, ingen skärning med x-axeln

61. a) 



 



 ,4 4

1 b)



2 , 3



c)



2,13



d)



10 , 35



62. a)



2,2



b) Alla punkter på den givna linjen.

63. a) T.ex. linjen 6x2y160

b) Välj a0, b0 och c godtyckligt c) Välj a0, b0 och c godtyckligt

64. a) 3ln2 b) 2ln2 c) 2ln3

65. a) 2 b)

2

1 c) e

66. a) x e³ b)

2 e2

x  c) xe1 d) 1 1



e x 67. a) xln4 b) x0

c) 3

2 ln

1 

x d) Lösning saknas

68. a) x1 b) x1 eller x4 69. a) ]0, 2[ b) ]- ∞ , -1 [ 



2,



70. a)







 2 ,5

2 b)



6,3



71. a) 4 b) 2

c) 1/2 d) 1/2

72. a) e^x b) e^{x + y}

73. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark 74. 1 180π



resp.

π 180

1 

75. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark 76. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark 77. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark 78. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark 79. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark 80.

18

81. a) sin α = 4/5 , tan α = 4/3 , cot α = 3/4

b) cos α = - 24/25 , tan α = - 7/24 , cot α = - 24/7 c) sin α =

10

 3 , cos α = 10

 1 , cot α = 3 1

82. ,tan15 2 3

4 2 15 6

cos 4 ,

2 15 6

sin   

 

 ^{o o}

o

83. a) sinx b) sinx c) 0

84.

85. 25

2 7 cos 25, 2 24

sin α α b)

9

7

86.

87.

88. a) xπ5 2nπ eller x4π52nπ , n Z b) π6 2nπ eller 5π62nπ , n Z c) nπ,nZ d) π 3 2nπ eller 4π 32nπ , n Z

89. a) π202nπ,nZ b) π 62nπ,nZ c) π32nπ,nZ d) π2nπ,nZ 90. a) 2π7nπ,nZ b) π 3nπ,nZ

c) π6nπ,nZ d) π4nπ,nZ 91. a)

3 2 18

n π

π  eller

3 2 18

5 π

π n

 , n Z b) π nπ



24 eller π nπ 24 

17 , n Z c)

20 ,17 20 ,9 20

π π π 92. a)

7 2 14

π n

π  eller π nπ

2 2 , n Z b)

3 ,4 0 π c) Alla reella x

93. a) 2 4

nπ

π , n Z b) π nπ

3  eller π nπ 3 

2 , n Z

c) 2nπ eller π nπ 3 2

 , n Z 94. a) π nπ

2 2

3  , π nπ

6 2 eller π nπ 6 2

5  , n Z b) π nπ 3 2

 , n Z 95. a)

2 π

n , n Z b) πn , n Z

c) 0,π,2π,3π d)

2 ,3 4 ,3 ,4 2

π π π π