Uppföljning av diagnostiskt prov 2016-10-12 Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov 2016-10-12

Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar…

Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter

Ekvationer Absolutbelopp Inverser Logaritmer

Exponentialfunktioner, potensfunktioner Trigonometri

Komplexa tal Arcusfunktioner

Vektorer, vektoralgebra

Linjens ekvation (parameterform)

Planets ekvation (normalform, parameterform)

Skärningar, avstånd, vinklar…

Några repetitionsuppgifter inom kursen TNA001

2016-10-12 Sixten Nilsson

Del 1.

Ekvationer och olikheter med polynom, rotuttryck, rationella uttryck, absolutbelopp.

Faktorsatsen, faktoriseringar, funktioner allmänt.

Inverser – allmänt: Samband mellan egenskaper hos funktion och dess ev. invers, bestämma ev.

invers.

1:1

För vilka ∈ ℝ gäller det att

3

x

  1

x

  1 1

? Svar:

4

1

x eller 2

1 x

1:2

Betrakta funktionen ( ) = , ∈ [0,3].

Visa att har invers och bestäm denna, inklusive dess definitionsmängd.

Svar: ( ) = , = 1, √5 1:3

Lös för reella x ekvationen x³3x²40. Svar: x1,x2

1:4

Givet funktionen ,

 

0,8 2

3 ) 4

(  

 x x

x

f , visa att f har invers och bestäm denna inklusive dess definitionsmängd Df1.

Svar: ,



10,2



3 2 ) 4

1(



 

 

y y y

f

1:5

Lös olikheten (x1)³x1. Svar: x^



^2,^1

 

^ 0,^



1:6

Vilka reella tal uppfyller olikheten

1

− 1≤

− 3 ? Svar: ∈ ]−∞, 1[ ∪ ]3, ∞[

Del 2

Komplexa tal: a + bi form (rektangulär form), räkning med komplexa tal, komplexa exponentialfunktioner, polär form, tolkningar i komplexa talplanet, begreppskunskap

(absolutbelopp, Re, Im, konjugat etc.), omskrivningar mellan polär och rektangulär form, Eulers formler, de Moivres formel.

2:1

a) Markera i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som samtidigt uppfyller de båda villkoren 0 arg

z 4

  och z 

2  2

.

b) Beräkna 1 1 20

2 2i

 

  

  . Ange svaret på formen + , , ∈ ℝ.

Svar: a) b)

1024

 1

2:2 Beräkna

12

2 2

1 



 



  i

. Ange svaret på formen x iy, där x och y är reella tal.

Svar:

64

 1

2:3

Givet det komplexa talet 1 i

z i

  .

a) Beräkna z¹⁰⁰ och ange svaret på formen x



iy, där x och y får skrivas på formen a^p, där a är ett reellt tal och p ett heltal.

b) Välj vargz så att  v. Rita och markera i ett komplext talplan alla komplexa tal u för vilka det samtidigt gäller att varguarg(10) och u 

1

. Figuren skall ritas tydligt och med lämpliga hjälpmedel.

Svar: a) z¹⁰⁰ 2⁵⁰ b)

Naturliga logaritmen, exponentialfunktioner, potensfunktioner: Egenskaper, räkneregler, ekvationer och olikheter.

3:1

Lös för reella x ekvationen ln(x1)ln(1x)ln 3 2 ln x. Svar:

2

 1 x

3:2

a) Lös olikheten ^ln



x¹



^ln



¹x



^ln2. b) Lös olikheten ^ln



^{x2 2}



^ln

^

^3x

^

^ln2.

Svar: a) 







 ,1 3

x 1 b) x



^,⁴

  

 ^2,3

3:3

Låt f(x)e^2x 2.

a) Har f invers? Bestäm i så fall denna inklusive dess definitionsmängd.

b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f(x)e^x.

Svar: a) ln( 2)

2 ) 1

1(  

 y y

f , Df1 



^{2 ,}



^. b) xln2

3:4

Betrakta funktionen f(x)ln(x² 4)ln(x1). a) Bestäm f :s definitionsmängd, D_f.

b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f(x)ln6. Svar: a) D_f 



2,



b) x1  3

Del 4

Talföljder och Summor: Sigmasymbolen, aritmetiska och geometriska talföljder och summor.

Induktionsbevis: Princip samt kunna utföra sådant bevis.

4:1

Ange

 

1

3 3

n

k k

k





 som ett uttryck i n utan någon summasymbol.

Svar:

 

2 3 1 3nn²   ⁿ

4:2

Visa att formeln _n

n

k k

n k

2 2 2

12

 







gäller för alla n Z^.

Trigonometri: Radianer, enhetscirkeln, trigonometriska formler, funktionerna cos, sin, tan och cot och deras egenskaper. Omskrivningen Asin xBcos x Csin(xv), ekvationer och olikheter.

Arcusfunktionerna: Definitioner, samband, enkla ekvationer.

5:1

Lös ekvationen 3

2 3 cos

2 



 



 

x , x



 ,



. Svar:

,12 , 4 4 , 3 12

11   





 x

5:2

Lös ekvationen ^{sin 2 sin ,}



^0,



x x 6 x

  

    

  ^.

Svar:

18 7

 x

5:3

Förklara/illustrera med hjälp av en lämplig figur sambandet sin(^x)sin



 ^x



. Lös sedan ekvationen 2sin² x3sinx10,x



0,



.

Svar: Se kurslitteraturen.

6 ,5 , 6 2





 x

5:4

a) Som bekant gäller sambandet 



 



 

 π v

v cos 2

sin för alla vR. Låt punkten (cosv,sinv) vara en punkt på enhetscirkeln med

0 π2

v 

 och illustrera sambandet med hjälp av enhetscirkeln.

b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen 2 0 cos 2

3 sin

2 ²  



 



 

 π x

x .

Svar: a) Se kursboken b)   6 n2

x  eller π n π

x 2

6 5 

 , n Z.

5:5

a) Visa att sin 2 cos 2 1

sin cos cos

x x

x  x  x

b) Bestäm det exakta värdet av sin(uv) om sin 1

u  3, 2 u

   och 2 sinv  3, 3

2 v 2

  . Svar: b) ^{√ √}

Del 6

Vektorer, linjer och plan: Linjära ekvationssystem (Gausselimination), begreppskunskap och räkneregler för geometriska vektorer, skalärprodukt, ortogonalitet, projektioner, ekvationer för linjer och plan, skärningar, vinklar, avstånd, etc.

6:1

Betrakta linjen

= 0 +

= 1 +

= 1 −

, ∈ ℝ och planet 2xy2z0. (ON-bas) a) Vilken punkt på linjen har y-koordinaten 10?

b) Bestäm en (valfri) punkt i planet som har x-koordinaten 15.

c) Bestäm koordinaterna för linjens skärningspunkt med planet.

d) Beräkna avståndet mellan punkten P =



^2,1,0



och det givna planet.

Svar: a)



^9,10,⁸



b) T.ex. (15,0,15) c)



^1,2,0



d) 1 längdenhet

6:2

Ange, med motivering, för vart och ett av följande tre påståenden (A, B och C) om det är sant eller falskt.

A. De två planen 4xy2z18 och 3x2y5z1 är vinkelräta. (ON-bas) B. De två planen x2yz3 och x2y3z3 skär varandra längs den

räta linjen

3 4

0 1 ,

0 2

x

y t t R

z

      

     

  

     

     

     

. (ON-bas)

C. Linjen

2 1

1 1 ,

2 1

x

y t t R

z

     

     

   

     

      

     

, skär xy-planet i punkten

 ^{4, 1, 0 } 

. (ON-bas)

Svar: Alla tre påståendena är sanna.

6:3

Linjen

1 1 ,

2

x

y t t R

z

   

   

 

   

    

   

, och punkten ^{P }

 ^{2, 1,1 } 

är givna i en ON-bas.

a) Beräkna avståndet mellan linjen och punkten.

b) Bestäm koordinaterna för P

:

s spegling i linjen.

Svar: a) 210 6

1 b) S = 7 2 1

3 3, , 3

 

 

 

 

Ett plan innehåller punkten (1, 2,1) och har normalen

2 1 1

 

 

   

 

 

n .

a) Har planet och linjen : = 0 1 1

+ 1 2

−4

, ∈ ℝ någon skärningspunkt. Bestäm i så fall denna punkt.

b) Beräkna avståndet mellan punkten (1,1,1) och det givna planet.

Svar: a) 



 



 ,2 2 ,1 4

1 b) 6

6

1 l.e.

Svar: a) 35 b) T.ex. vektorn





















 0

3 2

c) T.ex. vektorn v