Tentamen MVE035/600 Flervariabelanalys F/TM

Tentamen

MVE035/600 Flervariabelanalys F/TM

2020-06-08 kl. 08.30–11.30 (08.30 - 13.00 f¨or dem med f¨orl¨angd tid) + 30 minuter f¨or scanning

Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Peter Hegarty, telefon: 070-5705475

Hj¨alpmedel: Inga hj¨alpmedel, ej heller r¨aknedosa

F¨or godk¨ant p˚a tentan kr¨avs 20 po¨ang, inklusive eventuella bonuspo¨ang erh˚allna under VT-2020 fr˚an M¨obius uppgifterna och Matlab. Prelimin¨art s˚a kr¨avs 30 po¨ang f¨or betyget 4 och 40 po¨ang f¨or betyget 5. Dessa gr¨anser kan minskas men inte h¨ojas i efterhand. F¨or slutbetyg kr¨avs godk¨ant p˚a tavelmomentet, samt f¨or TM-studenterna godk¨ant p˚a extra-vektoranalys momentet.

L¨osningar l¨aggs ut p˚a kursens webbsida direkt efter tentan. Tentan r¨attas och bed¨oms i Canvas Speed Grader.

Resultatet meddelas i Ladok senast den 30 juni. Online granskning ordnas d¨arefter av kursansvrig.

OBS!

Motivera dina svar v¨al. Det ¨ar i huvudsak tillv¨agag˚angss¨atten och motiveringarna som ger po¨ang, inte svaren.

I de uppgifter som best˚ar av fler olika delar g˚ar det alltid att l¨osa de enskilda delarna oberoende av varandra, ¨aven om man kan ibland spara r¨aknetid genom att l¨osa deluppgifterna sekventiellt.

Uppgifterna

1. L˚at

F (x, y, z) = x²e^yz+ y + yz², G(x, y, z) = x²+ y²+ z², f (x, y) = x²e^y+ 1 + y, g(x, y) = G(x, y, 1) = x²+ y²+ 1.

(a) Best¨am ekvationen f¨or tangentplanet till ytan F (x, y, z) = 5 i punkten (2, 1, 0). (3p) (b) Best¨am en tangentvektor till kurvan F (x, y, z) = G(x, y, z) = 5 i punkten (2, 1, 0). (2p) (c) Best¨am Taylorpolynomet av grad tv˚a till f (x, y) i punkten (3, 0). (2p) (d) Motivera varf¨or F (x, y, z) = 5 definierar en implicit funktion z = h(x, y) i en om- (2p)

givning av (2, 1, 0). Best¨am hx och h_y i punkten (2, 1).

(e) L˚at K : R² → R² ges av K(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). Best¨am funktionalmatrisen (4p) D(K ◦ K) i punkten (3, 0).

2. (a) Best¨am masscentrumet f¨or det tv˚a-dimensionella f¨orem˚al som ockuperar den ¨ovre hal- (4p) van av enhetsskivan x²+ y²≤ 1 och vars densitet varierar enligt ρ(x, y) = _1+(x¹2+y²).

(b) Ber¨akna den generaliserade integralen (4p)

Z Z

D

x²e^−(x2+y2)dx dy, d¨ar D = {(x, y) ∈ R² : y > 0 och x + y > 0}.

Var god v¨and!

3. L˚at C vara cirkeln med radie 1 och centrum i (1, 0), och l˚at γ var den ¨ovre halvan av C, orienterad moturs. Ber¨akna

Z

γ

(3xy²+ 1) dx + (x²+ 3x²y) dy

(a) med hj¨alp av Greens sats (4p)

(b) utan Greens sats, dvs via en l¨amplig direkt parametrisering av γ. (Obs! H¨ar kan (4p) symmetrier underl¨atta utr¨akningarna).

4. L˚at vektorf¨altet F : R³ → R³ ges av F(x, y, z) = (zx, −yz, x²y + z).

(a) .... z = x²+y²och .... z = 1+2x sk¨ar varandra i en ... Fyll i de tre utel¨amnade orden. (1.5p) (Obs! Det r¨acker inte att skriva “yta” eller “kurva”, man m˚aste vara mer precis).

(b) Ber¨akna fl¨odet ut ur omr˚adet som innesluts av z = x²+ y² och z = 1 + 2x. (4p) (c) Anv¨and Stokes sats f¨or att ber¨aknaH

γF·dr, d¨ar γ ¨ar sk¨arningskurvan i (a), orienterad (4p) medurs sett uppifr˚an l¨angs z-axeln.

5. L˚at S ⊂ R³ vara den parametriserade ytan (4.5p)

S = {(u², v²,√

2 uv) : u ≥ 0, v ≥ 0, u²+ v²≤ 1}.

Ber¨akna ytarean av S.

6. L˚at

f (x, y, z) = x − y + 2z, g1(x, y, z) = x + y + z, g₂(x, y, z) = x²+ y²+ z².

(a) Motivera varf¨or funktionen f m˚aste anta b˚ade ett st¨orsta och ett minsta v¨arde under (1p) bivillkoren g₁= 1, g₂= 5.

(b) Best¨am sedan dessa v¨arden. (6p)

Go n’eir´ı an b´othar libh!

L¨osningar Flervariabelanalys F/TM, 200608 1. (a)

∇F = (Fx, F_y, F_z) = (2xe^yz, zx²e^yz+ 1 + z², yx²e^yz+ 2yz)^{(2, 1, 0)}= (4, 1, 4).

S˚a tangentplanets ekvation lyder

∇F · (x − x⁰, y − y⁰, z − z⁰) = 0 ⇒ 4(x − 2) + (y − 1) + 4z = 0 ⇒ 4x + y + 4z = 9.

(b) En riktningsvektor ges av ∇F × ∇G i punkten. Vi har ber¨aknat ∇F i uppgift (a). Vi har ∇G = (2x, 2y, 2z)^{(2, 1, 0)}= (4, 2, 0). Allts˚a,

∇F × ∇G =      

i j k 4 1 4 4 2 0

= · · · = (−8, 16, 4) = 4(−2, 4, 1).

Svar:(−2, 4, 1).

(c)

f (3, 0) = 10, f_x = 2xe^{y (3, 0)}= 6, fy = x²e^y+ 1^{(3, 0)}= 10, f_xx= 2e^{y (3, 0)}= 2, f_xy = f_yx= 2xe^{y (3, 0)}= 6, fyy = x²e^{y (3, 0)}= 9.

S˚aledes ges Taylorpolynomet av grad tv˚a i (3, 0) av P (h, k) = 10 + (6h + 10k) + 1

2(2h²+ 12hk + 9k²).

(d) Eftersom F_z(2, 1, 0) = 4 6= 0 s˚a ¨ar z en implicit funktion av x och y i en omgivning.

Dessutom enligt Implicita Funktionssatsen g¨aller i punkten (2, 1) att h_x= −F_x

F_z = −4

4 = −1, h_y = −F_y F_z = −1

4. (e) F¨or det f¨orsta,

K

 3 0



=

 f (3, 0) g(3, 0)



=

 10 10

 . F¨or det andra,

DK =

 f_x f_y g_x g_y



=

 2xe^y x²e^y+ 1

2x 2y

 . D˚a g¨aller enligt kedjeregeln att

D(K ◦ K)(3, 0) = DK(K(3, 0)) · DK(3, 0) = DK(10, 10) · DK(3, 0) =

=

 20e¹⁰ 100e¹⁰+ 1

20 20

  6 10 6 0



=

 720e¹⁰+ 6 200e¹⁰

240 200

 .

2. (a) L˚at m = (mx, my). Vi har mx= 0 av symmetrisk¨al. Sedan g¨aller my =

RR

Dy ρ(x, y) dx dy RR

Dρ(x, y) dx dy ,

d¨ar D = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1; y ≥ 0}. Vi byter till pol¨ara koordinater. F¨orst t¨aljaren:

Z Z

D

y

1 + (x²+ y²)dx dy = Z π

0

Z 1 0

r sin θ

1 + r² r dr dθ =

= Z _π

0

sin θ dθ Z ₁

0



1 − 1 1 + r²



dr = 2[r − arctan r]¹0= · · · = 2 1 −π

4

 . Sedan n¨amnaren:

Z Z

D

1

1 + (x²+ y²)dx dy = Z _π

0

Z ₁

0

r dr dθ 1 + r² =

= π Z 1

0

r

1 + r²dr^u=1+r= ² π 2

Z 2 1

du u = π

2 ln 2.

Svar:m = 0, _{π ln 2}^4−π
.

(b) Vi anv¨ander pol¨ara koordinater igen, ty D = {(r, θ) : 0 < r < ∞, 0 < θ < 3π/4}. S˚a integralen blir

Z _3π/4

0

Z _∞

0

r²cos²θ e^−r2r dr dθ = Z _3π/4

0

cos²θ dθ Z _∞

0

r³e^−r2dr =

u=r²

=

Z 3π/4 0

1

2(1 + cos 2θ) dθ Z _∞

0

1

2ue^−udu = · · · = 3π − 2 8

  1 2



= 3π − 2 16 . 3. (a) Integralen kan skrivasR

γP dx + Q dy, d¨ar P (x, y) = 3xy²+ 1, Q(x, y) = x²+ 3x²y.

L˚at γ₂ vara rakstr¨ackan fr˚an (0, 0) till (2, 0). D˚a g¨aller enligt Greens sats att Z

γ+γ2

P dx + Q dy = Z Z

D

 ∂Q

∂x −∂P

∂y



dx dy, (1)

d¨ar D = {(x, y) ∈ R² : (x − 1)²+ y² ≤ 1, y ≥ 0}. H¨ogerledet av (1) blir s˚aledes Z Z

D

2x dx dy = Z Z

D[2(x − 1) + 2] dx dy = 0 + 2 × Area(D) = π.

D¨arf¨or ¨ar Z

γ+γ₂P dx + Q dy = π ⇒ Z

γP dx + Q dy = π − Z

γ₂

P dx + Q dy =

y=dy=0

= π −

Z 2

0 dx = π − 2.

(b) En l¨amplig parametrisering av γ ¨ar

x = 1 + cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ π.

Ins¨attning in i kurvintegralen ger Z _π

0

[3(1 + cos t)(sin²t) + 1](− sin t dt) + [(1 + cos t)²+ 3 sin t(1 + cos t)²](cos t dt) = (2)

= · · · =



− Z π

0 sin t dt − 3 Z π

0

sin³t dt + 2 Z π

0

cos²t dt + 6 Z π

0

sin t cos²t dt

 +



−3 Z π

0

cos t sin³t dt + Z π

0

cos t dt + Z π

0

cos³t dt + 3 Z π

0

sin t cos t dt + 3 Z π

0

sin t cos³t dt

 .

Av symmetrisk¨al s˚a ¨ar alla integralerna i den andra [...] parentesen lika med noll.

Integralerna i den f¨orsta [...] parentesen kan ber¨aknas var f¨or sig m.h.a. standarda trigonometriska manipulationer. Vi ger bara svaren:

Z _π

0

sin t dt = 2, Z _π

0

sin³t dt = 4 3,

Z _π

0

cos²t dt = π 2,

Z _π

0

sin t cos²t dt = 2 3. Ins¨attning in i (2) ger

Z

γP dx + Q dy = −2 − 3 4 3



+ 2π 2



+ 6 2 3



= · · · = π − 2, vilket st¨ammer ¨overens med uppgift (a).

4. (a) Paraboloiden, planet, ellips.

(b) Vi anv¨ander Gauss sats. F¨orst har vi

∇ · F = ∂

∂x(zx) + ∂

∂y(−yz) + ∂

∂z(x²y + z) = z − z + 1 = 1.

L˚at K vara omr˚adet som innesluts av paraboloiden och planet. Enligt Gauss sats s˚a ges fl¨odet ut ur K av

Z Z Z

K∇ · F dV = Z Z Z

K

1 dV = vol(K).

Volymen ber¨aknas l¨attast m.h.a. cylindriska koordinater:

vol(K) = Z Z

π(K)

dx dy Z 1+2x

x²+y²

dz = Z Z

π(K)[(1 + 2x) − (x²+ y²)] dx dy = (3)

= Z Z

π(K)[2 − (x − 1)²− y²] dx dy.

Notera att π(K) ¨ar omr˚adet i xy-planet vars rand ges av x²+ y² = 1 + 2x ⇔ · · · ⇔ (x − 1)²+ y² = 2, dvs π(K) ¨ar en cirkelskiva med centrum i (1, 0) och radie √

2.

D¨arf¨or g¨aller:

Z Z

π(K)2 dx dy = 2 × Area(π(K)) = 2 × π(√

2)²= 4π, Z Z

π(K)(x − 1)²dx dy = Z Z

π(K)

y²dx dy = Z _2π

0

Z ^√₂

0

(r sin θ)²r dr dθ = · · · = π.

Ins¨attning in i (3) ger att fl¨odet blir 4π − π − π = 2π.

(c) Eftersom γ ¨ar orienterad medurs sett uppifr˚an s˚a g¨aller enligt Stokes sats att I

γF · dr = − Z Z

D(∇ × F) · ˆN dS, (4)

d¨ar D ¨ar den del av planet som sk¨ars ut av paraboloiden. Notera att projektionen π(D) av D p˚a xy-planet ¨ar samma skiva som i uppgift (b). Vi har

∇ × F =      

i j k

∂

∂x ∂

∂y ∂

∂z

zx −yz x²y + z      

= · · · = (x²+ y, x − 2xy, 0)

och

N dSˆ ^−2x+z=1= (−2, 0, 1) dx dy.

Ins¨attning in i (4) ger I

γF · dr = − Z Z

π(D)

(x²+ y, x − 2xy, 0) · (−2, 0, 1) dx dy = 2 Z Z

π(D)

(x²+ y) dx dy =

= 2

"

Z Z

π(D)(x − 1)²dx dy + Z Z

π(D)

1 dx dy + 2 Z Z

π(D)(x − 1) dx dy + Z Z

π(D)

y dx dy

#

=

(b)+symmetri

= 2(π + 2π + 2 · 0 + 0) = 6π.

5. Ytarean ges av

Z Z

S

dS = Z Z

u≥0, v≥0, u²+v²≤1||r^′u× r^′v|| du dv. (5) Vi har

r^′_u× r^′v =      

i j k

xu yu zu

x_v y_v z_v      

=      

i j k

2u 0 √

2v

0 2v √

2u      

= · · · = (−2√

2v², −2√

2u², 4uv).

S˚aledes ¨ar

||r^′u×r^′v|| = q

(−2√

2v²)²+ (−2√

2u²)²+ (4uv)² =p

8v⁴+ 8u⁴+ 16u²v² = 2√

2(u²+ v²).

Ins¨attning in i (5) ger att ytarean blir Z Z

u≥0, v≥0, u²+v²≤1

2√

2(u²+ v²) du dv = 2√ 2

Z π/2 0

Z 1 0

r²r dr dθ = · · · = π 2√

2.

6. (a) g1 = 1 ¨ar ett plan och g2 = 5 ¨ar en sf¨ar. Dessa sk¨ar varandra i en ellips, vilket ¨ar en kompakt m¨angd. Dessutom ¨ar f en kontinuerlig funktion och d¨armed m˚aste f anta b˚ade ett st¨orsta och minsta v¨arde p˚a den kompakta sk¨arningen.

(b) Vi anv¨ander Lagranges metod och f˚ar ett system av fem ekvationer i fem obekanta:

f_x = λg_{1, x}+ µg_{2, x}⇒ 1 = λ + µ(2x), (6) f_y = λg_{1, y}+ µg_{2, y} ⇒ −1 = λ + µ(2y), (7) f_z= λg_{1, z}+ µg_{2, z}⇒ 2 = λ + µ(2z), (8)

g1 = 1 ⇒ x + y + z = 1, (9)

g2= 5 ⇒ x²+ y²+ z²= 5. (10) Om vi subtraherar (7) fr˚an (6) f˚ar vi

µ = 1

x − y. (11)

Om vi subtraherar (1) fr˚an (3) f˚ar vi

µ = 1

2(z − x). (12)

Fr˚an (11) och (12) f˚ar vi

x − y = 2(z − x) ⇒ z = 3x − y

2 . (13)

Ins¨attning in i (9) ger

x + y +3x − y

2 = 1 ⇒ y = 2 − 5x⁽¹³⁾⇒ z = 4x − 1. (14)

Vi s¨atter dessa in i (10) och f˚ar:

x²+ (2 − 5x)²+ (4x − 1)² = 5 ⇒ · · · ⇒ 42x²− 28x = 0 ⇒

⇒ 14x(3x − 2) = 0 ⇒ x = 0 eller x = 2 3.

Sedan enligt (14) f˚ar vi tv˚a kandidatpunkter: (0, 2, −1) och ²₃, −⁴₃, ⁵₃
. Vi ber¨aknar f i b˚ada punkterna:

f (0, 2, −1) = −4, f 2 3, −4

3, 5 3



= 16 3 . D¨arf¨or ¨ar minsta v¨ardet −4 och st¨orsta v¨ardet 16/3.