Tentamen MVE035/600 Flervariabelanalys F/TM

Tentamen

MVE035/600 Flervariabelanalys F/TM

2020-08-25 kl. 08.30–11.30 (08.30 - 13.00 f¨or dem med f¨orl¨angd tid) + 30 minuter f¨or scanning

Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Peter Hegarty, telefon: 070-5705475

Hj¨alpmedel: Inga hj¨alpmedel, ej heller r¨aknedosa

F¨or godk¨ant p˚a tentan kr¨avs 20 po¨ang, inklusive eventuella bonuspo¨ang erh˚allna under VT-2020 fr˚an M¨obius uppgifterna och Matlab. Prelimin¨art s˚a kr¨avs 30 po¨ang f¨or betyget 4 och 40 po¨ang f¨or betyget 5. Dessa gr¨anser kan minskas men inte h¨ojas i efterhand. F¨or slutbetyg kr¨avs godk¨ant p˚a tavelmomentet, samt f¨or TM-studenterna godk¨ant p˚a extra-vektoranalys momentet.

L¨osningar l¨aggs ut p˚a kursens webbsida direkt efter tentan. Tentan r¨attas och bed¨oms i Canvas Speed Grader.

Resultatet meddelas i Ladok senast den 15 september. Online granskning ordnas d¨arefter av kursansvrig.

OBS!

Motivera dina svar v¨al. Det ¨ar i huvudsak tillv¨agag˚angss¨atten och motiveringarna som ger po¨ang, inte svaren.

I de uppgifter som best˚ar av fler olika delar g˚ar det alltid att l¨osa de enskilda delarna oberoende av varandra, ¨aven om man kan ibland spara r¨aknetid genom att l¨osa deluppgifterna sekventiellt.

Uppgifterna

1. L˚at

F (x, y, z) = x²+ z²+ ye^xz, f (x, y) = F (x, y, 1) = x²+ 1 + ye^x, g(x, y) = 2x y +y

x.

(a) Best¨am ekvationen f¨or tangentplanet till ytan z = f (x, y) i punkten (1, 1, 2 + e). (2p) (b) Best¨am riktningsderivatan f¨or g(x, y) i punkten (1, 1) och i riktning mot punkten (2p)

(−2, 3).

(c) Best¨am Taylorpolynomet av grad tv˚a till g(x, y) i punkten (1, 1) och d¨armed ett (2p) approximativt v¨arde f¨or g(0.99, 1.02).

(d) Motivera varf¨or ekvationen F (x, y, z) = 5 definierar en implicit funktion z = h(x, y) (4p) i en omgivning av (2, 1, 0). Best¨am hx, hy och hxx i punkten (2, 1).

(e) L˚at K : R²→ R²ges av K(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). Motivera varf¨or avbildningen K (5p)

¨ar injektiv i en omgivning av punkten (1, 1) och best¨am funktionalmatrisen D(K⁻¹) i punkten (2 + e, 3).

Best¨am ¨aven funktionalmatrisen D(K ◦ K) i punkten (1, 1).

2. (a) Ber¨akna RR

Dp1 − y⁴dA, d¨ar D ¨ar omr˚adet i xy-planet som begr¨ansas av kurvorna (4p) y = x och y = x³.

(b) Ber¨akna RR

T(x²+ 2xy + y²)e^x−ydx dy, d¨ar T ¨ar triangeln med h¨orn i (0, 0), (1, 1) (4p) och (2, 0).

Var god v¨and!

3. L˚at γ = {(t + 2, t²− 1, t²+ 1) : 0 ≤ t ≤ 1}.

(a) Om en partikel r¨or sig l¨angs kurvan γ s˚a att t betecknar tid, f¨orklara varf¨or den (1p) sammanlagda kraften som partikeln upplever ¨ar konstant.

(b) Ber¨akna l¨angden av γ. (3p)

(c) Ber¨aknaR

γF · dr, d¨ar F =

2x

z, ^2y_z, x −^x2_z^{+y2 2}

. (3p)

4. (a) Ber¨akna volymen av omr˚adet (3p)

K = {(x, y, z) ∈ R³: x²+ y²+ z² ≤ 1, y ≥ |x|, z ≤ +p

x²+ y²}.

(b) Ytan x²+ y²+ 4z²= 1 ¨ar en ... Fyll i r¨att ord. (0.5p) (c) Ber¨akna fl¨odet av f¨altet F = (xz², yz, z²) ut ur omr˚adet x²+ y²+ 4z²≤ 1. (3p) 5. (a) Sk¨arningskurvan C mellan .... (x − 1)²+ 4y² = 16, z ∈ R och .... 2x + y + z = 3 ¨ar en (1.5p)

... Fyll i de r¨atta orden. (Obs! Det r¨acker ej att skriva “ytan” och “kurva”, du m˚aste vara mer precis).

(b) Anv¨and Stokes sats f¨or att ber¨aknaH

CF·dr, d¨ar F = (z²+y²+sin x², 2xy+z, xz+2yz) (5p) och C ¨ar orienterad medurs sett l˚angt uppifr˚an l¨angs z-axeln.

6. L˚at D = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, y ≥ 0} och l˚at

f (x, y) = (x²− xy + 2y²)e^−x−y.

(a) Utan att ber¨akna n˚agra partiella derivator, motivera varf¨or f antar b˚ade ett st¨orsta (2p) och minsta v¨arde i D men bara ett minsta v¨arde i hela R².

(b) Best¨am alla kritiska punkter samt de st¨orsta och minsta v¨ardena till f i D. (5p)

Go n’eir´ı an b´othar libh!

L¨osningar Flervariabelanalys F/TM, 200825 1. (a)

∇f = (fx, f_y) = (2x + ye^x, e^x)^{(1, 1)}= (2 + e, e).

S˚a tangentplanets ekvation lyder

z−z0 = f_x(x−x0)+f_y(y−y0) ⇒ z−(2+e) = (2+e)(x−1)+e(y−1) ⇒ (2+e)x+ey−z = e.

(b) Gradienten av g ges av

∇g = (gx, g_y) = 2 y − y

x², −2x y² + 1

x

(1, 1)

= (1, −1).

En riktningsvektor ges av

u = (−2, 3) − (1, 1) = (−3, 2).

S˚aledes ges riktningsderivatan av

g^u = ∇g · ˆu = (1, −1) · (−3, 2)

p(−3)²+ 2² = · · · = − 5

√13. (c) Fr˚an (b) har vi redan att

g(1, 1) = 3, gx(1, 1) = 1, gy(1, 1) = −1.

Vidare g¨aller

g_xx = 2y x³

(1, 1)

= 2, g_xy = g_yx = −2

y² − 1 x²

(1, 1)

= −3, g_yy = 4x

y³

(1, 1)

= 4.

S˚aledes ges Taylorpolynomet av grad tv˚a i (1, 1) av P (h, k) = 3 + (h − k) +1

2(2h²− 6hk + 4k²) = 3 + h − k + h²− 3hk + 2k². Approximationen ges av

P (−0.01, 0.02) = 3+(−0.01−0.02)+1

2(2(−0.01)²−6(−0−01)(0.02)+4(0.02)²) = · · · = 2.973.

(d) Vi har

∇F = (Fx, F_y, F_z) = (2x + yze^xz, e^xz, 2z + xye^xz)^{(2, 1, 0)}= (4, 1, 2).

Eftersom Fz(2, 1, 0) = 2 6= 0 s˚a ¨ar z en implicit funktion av x och y i en omgivning.

Dessutom enligt Implicita Funktionssatsen g¨aller i punkten (2, 1) att h_x= −F_x

F_z = −4

2 = −2, h_y = −Fy

F_z = −1 2. Sedan har vi:

h_xx = ∂

∂x



−F_x F_z



= F_x^∂F_∂x^z − Fz∂F^x

∂x

(F_z)²

(2, 1, 0)

= 1

2²

 4∂F_z

∂x − 2∂F_x

∂x



= ∂F_z

∂x −1 2

∂F_x

∂x

= ∂

∂x(2z + xye^xz) −1 2

∂

∂x(2x + yze^xz)

= [2h_x+ y[e^xz+ xe^xz(z + xh_x)]] −1

2[2 + y[h_xe^xz+ ze^xz(z + xh_x)]]

(2, 1, 0)

= [2(−2) + 1[1 + 2(1)(0 + 2(−2))]] −1

2[2 + 1[2(1) + 0]] = · · · = −13.

(e) Notera att K(1, 1) = (2 + e, 3). Vi har DK =

 fx fy

g_x g_y



=

 2x + ye^x e^x

2

y −_x^y2 −^2x_y² +_x¹

(1, 1)

=

 2 + e e

1 −1

 .

Determinanten ¨ar (2 + e)(−1) − e(1) = −2(1 + e) 6= 0, vilket inneb¨ar enligt Inversa funktionssatsen att K ¨ar bijektiv och d¨armed inverterbar i en omgivning av (1, 1).

Dessutom ges D(K⁻¹) i punkten (2 + e, 3) = K(1, 1) av

 2 + e e

1 −1

₋₁

= − 1

2(1 + e)

 −1 −e

−1 2 + e

 . Enligt kedjeregeln g¨aller

D(K ◦ K)(1, 1) = DK(K(1, 1)) · DK(1, 1) = DK(2 + e, 3) · DK(1, 1) =

=

"

2(2 + e) + 3e^2+e e^2+e

2

3 −_(2+e)^{3 2} −^2(2+e)₉ +_2+e¹

#

2 + e e

1 −1



=

= · · · =

"

2(2 + e)²+ (7 + 3e)e^2+e 2e(2 + e) + (3e − 1)e^2+e

4(2+e)

9 −_2+e^{2 2e}₃ − _(2+e)^{3e 2} +^2(2+e)₉ −_2+e¹

# .

2. (a) Notera att omr˚adet D samt integranden p1 − y⁴ ¨ar symmetriska kring origo, s˚a det r¨acker att integrera ¨over den del av D som tillh¨or f¨orsta kvadranten och sedan multiplicera med 2. Om vi sedan byter ordningen i integrationen f˚ar vi att

Z Z

D

p1 − y⁴dA = 2 Z 1

0

p1 − y⁴dy Z y

y³

dx = 2 Z 1

0 (y − y³)p

1 − y⁴dy =

u:=y²

= Z ₁

0 (1 − u)p

1 − u²du = Z ₁

0

p1 − u²du − Z ₁

0

up

1 − u²du =

u:=sin t

=

Z π/2 0

cos²t dt^v:=1−u

2

− 1

2 Z 1

0

√v dv = · · · = π 4 − 1

3. (b) Notera att integralen kan skrivas som

Z Z

T

(x + y)²e^(x+y)(x−y)dx dy.

Vi byter variabler till u = x + y, v = x − y s˚adan att d(u, v)

d(x, y) =        

u_x u_y v_x v_y

=        

1 1

1 −1       

= 2 ⇒ d(x, y) d(u, v) = 1

2.

I termer av u och v s˚a ¨ar T = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ u}. Integralen blir d¨armed Z ₂

0

du Z _u

0

1

2u²e^uvdv = · · · = 1 2

Z ₂

0

u(e^u2− 1) du^v=u

2

= · · · = 1

4(e⁴− 5).

3. (a) Partikelns acceleration ¨ar r^′′(t) = (0, 2, 2). Eftersom accelerationen ¨ar konstant s˚a ocks˚a ¨ar den sammanlagda kraften, enligt Newtons andra lag.

(b) Kurvans l¨angd ges av Z 1

0 ||r^′(t)|| dt = Z 1

0 ||(1, 2t, 2t)|| dt = Z 1

0

p1²+ (2t)²+ (2t)²dt =

= Z 1

0

p1 + 8t²dt^u:=

√8t

= 1

√8 Z ^√8

0

p1 + u²du = ..(formelblad)..

= 1

2√ 8

hup

1 + u²+ ln(u +p

1 + u²)i

√8

0 = · · · = 1

2 3 +ln(3 +√

√ 8) 8

! .

(c) D˚a φ(x, y, z) := ^x2+y_z ² s˚a ¨ar F = ∇φ + (0, 0, x). S˚aledes g¨aller att Z

γF · dr = φ(b) − φ(a) + Z

γ(0, 0, x) · dr =

= φ(3, 0, 2) − φ(2, −1, 1) + Z ₁

0 (0, 0, t + 2) · (1, 2t, 2t) dt =

= 9 2 − 5 +

Z 1

0 2t(t + 2) dt = · · · = 13 6 . 4. (a) Omr˚adet K ges i sf¨ariska koordinater av

K =



(ρ, θ, φ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, π

4 ≤ θ ≤ π, π

4 ≤ φ ≤ 3π 4

 . D¨armed ¨ar

Vol(K) = Z 3π/4

π/4

Z π π/4

Z 1 0

ρ² sin θ dρ dθ dφ = · · · = π 6

 1 + 1

√2

 . (b) Ellipsoid.

(c) Vi anv¨ander Gauss sats. F¨orst har vi

∇ · F = ∂

∂x(xz²) + ∂

∂y(yz) + ∂

∂z(z²) = z²+ 3z.

L˚at D vara omr˚adet som innesluts av ellipsoiden, allts˚a D = {(x, y, z) : x²+ y²+ 4z² ≤ 1}.

Enligt Gauss sats s˚a ges fl¨odet av RRR

D(z²+ 3z) dV =RRR

Dz²dV , tyRRR

Dz dV = 0 av symmetrisk¨al. Nu byter vi till ellipsoidiska koordinater:

x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = 1 2ρ cos θ

s˚a att D = {(ρ, θ, φ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π}. Fl¨odet blir s˚aledes 1

8 Z 2π

0

Z π 0

Z 1 0

(ρ cos θ)²ρ²sin θ dρ dθ dφ =

= 1 8

Z 1 0

ρ⁴dρ Z π

0

cos²θ sin θ dθ Z 2π

0

dφ = ..(u := cos θ).. = 1 8·1

5 ·2

3 · 2π = π 30. 5. (a) (Elliptiska) cylindern, planet, ellips.

(b) F¨orst har vi

∇ × F =      

i j k

∂

∂x ∂

∂y ∂

∂z

z²+ y²+ sin x² 2xy + z xz + 2yz      

= · · · = (2z − 1, z, 0).

L˚at Y vara den del av planet som innesluts av C. Eftersom C har negativ orientering m.a.p. Stokes sats s˚a har vi

I

CF · dr = − Z Z

Y(∇ × F) · ˆN dS = − Z Z

π(Y )(2z − 1, z, 0) · (2, 1, 1) dx dy =

= 2 Z Z

π(Y )(1 − 3z) dx dy^z=3−2x−y= 2 Z Z

(x−1)²+4y²≤16(6x + 3y − 8) dx dy.

Av symmetrisk¨al s˚a ¨arRR

π(Y )(x − 1) dx dy =RR

π(Y )y dx dy = 0. S˚aledes har vi kvar Z Z

π(Y )−4 dx dy = −4 × Area(π(Y )) = −4 × πab = −4 × π(4)(2) = −32π.

6. (a) Den kvadratiska formen Q(x, y) = x²− xy + 2y² har A = 1, B = 1/2, C = 2, allts˚a AC − B²= ⁷₄ > 0 och A = 1 > 0, vilket inneb¨ar at Q ¨ar positiv definit. S˚aledes m˚aste f (x, y) ≥ 0 g¨alla i hela R², s˚a 0 = f (0, 0) ¨ar ett globalt minimum f¨or f i hela R². I den tredje kvadranten x < 0, y < 0 s˚a kan f bli godtyckligt stort, s˚a f har inget globalt maximum i R². D¨aremot i den f¨orsta kvadranten D ¨ar det klart att f → 0 d˚a px²+ y² → ∞. Eftersom D ¨ar slutet s˚a f kommer att ha ett maximum i D, vilket antas antingen i en kritisk inre punkt (d¨ar x > 0 och y > 0) eller i en randpunkt p˚a n˚agon av koordinataxlarna.

(b) F¨orst hittar vi alla kritiska punkter. Vi har

f_x= e^−x−y[(x²− xy + 2y²)(−1) + (2x − y)], fy = e^−x−y[(x²− xy + 2y²)(−1) + (4y − x)].

I en kritisk punkt ¨ar fx = fy = 0. Exponentialen kan inte bli noll s˚a 2x − y = x²− xy + 2y²= 4y − x ⇒ y = 3x

5 ⇒

⇒ 0 = −

"

x²− x 3x 5



+ 2 3x 5

2#

+ 2x − 3x 5



⇒ · · · ⇒ 0 = −28 25x²+ 7

5x ⇒ x = 0 eller x = 5 4.

S˚a vi har tv˚a kritiska punkter (0, 0) och ⁵₄, ³₄
. Den senare ¨ar en kandidat f¨or var f antar sitt st¨orsta v¨arde i D. Vi m˚aste dock ocks˚a kolla Ds rand. Vi har f (x, 0) = x²e^−x och f (0, y) = 2y²e^−y := g(y). f ¨ar dubbelt s˚a stort l¨angs y-axeln s˚a det r¨acker att kolla den. Vi har g^′(y) = 2e^−y(2y − y²) s˚a g^′(y) = 0 d˚a y = 0 eller y = 2. Det f¨orsta alternativet ger punkten (0, 0) igen, det andra ger punkten (0, 2).

V˚ara tv˚a kandidatpunkter f¨or max i D ¨ar s˚aledes ⁵₄, ³₄
och (0, 2). Vi ber¨aknar f 5

4, 3 4



= 7

4e⁻², f (0, 2) = 8e⁻², s˚a det st¨orsta v¨ardet ¨ar uppenbarligen 8e⁻².

Tentamen

MVE035/600 Flervariabelanalys F/TM

2020-08-25 kl. 08.30–11.30 (08.30 - 13.00 f¨or dem med f¨orl¨angd tid) + 30 minuter f¨or scanning

Examinator:Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt:Peter Hegarty, telefon: 070-5705475

Hj¨alpmedel:Inga hj¨alpmedel, ej heller r¨aknedosa

F¨or godk¨ant p˚a tentan kr¨avs 20 po¨ang, inklusive eventuella bonuspo¨ang erh˚allna under VT-2020 fr˚an M¨obius uppgifterna och Matlab. Prelimin¨art s˚a kr¨avs 30 po¨ang f¨or betyget 4 och 40 po¨ang f¨or betyget 5. Dessa gr¨anser kan minskas men inte h¨ojas i efterhand. F¨or slutbetyg kr¨avs godk¨ant p˚a tavelmomentet, samt f¨or TM-studenterna godk¨ant p˚a extra-vektoranalys momentet.

L¨osningar l¨aggs ut p˚a kursens webbsida direkt efter tentan. Tentan r¨attas och bed¨oms i Canvas Speed Grader.

Resultatet meddelas i Ladok senast den 15 september. Online granskning ordnas d¨arefter av kursansvrig.

OBS!

Motivera dina svar v¨al. Det ¨ar i huvudsak tillv¨agag˚angss¨atten och motiveringarna som ger po¨ang, inte svaren.

I de uppgifter som best˚ar av fler olika delar g˚ar det alltid att l¨osa de enskilda delarna oberoende av varandra, ¨aven om man kan ibland spara r¨aknetid genom att l¨osa deluppgifterna sekventiellt.

Uppgifterna

1. L˚at

F(x, y, z) = x²+ z²+ ye^xz, f(x, y) = F (x, y, 1) = x²+ 1 + ye^x, g(x, y) = 2x y +y

x.

(a) Best¨am ekvationen f¨or tangentplanet till ytan z = f (x, y) i punkten (1, 1, 2 + e). (2p) (b) Best¨am riktningsderivatan f¨or g(x, y) i punkten (1, 1) och i riktning mot punkten (2p)

(−2, 3).

(c) Best¨am Taylorpolynomet av grad tv˚a till g(x, y) i punkten (1, 1) och d¨armed ett (2p) approximativt v¨arde f¨or g(0.99, 1.02).

(d) Motivera varf¨or ekvationen F (x, y, z) = 5 definierar en implicit funktion z = h(x, y) (4p) i en omgivning av (2, 1, 0). Best¨am hx, h_y och hxx i punkten (2, 1).

(e) L˚at K : R²→ R²ges av K(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). Motivera varf¨or avbildningen K (5p)

¨ar injektiv i en omgivning av punkten (1, 1) och best¨am funktionalmatrisen D(K⁻¹) i punkten (2 + e, 3).

Best¨am ¨aven funktionalmatrisen D(K ◦ K) i punkten (1, 1).

2. (a) Ber¨akna RR

Dp1 − y⁴dA, d¨ar D ¨ar omr˚adet i xy-planet som begr¨ansas av kurvorna (4p) y= x och y =√³

x.

(b) Ber¨aknaRR

T(x²+ 2xy + y²)e^x2−y2dx dy, d¨ar T ¨ar triangeln med h¨orn i (0, 0), (1, 1) (4p) och (2, 0).

Var god v¨and!

3. L˚at γ = {(t + 2, t²− 1, t²+ 1) : 0 ≤ t ≤ 1}.

(a) Om en partikel r¨or sig l¨angs kurvan γ s˚a att t betecknar tid, f¨orklara varf¨or den (1p) sammanlagda kraften som partikeln upplever ¨ar konstant.

(b) Ber¨akna l¨angden av γ. (3p)

(c) Ber¨aknaR

γF· dr, d¨ar F =

2x

z, ²_z^y, x−^x2_z^+2y2

. (3p)

4. (a) Ber¨akna volymen av omr˚adet (3p)

K = {(x, y, z) ∈ R³: x²+ y²+ z² ≤ 1, y ≥ |x|, z ≤ +p

x²+ y²}.

(b) Ytan x²+ y²+ 4z²= 1 ¨ar en ... Fyll i r¨att ord. (0.5p) (c) Ber¨akna fl¨odet av f¨altet F = (xz², yz, z²) ut genom ytan i (b). (3p)

5. (a) Sk¨arningskurvan C mellan .... (x − 1)²+ 4y² = 16, z ∈ R och .... 2x + y + z = 3 ¨ar en (1.5p) ... Fyll i de r¨atta orden. (Obs! Det r¨acker ej att skriva “ytan” och “kurva”, du m˚aste

vara mer precis).

(b) Anv¨and Stokes sats f¨or att ber¨aknaH

CF·dr, d¨ar F = (z²+y²+sin x²,2xy+z, xz+2yz) (5p) och C ¨ar orienterad moturs sett l˚angt nerifr˚an l¨angs z-axeln.

6. L˚at D = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, y ≥ 0} och l˚at

f(x, y) = (x²− xy + 2y²)e^−x−y.

(a) Utan att ber¨akna n˚agra partiella derivator, motivera varf¨or f antar b˚ade ett st¨orsta (2p) och minsta v¨arde i D men bara ett minsta v¨arde i hela R².

(b) Best¨am alla kritiska punkter samt de st¨orsta och minsta v¨ardena till f i D. (5p)

Go n’eir´ı an b´othar libh!