Malmö högskola Lärarutbildningen Natur Miljö Samhälle
Examensarbete
10 poängJakten på problemlösning i matematik – inspirerat av
teorin om multipla intelligenser
The hunt for mathematical problemsolving – an inspiration from the theory of
multiple intelligences
Happy Heba Nashed
Lärarutbildningen, 140p Handledare: Per-Eskil Persson
Matematik och lärande
Abstrakt
Syftet med detta examensarbete är ta reda på vilka definitioner som finns för
intelligensbegreppet i den del som berör logik i matematik och i vilken mån den går att påverka. Resultatet visade att matematiklärarna som ingår i denna undersökning ansåg att intelligensbegreppet har sin plats i problemlösning i matematik och ansåg sig arbeta med att främja denna förmåga hos sina elever. Ett undersökningsformulär med fem sk rika
matematiska problem gavs därför till deras elever. Resultatet visade att 68 % dvs ca 200 elever inte kunde finna en lämplig lösningsstrategi till ett enda problem som presenterades i formuläret. Parallellt genomfördes ett arbete inriktat på problemlösning i en grupp om 12 elever som får sin skolundervisning på Ungdomsalternativet. Efteråt fick även denna grupp besvara samma undersökningsformulär som den ovannämnda elevgruppen. Resultatet skilde sig avsevärt mellan grupperna. I den senare elevgruppen växte problemlösare fram.
Nyckelord: Intelligens, logisk – matematisk intelligens, lösningsstrategier, MI-metoden, problemlösning, rika problem, undervisningsmetoder.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 INLEDNING 1
1.1 EN KORT PRESENTATION AV UNGDOMSALTERNATIVET 2
1.2 VAD SKALL UNDERSÖKAS OCH GÅR DET ATT UNDERSÖKA? 2
1.3 VARFÖR ÄR DETTA ÄMNET INTRESSANT, RELEVANT? 3
2 SYFTE 5
2.1 FRÅGESTÄLLNINGAR 5
3 TEORI 7
3.1 INTELLIGENS 7
3.2 KRITIKEN AV IQ-TEST 7
3.2.1 INTELLIGENS ENLIGT DE KOGNITIVA PSYKLOGERNA 8
3.2.2 INTELLIGENS ENLIGT DEN KOGNITIVT -KONTEXTUELLA SKOLAN 8
3.3 EN MATEMATISK FÖRMÅGA 10
3.3.1 LOGISK-MATEMATISK INTELLIGENS 10
3.3.2 VISUELL INTELLIGENS 10
3.3.3 INTERPERSONELL INTELLIGENS 11
3.4 TEORIN OM DE MULTIPLA INTELLIGENSERNA, MI 11
3.5 MI-TEORIN I UNDERVISNINGEN 12
3.6 UNDERVISNINGSMODELLER FÖR LOGISK -MATEMATISK INTELLIGENS 12
3.6.1 VILKA AV ER TROR ATT NI ÄR INTELLIGENTA? 13
3.6.2 LÄROBOKEN ÄR INTE TILLRÄCKLIG 13
3.6.3 SOKRATISKA FRÅGOR 14
3.6.4 HEURISTISKA TEKNIKER 14
3.6.5 MATEMATIK ÄR ETT KOMMUNIKATIONSÄMNE 15
3.7 INTRESSET FÖR PROBLEMLÖSNING 16
3.8 VAD ÄR PROBLEMLÖSNING? 17
3.8.1 BESKRIVNING AV PROBLEMLÖSNING 17
3.8.2 RIKA PROBLEM 17
3.9 PROBLEMLÖSNING I DAGENS SKOLA 19
3.9.1 BETRYGGANDE ANKNYTNING TILL PROBLEMLÖSNING I UNDERVISNINGEN 19
4 METOD 22 4.1 URVALSGRUPPERNA 22 4.2 OBSERVATIONSGRUPPEN 23 4.2.1 URVAL AV OBSERVATIONSGRUPPEN 23 4.2.2 BORTFALL I OBSERVATIONSGRUPPEN 23 4.3 LÄRARGRUPPEN 24 4.3.1 URVAL AV LÄRARGRUPPEN 24 4.3.2 BORTFALL I LÄRARGRUPPEN 24
4.4.1 URVAL AV TESTGRUPPEN 25
4.4.2 BORTFALL I TESTGRUPPEN 25
4.5 TESTENKÄTENS UTFORMNING 25
4.6 HÄNSYN TILL ETISKA SKÄL 26
4.7 GENOMFÖRANDET AV ARBETET I OBSERVATIONSGRUPPEN 27
4.7.1 PARINDELNINGEN 27
4.7.2 ARBETET TAR FART 28
4.7.3 ARBETET FORTSKRIDANDE I OBSERVATIONSGRUPPEN 35
4.7.4 FORTSATT ARBETE 38
4.8 GENOMFÖRANDET AV ARBETET I LÄRARGRUPPEN 39
4.9 GENOMFÖRANDET I TESTGRUPPEN 39
5 RESULTAT 42
5.1 OBSERVATIONSGRUPPEN 42
5.1.1 OBSERVATIONSGRUPPENS TESTRESULTAT 42
5.1.2 RESULTAT AV ARBETET I OBSERVATIONSGRUPPEN 42
5.2 LÄRARGRUPPEN 43
5.3 TESTGRUPPEN 46
5.4 METODDISKUSSION 47
5.4.1 KRITISKT PÅPEKANDE SOM KAN FÖRELIGGA 48
6 RESULTATANALYS 49
6.1 RESULTATANALYS AV ARBETET I OBSERVATIONSGRUPPEN 49
6.1.1 ÖVERSIKT AV RESULTATEN MELLAN OBSERVATIONSGRUPPEN OCH TESTGRUPPEN 50
6.1.2 ANALYS UTIFRÅN LÄRARGRUPPENS SVAR 51
6.2 RESULTATSAMMANSTÄLLNING OCH SLUTSATSER 52
7 DISKUSSION OCH REFLEKTION 55
7.1 FORTSATT FORSKNING 58
8 REFERENSER 59
BILAGOR
1. FRÅGEFORMULÄR TILL MATEMATIKLÄRARE 2. UNDERSÖKNINGSFORMULÄR
1 Inledning
Jag arbetar med att undervisa ungdomar som främst har sociala svårigheter som klassas som väldigt allvarliga. Dessa ungdomar har p.g.a. de sociala problemen kommit att missa en del av skolundervisningen. Detta bl a för att skolpersonalen inte ha orkat med dem och för att dessa elever inte ha känt sig prioriterade av sina lärare. I slutändan har detta lett till att de traditionella skolorna inte vill ha dessa ungdomar kvar. Ungdomsalternativet som jag nu arbetar för kan då komma att ta hand om dessa ungdomars skolgång.
I Sverige har vi lagar och förordningar som styr våra skolor. I de allmänna föreskrifterna som gäller i skollagen skall alla barn och ungdomar, oberoende av kön, geografiskt hemvist samt sociala och ekonomiska förhållanden, ha lika tillgång till utbildning i det offentliga skolväsendet. Utbildningen skall inom varje skolform vara likvärdig, varhelst den anordnas i landet. Enligt föreskrifternas 2 § skall skolan och skolbarnsomsorgen på socialnämndens initiativ i frågor som rör barn som far illa eller riskerar att fara illa samverka med samhällsorgan, organisationer och andra som berörs. 3 § säger att det vid sidan av de skolformer som anordnas av det allmänna kan det finnas skolor som anordnas av enskilda fysiska eller juridiska personer (fristående skolor). Men enligt 4 § är kommunerna huvudmän för förskoleklassen och grundskolan (Sveriges Riksdag, 1985).
Anledningen till denna redogörelse av skollagen är att fastslå att den kommunala skolan som eleven tillhör har yttersta ansvaret över dennes skolgång fastän att de har beslutat att placera eleven på ungdomsalternativet. Detta leder i sin tur till många möten med elevens ordinarie skola där man bl a får en resumé av elevens tidigare skolgång och läget i de olika ämnena. På ungdomsalternativet ligger fokus på kärnämnen, och därför kretsar diskussionerna med skolorna främst runt dessa. Synen på elevernas sociala situation speglar ofta synen på deras ämneskunskaper. I våra diskussioner kring matematikämnet har vid nästa alla elevfall uttalats att "pojken är inte särskilt intelligent" Möjligen vill man på så sätt säga att en intelligent elev är bra på matematik och duktig på att lösa problemfokuserade uppgifter. Påståendet ovan har fått mig att tänka över om intelligens alltid hör ihop med matematik.
Jag beslöt mig därför att ändra huvudtemat på mitt examensarbete och ge mig en möjlighet att fördjupa mig något i den reflektion som jag kom över.
1.1 En kort presentation av Ungdomsalternativet
Ungdomsalternativet har funnits i Malmö sedan 1997 och är sedan några år tillbaka en systerorganisation till UngART. Det är en fristående organisation som arbetar med träning av ungdomar som har sociala problem och eller beteenden som kan uppfattas som bekymmersamma. Sådana bekymmer kan vara beteende som tolkas som antisocialt, aggressivitet, saknad självkontroll mm. Ungdomsalternativet fungerar som konsulter för skola och socialtjänst samt anlitas att ansvara över dessa ungdomars fritidssysselsättningar och ibland även över studiegången (se referenslista – ungdomsalternativet, 2005).
Den anpassade studiegången på Ungdomsalternativet lägger den större vikten på kärnämnen. Ändock har varje elev möjlighet att göra flera tillval och beredda ämnesvalen. Eleven arbetar utifrån en individuell plan och utifrån målen som man gemensamt har kommit fram till. När det gäller den anpassade studiegången är förhoppningen att eleven klarar de uppsatta målen i kursplanen för de olika ämnena (se referenslista – ungdomsalternativet, 2005).
1.2 Vad skall undersökas och går det att undersöka?
Man har sedan tidigt 1900-tal utarbetat metoder vilka man kan med hjälp av mäta intelligensnivån, oftast kallade IQ-test. Howard Gardner som har skrivit boken "De sju intelligenserna" kom att kalla dessa metoder för trånga och begränsade i om att de som undersöktes avlägsnades från sina naturliga inlärningsmiljöer och ombads att utföra uppgifter som de oftast aldrig tidigare hade gjort och förmodligen aldrig skulle utföra. Gardner kom att förespråka ett annat sätt att se på intelligens. Nämligen att intelligens bör ha att göra med förmågan att lösa problem och skapandet av meningsfullhet i sammanhang. Gardner menar även att alla människor kan utveckla sin intelligens om de får uppmuntran, lärorik undervisning och läroanpassad miljö. Det diskuteras än i dag vad som bör räknas till
intelligens och hur intelligens skall undersökas och definieras (Armstrong, 1998). Målet i denna undersökning är inte att försöka reda ut problemkomplexet kring intelligensbegreppet utan att relatera till begreppet utifrån det som matematiklärare kan koppla det till.
I denna undersökning skall elevgruppen på Ungdomsalternativet få visa vad de kan i det som verkar knyta an till att definiera en intelligent eller icke intelligent elev. Det är nämligen den uppfattningen som jag tolkar den utifrån påståendet som vi har fått ifrån de flesta matematiklärarna på respektive skola. Om matematiklärarnas replik är ett relevant svar på frågan om elevens matematikkunskaper, förmodar jag att lärarna anknyter detta i huvudsak till saknad av logisk förmåga. Det är oftast det som man har hört förknippas med intelligens i matematik. Till detta hör förmågan att lösa problem i om att matematik bygger till sin större del på problemlösning. Skolorna där elevgruppen på Ungdomsalternativet har haft sin tidigare skolgång skall ingå i undersökningen. Tanken är att i en jämförelse se dels om deras tidigare klasskamrater är skickligare på problemlösning (intelligentare). Dels att ta reda på om en undervisning som medvetet baseras på problemlösning främjar tänkandet och problemlösningsförmågan.
1.3 Varför är detta ämnet intressant, relevant?
Ämnet är relevant för alla matematiklärare i den mening där de bör vara medvetna om det man menar då man talar om intelligens i undervisningssammanhang. Man bör också som pedagog försöka skilja i sin syn på hur en person upplevs att vara och vad personen har möjlighet att prestera. Att vara intelligent verkar betyda detsamma som duktig i matematik. Intelligensbegreppet är alltså ofta starkt kopplat till matematikämnet. Det är således att matematikämnet innefattar många olika moment. Att lösa matematiska problem brukar vara det som ett stort antal människor anknyter till intelligens. Det sägs att en person som är intelligent har förmågan att lösa matematiska problem. Det är ett synsätt som bör ge eftertanke i hur vi ser på undervisningen. Lärare bör tänka på vad de gör för att främja en sådan förmåga hos sina elever. Även på vad de gör för att ge eleverna tillit till problemlösningsförmågan. Det råder ett växande intresse för problemlösning hos en del matematikdidaktiker vilket bekräftas även under rubriken intresset för problemlösning i
intelligensbegreppet påverkar vår syn på våra elever. Är alla ungdomar med miserabla sociala förhållanden dömda till att vara ointelligenta? Vad blir i sådana fall betydelsen av skolgången och undervisningen? Det är b la sådana tankar som leder till relevans i ämnet och betydelsen av att undersöka detta i undervisningssammanhang.
2 Syfte
Det är viktigt att undersöka vilka definitioner som finns för intelligensbegreppet i den del som berör logik i matematik och i vilken mån den går att påverka. Även ett försök till att definiera intelligensbegreppet bör utföras. Det är viktigt är att ta reda på vad matematiklärare gör för definition av begreppet. Vad betyder problemlösning i matematik? Vad säger tidigare forskning om metoder och inlärning vid problemlösning?
Syftet med denna undersökning är därför att ta reda på vilken roll problemlösning spelar i skolan och i matematikundervisningen. Även att ta reda på vad man menar då man talar om intelligens i matematik. Arbetet går delvis ut på att undersöka om matematiklärare verkar för att utveckla en sådan förmåga. Det är ytterst viktigt att få inblick i intelligensbegreppets innebörd i sammanhang som rör matematikämnet. Om problemlösning inom matematik är en intelligens kan det vara möjligt att det är en medfödd sådan och inte går att påverka. Det är väsentligt att undersöka om fallet är sådant. Jag undrar också om urvalet av problem och undervisningsmetoderna kan främja det sk logiska tänkandet som brukar fordras i matematik. Syftet är brett men avgränsas därför till frågeställningarna nedan:
2.1 Frågeställningar
– Anser dagens matematiklärare att problemlösningsförmågan är förknippad med intelligensen?
– Vad kan lärare göra för att utveckla problemlösningsförmågan hos sina elever och stimulera intresset för problemlösning?
Även frågeställningarna kan verka omfatta en stor del som inte kan rymmas i detta examensarbetes ramar. Första frågan kan uppfattas som väldigt generell. Jag förtydligar därför här att spörsmålet gäller matematiklärarna som kommer att ingå i denna
undersökning. Slutsatserna, som frågeställningarna leder till, är ingen allmän uppfattning som gäller alla matematiklärare. Huruvida resultaten speglar dagens lärare är en bedömning som läsaren själv får avgöra.
3 Teori
3.1 Intelligens
I svensk ordbok förklaras intelligens som förmågan till tänkande och analys med begåvning som synonym (Svenska ordboken, 1999). I dagligt tal är intelligens detsamma som förstånd, begåvning eller tankeförmåga (Nationalencyklopedin).
År 1904 kom en grupp psykologer med Alfred Binet i spetsen att utarbeta metoder för att ta reda på vilka elever i förskolan som riskerade att misslyckas med sina studier. Detta skedde på den franska utbildningsministern begäran som hade i syfte att erbjuda svaga elever adekvat hjälp. Resultatet av arbetet kom att sätta grund till det som vi idag kallar IQ-test eller intelligenstest. Det blev också allmänt känt att det fanns något som kallades intelligens och som kunde mätas (Armstrong, 1994).
Således växte denna forskning på 1940-talet och hade i syfte att studera individuella differenser mellan människor. Man ville studera varför vissa människor hade en bättre problemlösningsförmåga än andra och man utformade flera intelligenstest för att mäta denna förmåga. Man kom fram till en teori om att matematisk begåvning var skänkt av naturen och endast till en del människor men inte alla (Ahlberg, 1995).
3.2 Kritiken av IQ-TEST
Binets tanke med intelligens- eller IQ-tester var alltså att bestämma hur intelligent en person är. Proven var till en början åldersrelaterade och var utformade så att alla normalt begåvade i en viss ålder skulle klara av dem. Detta innebar att en fyraårig pojke som klarade provet för fyraåringar men inte för femåringar hade en intelligensålder på fyra år. I dag anser flera psykologer att Binets teori om intelligensålder är ett dåligt mått på intelligens (Isaksson, 1997).
I tidskriften Clarté skriver Hans Isaksson att få seriösa forskare använder sådana mått och etiketter. Man kan inte klassificera människor med siffror efter testresultat. IQ- mått talar
förvisso om något om människans begåvning men handlar endast om ett begränsat fält av deras förmåga. Ängsligheten i testsituationen spelar en väldigt stor roll för testresultaten. En allmän uppfattning numera är att IQ mäter en faktor bland många i intelligensen. Dessutom är intelligensen bara en faktor bland flera som avgör om personen är begåvad eller ej. För övrigt är många forskare överens om att uppväxt, utbildning och språk är avgörande faktorer för testresultaten på ett sk IQ-test. Isaksson stödjer denna uppfattning men väljer ändå att redogöra för fyra olika paradigm av intelligensbegreppet. Dessa fyra synsätt är presenterade av psykometrikernas uppfattning, biologisternas uppfattning, de kognitiva psykologerna och den kognitivt kontextuella skolan (Isaksson, 1997).
I detta arbete görs ingen större utredning för de fyra synsätten ovan. Arbete stöds av de två sistnämnda paradigmen. Därför är det väsentligt att kort redogöra för den tolkningen som de gör av intelligensbegreppet.
3.2.1 Intelligens enligt de kognitiva psyklogerna
En grundläggande föreställning i denna intelligensteori är att intelligensen omfattar en uppsättning av data och även processer som inverkar på och igenom dessa data. Intelligent är man om man är duktig på att lagra och operera med dessa. På 70-talet modifierades denna tolkning ytterligare. Det kognitiva synsättet på intelligens förutsätter att vi löser problem seriellt dvs. steg för steg. När vi t.ex. använder algebra så strukturerar vi först problemet, benämner sedan termerna, formulerar en ekvation och löser den därefter. En del psykologer har hävdat att definitionen av intelligens kan variera mellan kulturer och grupper. Man hävdar därför att den kognitiva teorin bör kompletteras så att omgivning och samband togs med i beräkningen. Det blev också alltmer uppenbart att intelligenstesten till en viss del var hyfsade bra på att förutsäga skolresultat men oförmögna att göra förutsägelser beträffande personens framgångar senare i livet (Isaksson, 1997).
3.2.2 Intelligens enligt den kognitivt -kontextuella skolan
förgrundsgestalterna till detta synsätt är Robert J. Sternberg. Han indelade intelligensen i tre faktorer: det som händer inuti personen, det som sker i yttervärlden och erfarenheten som förmedlande länk mellan de båda. Sternberg betonar förmågan till anpassning som det centrala i intelligensen. Det gäller inte minst förmågan att automatisera de kognitiva processerna. Detta eftersom att en god sådan förmåga permitterar möjligheter att handskas med nya problem. Till exempel har den som har automatiserat sin läsprocess i hög grad lättare att begrunda innehållet i en bok (Isaksson, 1997).
Howard Gardner är en annan av förgrundsgestalterna i denna skola. Gardner postulerade 1983 "multipla intelligenser". Gardner hävdar att en individ bär på mer än en intelligens. Begreppet handlar därför inte om en begåvning eller talang utan om flera förmågor. Gardner räknar upp dem till sju intelligenser och kallar dem:
• lingvistisk intelligens- bra språksinne, lätt att skriva, lära sig språk o s v.
• logisk-matematisk intelligens - bra på abstrakta termer. Denna intelligens beskrivs närmare nedan.
• spatial intelligens - har bra sinne för omvärlden, såsom bildkonstnärer och tecknare.
• musikal intelligens - tonsinne, bra på takter, melodier, spela instrument och komponera musik.
• kroppslig-kinetisk intelligens – Bollsinne, har god känsla för kroppar i rörelse, även sin egen.
• intrapersonell intelligens - En person som har lätt för att analysera sig själv, vanligt bland rådgivare, diakoner och egenföretagare.
• interpersonell intelligens – har lätt för andra människor t ex skådespelare och politiker.
Var och en av intelligenserna ovan har att göra med olika förmågor hos en individ. Gardner menar ändock att det ständigt sker ett komplext samspel på olika nivåer mellan
intelligenserna. Den kognitivt -kontextuella skolan understryker det relativa i
intelligensbegreppet och växelspelet individ-miljö. På så sätt undviker det också alla tendenser till att bara se till IQ-tester (Isaksson, 1997).
3.3 En matematisk förmåga
Intelligensen började ses som flera olika sammansatta faktorer. Det har vidare lett till en hel del studier för att ta reda på de faktorer som kan påverka den matematiska förmågan. Ebbe Möllehed har gjort en studie i problemlösning i matematik. Han gör en kort presentation i sin studie av Ingvar Werdelins forskning i ämnet. Framgång i matematik påverkas enligt Werdelins forskning av b la en allmän faktor som har visat stark relation till intelligenstest. En annan faktor som benämns är en allmänt logisk-matematiska faktor. Men även den visuella, den deduktiva och de verbala faktorerna är väsentliga för framgång i matematik (Möllehed, 2001). Nedan presenteras kort en tolkning av det som kan menas dessa faktorer enligt förgrundsfiguren till teorin av multipla intelligenser:
3.3.1 Logisk-matematisk intelligens
Många ser faktorerna som omnämns ovan som intelligenser. Tex beskrivs den logisk-matematiska intelligensen som förmågan att göra beräkningar och bla reflektera över matematiska resonemang. Det är förmågan att utföra komplexa matematiska operationer. Även att lösa matematiska problem, att lösa logiska problem, logiska gåtor och att presentera fakta logiskt. Denna intelligens gör det möjligt för oss att tänka induktivt och deduktivt. Det är förmågan att uppfatta relationer och samband samt att använda symboliskt tänkande. Det påstås att den logisk-matematiska intelligensen oftast är välutvecklad hos inte bara matematiker och vetenskapsmän utan även t. ex hos detektiver (Campbell, 1994).
3.3.2 Visuell intelligens
Denna intelligens handlar om förmågan att tänka i tre dimensioner. Den visuella intelligensen är bla förmågan att tänka i bilder och att manipulera symboler. Det är en grafisk och konstnärlig begåvning som starkt förknippas med livlig fantasi. Det sägs att den visuella intelligensen är vanligtvis välutvecklad hos bla piloter, konstnärer och arkitekter
3.3.3 Interpersonell intelligens
Det är förmågan att förstå andra människor och samspela med dem. Den inbegriper båda verbal och icke verbal kommunikation. Den inkluderar även förmågan att lägga märke till andra, en känslighet för sinnestillstånd och förmågan att se saker från olika håll. Lärare, socialarbetare, skådespelare och politiker uppvisar starkt denna förmåga (Campbell, 1994).
3.4 Teorin om de multipla intelligenserna, MI
Howard Gardners teori om de sju intelligenserna som tidigare nämndes har kommit att kallas teorin om de multipla intelligenserna, MI. Den kan beskrivas som en utbildningsfilosofi, en inställning till studier och en modell till undervisning. Tolkningarna av intelligenserna ovan kommer ifrån Gardners definitioner. Enligt MI-teorin har varje människa möjligheter att utveckla alla sju intelligenser, självfallet på ett unikt sätt för varje individ. En del människor kan ha extremt hög nivå av alla eller nästan alla intelligenser. Vissa människor kan sakna någon av intelligenserna. De flesta hamnar någonstans mittemellan dessa ytterligheter. En del av intelligenserna är högt utvecklade, några mindre utvecklade och vissa är underutvecklade. Gardners teori förespråkar att i stort sett alla människor har möjlighet att utveckla alla sju intelligenserna till en hyfsad hög nivå. Detta kan nås om individen får lämplig uppmuntran, berikande miljö och undervisning. Han hänvisar till en studie sk suzukimetoden där elever med en obetydlig musikalisk begåvning uppnår en avancerad nivå i att spela instrument. Det sker genom en kombination av dels undervisning och dels gott inflytande av omgivningen. Gardner anser alltså inte att alla talanger eller förmågor som människor bär på är medfödda och omöjliga att påverka. När man väl har accepterat denna uppfattning liksom uppfattningen av att standardiserade prov mäter en liten del av mången i intelligensen blir begreppet intelligens ett mera funktionellt begrepp. Intelligens blir då ett begrepp som har mer att göra med främst att lösa problem och skapa ett meningsfullt sammanhang (Armstrong, 1994).
MI-teorins tanke om att alla kan utveckla sina intelligenser är beroende av främst tre faktorer, nämligen en biologisk begåvning som omfattar ärftlighet eller genetiska faktorer
och även hjärnskador. Den personliga livshistorien som inkluderar upplevelserna med föräldrar, lärare, vänner och klasskamrater som antigen väcker eller hämmar intelligensernas utveckling. Den tredje faktorn är den kulturella och historiska bakgrunden. Den omfattar den tid och platser där man föddes och växte upp samt områdens kulturella tillstånd och utveckling. Samverkan mellan dessa faktorer är viktig för en intelligens utveckling. Man menar ändock, och hänvisar till den tidigare nämnda studien om suzukimetoden, att man via undervisning kan utveckla en intelligens till en hög nivå trots att man är född med blygsam begåvning av den. MI-teorin värdesätter påverkan av miljö lika mycket om inte mer än medfödd begåvning (Armstrong, 1994).
3.5 MI-teorin i undervisningen
Thomas Armstrong, författaren av ”Multiple Intelligences in the classroom” stödjer i likhet med detta arbete Gardners MI-teori. Armstrong har i sin bok försökt att redogöra för hur man kan tillämpa MI-teorin i klassrummet. Han menar att det finns en mängd sätt att undervisa än den traditionella modellen med läraren som föreläsare. Han sträcker det till ett MI-klassrum med MI-lärare och MI-stationer för MI-undervisning. Armstrong redogör för många övningar och tekniker att arbeta med under varje intelligens (Armstrong, 1994). Detta arbete handlar om matematikämnet. När det i fortsättning talas om intelligens åsyftas därför endast arbetet som kopplas till främjandet av problemlösningsförmågan i matematik utifrån teorin om de sju intelligenserna (se t ex det som inryms under logisk -matematisk intelligens).
3.6 Undervisningsmodeller för logisk -matematisk intelligens
Jag har valt att göra ett urval av MI-teorins tillämpningsförslag i kombination med andra teorier. Dessa är tänkta att spegla och ge inspiration till undervisningsmetoderna i denna undersökning. Det är inte tänkt att redogörelsen nedan är ensam tillräcklig att täcka hela matematikundervisningen. Likaså står den inte själv för arbetet kring utvecklingen av en intelligens och inte är den heller tillräcklig att ensam stå för matematikundervisningen. Den skall ses som ett komplement till lärarens individuella metoder och material.
3.6.1 Vilka av er tror att ni är intelligenta?
Det är med denna rubrik som Armstrong introducerar teorin om multipla intelligenser för sina elever. Oavsett hur många händer som sträcks säger oftast Armstrong till sina elever: ”Ni är alla intelligenta på sju olika sätt” Armstrong har sett en tendens till att desto äldre eleverna är desto färre händer som sträcks upp då han ställer sin fråga. Han ställer sig frågan om vad lärarna gör under skolåren för att övertyga eleverna om att de är intelligenta? Armstrong svarar inte direkt på denna fråga. Han besvarar den däremot med hjälp av sin bok där han främst förespråkar om MI-metoder. Redan i introduktionen till sina elever gör Armstrong en presentation av de sju intelligenserna och ser till att varje elev räcker upp handen i flera av förmågorna. Med hjälp av en pizzafigur på tavlan förklarar han modellen om de sju intelligenserna för sina elever. För den biten som svarar för den logisk-matematiska intelligensen och står b la för logisk begåvning ställer han exempelvis frågan: Vilka av er har gjort experiment i skolan? På så sätt ger han eleverna känslan av delaktighet och samhörighet med intelligensbegreppet (Armstrong, 1994).
3.6.2 Läroboken är inte tillräcklig
Läroboken kan aldrig ge tillräckligt av det som behövs för att främja problemlösningsförmågan. Det krävs oavbrutet engagemang av läraren för att understödja detta. Till problemen i läroboken finns det oftast uppgifter angivna för lösningen. Problem i verkligheten kräver att man tänker efter, tar reda på vilka uppgifter som behövs och letar rätt på dem. Självklart är detta mycket svårare än i läroboksformen men ur tankeövningssynpunkt är det väldigt värdefullt (Emanuelsson m fl, 1995).
Under min lärarutbildning, i kursen Algebra och lärande på lärarhögskolan i Malmö, skrev jag en kort fältrapport ”Hur tänker barn om Algebra”. Jag har i den rapporten hänvisat till en del resonemang av författarna av boken ”Matematik – ett kommunikationsämne med verklighetsanknytning”. Jag relaterar åter till dessa resonemang. Där hävdas att många av läroböckerna som finns i dag är utformade så att eleverna får lära sig hur en uppgift skall göras men inte hur de skall tänka. Eleverna använder den största tiden till att räkna med algoritmer. Detta hämmar den matematiska utvecklingen och det logiska tänkandet vid
problemlösning. Trots det föredrar fortfarande många lärare en lärobokstyrd undervisning. Det är visserligen inte alltid fel men läraren måste granska svagheterna med läroboken och komplettera med annat material. Arbetet måste fokuseras mer på reflektioner och diskussioner kring problemen (Maijd & Åkesson, 2001).
3.6.3 Sokratiska frågor
I anvisningarna som värdesätts för tillämpningar av MI-teorin i klassrummet nämns vikten av sokratiska frågor. Den grekiska filosofen Sokrates gav upphov till denna undervisningsmodell som går ut på kritiskt tänkande. Läraren använder sig av sk sokratiska frågor till eleverna och ifrågasätter deras åsikter. Läraren talar inte till eleverna utan denne för en dialog med dem. Målet med dialogen är att avslöja det riktiga eller felaktiga i deras tankebanor. Elever får möjlighet att ställa sina hypoteser och läraren hjälper dem via skickliga frågor. Läraren undersöker dessa hypotesers riktighet, skärpa, logik, noggrannhet och relevans. Syftet med sokratiska frågor är att öva eleverna i kritiskt tänkande (Armstrong, 1994).
3.6.4 Heuristiska tekniker
I likhet med MI-teorin talar även andra forskare om heuristiska tekniker. Heuristiken handlar om generella matematiska problemlösningsstrategier. Ordet kommer från grekiskan och betyder finna eller upptäcka. Armstrong vill inte se dessa tekniker som grundläggande strategier för undervisningen i sin bok. Författaren menar att MI-teorin inte bygger på fundamentala tekniker för undervisning och betraktar heuristiken som ett verktyg i sin undervisningsmodell. Denna teknik bör ses som hjälpmedel i undervisningen av logisk-matematisk intelligens. Armstrong hänvisar även till George Polya, en förgrundsfigur inom problemlösning, i sitt påstående om att heuristiken skall förse eleverna med logiska kartor som kan hjälpa dem att hitta rätt i det okända. Heuristiken använder tumregler och förslag till logisk problemlösning. Även här handlar det om att läraren ställer rationella frågor så att eleven kan söka efter lösning och nå kunskap. Eleven får möjlighet att omformulera dessa
frågor och på så sätt stimulera sitt eget tänkande (Armstrong, 1994). Exempel på sådana frågor kan vara:
Vad är givet?
Har jag löst ett liknande problem tidigare? Kan jag indela problemet?
Finns det något samband som skulle kunna utnyttjas? Kan jag simplifiera problemet?
Kan jag arbeta baklänges?
Kan jag finna en motsägelse? (Nilsson, 1999)
3.6.5 Matematik är ett kommunikationsämne
I dagens skola domineras matematikundervisningen fortfarande av tysträkning, dvs varje elev räknar tyst och för sig själv. Det saknas en kommunikativ del i ämnet, vilken är väsentlig för problemlösningsförmågan. Denna kan ske via att låta eleverna samarbeta i en del moment av matematiken (Ahlberg, 1995). Vid problemlösning är det uppgiftens innehåll som skall ligga i grund för vilket samarbete eleverna bör ha och vilka instruktioner som behövs. Uppgiften måste inbjuda till ett samarbete, annars kan arbetet bli meningslöst. Matematisk inlärning sker bäst via handling. Eleverna bör lära sig att använda tillämpningar. Det ger möjligheter till användningen av förnuft och logiska resonemang (Emanuelsson, m fl, 1995).
Skolundervisningen är också fokuserad på rätt svar, vilket kan leda till att eleven tror att det endast finns ett svar. Eleven ges därför inte möjlighet att vidga sitt tänkande och känner dessutom sig pressad till att hinna med så många uppgifter som möjligt. Det föreslås därför låta eleverna lösa färre problem under lektionstillfällen. Problemet/problemen bör presenteras i ett separat häfte så eleven inte behöver tänka på att skynda sig till nästa uppgift. Därmed ges eleven möjlighet att tänka över uppgiftens innehåll och reflektera över möjligheterna och olika uttrycksformer för lösning (Ahlberg, 1995).
Detta arbete stöds av MI-teorin och influeras delvis av Armstrongs tillämpningar av teorin. Jag vill ändock göra läsaren uppmärksam på att undersökningen och arbetet kring denna inte bygger på att tillämpa MI-teorins tekniker. Läsaren hänvisas till Armstrongs ovannämnda bok för djupare insyn i metoderna.
Efter att berättat att detta arbete domineras av det kognitiva synsättet liksom den kognitivt kontextuella skolans betraktelsesätt på intelligensbegreppet, talas det vidare om begreppet utifrån dessa uppfattningar. Det har ovan nämnts att den logisk-matematiska intelligensen fokuseras på problemlösningsförmågan. För denna intelligens nämns b la att lösa matematiska problem, att lösa logiska problem , logiska gåtor och att presentera fakta logiskt. Det är den typen av problemlösning som det talas om i fortsättningen. Intelligensbegreppet i denna undersökning åsyftar därför förmågan att lösa problem och skapandet av meningsfulla sammanhang. Härmed måste uttrycket problemlösning definieras i det avseende som det gör sig gällande här.
3.7 Intresset för problemlösning
Intresset för problemlösning har funnits länge men det var troligen i slutet av 1970-talet som intresset fick en kraftig ökning. Detta ledde till en relativt hög produktion av böcker om problemlösning, främst i USA. Innehållet koncentrerades starkt till att finna lämpliga problem och lämpliga lösningsstrategier som kan användas i undervisningen. Många var också sysselsatta i att utarbeta lämpliga undervisningsmetoder för ändamålet. Detta kom att förändra synen på både lärarrollen och undervisningen (Möllehed, 2001).
Intresset har smittat av sig till matematikdidaktiker som velat uppmärksamma elevernas sätt att konstruera kunskap. Problemlösning är en levande komponent i matematikundervisningen. Man önskar därför fortsatt arbete mot problemlösning i skolan, vilket kräver insyn över metoderna och inställningen. Detta för att öka elevernas motivation, stimulera deras aktivitet och observationsförmåga. Därutöver främjar arbetet med problemlösning kritiskt tänkande och tillåter eleverna att uppöva sin samarbetsförmåga. Arbetssättet tar även hänsyn till de enskilda behoven och de individuella tankesätten
ges exempel på begreppsdefinitioner och vägledningar som har anknytning till min undersökning.
3.8 Vad är problemlösning?
Enligt Ebbe Möllehed handlar det om sådana problem som eleven inte tidigare har mött och där inga lösningsstrategier är tillgängliga från början. Eleven måste därför själv söka efter svar och finna tänkbara lösningsstrategier samt välja en egen lösningsmetod. Då Möllehed talar om problemlösning talar han om matematiska problem (Möllehed, 1993). Det är vad som menas med problemlösning även i denna undersökning.
3.8.1 Beskrivning av problemlösning
Möllehed hänvisar till George Polyas beskrivning av problemlösning. Polya undervisade i matematik i USA på 1940-talet och anses ha gett en klassisk beskrivning av problemlösning. Han intresserade sig starkt för problemlösning och förespråkade lösning av problem där metoden inte på förhand var given. Han har även antytt att en del förkunskaper är självklara för att kunna lösa ett problem. Polya har gett en högt uppskattad beskrivning på olika steg för problemlösning. Han beskriver lösningsprocessen med de fyra faserna nedan:
Förstå problemet Utarbeta en plan Genomför planen
Se tillbaka på lösningen (Möllehed, 2001)
3.8.2 Rika problem
Haglund m fl (2005) utgår i boken ”Rika matematiska problem - inspiration till variation” även de ifrån Polyas beskrivning av problemlösning. De anser ändock inte att definitionen är tillräcklig för att inbjuda till reflektion och diskussion kring väsentliga matematiska idéer. De menar att ett rikt problem som inbjuder till ovanstående skall uppfylla följande kriterier (Haglund m fl, 2005):
• Problemet skall leda till matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.
Det skall leda till inspiration till användning av matematiska idéer. Problemet skall även få eleven motiverad att lära sig matematiska begrepp och pröva nya tekniker för problemlösning.
• Problemet skall ge möjlighet till samtliga elever i gruppen att arbeta. Alla skall känna att de kan förstår och helst klara av en bit av lösningen.
• Problemet skall kräva ansträngning och upplevas som en utmaning.
Eleven skall helst inte känna att det är en rutinuppgift utan hon/han måste tänka till.
• Problemet skall vara sådant som kan lösas med hjälp av mer än strategi.
Problemen behöver inte kräva avancerade matematiska kunskaper av eleven för att uppfylla kriteriet. Eleven skall kunna redovisa sina lösningar med den uttrycksformen som hon/han känner sig tryggast med, dvs med en bild, en graf, en uppställning eller tom endast via att förklara muntligt.
• Problemet skall leda till en matematisk diskussion utifrån elevernas lösningsstrategier och idéer. Samtalen skall leda in eleven på väsentliga lösningsmetoder som redovisats helst av någon i elevgruppen men ibland även av läraren.
• Problemet skall leda till aha-upplevelser. Med detta menas att eleven skall kunna se samband mellan matematikens olika delar.
• Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya problem. Ett sätt att få eleven att visa upp sina kunskaper är att be dem att hitta på liknande problem. Författarna menar dock att det inte är alltid helt lätt att uppfylla detta kriterium.
3.9 Problemlösning i dagens skola
Forskning inom matematisk problemlösning har följt två riktningar. Den ena riktningen studerar problemlösning i vardagslivet utifrån kulturella, historiska och sociala faktorer. Den andra riktningen omfattar problemlösning inom olika områden matematik såsom geometri, aritmetik och bråk. Det är viktigt att påpeka att forskningsresultaten oftast inte ger några slutliga riktlinjer till hur undervisningen skall bedrivas men kan ge förklaringsmodeller till hur elever bildar kunskap. Många av dagens forskare är eniga i att elevers problemlösningsförmåga bör utvecklas via en undervisning som uppmuntrar och utvecklar denna förmåga (Ahlberg, 1995)
3.9.1 Betryggande anknytning till problemlösning i undervisningen I kursplanen för matematikämnet i grundskolan har skolverket uppsatta mål som skolan skall sträva mot i sin undervisning. Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven (Skolverket, 1996):
• utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,
• utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande,
• utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den
ursprungliga problemsituationen,
• skaffar sig väsentliga kunskaper i matematik som kan behövas för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i vardagslivet. De ska ligga till grund för fortsatt utbildning.
I Lpo 94 nämns det att elever skall ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att arbeta självständigt och lösa problem. Det sägs dessutom att undervisningen skall anpassas till de individuella förutsättningarna hos varje elev. Skolan skall i sitt uppdrag främja lärandet och uppmuntra eleverna att inhämta kunskaper. Undervisningen skall sträva att varje elev utvecklar nyfikenhet och lust att lära. Eleverna skall även ges möjlighet att dels utveckla sitt eget sätt att lära. Dels att utveckla tillit till sin egen förmåga (se skolverket, 1994 års läroplan).
4 Metod
Utifrån teorin som presenterades i föregående kapitel startades ett arbete som är fokuserat på problemlösning. Arbetet genomfördes i den gruppen som i denna undersökning kommer att kallas observationsgruppen, dvs eleverna på Ungdomsalternativet. Eleverna arbetade parvis under veckorna 35-47. Därefter, i vecka 48, fick var och en lösa ett antal problem i ett formulär, som jag i denna rapport kommer att kalla för test (se bilaga 2). Samma test gavs till eleverna i skolklasserna på respektive skola som observationsgruppen kommer ifrån. Anledningen till att låta ett sk test att ingå i undersökningen är för att säkerställa resultaten av mina observationer och att dessutom bekräfta påståenden som progression eller ej. Förutom det ät testet ett komplement till mitt arbete i observationsgruppen vilket kan bidra till att besvara de ställda frågeställningarna i denna undersökning.
Till sidan av det ovannämnda, fick även matematiklärarna i skolklasserna som inkluderas i undersökningen skriftligt besvara en enkät (se bilaga 1). Lärarna fick redogöra för sin definition av intelligensbegreppet och även ifall de ansåg att begreppet hör till matematikämnets karaktär och i vilken omfattning. Metoden i denna undersökning bygger således på observationerna i observationsgruppen, testenkätens resultat och lärarnas skriftliga inlämning. En utförligare beskrivning följer nedan:
4.1 Urvalsgrupperna
Jag börjar med att presentera urvalsgrupperna som har innefattats i undersökningen. För att klargöra för läsaren delar jag in försökspersonerna i följande tre grupper:
Observationsgruppen Lärargruppen
4.2 Observationsgruppen
Anledningen till att kalla dessa elever för observationsgrupp är att det har ingått en annan grupp elever i undersökningen som har kallats för testgrupp. Denne presenteras nedan under rubriken testgruppen. I observationsgruppen är ungdomarna före detta elever till lärarna som inkluderas i undersökningen. Observationsgruppen är även före detta klaskamrater till flera av eleverna i testgruppen.
Eleverna i observationsgruppen får numera sin undervisning på Ungdomsalternativet. Denna grupp utgör i den här undersökningen den delen av elever som medvetet har fått arbeta med problemlösning utanför läroboken. Eleverna fick i vecka 48 även utföra ett test med uppgifter fokuserade på problemlösning.
4.2.1 Urval av observationsgruppen
Alla elever som har sin anpassade studiegång på Ungdomsalternativet har inkluderats i undersökningen. Samtliga deltagare är pojkar. Det är av vikt att nämna att en del elever startade på ungdomsalternativet under terminens gång och har i efterhand fått sättas in i undersökningen. Till en början inkluderades 8 elever i observationsgruppen och antalet ökade slutligen till 12 elever. Samtliga elever är i åldrarna 13-15. Ingen hänsyn har tagits till elevernas förkunskaper, bakgrund, sociala omständigheter eller uppväxt.
4.2.2 Bortfall i observationsgruppen
Inget bortfall redovisas. Undersökningen tar inte hänsyn till frånvaro vid övningstillfällen och inte heller hänsyn till inhoppande elever. Detta iom att inga individuella resultat kommer att redovisas. Iakttagelserna sker generellt över hela gruppen och inte mellan eleverna.
Inget bortfall redovisas heller för testtillfället som genomfördes 2005-12-02. Tolv elever har för tillfället sin anpassade studiegång på Ungdomsalternativet. Tolv elever genomförde testet 2005-12-02
4.3 Lärargruppen
Som tidigare nämnt åsyftar undersökningen till att dels ta reda på vad matematiklärarna har för allmän uppfattning om intelligensbegreppet. För det ändamålet undersöktes hur en del matematiklärare tolkar begreppet. Lärarna i undersökningen undervisar alla i matematik i åldrarna 13-15 år.
4.3.1 Urval av lärargruppen
Matematiklärarna valdes inte slumpmässigt. De åtta lärarna som har ingått i undersökningen är före detta lärare till eleverna i observationsgruppen. Det innebär att de är nuvarande lärare till eleverna som nedan kommer att presenteras under testgruppen. De åtta lärarna arbetar på fem olika grundskolor i Malmö. I denna undersökning har inte skolorna handplockats. Det är helt enkelt så att dessa grundskolor är observationsgruppens tidigare lärosäten. Ingen hänsyn har tagits till lärarnas pedagogiska utbildning, ålder, och inte heller till antal yrkesverksamma år inom skola och utbildning.
4.3.2 Bortfall i lärargruppen
Inget bortfall redovisas. Åtta lärare tillfrågades att vara med i undersökningen. Dessa åtta deltog i undersökningen och har alla svarat på den enkät som berör dem.
4.4 Testgruppen
Denna undersökning har även till syfte att få inblick i om lärare arbetar för att utveckla problemlösningsförmågan. För den avsikten undersöks eleverna som får undervisning i matematik av lärarna som ingår i undersökning. Dessa elever har därför fått besvara uppgifter i ett test. Eleverna kallas i fortsättningen för testgruppen. Tanken är även att testresultatet skall vara bidragande till att besvara min frågeställning om hur lärare kan stimulera elevers intresse till problemlösning.
4.4.1 Urval av testgruppen
Testgruppen valdes inte slumpmässigt. Nästan samtliga elever som har inräknats i testgruppen är före detta klasskamrater till eleverna i observationsgruppen. Dvs att testet genomförs i observationsgruppens tidigare klassrum. Testgruppen och observationsgruppen har haft samma matematiklärare. I undersökningen togs ingen hänsyn till lärarbyten för denna termin och inte heller till omfattningen som klassen har bytt lärare förr. Likaså togs heller inte hänsyn till nya elevers flytt eller start i klassen. Testgruppen omfattades av elever ifrån fem grundskolor i Malmö. Eleverna rymdes i 12 skolklasser och är i åldrarna 13-15. Antal elever i testgruppen uppgick till 299 elever. Ingen hänsyn har tagits till elevernas förkunskaper, bakgrund, sociala omständigheter eller uppväxt.
4.4.2 Bortfall i testgruppen
Inget bortfall redovisas. Jag visste på förhand inte hur många elever som inräknas i varje klass. Det är de eleverna som var närvarande vid testtillfället som har inkluderats i denna undersökning.
4.5 Testenkätens utformning
De både elevgrupperna tilldelas ett frågeformulär med uppgifter som fortsättningsvis kallas test i denna rapport (se bilaga 2). Jag vill här påpeka att jag valt att kalla detta formulär för test i undersökningen för att för läsaren urskilja det som jag i fortsättningen talar om i arbetet. Benämningen test presenterades varken för elever eller för lärare som ingår i undersökningen. För de berörda har jag kallat enkäten för övningsformulär. För iakttagande över de hänsyn som togs till etiska skäl, hänvisas läsaren till nästkommande rubrik.
Testet bestod av fem uppgifter. Problemen är fokuserade på det som i denna rapport åsyftas med problemlösning (se Mölleheds definition under vad är problemlösning). Jag har sökt efter dessa uppgifter på samma sätt som jag gjorde i mitt arbete i observationsgruppen. Frågorna i testet anses därför vara likvärdiga uppgifterna som observationsgruppen arbetat med. Precis i enighet med Mölleheds definition av problemlösning är inga lösningsstrategier presenterade från början. Tanken är att eleven själv skall söka efter svar och söka
tillvägagångssätt och välja metod för lösning. Observera att samma test genomfördes av både testgruppen och observationsgruppen.
Fyra av problemen i testet är hämtade ur boken ”Rika matematiska problem – inspiration till variation” Endast första uppgiften ”Hur många elever?” är hämtad ur läroboken i matematik för skolår 5 ”Alma – grundbok b” Problemens matematiska innehåll har inte ändrats ifrån sitt ursprung där de är hämtade, förutom i uppgiften; ”skolan har bokrea” där har siffrorna ändrats till en enklare variant. Samtliga berättelser i problemen är däremot uttryckta i en annan variant (se bilaga 2).
4.6 Hänsyn till etiska skäl
För observationsgruppen skickades brev hem till föräldrarna (se bilaga 3). Ingen förälder eller elev hade någon invändning emot att låta en del av undervisningen inkludera i detta examensarbete.
För eleverna i testgruppen har lärarna i denna undersökning sagt sig ansvara för de etiska aspekterna. De flesta lärare ansåg att det inte behövdes något brev till föräldrarna för testet iom att det kunde antas vara en del av undervisningen. Lärarna menade att testet inte inkluderade några enkätfrågor som kunde relateras till personliga åsikter och uppfattningar. Efter samtal med samtliga lärare avgjordes därför att de själva ansvarar för de etiska aspekterna. De betraktade testet som en del av undervisning men betonade vikten av anonymitet.
4.7 Genomförandet av arbetet i Observationsgruppen
Kvalitetsmätning genomfördes via observationer av elevernas arbete med hjälp av lektionsloggbok (för val av denna metod se metoddiskussion). Observationsgruppen fick slutligen utföra samma test som testgruppen. Testet genomförs enskilt precis som i testgruppen och med samma anvisningar. Tanken var att en jämförelse skulle dels bidra till att besvara min frågeställning om vad lärare kan göra för att utveckla problemlösningsförmågan hos sina elever. Dels ge inblick i om undervisningsmetoderna kan främja det logiska tänkandet som man brukar fordras i matematik (se syfte och frågeställningar).
Som ny lärare för dessa elever ville jag lägga in ett lektionsmoment på schemat som vi kom att kalla för veckans gåta. Jag letade i böcker, på nätet och hos bekanta efter logikövningar som eleverna parvis skulle arbeta med en gång i veckan. Övningarna skulle vara av sådant slag som erbjöd till samarbete. I enighet med den presenterade teoridelen i denna undersökning skulle övningarna erbjuda eleverna att själva bestämma över strategier för lösning. Inga givna räknemetoder presenterades och inga krav på tillvägagångssätt ställdes. När gåtan presenterades fick varje par gå i väg och på egen hand försöka finna lösning. När alla par anmälde sig klara fick varje par gå fram och visa sina tillvägagångssätt och presentera lösningen/lösningarna. Efteråt diskuterade vi de olika strategierna, svårigheterna och klurigheten bakom problemet.
4.7.1 Parindelningen
Eleverna delades in i par. Eleven arbetade med den partner som han grupperades med och fick denna utbytt efter en månad. Eleverna fick inte själva välja arbetskamrat. Ingen hänsyn togs till ålder, relation eller förkunskaper. Eleverna fick informationen om att var och en skall till slut ha arbetat med alla andra. Eleverna reagerade inte över tiden det skulle ta att byta kamrat en gång i månaden och det var jag i och för sig tacksam över.
4.7.2 Arbetet tar fart
Under denna rubrik presenteras delar av arbetet i observationsgruppen. Läsaren kommer att få denna presentation i en berättande form utifrån mina iakttagelser och mina anteckningar i lektionsloggboken. Jag har en uppfattning om att denna metod är passande för att skildra händelseförloppet under arbetets gång.
Första gåtan presenterades under första skolveckan på höstterminen. Eleverna ställdes inför en undervisningsmetod som de tidigare inte hade erfarits. Elevernas sociala karaktär underlättade heller inte genomförandet. De protesterade starkt och visade det via ett nästintill oacceptabelt språkval. Gruppen gav upp efter få minuter och visade varken engagemang eller vilja för att lösa den som kallade gåtan. Jag hade räknat med att det inte skulle gå helt lätt men jag chockades ändå av alla protester. Det var då som jag improviserade och presenterade belöningssystemet, nämligen kamelerna. Det paret som samlade flest kameler varje månad skulle belönas med en överraskning i slutet på månaden. Detta väckte intresset något och gruppen riktade sin uppmärksamhet på belöningen. Inget par lyckades lösa gåtan den gången och inga seriösa strategier presenterades. Ändock hade intresset väckts något.
Andra gåtan presenterades veckan därpå. Jag hade medvetet valt en gåta som inte var av matematisk karaktär. Jag hade dessutom läst upp den för vänner och bekanta under veckan och de ansåg den vara så enkel att den inte kunde presenteras som en övning eller gåta. Jag inledde detta tillfälle med en liknande fråga som Armstrong ställer sina elever nämligen: Vilka av er tror att ni är intelligenta? (se avsnittet Vilka av er tror att ni är intelligenta?) Till en början räcktes inga händer upp alls. Sedan räckte en elev upp handen och kommenterade; Varför ställa oss denna fråga? Om vi hade varit intelligenta hade vi inte placerats på Ungdomsalternativet. Vi är alla här av en anledning. Vet inte du att en del av oss var förbjudna att vistas på sina skolor under långa perioder. ”Detta är en CP-klass”, sa eleven.
Jag hade ställt frågan till fel samling av elever, tänkte jag. Eleverna hade vilt börjat diskutera med varandra om olika händelser som hade uppstått på deras förra skolor. De var ivriga att
eleverna berättade också om en intelligent före detta klasskamrat. ”Han hade alltid glasögon, han läste tjocka böcker och fick alla rätt på matteproven”, sa eleven. Nästan alla elever kände igen figuren som eleven beskrev. Jag lät eleverna tala ut i några minuter och ställde då frågan igen: Stämmer det att ingen av er anser att någon av sina kamrater är intelligent? Några räckte upp handen och kommenterade att en och annan av kamraterna var smarta för att de var så duktiga i matematik. Eleverna verkade koppla intelligens med att vara duktig i matematik.
Jag gick hela vägen och tillämpade Armstrongs hela introduktion. Jag ritade en MI-pizza, skrev dit de sju intelligenserna och berättade om förmågorna under varje intelligens. Jag ställde i likhet med Armstrong enkla frågor t ex: Under den spatiala intelligensen som har med bildbegåvning att göra frågade jag: Vilka av er tycker om rörliga bilder på tv och nätverksspel? Samtliga elever räckte upp handen på denna fråga. Detta var ingen övertygelse för eleverna om att vara intelligenta men det väckte deras observans kring begreppet. Eleverna berättade om massor av bekanta som hade begåvningar under varje intelligens som beskrevs. Ändock verkade eleverna tycka att listighet i matematik var den mest korrekta beskrivningen på intelligens.
Väl dags för den nästintill löjeväckande gåtan, antecknades den ner av samtliga par. En av pojkarna skrek till sin partner att skiljas ifrån gruppen. Han kunde lösningen, sa han. På väg ut skrek han till de övriga pojkarna: Vad lätt, den kan alla. Vi kommer att få en kamel, skrek han till de andra. Detta provokativa sätt eggade upp de övriga. Nu ville alla utom ett par vinna kameler. Paren satte sig enskilt, kom tillbaka och anmälde sig klara. Presentationen av lösningen kunde genomföras. Alla paren inklusive paret som inte samtalade med varandra löste gåtan. Jag krävde en ordentlig presentation av både lösning och strategi samt ifrågasatte eventuell tveksamhet till den presenterade lösningen. Till en början blev responsen inte stor. Paren ansåg att gåtan var så enkel att det inte fanns något att diskutera. Då erbjöd jag paren en extra kamel om de kunde redogöra för sina tankar kring lösningen. Resultatet blev talande elever som jagade kameler. Visserligen var redogörelserna korta och inga frågor ställdes av de övriga men de hade börjat sin kameljakt.
Den tredje gåtan som presenterades för eleverna löd:
En av era kontaktpersoner skulle baka i går kväll. Jag tänker inte berätta vem det är. Hur som helst så fick han problem då han skulle mäta upp exakt 5 dl socker. Han hade tyvärr endast två mått till sitt förfogande. Nämligen en bringare som han visste rymde exakt 1 liter och en kanna som han har köpt i ett land som använder underliga mått men som han visste rymde exakt 7 dl. Kan ni berätta för honom hur han hade kunnat göra för att mäta upp exakt 5 dl socker?
Första frågan som eleverna ställde var vem? Vem av deras kontaktpersoner hade bakat i går kväll? Jag hade redan kommit överens med en av kontaktpersonerna att avslöja att det var han som hade behövt hjälp med bakningen dagen innan. Det tänkte vi ändock inte avslöja förrän efteråt.
Innan eleverna gick iväg ställde två av dem frågor. De undrade om kontaktpersonen var säker på måtten på bringaren och kannan. Om han inte kunde använda något annat mått. De flesta eleverna tog gåtan på allvar. De verkade tycka att problemet var realistiskt och kunde uppstå i verkligheten. En av frågorna som eleverna ställde var: finns det en lösning på problemet? Hur ska man göra? Det finns minst en lösning sa jag och ni får göra hur ni vill. Att jag sa att det fanns minst en lösning skapade förvirring och en del av eleverna trodde då att kontaktpersonen kan ha löst problemet med hjälp av metoder som inte var beskrivna i problemet. Någon sa sig tro att kontaktpersonen kan ha bett en granne om hjälp. En annan elev sa att kontaktpersonen kan ha struntat i att baka. Jag rättade då till mitt misstag via att tydliggöra det jag åsyftade. Jag menar att det finns många sätt att gå till väga för att finna lösningen, sa jag. Jag hade försummat vikten av tydlighet i undervisningen. Å andra sidan var jag tacksam över att uppmärksamma att jag hade klarhet och förståelse för såväl arbetsuppgiftens innehåll och syfte. Det gav mig hjälp att snabbt kunna korrigera mitt misstag. Såväl tog arbetet fart med uppgiften, denna gången av alla utom två par.
att uppmuntra mig själv hade jag satt upp egna mål som jag fann stöd till i läroplanen. Jag försökte finna metoder som kunde bidra till nyfikenhet och lust att lära (se betryggande anknytning till problemlösning i undervisningen). Jag ville trots allt få alla paren att inhämta något som kunde vara värdefullt för deras utveckling. Att alla elever skulle inhämta något av värde ökade mitt dilemma kring de två paren som inte ens brydde sig om att samtala.
Det tog lång tid innan något par anmälde sig färdiga. Jag gick runt och tittade på deras arbete. Ett par räknade för fullt. De hade en massa siffror uppställda och diskuterade flitigt. I ett annat par, alldeles nyligen sammansatt, arbetade endast en av eleverna. Den andra iakttog. Jag ansåg det var ett steg på vägen men satte mig ner och observerade. Jag hoppades kunna ställa någon bra fråga till eleven som satt och tittade för att få reda på något i hans tankebanor (se sokratiska frågor). Den sysselsatta eleven passade på att fråga om han var på rätt spår. Det var svårt att kommentera detta iom att jag inte såg någon klarhet i det han gjorde. Jag frågade om han inte kunde visa mig vad han gjorde och fick svar: Kontaktpersonen skulle ha 5 dl socker med hjälp av två bringare på 7 dl resp. 10 dl. Skillnaden mellan 10 och 7 är 3, sa eleven. Så det hjälper honom inte hälla över ifrån den ena bringaren till den andra en gång. Eleven fortsatte 3, 5, 7 är dessutom alla udda siffror. Jag försöker komma på ett sätt att finna jämna siffror, för 10 är den enda jämna siffran nu. Jag var starkt imponerad över elevens resonemang. För mig verkade det uppenbart att tankarna ledde till metod för lösning. Eleven påpekade sedan snabbt att tillvägagångssättet var säkert fel och att han inte kommer på något annat att göra. Jag sa att jag kunde föreslå ett förfaringssätt men att han förmodligen behövde hjälp av en annan och att jag inte fick hjälpa till. Kamraten vaknade till samtidigt som den sysselsatta snäste åt honom. Om jag lyckas få en kamel i dag, så skall den vara endast för mig, sa eleven till sin kamrat. Du har inte bidragit med något. Kamraten svarade att han kunde hjälpa honom med det som jag kunde föreslå. Jag föreslog att de använde sig av glasen som fanns tillgängliga i köket och pröva sig fram utifrån arbetet på pappret. Vi har bringare som jag visste rymmer 1 liter och vi har flera glas. De kunde ta ett mindre glas och låtsas att det rymmer 7 dl. Jag blev fascinerad över samarbetet som startades. Den ena eleven hämtade mopphinken i städskåpet och fyllde den med vatten medan den andra plockade porslin i köket. Väl utanför var de båda upptagna
med att hälla vatten fram och tillbaka. Jag gladdes över samarbetet men oroade mig för de två paren som hade inlett sysselsättning av annat än självaste uppgiften.
Efter ett tag hade alla par anmält sig klara inklusive de två duor som inte hade samtalat. Paret med hinken och porslinet var det enda som klarade gåtan. De var sist med att redovisa för sin lösningsstrategi. Under redogörelsen fick de frågan av ett annat par om det var tillåtet att använda denna metod. De tyckte sig ha tänkt på samma sak men inte visste att möjligheten fanns. Jag gjorde klart att tillvägagångssätten var obestämda så länge de inte innebar våld eller otillåtna medel och föremål. Detta ledde till att paret som redogjorde fick en kamel och hade nu en kamel mer än alla andra. När en metod som ledde till lösning blev känd för alla par, flög det i mig att erbjuda ytterligare en kamel. Om något annat par kunde finna en annan lösning, även med samma metod, så fanns det fler kameler att plocka till sig.
Alla paren lockades. Förmodligen ansåg även de ointresserade att kamelerna var lättförtjänta. För mig hade alla börjat arbeta mot ett viktigt mål i kursplanen i matematik. Nämligen att utveckla sin förmåga att muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. (se betryggande anknytning till problemlösning i undervisningen). Eleverna visste att man inte fick en kamel om man inte kunde redogöra för sin strategi. Utanför undervisningslokalerna stod 10 skrattande elever utrustade med porslin, spannar, vatten, pennor och papper. De arbetade för fullt med att hälla vatten fram och tillbaka och jag pustade ut av lättnad. Fyra par av de fem lyckades haffa till sig en kamel och nu började kamelställningen bli något varierande mellan paren. Avslöjandet av kontaktpersonen bidrog till ytterligare samtal. Vederbörandet berättade nämligen att bakningen inte blev av i går men det skulle förmodligen bakas den kvällen. Han tackade dem för hjälpen med en gnutta skratt som ledde till vidarediskussion om b la uppgiftens innehåll.
Den sista gåtan för månaden innebar att en belöning skulle utgå till det vinnande paret. Eleverna var ivriga att efterfråga denne vid varje övningstillfälle. Jag talade med mina föreståndare och vi utsåg ett pris i form av biobiljetter till det vinnande paret. Vi hade under veckan haft besök av två specialpedagoger ifrån Kristianstad som höll ett kort träningspass i
skakade hand med varandra och såg varandra i ögonen innan de lämnade rummet och så blev gåtan:
Under veckan hade vi besökare ifrån Kristianstad. Dessa bad oss vid ett tillfälle att alla skaka hand med varandra. Ett avbrott gjordes då jag ställde frågan om hur många vi hade varit i rummet under det tillfället. Vi kom överens om femton personer. Och så fortsatte gåtan; Hur många handskakningar blev det om alla femton personerna skakade hand med varandra?
Under tiden tänkte jag på att jag hade haft samma uppgift under mina matematikstudier på lärarhögskolan. En del av oss hade svårt att lösa den direkt, tänkte jag. Elever kollade sina kamelställningar och så var det klart att med lite tur och stor ansträngning hade alla utom ett par möjlighet att vinna. Jag la till att alla hade möjlighet att vinna då det för denna gåta erbjöds två kameler. En kamel för det som vi vanligen gör och ytterligare en som erbjuds efter alla redogörelser. Denna kunde erhållas iom att alla par skulle förfrågas att ändra sina svar om de önskade. Trodde man att man hade fel kunde man ändra sig till något som man trodde vara rätt och tjäna en kamel. På samma sätt kunde man stå fast vid sitt svar och tjäna två kameler om lösningen var riktig.
För denna gåta arbetade alla. Jag tror att en del av dem tänkte att man kunde lika gärna anstränga sig lite grann och vinna något på det som hade varit pinande. Paren arbetade alla med papper och penna. De var upptagna med att välja ett räknesätt att finna lösning med. Jag hörde ett par hett debattera om sina skilda meningar beträffande räknesätten. Den ena eleven tyckte att addition var lämpligt medan den andra ansåg multiplikation var rätt. Visserligen hade de inte alla siffror på rätt plats men det var intressant att höra att tankebanorna var i gång. Ett annat par verkade glada över att ha kommit över lösningen. De hade ställt upp 15+15+15…+15 och frågade om de fick använda miniräknare. Metoderna var obestämda. Under tiden som jag låtsades vara på jakt efter räknedosan berättade jag hur glad jag var över att de snabbt funnit en lösning. Jag bad att paret skulle följa mig in till administrationspersonalen och fråga efter en miniräknare. Jag föreslog då att de skulle skaka hand med personalen och varandra. De var visserligen inte femton personer men eleverna
kunde väl undersöka saken i alla fall. Väl inne i personalrummet upptäckte de två eleverna att de hade skakat hand med varandra en gång. På väg tillbaka resonerade de över det och en av dem tyckte sig ha funnit en annan lösning. Han berättade för sin kamrat att om två personer skakar hand med varandra så gör de det endast en gång. Detta trots att de är två individer. Det är alltså bara en handskakning. Av någon anledning trodde kamraten att det var endast om de var två som det kunde te sig på detta vis. För att bevisa det frågade eleven om inte vi tre kunde skaka hand med varandra så de kunde räkna handskakningarna. Jag föreslog att de skulle testa med någon annan och de testade med ett annat par. Resultatet blev annorlunda för paren än det som de hade tänkt från början.
Väl dags för redovisningarna hade fyra av fem par upptäckt att två personer skakar hand med varandra en gång och utgått ifrån det tankesättet i sina redovisningar. Ett av paren hade adderat talen 15+14+13…+2 I deras redogörelse berättades det att detta för att en person inte kan skaka hand med sig själv. Detta höll de fast vid. Ett av paren som hade upptäckt samma metod protesterade och menade att 15+14+13…+1 är nödvändig iom att den nästsista individen hade en person kvar att skaka hand med. Det höll de fast vid. Meningsutbytet fortskred. Paret som inte var i närheten av dessa strategier hade under samtalet upptäckt att deras lösning var okorrekt. De sa sig var säkra på att ett av de ovanstående resonemangen var korrekt men kunde inte avgöra vilken. De anslöt sig till slut till 15+14+1…+2 lösningen. Deras motivation var att de övertygades bättre av att en person inte kan skaka hand med sig själv. De två resterande paren hade till en början en korrekt lösning på problemet. Ett par av dem anslöt sig till 15+14+13…+2 lösningen och det andra paret stod fast vid sitt svar. Kamelerna skulle delas ut efter att jag hade redovisat min lösning. Jag föreslog ändock att spara redogörelsen till efter pausen. På rasten var eleverna ivriga att testa svarsalternativen. De var ju angelägna om att ta reda på vilket par som skulle få belöningen. Genom fönstren kunde man se dem arbeta vilt med att skaka hand med varandra. Till och med de mindre intresserade medverkade till handskakningar.
Elev efter elev som störtade in var angelägen att berätta för mig om vem som hade vunnit månadens kameljakt. De hade provat på rasten och visste att 15+14+13…+1 var korrekt
lösning. Klart att den sista personen har en person kvar att skaka hand med, sades det från alla håll.
Därmed fanns ingen mening med ytterligare en redogörelse. I min mening var alla vinnare och hade löst gåtan. Trots det var endast ett par korade som pristagare på kameljakten och erhöll sin belöning.
4.7.3 Arbetet fortskridande i observationsgruppen
Gåtorna fortlöpte liksom intresset. Jag kunde se ett enormt växande intresse men självfallet skilde det sig från en elev till en annan. Nya par bildades inför femte gåtan med inspiration av boken ”Rika matematiska problem” som löd såhär:
Panta burkar
I 7:an samlade jag och två kompisar tomburkar. Detta får ni veta om oss:
-Vi pantade burkarna och la alla pengarna i en box -Boxen ställde vi på köksbordet
-Vi tänkte dela förtjänsten lika, alltså en tredjedel var
-Medan jag och Tessan kollade på TV i vardagsrummet, tog Kattis sin tredjedel av pengarna och gick hem
-Vi var bästisar och umgicks varje dag
-När Tessan sedan reser sig för att sin del av pengarna har hon inte märkt att Kattis redan har tagit sin del.
-Tessan trodde att alla pengarna var kvar och tog därför en tredjedel av pengarna som var kvar och gick sedan hem.
-När avsnittet av Simpsons var slut gick jag till sist för att ta min andel.
-Jag trodde att det var alla pengar som vi hade tjänat och tog därför min tredjedel. -När jag hade tagit min del såg jag att det bara var 8 kr kvar i boxen.
