Lösningar Kap 4
Rörelse
Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro
Lösningar Fysik 1 Heureka:Kapitel 4
4.1) Rita in två vågräta linjer i s-t diagrammet.
Den ena linjen ska gå vid 3km dvs.läget för Berga och den andra vid 8km dvs.läget för Furtan och läs av .
4.2) a) Vi ska analysera grafen lite. Under de första 3
minuterna kör cyklisten 900m från utgångspunkten. Under de tre minuterna som följer vilar hen. Förflyttningen är 900m. Det är samma som den körda sträckan.
b) Förflyttningen är nu 450m men den körda sträckan är 900 +450=1350m.
Förflyttningen under tiden från t=6 min till t=9 min är 450m-900m=-450m (hen kör tillbaka)
b) Förflyttningen från högsta läget till det lägsta är:
(-25cm)-(25cm)=-50cm. Storleken är 50cm.
c)När t=0,6s övergår s från positiv till negativt värde.
Kulan rör sig alltså från ett läge ovanför jämviktsläget till ett läge nedanför. Rörelseriktningen är alltså nedåt.
4.4) Förflyttningen är den nya lägeskoordinaten minus den gamla. Medelhastigheten är
förflyttningen delat med tiden det tar.
a) Förflyttningen är 25cm-(-25cm)=50cm. Tiden är 0,6sekunder. 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑒𝑙= 0,50,6 = 0,83𝑚/𝑠
b) Förflyttning=0-25cm=-25cm=-0,25m. Tiden är 0,3 sekunder
𝑣𝑚𝑒𝑑𝑒𝑙= −0,250,3 = −0,83𝑚/𝑠
c) Dra en tangent till grafen i punkten med koordinaterna (1,2, 0) och beräkna lutningen av den.
Δs Δt = 0,4 − (−0,4) 1,5 − 0,9 = 0,8𝑚 0,6𝑠 = 1,3𝑚/𝑠 𝑜𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑡𝑡𝑎 ä𝑟 𝑑𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡𝑒𝑛 𝑣𝑖𝑑 𝑡 = 1,2𝑠
d) Vi gör om samma som vi gjorde i c) och får lutningen till -1,3m/s. Den momentana
hastigheten vid tiden t=0,6 sekunder är då -1,3m/s
b) När den bakre löparen springer långsammare än den framför, ökar avståndet mellan dem.
Det kan vi se lodrät i diagrammet. När han springer fortare än den som är framför, minskar det. Svaret är: t=8 minuter
4.6) Med farten 160km/h tar det 12𝑘𝑚
160𝑘𝑚/ℎ = 0,075ℎ =
4,5𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟 𝑎𝑡𝑡 𝑘ö𝑟𝑎 12𝑘𝑚 t
Vi kan läsa av att det långsammare tåget kör 4km på 3 minuter.
𝑣 =3/604 = 2403 = 80𝑘𝑚/ℎ
OBS: Om vi tar hänsyn till att körtiderna är lika långa när de två tågen möts så kan vi skriva:
8𝑘𝑚 160𝑘𝑚/ℎ =
4𝑘𝑚
𝑣 v är det långsamma tågets fart
Med korsmultiplikation får vi 𝑣 =160∙4
8 = 80𝑘𝑚/ℎ 4.7) Om vi antar att Annas körtid är t då gäller att:
90 ∙ 𝑡 = 60 → 𝑡 = 6090= 23𝑡𝑖𝑚𝑚𝑎𝑟 = 40𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟 Hon kan vänta i högst 5 minuter alltså.
4.8) Vi ska helt enkelt läsa av från grafen vad som händer. Vi ser att han cyklar totalt 18
minuter och när 18 minuter har gått är han tillbaka på startpunkten. Högsta avståndet från starten är 2,1km. Han startar med medelfarten 20km/h, efter 3 minuter saktar han in och sedan ökar han farten igen. Som mest är hans fart 45km/h. Han vänder tillbaka efter 10 minuter utan att stanna och ökar farten till 25km/h under de sista 3 minuterna. Är det inte sant att ”en bild säger mer än tusen ord” ?
4.9) Anta att den sökta tiden är t:
Den snabbare bilens sträcka är: 24·t (m) Den långsammare bilens sträcka: 19·t (m)
Skillnaden ska vara 1km och då har vi följande samband: 24𝑡 − 19𝑡 = 103 → 5𝑡 = 103 → 𝑡 = 2 ∙ 102𝑠 = 3 min 20𝑠 4.10) Förflyttningen under de första 4 sekunderna är 25m.
𝑣𝑚𝑒𝑑𝑒𝑙= 254 = 6,25𝑚/𝑠 ≈ 6,3𝑚/𝑠 4.11) Vi använder sambandet 𝑣 =Δs Δt , ∆𝑠 ä𝑟 𝑓ö𝑟𝑓𝑙𝑦𝑡𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑜𝑐ℎ ∆𝑡 ä𝑟 𝑡𝑖𝑑𝑒𝑛 a)∆𝑠 = 1,2𝑘𝑚 𝑜𝑐ℎ ∆𝑡 = 30𝑚𝑖𝑛 → 𝑣 =1,2∙103 30∙60 ≈ 0,67𝑚/𝑠 b)∆𝑠 = 0,6𝑘𝑚 𝑜𝑐ℎ ∆𝑡 = 45𝑚𝑖𝑛 → 𝑣 =0,6∙103 45∙60 ≈ 0,22𝑚/𝑠 c)∆𝑠 = 0 𝑚𝑒𝑑𝑓ö𝑟 𝑎𝑡𝑡 𝑣 = 0𝑚/𝑠
4.12) För att beräkna förflyttningen använder vi arean under grafen, dvs. arean av en triangel
med basen 50sekunder och höjden 30m/s. 𝐹ö𝑟𝑓𝑙𝑦𝑡𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 = 50∙302 = 750𝑚
Under 50s har resten av tåget rört sig 30·50=1500meter. Försprånget är alltså 1500-750=750meter.
4.13)a) Under de första 10 minuter är förflyttningen 7·10·60=4200m=4,2km b) Arean av en rektangel med basen 10 min och
höjden -3m/s är -1800m=-1,8km. Under tiden från t=10 min till t=20 min (dvs 10 min) är
förflyttningen: (-3m/s)·(10·60s)=-1800m=-1,8km. Alltså: 20 minuter efter starten är den totala förflyttningen 4,2km-1,8km=2,4km.
4.14) Vi ser att grafens delar är räta linjer parallella med x axeln och det betyder att farterna
är konstanta.
a) Under första delen av rörelsen är hastigheten: 𝑣 =ΔsΔt=9003 = 300𝑚/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡 = 0,3𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡 Under sista delen är hastigheten:
𝑣 =0−9006 = −150𝑚/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡 = −0,15𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡 I den mellersta delen är hastigheten noll.
b) Den positiva delen beskriver förflyttningen fram till vändpunkten och den negativa delen förflyttningen tillbaka till startpunkten.
∆𝑠 = 3𝑚𝑖𝑛 ∙0,3𝑘𝑚𝑚𝑖𝑛 = 0,9𝑘𝑚 𝑜𝑐ℎ ∆𝑠 = 6 ∙ (−15𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛) = −0,9𝑘𝑚 4.15) Förflyttningen är: (25𝑚/𝑠) ∙ (40 ∙ 60𝑠) + (30𝑚/𝑠) ∙ (20 ∙ 60𝑠) = 9,6 ∙ 104 𝑚 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑒𝑙= 9,6 ∙ 10 4 60 ∙ 60 ≈ 27𝑚/𝑠
𝑡 =0,2𝑘𝑚/𝑚𝑖𝑛 = 30𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟6𝑘𝑚
Oskar är borta: 40𝑚𝑖𝑛 + 30𝑚𝑖𝑛 = 70𝑚𝑖𝑛 = 1ℎ 𝑜𝑐ℎ 10𝑚𝑖𝑛
4.17)a) Löparen springer konstant mellan t=2s och t=5,5s, dvs. under 3,5s. Sträckan är:
𝑠 = 5 ∙ 3,5 = 18𝑚
b) Vi måste nu räkna hur många rutor finns under grafen. Varje ruta motsvarar
(0,5s)·(1m/s)=0,5m. Jag räknar rutorna till ca. 60 som betyder att sträckan är ca. 30m
4.18) Under första delen är förflyttningen: 4·6=24meter
Vi ritar en rät linje från origo till punkten (4, 24) (hastigheten är konstant). Under mellandelen är hastigheten noll och vi har ingen förflyttning, därför den vågräta linjen fram till (6,24) Under sista delen är förflyttningen (3s)·(-8m/s)=-24meter. Sista linjen går från (6, 24) till (9,0)
4.19) a) De två graferna skär varandra när t=24sekunder och det betyder att bilarna har
samma hastighet just då.
b) När t=24 sekunder har bil B kört:24·8=192meter Bilen A har kommit hälften så långt, dvs.
96meter. Det är lika mycket som arean av triangeln med basen 24sekunder och höjden 8m/s. Bilen B-s försprång är alltså 192-96=96meter.
c) Efter 36 sekunder har bilen B hunnit: 36·8=288meter. Bilen A har kört sträckan:
𝑠 =36∙122 = 216 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 Bilen B ligger alltså 288-216=72meter före bilen A.
d) Anta att den sökta tiden är t, (efter tidpunkten 36 sekunder.) Bilen A ska då ha kört
72meter längre sträcka än bilen B
12 ∙ 𝑡 = 8 ∙ 𝑡 + 72 → 𝑡 =724 = 18𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 Bilen B hinner upp bilen A vid tidpunkten 36+18=54sekunder.
e) Båda bilarna A och B har kört 54·8=432meter
4.20) a) Under den första sekunden är förflyttningen : 0,5 ∙ 1
2 = 0,25𝑚
Vi gör en liten tabell där förflyttningarna räknar vi med triangelareor.
Nu kan vi rita en graf.(Exel) 𝒃) ΔvΔt =4 − 08 = 0,5𝑚/𝑠2 𝒄) ΔvΔt =7 − 412 = 0,25𝑚/𝑠2 d)Δv Δt = 7−0 20 = 0,35𝑚/𝑠2 4.21)a) ∆𝑣 = 0 − 15 = −15𝑚 𝑠 𝑜𝑐ℎ ∆𝑡 = 2𝑠 𝑓å𝑟 𝑣𝑖: 𝑎 = −15 2 = −7.5𝑚/𝑠2 b) Bromssträckan räknar vi med hjälp av arean under grafen:
2(𝑠) ∙ 15(𝑚/𝑠)
2 = 15𝑚
4.22) Accelerationen är ju lutningen hos v-t grafens tangent. Vi ritar en tangent i punkten
(1s, 12m/s) och bestämmer dess lutning. ∆𝑣 = 21𝑚/𝑠 𝑜𝑐ℎ ∆𝑡 = 3,5𝑠 𝑎 =23,521 = 6𝑚/𝑠2
4.23) Under första delen av rörelsen ändras hastigheten med 5m/s under 2 sekunder. Det ger
en acceleration:𝑎 =5
2= 2,5𝑚/𝑠2
Under andra delen ändras inte hastigheten och accelerationen är ju noll.
Under tredje delen minskar hastigheten från 5m/s till 0m/s under tiden 1 sekund. Det gör att accelerationen är -5m/𝑠2
4.24) Hastighetsändringen är arean under a-t grafen. Om accelerationen är konstant växer
hastigheten linjärt. Hastighetsändringen under första delen av rörelsen är: ∆𝑣 = 10(𝑠) ∙ 2(𝑚/𝑠2 ) = 20𝑚/𝑠
Under andra delen är accelerationen noll, hastigheten ändras inte. Under tredje delen är hastighetsändringen:
4(𝑠) ∙ (−2,25𝑚/𝑠2) = −9𝑚/𝑠
4.25) Vi studerar vad som händer med hastigheten som är lutningen hos tangenten till grafen.
Tangentens lutning växer fram till 6 sekunder, sedan avtar den. Accelerationen är då positiv
till t=6 s och negativ efteråt .
4.26) När tiden är 6 s har bussen fått samma fart som Sofia. Hennes förflyttning är 36m och
hon har hunnit 11 m från hållplatsen. Bussen har hunnit 18m dvs. hon hinner inte med bussen.
4.27) a) På 2,05minuter (123s) växer hastigheten till:
Medelaccelerationen är då:
𝑎 =∆𝑣∆𝑡 = 8055,6 𝑚/𝑠123 𝑠 ≈ 65,5𝑚/𝑠2
b) Eftersom 𝑎 =∆𝑣
∆𝑡 → ∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 65,5 ∙ 3600 𝑚/𝑠 ≈ 236𝑘𝑚/𝑠 c) Medelhastigheten under den konstanta accelerationen blir:
𝑣𝑚 =0 + 𝑣2 = 𝑣2 → 𝑠𝑡𝑟ä𝑐𝑘𝑎𝑛 =𝑣2 ∙ 3600 =2,36 ∙ 10
5∙ 3600
2 = 424 ∙ 106𝑚 = 424𝑀𝑚
4.28) Vi antar att bilarna(Lars och bilen framför som just har startat) har samma hastighet
efter x sekunder.
Figuren ovan visar händelsen då Lars upptäcker bilen framför och händelsen då Lars och bilen framför har samma fart. Den skuggade delen av grafen är skillnaden mellan Lars sträcka (arean under den gröna linjen)och den andra bilens sträcka (arean under den röda linjen) Den markerade arean dvs.sträckan, får inte överstiga 75meter.
90𝑘𝑚 ℎ =
90
3,6 = 25𝑚/𝑠
𝐴𝑟𝑒𝑎𝑛 =25 ∙ 𝑥2 → 𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟
Efter 6 sekunder har bilen framför farten 12m/s, alltså är Lars hastighet 12m/s efter 6
sekunder. Hastigheten måste då minska från 25m/s till 12m/s under de 6 sekunderna. Det ger en acceleration:
b) Sträckan får vi genom att beräkna arean under grafen. 𝑠 =2,4 �𝑚𝑠� ∙ 1,6(𝑠)2 = 1,92𝑚 ≈ 1,9𝑚
c) Eftersom hastigheten ändras från 2,4m/s till -2,4m/s (∆𝑣 = −2,4 − 2,4 = −4,8𝑚/𝑠)
och tiden ∆𝑡 = 8 𝑟𝑢𝑡𝑜𝑟 = 3,2𝑠 kan vi räkna ut accelerationen: 𝑎 =−4,83,2 = −1,5𝑚/𝑠2
d)Hastigheten växer i storlek (utan tecken!) eftersom hon åker fortare och fortare. Men
hastigheten är negativ och blir då mer och mer negativ, som betyder att den avtar.
4.30)
a) Anta att tiden är t sekunder. Slutfarten blir då:
𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡 = 9,82 ∙ 𝑡 (𝑚/𝑠)
Arean under grafen ska vara 4,9m, alltså: 4,9 =9,82 ∙ 𝑡 ∙ 𝑡2 → 𝑡2 = 2 ∙ 4,9
9,82 𝑡 = �2∙4,99,82 = 0,998 ≈ 1𝑠
Alltså det tar 1 sekund för stenen att falla 4,9m
b) Farten är:𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡 = 9,82 ∙ 1 ≈ 9,8𝑚/𝑠
c) Vi betecknar den sökta tiden med t. Fallsträckan är 4,9m+3m=7,9m
𝑠 =𝑎 ∙ 𝑡2 2 → 𝑡 = � 𝑎 = �2 ∙ 𝑠 2 ∙ 7,99,82 ≈ 1,27𝑠
d) Stenen behöver 1,27-1=0,27s för att falla ytterligare 3m
4.31) a) Under 1,2 sekunder avtar hastigheten med:9,82·1,2≈11,8m/s (11,784m/s)
Den resulterade hastigheten är då:
𝑣 = 15 − (9,82 ∙ 1,2) = 3,216 ≈ 3,2𝑚/𝑠
b) bollens medelhastighet är: 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑒𝑙 =15+3,2
2 = 9,1𝑚/𝑠
läget är: 1,2(𝑠) ∙ 9,1(𝑚/𝑠) + 1,8(𝑚) = 12,7 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 ö𝑣𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑒𝑛
c) Efter 2,3 sekunder är hastigheten:
𝑣2 = 15 �𝑚𝑠� − 2,3(𝑠) ∙ 9,82 �𝑠𝑚2� = −7,6𝑚/𝑠 minus för att bollen är på väg nedåt.
d) Bollen medelhastighet är så här långt:
e) Just i vändpunkten stannar den ett ögonblick, hastigheten är då noll. Hastigheten övergår
också från att vara positiv till negativ.
f) Accelerationen är g=9,82𝑚/𝑠2 hela tiden och är riktad nedåt.
g) Bollen når sin högsta punkt när accelerationen har ”konsumerat” hela utgångshastigheten.
Detta sker under tiden 𝑡1 = 15
9,82 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟
Bollen har då haft medelhastigheten 15+0
2 = 7,5𝑚/𝑠 och stigit sträckan
7,5 ∙ 𝑡1 = 7,5 ∙9,82 = 11,5𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟15
Den befinner sig nu 11,5+1,8=13,3 meter över marken.
Nu beräknar vi tiden t för fallet från högsta punkten till marken: 13,3 =𝑔 ∙ 𝑡2
2 → 𝑡 =�
2 ∙ 13,3
9,82 = 1,64 𝑠
Hastigheten vid nedlaget är:
