Lärande av geometri : -läromedelsanalys i årskurs 4-6

Lärande av geometri

- Läromedelsanalys i årskurs 4-6

Sofia Sandberg Handledare: Heidi Krzywacki

Maria Mirkhosravi-Ringdahl Examinator: Katalin Földesi

Examensarbete i utveckling av matematiskt tänkande

Sammanfattning

Sofia Sandberg, Maria Mirkhosravi- Ringdahl Mälardalens högskola

UKK- Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Lärande av geometri

- Läromedelsanalys i årskurs 4-6

Syftet med denna studie var att se hur geometri hanteras i läromedlen i årskurs 4-6. Hur läromedlen beaktar det centrala innehållet i Lgr 11, kognitiva nivåer och konkretisering. Våra huvudfrågor var: hur stödjer läromedlen inlärning av geometri, vilka skillnader och likheter finns i läromedlen utifrån de tre aspekterna. Bakgrunden till vårt arbete var att forskning visar att läromedel i matematik tenderar att ha en låg svårighetsgrad. Forskning visar även att läromedelsknuten undervisning ofta saknar konkretisering. Resultatet i denna studie visar att Mattespanarna och MatteBorgen innehåller det centrala innehållet till stora delar. Vi kan konstatera utifrån vårt resultat att läromedlen har en relativt låg svårighetsgrad. Även om Mattespanarna stimulerar en högre kognitiv nivå än MatteBorgen är svårighetsgraden relativt låg. Båda läromedlen innehåller konkretisering av såväl uppgifter som beskrivningar. Slutsatser av denna studie är att det är av vikt att läraren är medveten om det använda läromedlets fördelar och nackdelar. Det är viktigt att konkretisering kan utmana eleverna genom en högre kognitiv nivå.

Nyckelord: Blooms taxonomi, läromedel, geometri, mellanstadiet, konkretisering, centralt innehåll

Dettaexamensarbete har varit givande och utvecklande. Vi har tagit del av och fått en erfarenhet av forskningsprocesser som bidrar positivt till vår blivande yrkesroll. Vi vill ägna ett stort tack till vår handledare Heidi Krzywacki för utmärkt handledning genom arbetets gång. Heidi har bidragit med en positiv anda, goda råd under processen och varit ett stort stöd för oss med sin erfarenhet. Vi vill tacka Liber AB och Sanoma AB för deltagande i vårt arbete och för deras bidrag av material. Vi vill även tacka de personer som har bidragit med tid, erfarenhet och kunskaper till detta arbete.

1. Inledning ... 5

2. Syfte och frågeställning ... 6

3. Lärande av geometri ... 6

3.1 Läromedel ... 7

3.2 Kognitiva nivåer ... 8

3.3 Konkreta modeller i geometriundervisningen ... 11

4. Metod ... 12 4.1 Urval ... 13 4.2 Analysverktyg ...14 4.3 Analysprocess ... 18 4.4 Studiens tillförlitlighet ...19 4.5 Etiska aspekter ... 20 5. Resultat ... 20

5.1 Läromedlens centrala innehåll ... 20

5.2 Läromedlens kognitiva nivåer ... 23

5.3 Konkreta uppgifter och beskrivningar ... 24

5.4 Slutsatser... 27

6. Diskussion ... 28

1. Inledning

Dagens elever saknar grundläggande kunskaper inom geometri, som i sin tur påverkar elevernas fortsatta matematiska utveckling, detta menar Löwing och Kilborn (2009). Då vi finner detta intressant och då vi anser att det är en viktig del i elevers matematiska utveckling, har vi valt att fokusera på området geometri i vår studie. Vi kommer att analysera läromedel i årskurs 4-6 i geometri. Vi kommer att utgå från det centrala innehållet i Lgr11 och vilka kognitiva nivåer som stimuleras i läromedlen. Vi kommer även fokusera på läromedlens konkretisering av valda delar. I arbetet har vi avgränsat oss till att fokusera på om läromedlen stödjer lärandet i geometri. Vi kommer inte ta hänsyn till undervisningsmetoder, elevers uppfattning eller lärande, utifrån valda läromedel.

Bakgrunden till detta arbete är, att vi har upplevt att vissa läromedel används mer frekvent än andra. Lärare väljer det läromedel som alltid används, det är dock inte alltid det bästa. Löwing och Kilborn (2009) beskriver att läromedel följs relativt slaviskt och att detta ställer mycket höga krav på läromedlet. De menar även att läromedlen sällan uppfyller dessa höga krav. Därav finner vi intresse att analysera två läromedel, MatteBorgen och Mattespanarna. Brändström (2002) menar att fel valda läromedel medför att eleverna inte stimuleras till större utmaning. För att öka utmaningen krävs att eleverna utvecklar en högre kognitiv förmåga, menar Jones, Vermette och Jones (2012). Detta uppfylls genom uppgifter som kräver en högre ansträngning och tankeprocess. Det vill säga en högre kognitiv process. Utifrån detta kommer vårt arbete belysa de valda läromedlens kognitiva stimulans.

Vid den senaste revideringen av läroplanen, som gjordes år 2011, lades större fokus på området geometri. Därav fann vi ett intresse, att analysera läromedel som behandlar geometri. Vi har genom vår utbildning blivit medvetna om vikten, av att eleverna finner en lust och utvecklas inom matematik redan från tidig ålder. Vi har även sett att geometri är ett område som har behandlats lite i skolan.

I kursplanen i matematik står det, i det centrala innehållet i Lgr11 i geometri i åk 4-6  Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar,

pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt.

 Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess användning i vardagliga situationer.

 Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras.

 Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas.

 Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. Mätningar med användning av nutida och äldre metoder.

Lgr11 (Skolverket, 2011)

Grevholm (2012) skriver, att genom geometri skapas möjlighet att bevisa olika moment inom matematiken. Författaren skriver även att kunskap inom geometri kan skapa större förståelse inom den mer abstrakta matematiken på hög nivå. Detta anser vi, talar för vikten av, att synliggöra begreppet geometri och ge det en mer central roll inom matematikundervisningen. Utifrån eget intresse finner vi det

mycket viktigt att alla elever får möjlighet att lyckas. En central roll för detta anser vi är konkretisering. Genom konkretisering anser vi att fler elever kan stimuleras och får möjlighet till framgång detta menar även Grönfors och Ström (2001). Vårt arbete kommer att genomsyras av relevant forskning inom dessa områden. Läromedlen kommer att analyseras utifrån ett analysramverk utifrån, centralt innehåll, kognitiva nivåer och konkretisering, som leder till ett jämförbart, intressant och innehållsrikt resultat.

2. Syfte och frågeställning

Syftet är, att undersöka hur geometri hanteras i läromedel i årskurserna 4-6. Fokus i detta arbete är analys utifrån tre aspekter, centralt innehåll, kognitiva nivåer och konkretisering. Ett kapitel som benämns med geometri i varje läromedel analyseras. De valda läromedlen är MatteBorgen och Mattespanarna. Vi har valt att fokusera på uppgifter och genomgångar, då vi genom erfarenhet märkt, att uppgifter gärna tenderar till att färdighetsträna, mer än att utmana eleverna till självständigt tänkande. All undervisning i skolan ska utgå från läroplanen Lgr 11, vi har därför valt att belysa läromedlens innehåll utifrån det centrala innehållet. Analys kommer att ske av beskrivningar och uppgifter i läromedlen. Vår frågeställning består av två huvudfrågor med tre underfrågor. Vår frågeställning är

 Hur stödjer läromedlen inlärning av geometri?

- På vilket sätt behandlar läromedlen det centrala innehållet i geometri i Lgr11?

- Vilka kognitiva nivåer stimuleras i läromedlen utifrån Blooms taxonomi?

- På vilket sätt behandlas konkretisering av geometri i läromedlen?

 Vilka skillnader och likheter finns i läromedlen utifrån de tre aspekterna?

3. Lärande av geometri

Denna teoridel är indelad i fyra stycken, som beskriver relevant forskning som beskriver faktorer och tankeprocesser som påverkar lärande av geometri.

En viktig del i geometriundervisningen är att eleverna får alla begrepp kommunicerade, dels med varandra men även från och mellan vuxna, lärare och pedagoger. När eleverna får komma i kontakt med de olika geometriska begreppen redan från tidig ålder, har de lättare att skapa sig en vidareutveckling. Det är av stor vikt att läraren använder korrekta uttryck och begrepp. Johannesson och Åslund (2012) menar att läraren och pedagogen gör eleverna en tjänst i deras vidareutveckling genom att benämna triangel, istället för trekant. Genom att använda “förenklade” uttryck såsom trekant och fyrkant skapas hinder för eleverna och en förvirring av begrepp uppstår lätt. Korrekta begrepp och att eleverna ges olika

visuella bilder för de olika begreppen, är av stor vikt menar de. Genom att låta eleverna använda flera olika uttrycksformer kan undervisningen individualiseras som möjliggör en djupare förståelse, skriver Johannesson och Åslund (2012).

En central roll i elevernas utveckling av förståelse för geometri är, att de får samarbeta och kommunicera med varandra. Detta kan ske genom problemlösning. Genom samarbete och samtal skapas förmågor, såsom det matematiska tänkandet, matematiskt språk samt förståelse (Johannesson och Åslund, 2012). Genom problemlösning får eleverna tillfälle att kommunicera med andra elever, de får resonera med varandra vilket leder till en ökad förståelse. För att eleverna ska utvecklas i matematik och geometri, behöver de lära sig att samtala, argumentera och resonera. Genom problemlösning, ökar eleverna sin förståelse inom geometri. Eleverna får då användning av sina tidigare kunskaper och dessa sätts samman med de nya kunskaperna. Vid problemlösning finns det fem dimensioner, som det bör tas hänsyn till, problemets karaktär, klassrummets sociokulturella miljö, lärarens roll, de matematiska verktyg som används ex. olika kontexter eller eventuellt laborativt material som används och en kreativ och utvecklande undervisning. Genom problemlösning ges eleverna möjlighet att använda olika representationsformer, för att kunna lösa uppgifterna. Eleverna måste kunna föra olika konkreta, logiska och språkliga resonemang med hjälp av aritmetiska, algebraiska eller geometriska representationer. Detta anses viktigt för eleven i dennes matematiska utveckling, att kunna växla mellan dessa (Grevholm, 2012). Faktorer av lärande i geometri tas i beaktning i senare avsnitt och ligger till grund för val av metod och nyckelbegrepp för tolkning av analysramverket.

3.1 Läromedel

Uppgifterna i matematikböcker har låg svårighetsgrad och är inte individualiserade. Detta skriver Brändström (2002) i sin analys av läromedel i årskurs 7. Författaren skriver att böckerna saknar uppgifter som skapar en god undervisning och att risk finns att eleverna inte får tänka själva, utan uppgifternas struktur, ger dem möjligheten att bli experter på bokens uppgifter istället för skapa en större förståelse. Matematikböcker som läromedel används i mycket stor utsträckning i den svenska skolan. Även Englund (1999) skriver att läromedel i allmänhet har haft och har en stark ställning inom skolan och anges vara riktningsgivare i undervisningen. Brändström (2002) menar att det ställs höga krav på de läromedel som används och en slutsats hon kommit fram till, är att om ett mindre bra läromedel används, krävs det att läraren måste utmana eleverna ytterligare. Å andra sidan menar Englund (1999) att läromedelsanvändning kan ses som en garanti för att få med allt innehåll och för att eleverna ska uppnå målen. Om så är fallet, är inte beskrivet, men det är något som flera lärare anser, förklarar författaren. Författaren skriver att detta är en avgörande faktor, för att läraren väljer att använda läromedel. Arbetet för läraren, kan underlättas genom att använda läromedel, speciellt om läraren inte har fullständig ämneskompetens. Englund (1999) beskriver även risken med att förhålla undervisningen till ett läromedel. Undervisningen kan vara svår att anpassa utifrån individen, eleverna får liten, om ens någon möjlighet att påverka undervisningen. Arbetsformerna är begränsade och ofta ensidiga enligt författaren. I en läroboksknuten undervisning är risken att konkret material inte används. Lärarens

roll blir då central, för att se till att alla elever får samma chans att uppnå målen, genom exempelvis konkret material, menar Hammenborg (2012) i sin tolkning av tidigare forskning.

Läroboken har en viktig del av matematikundervisningen på grund av dess nära relation till de klassrumsinstruktioner som ges under lektionen. Instruktioner och övning i matematikboken blir i sådan undervisning sammankopplade. Johansson (2003) skriver att läroboken behandlar ämnen i specifik ordning, som eleverna ska lära sig i, som kan skapa en större förståelse för matematik. Läroboken ger även förslag på hur lektioner kan utformas. Johansson (2003) menar, att lärare och elever i Sverige ofta är beroende av matematikböckerna och att läraren ofta bygger sin planering av lektionen utifrån läromedlet. Författaren menar vidare att det måste finnas en ökad medvetenhet hos läraren om de läromedel som används och hur det ska användas. Detta för att skapa de bästa förutsättningarna för inlärningen och förståelse för matematik. Englund (2007) menar dock att läromedlet kan vara ett stöd för läraren, likväl som för eleven. Hon beskriver att eleverna kan finna en trygghet i materialet, att de hela tiden vet vad som förväntas av dem.

Under de sista tre decennierna har den svenska läroplanen reviderats tre gånger 1980,1994 och 2011. Elevernas sjunkande resultat i matematik kan bero på att läromedel inte hunnit bytas ut och revideras. Johansson (2003) menar, att forskningen visar att läromedel inte följer de kursplaner som finns i matematik, i den utsträckning som önskas. Författaren beskriver, att det är av stor vikt att utformning av läromedel tar hänsyn till eventuella revideringar av kursplaner och läroplaner. Läromedels anknytning till klassrummet är centralt i detta arbete då vi kommer att analysera ett läromedel som används frekvent och ytterligare ett som inte används lika frekvent, i vår kommun. Då forskning visar att det är viktigt att läromedlen utgår från det centrala innehållet i Lgr 11 kommer även detta att vara till grund för vårt analysverktyg.

3.2 Kognitiva nivåer

Den kognitiva förmågan är starkt sammanhängande med den matematiska förmågan. Olika händelser lagras i människans lång- och korttidsminne, för att matematikkunskaper ska befästas, krävs det att de lagras i långtidsminnet. Matematikundervisningen bör därför ta hänsyn så att minnet utmanas och att långtidsminnet stimuleras. Är uppgifterna anpassade utifrån detta, hjälper det eleverna att skapa en större förståelse. I långtidsminnet lagras information utan ansträngning, här samlas upplevelser och “vet hur- saker”, såsom att cykla och simma. I korttidsminnet lagras kunskaper för att kunna hantera nuvarande situation, som ord och siffror. Här krävs en ansträngning, som gör att vi kommer ihåg dessa saker. Är läraren medveten och läromedlen utformade utifrån dessa kognitiva förhållanden, är det positivt för elevens fortsatta utveckling. Det är av stor vikt, att möjliggöra uppgifter som gör att kunskap kan hamna i långtidsminnet. Detta sker exempelvis genom uppgifter i form av händelser och som kräver reflektion (Kotsopoulos, 2007).

Ny kunskap infinner sig bäst när den får användas och omorganiseras i redan befintlig kunskap. Detta är något som endast kan ske inom eleven själv. Med en medvetenhet om detta, kan läraren ge eleven meningsfulla uppgifter, som kräver reflektion. Genom reflektion kan den nya kunskapen omorganiseras med redan

befintlig kunskap. Meningsfulla uppgifter bör vara av högre ansträngningsgrad och kräva en tankeprocess. Det vill säga uppgifterna går inte att lösa i ett steg och uppgifterna är inte enbart upprepningar av ett visst moment. När dessa uppgifter sätts i ett sammanhang, kan eleven känna igen, skapa kunskap och finna motivation (Jones, Vermette och Jones 2012).

Elevernas tänkande kan underlättas av att de får “tänka högt”, det vill säga att eleverna får sätta ord på problemet och säga sina tankar högt. Ett arbete i grupp kan därför vara gynnsamt (Jones, Vermette och Jones, 2012). Genom grupparbete ges eleverna möjlighet att reflektera tillsammans, diskutera, se olika lösningar och tankesätt, vilket medför att den metakognitiva förmågan stimuleras. Genom att eleverna får möjlighet att resonera och argumentera, får de tala om hur de tänker. De måste även skapa belägg för sina tankar och stå till svars för sina resonemang. När eleverna arbetar i grupp, får de även sätta ord den kunskap de redan har, vilket gör att en djupare förståelse kan skapas, i samband med att ny kunskap inhämtas. Författarna menar att grupparbete leder eleverna till en stor kunskapsutveckling och ett kollektivt lärande ger läraren möjlighet att utmana eleverna på bästa sätt. En annan viktig faktor i elevernas utveckling som är starkt sammanbunden med grupparbete är att eleverna utvecklar förmågan att lösa problem. Jones, Vermette och Jones (2012) menar, att en stor del av att skapa sig en djupare förståelse för matematik är att kunna lösa problem. Genom problemlösning skapas en större förståelse, som är central, för att kunna studera matematik på en högre nivå.

En framstående man inom forskningen av de kognitiva processerna var Benjamin Bloom, professor vid University of Chicago. Blooms syfte var att synliggöra lärandets olika processer. Bloom skapade en taxonomi för att göra kunskapsbegreppen mer hanterliga (Sandell, 2004). Detta gjorde han genom sex kognitiva nivåer, som beskriver allt från att upprepa fakta till mer abstrakta mentala nivåer och värderingar. Krathwohl (2002) skriver att Blooms tanke var att alla elever på USA:s universitet skulle bedömas lika utifrån deras kunskaper. Hans taxonomi kan användas som underlag för kvalitativ bedömning. Den kan användas för alla skolår och beskriver tydligt de olika nivåerna för tanke och lärande, menar Sandell (2004). Syftet med att använda denna modell är, att stimulera och utveckla elevernas tankeförmåga till en högre nivå. Författaren menar att taxonomin kan användas utifrån den svenska läroplanen och kursplaner, vilket medför att alla elevers olika kunskapsnivåer och behov kan beaktas. Blooms taxonomi möjliggör för eleverna att arbeta med samma uppgifter, men utifrån deras utvecklingsnivå. Sandell (2004) tolkar att Blooms taxonomi kan bidra till att stärka elevernas självförtroende och självkänsla. Detta då eleverna ges möjlighet att lyckas, med utgångspunkt från individens kunskapsnivå. Författaren skriver att alla elever bör utmanas och få erfarenhet av att använda alla olika nivåer. Krathwohl (2002) menar att användandet av Blooms taxonomi dvs. de olika kognitiva nivåerna, skapar djupare förståelse och en bredare kunskap. Se tabellen nedan (tabell 1)

Tabell 1. Blooms taxonomi

Bloom (Krathwohl, 2002) Sandells översättning (2004)

Knowledge Faktakunskap Comprehension Förståelse Application Tillämpning Analysis Analys Synthesis Syntes Evaluation Värdering

Sandell (2004) skriver att genom undervisningen ska eleverna utmanas och bli medvetna om sin inlärning. Detta sker genom metakognition, som möjliggörs genom strukturerad undervisning utifrån Blooms taxonomi. Blooms taxonomi används av Krathwohl (2002) som ett ramverk för att kunna organisera och skapa en helhetsbild av målen i skolan.

Den första nivån faktakunskap (knowledge), skriver Sandell (2004) med att eleverna kan återge fakta på ett liknande sätt som de lärt sig, de minns korta fakta, som de kan återge och berätta. Anderson och Krathwohl (2000) beskriver den första kognitiva nivån, minnas. Den innefattar att eleven kan uppfatta information och känna igen den genom att gå tillbaka i långtidsminnet.

Andra nivån, enligt Sandell (2004), är förståelse, som innebär att eleverna kan återge fakta och information med egna ord, som baserar sig på tidigare kunskaper. Anderson och Krathwohl (2000) menar att den andra kognitiva nivån förstå innebär, att elever tagit till sig den nya kunskapen och skapat den till sin egen. Med detta menar de att eleverna kan tolka, ge exempel, dra slutsatser, jämföra och förklara utifrån sina tidigare förkunskaper.

Nästa kognitiva nivå enligt Blooms taxonomi skriver Sandell (2004), är tillämpning, när eleven kan lösa och utföra olika matematiska operationer med hjälp av tidigare kunskaper. Eleven kan använda och förstå olika strategier i praktiska sammanhang såsom experiment och tillämpa regler som testar deras kunskaper och förståelse. Anderson och Krathwohl (2000) beskriver denna nivå tillämpa, att eleven känner igen ett problem och kan tillämpa rätt strategi. Det kan även innebära att eleven kan lösa problemet, även om uppgiften är obekant. Eleven kan lösa denna uppgift genom tidigare erfarenheter.

Fjärde nivån analys, menar Sandell (2004). Detta är då eleven kan se samband och skillnader i information, såsom att se samband mellan addition och subtraktion. Eleven kan även urskilja, klassificera och kategorisera information och problem. Med detta, menar författaren, att eleven kan bryta ner fakta, dra slutsatser och finna bevis för det påstådda eller ett påstående. Anderson och Krathwohl (2000) hävdar, att nivån analysera, innefattar att eleven kan särskilja irrelevant och relevant information och kan se och avgöra samband kring hur information och fakta hänger samman.

Sandell (2004) beskriver Blooms femte nivå i taxonomin som syntes, detta innebär att eleven kan sätta samman det kända till något nytt. Eleven kan formulera hypoteser, teorier och kan skapa nya intressanta sätt och vägar att lösa uppgifter. Författaren menar att den sista och sjätte nivån är värdering, denna nivå innebär, att eleven kan kritisera och värdera förklaringar. Eleverna bedömer informationen genom relevans, granskning och tillförlitlighet. De kan värdera slutresultatet av en uppgift och kan försvara dess utkomst.

Anderson och Krathwohl (2000) anser att den femte nivån är värdera, att kunna värdera, kontrollera och kritiskt granska information. Eleven kan argumentera och avgöra informationens tillförlitlighet. Den sjätte nivån är, enligt författarna, skapa, motsvarande Sandells översättning av nivå fem. Denna kognitiva nivå innebär att eleven kan skapa en sammanhängande helhet och bilda nya strukturer. Eleven kan ställa hypoteser och antaganden utifrån kunskaper, som generar nya problem och lösningar.

Sandell (2004) skriver att Blooms taxonomi ofta beskrivs som en hierarkisk modell, författaren anser, att denna framställning av modellen inte är rättvis, då inlärning sker på alla nivåer. Blooms modell får inte anses som absolut, utan bör användas med viss försiktighet, detta då den inte kan beskriva alla elevers olika inlärning. Sandell (2004) menar att vid kvalitativa bedömningar, kan det användas taxonomier. Författaren menar att Blooms taxonomi kan man med fördel använda i kombination med andra modeller.

Blooms taxonomi ligger till grund för analysverktyget i detta arbete. De kognitiva nivåerna kommer att behandlas i analysramverket för att kunna göra kvalitativa bedömningar av läromedlens stimulans av de kognitiva nivåerna. Ytterligare en viktig aspekt till detta är att forskarna menar att när eleverna får uppgifter som kräver en högre ansträngningsgrad och tankeprocess, leder det till att den kognitiva förmågan ökar hos eleven och en större förståelse kan skapas.

3.3 Konkreta modeller i geometriundervisningen

Konkreta modeller innebär att eleverna ges en konkret uppfattning om matematik. Detta kan vara beskrivning, uppgifter eller användande av konkret fysiskt material, dvs. laborativt material. Grevholm (2012) skriver att konkret material är hjälpmedel som förtydligar ett moment inom matematiken. Med detta menas att konkreta modeller och arbetssätt kan tydliggöras genom beskrivningar och bilder. Forskningen visar att laborativa undervisningsformer, är något som skolan bör använda sig mer frekvent av. Genom att eleverna får arbeta med laborativt, konkret material, så har det visat sig att det leder till en höjning av utbildningens kvalitet. Det konkreta och

laborativa materialet kan vara bilder, geometriska figurer och spel som hjälper till att konkretisera undervisningen (Hermansson, 2013).

Konkreta modeller och laborativt material ska användas som hjälpmedel inom matematikundervisningen. Grönfors och Ström (2001) skriver i sin rapport: i styrdokumenten står att konkret och laborativt material ska användas för att hjälpa eleverna att förstå det abstrakta. Det var dock något som de i sin studie såg, att pedagoger ute i den svenska skolan inte använder sig av i någon större utsträckning. De såg i sin undersökning att laborativt material är något som forskarna och verksamma pedagoger vill använda mer av i undervisningen, då det kan hjälpa eleverna till en ökad förståelse. De såg även att det finns motståndare till detta arbetssätt, som hade som argument att det laborativa arbetssättet tar för stor del av undervisningen och att den tiden behövs för att arbeta i matematikboken istället. Det som Grönfors och Ström (2001) frågar sig om det laborativa arbetet hjälper till att öka elevernas matematiska förståelse inom geometri, varför måste de då räkna alla uppgifter i böckerna? Hermansson (2013) menar, att arbete med laborativt material, kräver mer av läraren, som måste kunna förmedla på ett tydligt sätt, hur materialet ska användas och vad dess syfte är. Detta skulle enligt Hermansson vara en förklaring till varför det laborativa arbetssättet inte används i någon större utsträckning.

Med hjälp av språket i matematiken, tillägnar vi oss information, bearbetar den, kommunicerar samt konstruerar nya kunskaper inom matematik. Utifrån de erfarenheter och tidigare kunskaper vi har med oss, gör vi nya tolkningar av den nya kunskapen. För att tydliggöra undervisningen, är det av stor vikt att undervisningen konkretiseras och begrepp tydliggörs, genom användning av konkret material i undervisningen. Konkretiseringens syfte är, att hjälpa till att förklara olika matematiska operationer. Konkretisering kan bidra till, att eleverna uppfattar och förstår en matematisk operation eller ett sammanhang. Vid konkretisering av olika matematiska begrepp, kan elevernas tidigare kunskaper hjälpa dem, att tydligöra och knyta an till de tidigare kunskaperna på ett tydligt sätt. Genom laborativt material eller konkret material kan eleverna stimuleras i att finna nya tankesätt eller mönster (Löwing och Kilborn, 2002).

En viktig aspekt i detta arbete är att de analyserade läromedlen innehåller konkretisering för att ge goda förutsättningar för eleverna att förstå uppgifter, operationer och moment. Som tidigare nämnts visar forskningen att elever som får arbeta med konkret och laborativt material som t.ex. bilder som förtydligar begrepp, kan detta leda till ökad förståelse hos eleverna. Detta ligger därför till grund för analysramverket.

4. Metod

Vi har delat in metoddel i fem delar. I den första delen, beskrivs det urval vi gjort, de avgränsningar till årskurser och vilka läromedel som vi valt att ha med i arbetet. I den andra delen, beskriver vi vårt analysverktyg, utformning och hur vi tolkat detta. I den tredje delen, hur vi gått tillväga. I den fjärde delen, ger vi en beskrivning av tillförlitligheten i vår studie. Slutligen beskrivs hur detta arbete tagit hänsyn till de etiska aspekterna inom forskning.

Vårt arbete bygger på en kvalitativ metod. Vi har använt oss av den kvalitativa metoden innehållsanalys, vid vår tolkning av vårt resultat av läromedlen. Vi valde att använda denna metod då Stukát (2011) skriver, att i ett utbildningsvetenskapligt sammanhang, kan innehållsanalys användas vid en textanalys. Exempel på sådana texter är läromedel och kursplaner. Det man utgår från i sådana analyser, är vad som tas upp i texten, hur det tas upp och vad som inte tas upp. Vi anser, att detta analyssätt, passade vår studie bra, då vi analyserat läromedel. Analysen bestod av att analysera innehållet i respektive läromedel vilka kognitiva nivåerna som stimuleras och läromedlens konkretisering. Bryman (2011) menar att den kvalitativa innehållsanalysen är det vanligaste sättet att använda sig av, vid analys av dokument, då det är en analys av bakomliggande teman i det material som ska analyseras.

4.1 Urval

För att kunna besvara frågeställningarna valde vi att analysera två läromedel, MatteDirekt Borgen och Mattespanarna. Vi kommer att referera till läromedlen MatteBorgen (MB) och Mattespanarna (MS). Dessa är producerade för att följa läroplanen Lgr11. Vi valde att analysera grundboken i varje bokserie. Eventuellt annat material, som läxböcker, fördjupningsmaterial, kopieringsmaterial och lärarhandledningar har inte tagits i beaktande.

Då tiden till vårt arbete var begränsat, var vi tvungna att avgränsa vårt arbete. Vi vadet att analysera ett kapitel i läromedlet, som är benämnt geometri. I MatteBorgen 6B, fanns det dock inget namngivet geometrikapitel, då valde vi att analysera kapitlet som behandlar cirkel. Vi har enbart behandlat det centrala innehållet, under rubriken geometri, i Lgr11. Vårt val av det ena läromedlet, baserades på att det används frekvent. Detta läromedel kommer från Bonnier AB förlag och heter MatteBorgen (Tabell 2). Det andra läromedlet är ett nyproducerat läromedel. Då detta är ett nytt läromedel, används det inte lika frekvent och vi fann det intressant att jämföra dessa. Detta läromedel kommer från Liber AB förlag och heter Mattespanarna (Tabell 3). Tabell 2. Urval av läromedel MatteDirekt Borgen

Läromedel Förlag År kapitel Sidor Författare

Mattedirekt Borgen 4A Sanoma utbildning 2011 3 70-96

98-99

Falk, P. Picetti, M. Sundin, K. Mattedirekt Borgen 4B Sanoma utbildning 2012 8 68-88 _90-91 Falk, P. Picetti, M. Mattedirekt Borgen 5A Sanoma utbildning 2012 3 42-64 _66-67 Falk, P. Picetti, M. Mattedirekt Borgen 5B Sanoma utbildning 2013 10 126-148 _150-151 Falk, P. Picetti, M. Mattedirekt Borgen 6A Sanoma utbildning 2012 3 70-93 _96-97 Carlsson, S. Falk, P. Liljegren, G. Picetti,

M.

Mattedirekt Borgen 6B Sanoma utbildning 2013 8

66-69 72-76 78-80 82-83 Carlsson, S. Falk, P. Liljegren, G. Picetti, M.

Tabell 3. Urval av läromedel Mattespanarna

Läromedel Förlag År kapitel Sidor Författare

Mattespanarna 4A Liber AB 2011 3 74-93 Kryger, G. Hernvald, A. Persson, H Zetterqvist, L. Mattespanarna 4B Liber AB 2012 3 68-88 Kryger, G. Hernvald, A. Persson, H Zetterqvist, L. Mattespanarna 5A

Liber AB 2012 3 74-91 Kryger, G. Hernvald, A. Persson, H Zetterqvist, L.

Mattespanarna 5B Liber AB 2013 3 66-89 Kryger, G. Hernvald, A. Persson, H

Zetterqvist, L.

Mattespanarna 6A Liber AB 2013 3 76-93 Kryger, G. Hernvald, A. Persson, H

Zetterqvist, L. Mattespanarna 6B Liber AB 2013 3 70-77 80-83 85-86 88-91 Kryger, G. Hernvald, A. Persson, H Zetterqvist, L.

De tidigare nämnda förlagen kunde bistå med visst material. Vi fick läromedlen 4A från båda förlagen, resterande böcker har vi lånat från våra partnerskolor i vår kommun.

4.2 Analysverktyg

Vi utformade ett analysverktyg utifrån tre aspekter, centralt innehåll, kognitiva nivåer och konkretisering. Analysverktyget baserades på centralt innehåll i Lgr11 i geometri, Blooms taxonomi och forskning av konkretisering. Inspirationen till detta kommer från Persson och Söderström (2013) och vi tog Anderson och Krathwohls (2000) och Sandells (2004) tolkning i beaktning när vi tolkade och skapade vårt egna ramverk. Analysverktyget var till hjälp för oss, för att samla in, sortera och analysera data. Resultatet sammanställas i tabeller för att bli lättöverskådligt. Resultatet sammanställs i en tabell där resultatet visar centralt innehåll per kognitiv process. Utifrån detta kan analys av antal uppgifter per centralt innehåll, kognitiv process och konkretisering ske. Patel och Davidson (2011) beskriver olika typer av tabeller för redovisning av data. De menar, att det bästa sättet att behandla rådata är, att det sammanställs i en frekvenstabell. Denna metod passade väl i vårt arbete och gav oss ett bra underlag för att analysera data. Analysramverket är en korstabell som byggs på tre dimensioner, det centrala innehållet i geometri i Lgr11, de kognitiva nivåerna och konkretisering. Se tabell nedan (Tabell 4).

(Tabell 4) Analysverktyg för analys av centralt innehåll, kognitiva nivåerna. Kognitiv process

Centralt innehåll

MB MS MB MS MB MS MB MS MB MS MB MS

Fakta Förståelse T illäm pning Analy sera och v ärdera Skapa

Uppgifter/ innehåll

Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt

Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer.

Konstruktion av geometriska objekt Skala och dess användning i vardagliga situationer Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras.

Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. Metoder för hur omkrets och area hos olika

tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas.

Mätningar med användning av nutida och äldre metoder.

Mattespanarna förkortas MS i tabellen MatteBorgen forkortas MB i tabellen

Totalt

Tabell 4 visar det centrala innehållet till höger i tabellen. I kolumnerna till vänster pressenteras antalet uppgifter per central innehåll. Kolumnerna högst upp visar de kognitiva nivåerna per läromedel. Kolumnerna längst ner i tabellen presenteras det totala antalet uppgifter per kognitiv nivå.

Vi har även valt att granska det centrala innehållet i läroplanen Lgr 11 inom geometri i årskurs 4-6. Vi har tolkat och bestämt tydliga kriterier för varje del som ska behandlas. Vi har valt att tolka varje kriterium på följande sätt:

Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Det krävs att tvådimensionella figurer behandlas såsom kvadrat, rektangel, cirkel, triangel. Det

krävs även att alla tredimensionella kroppar som ovan nämnts, behandlas. Ett exempel på detta är, att veta hur en pyramid ser ut och kan namnges.

Geometriska egenskaper hos dessa objekt bör läromedlet innehålla uppgifter, där de olika geometriska formernas egenskaper beskrivs och jämförs. Ett exempel på detta är antal hörn en kvadrat och en kub har.

Konstruktion av geometriska objekt här har vi valt, att tolka genom att läromedlet uppmanar till konstruktion av framförallt tvådimensionella figurer, men även till viss del tredimensionella kroppar.

Skala och dess användning i vardagliga situationer, genom att behandla skala i natur, konst och kartor. Detta kan vara djur i förstoring och förminskning, kartor och objekt i skala, såsom vaser och figurer.

Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras när läromedlet behandlar symmetri i vardagliga objekt, såsom djur, växter, bokstäver och konst. Begrepp vi valt ska behandlas är, symmetriaxel, symmetrilinje och spegelsymmetri.

Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. Vi har valt att tolka detta, genom att beräkning av area och omkrets på kvadrat, rektangel, cirkel och triangel ska uppfyllas.

Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. Vi anser detta kriterium var för stort och vi har valt att tolka det i mindre delar. Jämförelse och uppskattning, ska uppfylla alla ovan nämnda områden och vi har enbart valt mätning av längd och vinklar.

Mätningar med användning av nutida och äldre metoder här har vi valt, att tolka att det ska finnas uppgifter som uppmanar till mätning av nutida metoder, exempelvis linjal och gradskiva och att läromedlet uppmanar till mätning med äldre metoder. Vi har valt att tolka de kognitiva nivåerna på detta sätt:

Den första nivån i vår tabell är fakta, är uppgifter som innefattar denna kognitiva nivå, är uppgifter där eleven kan känna igen en uppgift och lösa den på ett liknande sätt som redan är beskrivet. Vi har valt att benämna uppgifter som man kan lösa på samma sätt som redan presenterats och förklarats som faktauppgifter. Dessa uppgifter kräver ingen större ansträngning av eleven, då eleven kan finna metod och strategi för att lösa uppgiften, tydligt presenterat och beskrivet. Ett exempel på en sådan uppgift är, att det står beskrivet hur man räknar ut arean på en rektangel genom bild och text. Uppgiften är sedan att eleven ska beräkna olika rektanglars area. Detta har vi valt att benämna som faktauppgifter, som kräver den första nivån av kognitiv ansträngning, enligt Blooms taxonomi och Anderson och Krathwohls (2000) tolkning.

Andra nivån är förståelse. Vår tolkning av denna kognitiva nivå är uppgifter som kräver flera steg i beräkningen och elevernas förkunskaper behövs för att lösa uppgifter. Den strategi eleven behöver för att lösa uppgifter är inte direkt preciserad. Dessa uppgifter kräver att eleven har en förståelse för strategier och kan tolka, klassificera, jämföra, sammanfatta, förklara processen och tillvägagångssättet. Dessa

uppgifter kräver mer ansträngning av eleven. Ett exempel på dessa uppgifter är att två rektanglars area redan är bestämd och uppgiften är, att ta reda på hur långa sidor rektanglarna har och beräkna omkretsen. Denna uppgift är lik uppgiften i exemplet innan, men strategin är inte redovisad, dessutom adderas ytterligare ett moment, då omkretsen ska beräknas.

Den tredje nivån är tillämpa. För att uppgiften ska innefatta denna kognitiva nivå har vi valt att bedöma problemlösningsuppgifter som tillämpning. Dessa uppgifter innebär att eleven känner igen ett problem och kan tillämpa rätt strategi. Det kan även innebära att eleven kan lösa problemet, även om uppgiften är obekant. Eleven kan lösa denna uppgift genom tidigare erfarenheter. Uppgifter kan även vara att eleven ska beskriva, hur den gick tillväga för att lösa en förståelseuppgift. Uppgifter som benämns som tillämpa, kräver större eftertanke och kräver en tankeprocess för att lösas.

Vi har valt att lägga ihop två kognitiva nivåer, då vi tycker de är lika varandra och går ihop, när vi benämner uppgifterna. Den fjärde nivån består därför av nivåerna

analysera och värdera. Dessa uppgifter ställer höga krav på elevens förkunskaper och förståelse. Exempel på en sådan uppgift är, att eleven uppmanas att analysera sitt svar, påståenden och frågor. Eleven ska kunna dra slutsatser, kunna se samband och värdera dessa. Uppgiften kräver att eleven även kan urskilja, klassificera och

kategorisera information och problem. Med detta menar Anderson och Krathwohl (2000), att eleven kan bryta ner fakta, dra slutsatser och finna bevis för det påstådda eller ett påstående. Eleven kan argumentera och avgöra informationens

tillförlitlighet.

Den sista kolumnen har vi valt att benämna liksom Anderson och Krathwohl (2000) skapa. Denna nivå kan lätt missförstås, då man kan anta att uppgifter som innebär processen skapa, ska vara att eleven kan skapa en uppgift själv. Vi har inte tolkat denna nivå så, utan följer Anderson och Krathwohls (2000) tolkning, att denna kognitiva nivå, innebär att eleven kan skapa en sammanhängande helhet och kan bilda nya strukturer. Eleven kan ställa hypoteser och antaganden utifrån kunskaper, som generar nya problem och lösningar. Uppgifter som utmanar denna kognitiva nivå, är uppgifter som uppmanar eleven att kunna planera och genomföra ett tillvägagångssätt, för att lösa ett problem och formulera hypoteser och teorier.

Konkreta beskrivningar och uppgifter

Vi har valt att analysera konkretiseringen i läromedlen utifrån samma analysverktyg (se Tabell 4). Vi har valt att gradera uppgifter och beskrivningar på tre sätt med nej, bra och utmärkt. Vi har valt att en beskrivning eller uppgift är konkret, då den uppfyller tre kriterier, som Löwing och Kilborn (2002) beskriver. Uppgiften eller beskrivningen ska innehålla en förklarande text, en bild som illustrerar och en operation av problemet. Om en uppgift/ beskrivning saknar något av dessa kriterier har vi valt att benämna det med nej. Uppgifter/ beskrivningar som vi benämnt som bra, har alla kriterier uppfyllda, men där något av kriterierna inte är väl beskrivna. Det vi menar är, att något kan vara underförstått eller att en del av en operation inte är beskriven. Utmärkt är de uppgifter/ beskrivningar som innehåller alla tre kriterier, operationen är tydlig på bilden, texten är välmotiverade och beskriver problemet tydligt. Exempel på detta visas på bilden nedan (Figur 1).

Nej 4cm•2cm=8cm² 2cm Arean är 8cm² 4cm Bra 4cm•2cm=8cm² 2cm basen•höjden=rektangelns area 4cm Utmärkt 2cm 4cm•2cm=8cm² basen•höjden=rektangelns area 4cm

Figur 1. Exempel av vår tolkning av konkret beskrivning i läromedel.

4.3 Analysprocess

Vi har valt att använda oss av innehållsanalys, för att få ett så korrekt resultat som möjligt. Innehållsanalys innebär, att analysering sker efter en logisk och enkel procedur, menar Bryman (2011). Genom en innehållsanalys får man ett kvalitativt resultat, där fokus är hur läromedlet hjälper eleven att nå kunskapsmålen. Denscombe (2009) anser att man bör börja med att välja ett tydligt formulerat textavsnitt, som bryts ned i mindre delar. Ett viktigt steg i analysen är, att finna nyckelord som stämmer överens med arbetet. En del i analysen är, att forskaren har en föreställning om frågor som ska besvaras och vilka kategorier som arbetet ska leda till. När detta är genomfört bör nyckelordens frekvens räknas och jämföras mot andra nyckelord i materialet. Detta för att kunna genomföra en djupare analys som medför en större förståelse (Denscombe 2009). Vi valde att titta på dessa nyckelord i Lgr11 och i de kognitiva nivåerna. Vi har valt denna metod då den även möjliggör en kvantifiering av data. Denna metod är tydlig, enkel och lättanalyserad. Vi anser att denna metod är fördelaktig för vår analys av läromedel, då det finns en tydlig struktur hur analysen ska genomföras och tillförlitligheten är stor. På så sätt kan andra forskare lätt upprepa analysprocessen och granska resultatet, menar Denscombe (2009).

Vi började analysprocessen med att skapa ett ramverk utifrån nyckelbegrepp. Dessa begrepp var det centrala innehållet i geometri, i Lgr11, de kognitiva nivåerna och konkretisering. Vi valde sedan, att tolka dessa kategorier och begrepp, för att få en så likvärdig bedömning som möjligt. Utifrån detta bestämde vi att uppgifter som har flera följdfrågor, beräknas per varje fråga, dvs. att uppgift 61 a, b, c räknas som tre uppgifter. Innan analysen påbörjades, valde vi att göra en pilotstudie på MatteDirekt Safari, från Bonnier förlag som är anpassad till årskurs 3. Detta för att se tillförlitligheten i vårt ramverk och för att kunna göra justeringar. Vi genomförde en analys för att se att vi fick ett resultat som gick att analysera utifrån vårt analysverktyg. Vi kunde se att verktyget fungerade bra och vi fick ett givande resultat,

Höjd Bas

men att uppgifter som kräver den kognitiva nivåerna analysera och värdera och skapa var svåra att uppnå. Efter pilotstudien valde vi att använda oss av analysverktyget.

När detta var bestämt började vi med att analysera varje uppgift, efter vilken kognitiv nivå den krävde och vilket innehåll uppgiften innehöll. Resultatet förde vi sedan in i en tabell som var lika med tabell 4 (se Tabell 4). Vi gjorde en tabell per årskurs och läromedel, för att sedan sammanställa respektive läromedels resultat. Efter detta valde vi att analysera varje uppgift efter samma kriterium för uppgift som tidigare, men denna gång fokuserade vi på uppgifter och beskrivningars konkretisering. Sammanställningen förde vi sedan in i samma tabell som ovan, för respektive läromedel.

4.4 Studiens tillförlitlighet

Bryman (2011) skriver att forskningens tillförlitlighet består av fyra kriterier, trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet, möjlighet att styrka och konfirmera. Vi har beaktat detta i vårt arbete genom att rapportera ett så oberoende resultat som möjligt. Vi har säkerställt att forskningen är utförd gentemot de regler som finns. Vi har utformat ett analysverktyg som är öppet för granskning och som kan användas till annan liknande forskning. Vi genomförde en pilotstudie för att säkerställa att vårt analysverktyg fungerar. Vi har presenterat hur vi har genomfört vår analys. Detta medför att andra forskare ska kunna genomföra och följa samma process som vi. En svårighet som vi upptäckte vid analysen av de olika läromedlen var, att det är svårt för två olika personer att tolka och analysera på exakt samma sätt. För att få ett mer tillförlitligt resultat av analysen, har vi analyserat tillsammans och genomfört alla analyser av uppgifterna i läromedlen tillsammans. Vi har då kunnat diskutera och resonera oss fram till en bedömning vid eventuella oklarheter. Patel och Davidsson (2011) menar, att detta medför att bedömningen blir mer korrekt genomförd.

Då vi, som nämnts tidigare, valt att bara analysera de kapitel i läromedlen som namnges som geometri, kan det ge ett missvisande resultat. Då båda läromedlen har valt att behandla vissa av områdena från det centrala innehållet i andra kapitel, än i geometrikapitlen. Detta har vi medvetet valt att inte ta hänsyn till. Ytterligare en aspekt vi inte tagit hänsyn till är i vilken omfattning det centrala innehållet behandlats. Vid tolkning och analys av texterna i läromedlen, har vi haft en hermeneutisk ansats. Det innebär att det är vår tolkning av texterna och att tolkningen skulle kunna se annorlunda ut om någon annan person tolkar samma texter. För att få en tillförlitlig analys, har vi utarbetat ett så tydligt analysverktyg som möjligt, med tydliga analysfrågor. Analysverktyget och dess utformning, kan ha påverkat vårt resultat. Vi har tolkat Anderson och Krathwohls (2000) definition av de kognitiva nivåerna för inlärning.

Det som kan ha påverkat vårt resultat är, att då vi har kommit i kontakt med ett av läromedlen på våra partnerskolor, finns det en risk att vi redan har en förutfattad åsikt angående materialet. Vi är medvetna om denna faktor och för att undgå detta, har vi varit noga med att ha ett tydligt analysverktyg med tydliga formuleringar.

4.5 Etiska aspekter

För att få en så tillförlitlig analys som möjligt har vi kontaktat båda läromedelsförlag och fått deras samtycke att analysera de valda läromedlen. Vi informerade dem om studiens syfte och att resultatet av studien kommer att publiceras. Förlagen har även fått vetskap om att läromedlen kommer att namnges i studien. Båda förlagen gav sitt godkännande till att användning av läromedlen i studien. Detta gjordes för att ta i beaktande vad de vetenskapliga forskningsetniska principerna säger, att de

medverkande aktörerna ska meddelas och ge sitt godkännande till medverkan (Vetenskapsrådet forskningsetiska principer,2002).

5. Resultat

I detta avsnitt presenteras det resultat vi fått fram av vår analys av de båda läromedlen i årskurs 4-6. Vi har valt att presentera resultatet genom att sammanställa de sex respektive böckerna till benämningen av två läromedel, MatteBorgen och Mattespanarna. Vi har ett resultat som behandlar tre dimensioner centralt innehåll, kognitiva nivåer och konkretisering och har därför delat upp det i tre delar. Efter varje del beskrivs en jämförelse mellan läromedlen. Den första delen presenterar det resultat vi fick fram av att analysera det centrala innehållet i läromedlen. Den andra delen innefattar resultatet av de kognitiva nivåerna som stimuleras i läromedlen. I den tredje delen presenteras resultatet av konkretiseringen som läromedlen visade. Slutligen besvaras vår frågeställning genom beskriven slutsats.

5.1 Läromedlens centrala innehåll

Resultatet av läromedlens centrala innehåll framkommer av tabellen nedan (Tabell 5) och beskrivs även i text efter tabellerna. Först presenteras resultatet av MatteBorgen (MB i Tabell 5) och sedan resultatet för Mattespanarna (MS i Tabell 5). Tabellen visar antal uppgifter och vilket innehåll som presenteras i respektive läromedel. Detta avläses i kolumnen för antal uppgifter/ centralt innehåll.

Tabell 5. Fördelning av uppgifter utifrån centralt innehåll och kognitiva nivåer Kognitiv process Centralt innehåll MB MS MB MS MB MS MB MS MB MS MB MS Mätningar med användning av nutida och äldre metoder.

3,9% 3,7%

Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter.

42,2% 14,5%

Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras.

1,2% 7,3%

Metoder för hur omkrets och area hos olika

tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. 23,7% 33,3% 0,7% (9) 4,0% (39) 0,6% (8) 3,3% (32) 0,5% (5) Konstruktion av geometriska objekt 1,5% 2,9%

Skala och dess användning i vardagliga situationer 8,3% 16,9% 1,2% (17) 2,7% (26) 0,2% (3) 0,2% (2) Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer.

11,7% 11,5%

Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt 7,5% 9,5% 9,7% (132) 2,0% (28) 8,7% (85) 2,7% (26) 0,2% (2) 4,2% (57) 4,5% (44) 3,2% (44) 4,0% (39) 0,1% (1) Uppgifter/ innehåll Fakta Förståelse T illäm pning Analy sera och v ärdera Skapa

6,4% (88) 9,9% (97) 5,9% (58) 1,9% (26) 1% (10) 0,5% (5) 0,8% (8) 0,2% (2) 16,2% (221) 29,1% (397) 7,0% (69) 12,9% (176) 4,0% (39) 5,6% (55) 0,5% (7) 12,3% (123) 7,0% (96) 14,9% (146) 0,1% (1) 3,8% (52) 3,5% (34) 0,1% (1) 0,2% (2) 0,2% (3) 2,7% (27) 0,6% (6) 0,1% (1)

MatteBorgen forkortas MB i tabellen Mattespanarna förkortas MS i tabellen

0,8% (11) 9,9% (97) 2,3% (23) Totalt 71,2% ₍₉₇₄₎ 55,2% _{(541) (382)}28% 32,5% ₍₃₁₈₎

MatteBorgen behandlar varje del i det centrala innehållet, om än inte alla uppfylls. Läromedlet består av totalt 1366 uppgifter som behandlar det centrala innehållet i geometri. MatteBorgens innehåll fokuserar främst på beräkning av area och omkrets på tvådimensionella figurer samt mätning, jämförelse och uppskattning av längd, area, omkrets och vinklar. I större delen av läromedlet fokuseras beräkning och uppskattning av area och omkrets hos några tvådimensionella figurer, däribland sammansatta figurer och parallellogram. Läromedlet behandlar även cirkelbågens och cirkelsektorns area och omkrets. En annan stor del i läromedlet innefattar mätning i vanliga måttenheter och beräkning och uppskattning av vinklar. Gällande det centrala innehållet mäta, jämföra och uppskattning av area, längd, omkrets, volym och massa ger resultatet i tabellen ett relativt missvisande resultat då

MatteBorgen årskurs 4 bestod av 237 uppgifter som uppmanar till att mäta, med framförallt nutida metoder. Det totala antalet uppgifter som behandlar detta centrala innehåll är 576 stycken, motsvarande 42,2 %. Då resultatet visar att 237 uppgifter behandlar enbart mätning, ges det andra innehållet en mindre del än procentsatsen 42,2%. Det betyder att en betydande mindre del består av uppgifter där jämförelse och uppskattning övas än vad resultatet visar i tabellen. Det som även visas av resultatet är att volym, tid och massa inte behandlas i kapitlet geometri i MatteBorgen.

Då det centrala innehållet i geometri behandlas till fullo i läromedlet, dock är frekvensen av uppgifter per innehåll varierande. En betydande liten del behandlar det centrala innehållet för symmetri och konstruktion av geometriska objekt (mindre än 2 %). Konstruktion av geometriska objekt uppfylls då uppgifter uppmanar att konstruera olika tvådimensionella figurer. Dock saknas konstruktion av tredimensionella kroppar. Innehållet gällande symmetri i konst, vardag och natur uppfylls även om antalet uppgifter som behandlar detta innehåll är få. Läromedlet behandlar dock inte begreppet spegelsymmetri utan benämner det med spegelbild. Ca 1 % av samtliga uppgifter i MatteBorgen innefattar symmetri.

MatteBorgen innehåller uppgifter som innefattar att namnge och kunna känna igen olika geometriska figurer, både tvådimensionella (däribland månghörningar) och tredimensionella figurer. Uppgifter uppmanar att figurer ska namnges och namnge ting som har formen av olika figurer. Ett exempel på sådana uppgifter är, att namnge att en boll har formen av ett klot. Läromedlet saknar uppgifter där kon, tetraeder, parallellogram, parallelltrapets och klots egenskaper tränas. Läromedlet behandlar dock cirkelbåge och cirkelsektor. Uppgifter som tränar geometriska egenskaper kan vara att kunna bestämma hur många hörn, sidor och kanter ett rätblock har. Ungefär lika stor andel av uppgifter behandlar skala och konstruktion av geometriska objekt dvs. ca 10 %.

Matteborgen uppfyller innehållet för skala och dess användning i vardagliga situationer. Uppgifter och beskrivningar presenterar och behandlar föremål, kartor och framförallt illustrerade ritningar i olika skalor. Uppgifterna uppmanar att använda skala och beräkna skala. MatteBorgen saknar dock uppgifter om likformighet och kartorna är inte verklighetsbaserade.

Mattespanarna behandlar hela det centrala innehållet i Lgr11 gällande geometri. Antalet uppgifter är relativt lika fördelade utifrån momenten. Störst vikt i läromedlet fokuseras vid beräkning och uppskattning av area och omkrets hos några tvådimensionella figurer, däribland sammansatta figurer, parallellogram, parallelltrapets och cirkelsektor. Ungefär en tredjedel av läromedlet behandlar uppgifter gällande area och omkrets.

Minst fokus i läromedlet presenteras vid uppgifter för konstruktion av geometriska objekt och det centrala innehållet gällande mätning med nutida och äldre metoder. Mätning med någon typ av äldre metoder så som aln och fot behandlas inte. Objekt som uppmanas konstrueras är tvådimensionella figurer och vissa tredimensionella kroppar.

Mattespanarna innefattar allt centralt innehåll gällande symmetri i konst, vardag och natur. Uppgifterna uppmanar bland annat att konstruera symmetrilinje i

palindromtal, vridningar, föremål, mönster och naturen. Ungefär lika stor vikt läggs vid skala som vid grundläggande geometriska objekt och dess egenskaper. Läromedlets uppgifter innehåller att kunna namnge och känna igen både tvådimensionella och tredimensionella figurer och där former kan kännas igen i olika ting. Ett exempel på sådan uppgift är titta på en tärning och namnge formen kub, med sidan av en kvadrat. Ytterligare exempel på sådana uppgifter är, att en figur som beskrivs med att basytan är rund och toppen är spetsig, ska sedan kunna namnges. Läromedlet har en verklighetsanknytning gällande skala då kartorna som presenteras är både ritade och verkliga kartor. Även likformighet presenteras och uppgifter som behandlar likformighet behandlas. Föremål och kartor presenteras i olika skalor och uppgifterna uppmanar att använda skala och beräkna skala. Läromedlet innefattar till ungefär lika stor del skala som uppskattning av area och omkrets och till viss del volym. Mattespanarnas uppgifter är relativt lika fördelade över jämförelse, mätning och uppskattning av areor, vinklar volym och omkrets. Beräkning och uppskattning av vinklar fokuseras i läromedlet. Dock behandlas inte tid och massa i kapitlet geometri i Mattespanarna. Ett exempel på en uppgift gällande jämförelse av area är att jämföra och uppskatta areor mellan en cirkel och en kvadrat. Båda läromedlen har valt att lägga fokus vid beräkning av area och omkrets. Båda läromedlen behandlar detta till stor del och några tvådimensionella och sammansatta figurer behandlas. Ytterligare likhet mellan dessa läromedel är att konstruktion av geometriska objekt ges lite utrymme.

MatteBorgen har en liten bredd på fördelningen av uppgifter och det centrala innehållet är inte spritt, utan fördelat ganska ojämnt med procentsatser på 42,2% respektive 1,2 %.

Mattespanarna har en jämnare fördelning av det centrala innehållet där de förhåller sig till ungefär 5 %, 10 %, 15 % och 33 %. Båda läromedlen saknar uppgifter angående massa och tid i kapitlet benämnt geometri. MatteBorgen saknar i större utsträckning delar av det centrala innehållet jämfört med Mattespanarna. Dock innehåller MatteBorgen mätning av äldre metoder som Mattespanarna saknar helt.

5.2 Läromedlens kognitiva nivåer

I tabellen ovan (Tabell 5) presenteras det resultat som frambringats av samtliga uppgifter gällande uppgifternas kognitiva nivå. Tabellen visar frekvensen uppgifter per innehåll men även per kognitiv förmåga. Vi beskriver resultatet här nedan.

I MatteBorgen stimuleras tre kognitiva nivåer, fakta, förståelse och tillämpa. Läromedlet stimulerar mest den kognitiva nivån fakta. Dessa uppgifter kan vara uppgifter där operationen redan är angiven, eller att eleverna har stött på samma problem tidigare. Dessa uppgifter uppmanar eleven att använda ett redan beprövat sätt, upprepa operationer, beskrivningar eller använda beskrivna tankemönster som finns presenterade. En mycket stor del (71 %) av MatteBorgens uppgifter stimulerar enbart den kognitiva nivån fakta. Resterande del av uppgifterna stimulerar de kognitiva nivåerna förståelse och tillämpa. Uppgifter som uppmanar till att använda tidigare kunskaper, för att lösa dem är uppgifter som stimulerar den kognitiva nivån förståelse. Uppgifterna kräver av utövaren att de förstått en operation och vet vilket tillvägagångssätt som ska användas. Dessa uppgifter återfinns i läromedlet men är betydande färre än faktauppgifter (28 %). Förståelseuppgifter kommer överlag senare

in i kapitlet. Den sista nivån som stimuleras i MatteBorgen är tillämpa denna kognitiva nivå innebär problemlösning. Det är få uppgifter som stimulerar denna nivå. Av MatteBorgens alla uppgifter kräver mindre än 1 % den kognitiva nivån tillämpa, dvs. att endast 11 av 1366 uppgifter uppmanar eleverna till problemlösning. Mattespanarna stimulerar alla de kognitiva nivåerna. Ungefär hälften av alla uppgifter är uppgifter som enbart kräver den kognitiva nivån fakta. Dessa uppgifter återfinns främst efter att ett nytt moment beskrivits. Läromedlet innehåller ungefär en tredjedel uppgifter som stimulerar den kognitiva nivån förståelse. Uppgifter som uppmanar till att använda tidigare kunskaper, för att lösa uppgifterna är förståelseuppgifter. Uppgifterna är dock liknande faktauppgifter men operationen finns inte fullt presenterad. Ett exempel på en sådan uppgift är att eleven ska jämföra skillnader och likheter mellan ett rätblock och en pyramid. Uppgiften kräver att eleven vet hur kropparna ser ut och deras egenskaper. Det kräver även att eleven kan beskriva och komma fram till skillnader och likheter mellan kropparna. Nästa kognitiva nivå som stimuleras i Mattespanarna är tillämpa. Ca 10 % av uppgifterna stimulerar denna process. Den kognitiva nivån tillämpa innefattar uppgifter med problemlösning. Detta innebär att operationen inte är given, eleven måste tolka uppgiften och lösningen visar sig ofta i flera steg. En djupare förståelse för ett moment krävs och utvecklas genom uppgifter av denna typ då eleven måste värdera och tänka själv för att finna en lösning på problemet. Endast Mattespanarna innehöll uppgifter som kräver den kognitiva nivån analysera och värdera. Dessa uppgifter kräver att eleven kan dra slutsatser utifrån ett problem, kan beskriva samband och ställa hypoteser över problem och operationer. Även den kognitiva nivån skapa återfinns endast i Mattespanarna dock enbart en uppgift som kräver den kognitiva nivån skapa. Uppgiften finns i slutet av boken i årskurs 6 och innebär att eleven ska skapa ett uttryck för ett mönster. Eleven ska skapa ett generellt uttryck som passar mönstret och sedan visa att det gäller.

Båda läromedlen innehåller till större del uppgifter som stimulerar den kognitiva nivån, fakta. MatteBorgen och Mattespanarna har ungefär lika fördelning av uppgifter som stimulerar den kognitiva nivån förståelse.

Fortsatt gällande kognitiva nivåer skiljer sig läromedlen ganska mycket åt. Mattespanarnas uppgifter stimulerar i högre utsträckning en högre kognitiv nivå än MatteBorgen. Vid högre kognitiv nivå såsom tillämpa innehåller MatteBorgen 11 uppgifter motsvarande 97 uppgifter i Mattespanarna. MatteBorgen innehåller inga uppgifter därutöver som stimulerar en högre kognitiv nivå då Mattespanarna har ytterligare 24 uppgifter som stimulerar analysera och värdera och skapa.

5.3 Konkreta uppgifter och beskrivningar

Tabellen nedan (Tabell 6) visar på vilket sätt läromedlen behandlar konkretisering och vilket innehåll som konkretiseras. Vi kommer här nedan att beskriva böckernas konkretisering med början av MatteBorgen som efterföljs av beskrivning av Mattespanarna. Resultatet visar fördelningen av konkreta uppgifter utifrån det centrala innehållet och kognitiva nivåerna.

Tabell 6. Fördelningen av konkreta uppgifter utifrån det centrala innehållet och kognitiva nivåerna.

Kognitiv process Centralt innehåll

MB MS MB MS MB MS MB MS MB MS MB MS

Fakta Förståelse T illäm pning Analy sera och v ärdera Skapa

Uppgifter/ innehåll

3,9%

Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt 3,1% (42) 0,8% (8) 0,4% (5) 0,3% (3) 0,1% (1) 2,6% Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. 2,6% (36) 3,5% (34) 0,3% (3) 3,4% 1,1% Konstruktion av geometriska objekt 0,6 % (6) 0,1% (1) 0,7%

Skala och dess användning i vardagliga situationer 2,3% (32) 4,8% (47) 0,3% (4) 1,2% (12) 0,1% (1) 2,6% 6,1% Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras. 0,2% (3) 1,3% (13) 0,3% (3) 14,4% Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. 7,3% (100) 2,9% (28) 1,4% (19) 0,5% (5) 1,6% Metoder för hur omkrets och area hos olika

tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. 8,6% (118) 9,7% (95) 0,9% (12) 3,4% (33) 1,3% (13) 0,2% 0,5% (5) 0,1% (1) 8,7% 9,5% 4,0% 0,2% Mätningar med användning av nutida och äldre metoder.

0,2% (2)

Mattespanarna förkortas MS i tabellen

2,0% (20)

0,1% (1)

MatteBorgen forkortas MB i tabellen

Totalt 24,2% (331) 23,8% (233) 2,9% (40) 3,1% (60)

MatteBorgen visar utmärkt konkretisering av innehållet area, omkrets och jämförelse samt mellan dessa. Läromedlet innehåller konkreta modeller genom beskrivande text, bilder och operationer beskrivs. Den kognitiva nivån som stimuleras är främst faktanivån.

Uppgifterna är konkret utformade för att illustrera area och omkrets. Ett exempel på sådan uppgift gällande area följer nedan (Figur 2)

Hur många cm lång är rektangeln? Hur många cm bred är rektangel? Räkna ut arean.

Figur 2. Konkret uppgift från MatteBorgen 5A. s.44.

Även mätning och uppskattning av längd och vinklar är utmärkt konkretiserade. Genom tydliga bilder, texter och operationer finns detta utmärkt beskrivet. Flera uppgifter är tydligt konkretiserade, dock främst för att mäta längd och vinklar.

MatteBorgen visar bra konkretisering av skala och dess användning i vardagliga situationer. Läromedlet innehåller konkreta beskrivningar som visar skala genom bild, text men saknar en tydligare beskrivning av operation och betydelsen av skala. MatteBorgen visar bra konkretisering av symmetri både beskrivningar och uppgifter, är konkret illustrerade genom text, bild och operation. Läromedlet saknar dock beskrivning av spegelsymmetri, då endast konkretisering av symmetriaxel/ symmetrilinje finns.

Läromedlet saknar konkretisering av tredimensionella figurer, dess egenskaper och hur dessa konstrueras. Det saknar även konkretiserade beskrivningar av tvådimensionella figurers egenskaper, dock är uppgifter bra konkretiserade för dessa objekts egenskaper. MatteBorgen saknar konkretisering av mätning med äldre och nutida metoder.

Av alla uppgifter i MatteBorgen är 24,2 % uppgifter som är konkretiserade på den kognitiva nivån fakta och 2,9 % på den kognitiva nivån förståelse. Störst vikt av konkretisering i MatteBorgen är vid uppgifter som konkretiserar area och omkrets. Mattespanarna innehåller utmärkt konkretiserade uppgifter och beskrivningar inom de flesta innehållsområdena. Grundläggande geometriska objekt och dess egenskaper konkretiseras utmärkt med text, bild och operationer. Figurerna och kropparna konkretiseras och visas på flera olika sätt. Ett exempel på en sådan konkretisering följer nedan (Figur 3).

Triangel

En triangel kan se ut på många olika sätt, men en sak har trianglar gemensamt - de alla har tre sidor och tre hörn. ”Tri” betyder just tre.