Matematik III M0039M, Lp

Matematik III M0039M, Lp 3 2016

Lektion 9

Staffan Lundberg

Lule˚a Tekniska Universitet

1 februari 2016

Lekt 8

Best¨am allm¨an l¨osning till differentialekvationen y¹` x y² “ x

Linj¨ ara differentialekvationer av andra ordningen

Definition

En differentialekvation p˚a formen d²y

dx² ` apxqdy

dx ` bpxq y “ hpxq (1)

kallas en linj¨ar differentialekvation av ordning 2.

Om funktionerna apxq och bpxq b¨agge ¨ar konstanta, har ekvationen (1) konstanta koefficienter.

Om funktionen hpxq “ 0, kallas ekvationen (1) homogen. Om hpxq ‰ 0, ¨ar (1) inhomogen.

Till¨ ampningar

Ekvationen (1) ¨ar intimt f¨orknippad med matematisk modellering av

Mekanik: Vibrationer,

fj¨adersv¨angningar, pendelr¨orelse, d¨ampad/od¨ampad harmonisk r¨orelse

Det fj¨aderupph¨angda systemet uppfyller md²x

dt² ` cdx

dt ` kx “ 0

Elektrisk kretsteori: RLC-kretsar

Ekvationen (1) anv¨ands ¨aven f¨or matematisk modellering av RLC-kretsar.

Eptq i

C

L R

Str¨ommen iptq uppfyller Ld²i

dt² ` Rdi dt ` 1

Ci “ dE dt

Anm¨ arkning

Det kan vara praktiskt att inf¨ora beteckningen Lrys “ˆ d²

dx² ` apxq d

dx ` bpxq

˙ rys

f¨or V.L. i (1). Funktionen L ¨ar en s.k. linj¨ar differentialoperator, som opererar p˚a funktioner. Dess egenskaper ¨ar:

Lry¹` y<sup>2</sup>s “ Lry<sup>1</sup>s ` Lry²s, Lrcys “ c Lrys, c konstant.

Superpositionsprincipen

Dessa tv˚a linearitetssamband har en viktig konsekvens (den s.k.

superpositionsprincipen) n¨ar det g¨aller l¨osningarna tillhomogena ekvationer, dvs. ekvationer av typen

d²y

dx² ` apxqdy

dx ` bpxq y “ 0. (2)

Sats

Om den linj¨ara homogena differentialekvationen (2) har tv˚a l¨osningar y¹ respektive y2, s˚a kan den allm¨anna l¨osningen y till (2) alltid skrivas p˚a formen

y “ Ay¹` By², A, B konstanter.

Bevis.

LrAy¹` By<sup>2</sup>s “ LrAy<sup>1</sup>s ` LrBy²s “

ALry¹s ` BLry<sup>2</sup>s “ A ¨ 0 ` B ¨ 0 “ 0, och vi ¨ar klara.

Alternativt kan satsen uttryckas s˚a:

N¨ar vi har best¨amt tv˚a l¨osningar till (2), s˚a har vi d¨armed best¨amt samtliga l¨osningar. Detta tar vi med oss n¨ar vi nu g˚ar att l¨osa (2).

Anm¨ arkning

Man l˚anar teori fr˚an den linj¨ara algebran och s¨ager att l¨osningarna y1

respektive y2 m˚aste vara linj¨art oberoende. Detta inneb¨ar f¨or v˚ar del:

Definition

Tv˚a funktioner y1 och y2 ¨arlinj¨art oberoende om y1 ‰ K ¨ y², K konstant.

Specialfall

Generellt ¨ar andra ordningens differentialekvationer extremt sv˚arl¨osta. Av den orsaken begr¨ansar vi oss till ekvationer av typen av typen (1) i allm¨anhet, och till ekvationer av typen

d²y

dx² ` ady

dx ` b y “ hpxq (3)

i synnerhet. Ekvation (3) kallas linj¨ara andra ordningens differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Homogena andra ordn. d.e. med konstanta koeff.

Vi betraktar ekvationen d²y

dx² ` ady

dx ` b y “ 0, (4)

d¨ar vi observerar att ekvationen har konstanta koefficienter a resp. b.

Ekvationen (4) l¨oser vi genom f¨oljande princip (Eulers ansats, ca 1740):

Ansatsl¨osning: y “ e^rx. Differentialoperatorn L“ p d²

dx² ` a d dx ` bq.

Ansatsen deriveras och s¨atts in i (4):

Lre^rxs “ pr²` ar ` bq e^rx.

y “ e^rx ¨ar l¨osning till (4), om och endast om r uppfyller den s.k.

karakteristiska ekvationen

2

Eulers ansats reducerar ekvationen (4) till en algebraisk ekvation.

Uttrycket pprq “ r²` ar ` b brukar ibland kallas det

karakteristiska polynomet. Den karakteristiska ekvationen (5) har l¨osningarna

r1,2“ ´a 2˘

?a²´ 4b

2 .

Det upptr¨ader tre olika l¨osningstyper, beroende p˚a uttrycket a²´ 4b.

Fallet a

´ 4b ą 0: skilda, reella r¨ otter

Vi inser, att om (5) har reella r¨otterna r1 och r2, r1 ‰ r², ¨ar l¨osningarna y1 “ e^r1x och y2 “ e^r2x linj¨art oberoende och den allm¨anna l¨osningen till (4) kan skrivas:

y “ A e^r1x` B e^r2x, A, B P R.

Exempel

Best¨am den allm¨anna l¨osningen till d²y dx² ´ dy

dx ´ 6 y “ 0.

Fallet a

´ 4b “ 0: reell dubbelrot

Om (5) har reella dubbelroten r1, f˚ar vi direkt en l¨osning y1 “ e^r1x. Vi beh¨over ¨annu en l¨osning, linj¨art oberoende till y¹.

Man verifierar (i mer avancerade kurser) att y2 “ x e^r1x ¨ar en s˚adan l¨osning, och den allm¨anna l¨osningen till (4) kan skrivas:

y “ pA ` Bxq e^r1x, A, B P R.

Exempel

Best¨am den allm¨anna l¨osningen till d²y

dx² ` 8dy

dx ` 16 y “ 0.

Fallet a

´ 4b ă 0: skilda, komplexa r¨ otter

Vi inser, att om (5) har komplexa r¨otterna r¹ “ α ` i β och r² “ α ´ i β, r1 ‰ r², ¨ar l¨osningarna y¹ “ e^r1x och y2“ e^r2x linj¨art oberoende och den allm¨anna l¨osningen till (2) kan skrivas:

y “ A e<sup>pα`i βq x</sup>` B e^{pα´i βq x}, A, B P C. Med anv¨andning av diverse r¨akneregler kan vi skriva

y “ e^{α x} ppA ` Bq cos βx ` pA ´ Bq i sin βxq.

Reella l¨ osningar

Ur ett fysikaliskt perspektiv ¨ar man intresserad av reella l¨osningar, trots att (5) har komplexkonjugerade r¨otter. F¨or speciella val av A och B kan vi n¨amligen ers¨atta de komplexa l¨osningarna med reella.

De komplexa r¨otterna α˘ i β ger d¨armed upphov till de linj¨art oberoende reella l¨osningarna υ¹“ e^{α x} cos βx resp. υ2“ e^{α x} sin βx. Den allm¨anna l¨osningen till (4) kan d˚a skrivas:

y “ e^{α x} pC¹ cos βx` C² sin βxq , C¹,C2 P R.

Exempel

Best¨am den allm¨anna l¨osningen till d²y

dx² ´ 4dy

dx ` 5 y “ 0.

Avslutande exempel

Ekvationen f¨or en plan matematisk pendelr¨orelse kan f¨or sm˚a utslagsvinklar approximeras till

α:` g

Lα“ 0 ,

d¨ar α (rad) ¨ar utslagsvinkeln, L (m) ¨ar pendell¨angden och g ¨ar tyngdfaktorn (9.8 N/kg).

Best¨am utslagsvinkeln efter en sekund om vi antar att L“ 0.2 och αp0q “ 3^˝ och begynnelsefarten 0 m/s. (Svar: ca 2.3^˝)