TMA970 Inledande matematisk analys F/TM, ht 2020

TMA970 Inledande matematisk analys F/TM, ht 2020

Föreläsning 11: Gränsvärden (forts.)

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0

Vi fortsätter jämföra funktioners beteende, hur snabbt de går mot 0 eller ∞ i vissa pkter.

Sats.

𝑥𝑥→0lim

sin 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 1

Bevis. Vi börjar med att visa uppskattningen

cos 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥

𝑥𝑥 < 1, ∀𝑥𝑥 ∈ 0, 𝜋𝜋 2

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0 (forts.)

Låt 𝑥𝑥 ∈ 0, ^𝜋𝜋₂ . Låt 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷 vara punkter sådana att 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 ∈ enhetscirkeln, 𝐴𝐴 ∈ 𝑂𝑂𝐵𝐵,

∢𝐶𝐶𝑂𝑂𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 (i radianer), 𝐶𝐶 ∈ 𝑂𝑂𝐷𝐷, 𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐷𝐷𝐵𝐵 ⊥ 𝑂𝑂𝐵𝐵.

Då:

𝐴𝐴𝐶𝐶 = sin 𝑥𝑥;

𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝑥𝑥;�

𝐵𝐵𝐷𝐷 = tan 𝑥𝑥

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0 (forts.)

Sträckan 𝐵𝐵𝐶𝐶 < bågen 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 katet, 𝐵𝐵𝐶𝐶 hypotenusa i triangeln 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, alltså

𝐴𝐴𝐶𝐶 < 𝐵𝐵𝐶𝐶 < bågen 𝐵𝐵𝐶𝐶, sin 𝑥𝑥 < 𝐵𝐵𝐶𝐶 < 𝑥𝑥 (i rad), och vi får att

sin 𝑥𝑥

𝑥𝑥 < 1.

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0 (forts.)

För den vänstra olikheten:

OBS! Bristfälligt i boken!

cirkelsektorn 𝑂𝑂𝐵𝐵𝐶𝐶 ⸦ △ 𝑂𝑂𝐵𝐵𝐷𝐷

⇒ cirkelsektorns area är mindre

⇒ _2𝜋𝜋^𝑥𝑥 � 𝜋𝜋 � 1² < ^{1�tan 𝑥𝑥}₂ = _{2 cos 𝑥𝑥}^{sin 𝑥𝑥}

⇒ cos 𝑥𝑥 < ^{sin 𝑥𝑥}_𝑥𝑥

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0 (forts.)

Vi har visat uppskattningen cos 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥

𝑥𝑥 < 1, ∀𝑥𝑥 ∈ 0, 𝜋𝜋 Vi ska nu visa att 2

cos 𝑥𝑥 _𝑥𝑥→0

+ 1 ,

(vilket betyder att cos är kontinuerlig i 0) Vi har

0 ≤ 1 − cos 𝑥𝑥 = 2 sin² 𝑥𝑥

2 ≤ 2

𝑥𝑥 2

2

𝑥𝑥→0₊ 0

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0 (forts.)

Vi har nu visat att

cos 𝑥𝑥 < ^{sin 𝑥𝑥}_𝑥𝑥 < 1, ∀𝑥𝑥 ∈ 0, ^𝜋𝜋₂ , och att cos 𝑥𝑥 _𝑥𝑥→0

+ 1.

Det följer att ^{sin 𝑥𝑥}

𝑥𝑥 𝑥𝑥→0₊ 1.

𝑥𝑥 ∈ − ^𝜋𝜋₂ , 0 : sin udda, x udda sin 𝑥𝑥

𝑥𝑥 =

sin(−𝑥𝑥)

(−𝑥𝑥) ^{𝑥𝑥→0−} 1

Jämförelse mellan sin 𝑥𝑥 och 𝑥𝑥 kring 0 (forts.)

Vi har använt instängningsregeln (’’lemmat om de två poliserna’’):

Om 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ ℎ(𝑥𝑥), och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) _{𝑥𝑥→𝑥𝑥}

0 𝑙𝑙, ℎ(𝑥𝑥) _{𝑥𝑥→𝑥𝑥}

0 𝑙𝑙, så följer att 𝑓𝑓(𝑥𝑥) _{𝑥𝑥→𝑥𝑥}

0 𝑙𝑙.

Vi ska visa den ordentligt senare (sista veckan).

Omgivningar

Vi kommer att ge en generell definition för gränsvärde, som klargör kopplingen mellan de olika varianterna.

def Låt 𝑥𝑥₀ ∈ ℝ. Omgivningar till 𝑥𝑥₀ är alla intervall (𝑥𝑥₀ − ε, 𝑥𝑥₀ + ε), där 𝜀𝜀 > 0.

def Omgivning till ∞ är varje intervall (𝐴𝐴, ∞);

Omgivning till −∞ är varje intervall −∞, 𝐵𝐵 , 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ ℝ.

Omgivningar (forts.)

De tre typerna

(𝑥𝑥₀ − ε, 𝑥𝑥₀ + ε):

(𝐴𝐴, ∞)^:

−∞, 𝐵𝐵 :

’’Nära’’

Analys handlar till stor del om kontinuitet, som har att göra med gränsvärden och

begreppen ’’nära’’, ’’närma sig’’.

’’Nära’’, vad betyder det?

Däremot är det klart vad ’’närmare’’

och ’’hur nära som helst’’ betyder.

’’Närmare’’: 0 < 𝜀𝜀₂ < 𝜀𝜀₁; 𝐴𝐴₂ > 𝐴𝐴₁; 𝐵𝐵₂ < 𝐵𝐵₁

Gränsvärden – definition

Gränsvärde: ’’hur nära som helst’’

def Låt 𝑓𝑓: 𝐷𝐷_𝑓𝑓 → ℝ, ^{och låt} 𝑥𝑥₀ ∈ ℝ ∪ ±∞ ; 𝑙𝑙 ∈ ℝ ∪ ±∞ .

𝑓𝑓 har gränsvärde 𝑙𝑙 när 𝑥𝑥 går mot 𝑥𝑥₀ om

∀ omgivning 𝑈𝑈 till 𝑙𝑙 ∃ omgivning 𝑉𝑉_𝑈𝑈 till 𝑥𝑥₀ s.a. ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉_𝑈𝑈 ∩ 𝐷𝐷_𝑓𝑓 ∖ {𝑥𝑥₀} gäller 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∈ 𝑈𝑈

𝑥𝑥→𝑥𝑥lim₀ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) _{𝑥𝑥→𝑥𝑥}

0 𝑙𝑙

Gränsvärden – definition (forts.)

Illustration:

Vi tittar på ett U- band kring l och projicerar den

delen av grafen ner på x-axeln för att hitta V

Gränsvärden – definition (forts.)

OBS! Vi tar bort själva punkten 𝑥𝑥₀. (Det gör man inte i boken.)

Varför tar vi bort den?

Gränsvärde handlar om att närma sig, och f

närmar sig ett värde; att den sen hoppar till

ändrar inte det.

Gränsvärden – definition (forts.)

Definitionen skrivs om i varje konkret fall

beroende på om punkten är ändlig eller oändlig, och alltså beroende på typen av omgivning.

𝑙𝑙 ∈ ℝ: 𝑈𝑈 ges av 𝑙𝑙 − 𝜀𝜀, 𝑙𝑙 + 𝜀𝜀 , 𝜀𝜀 > 0

𝑥𝑥₀ ∈ ℝ: 𝑉𝑉_𝑈𝑈 ges av 𝑥𝑥₀ − 𝛿𝛿, 𝑥𝑥₀ + 𝛿𝛿 , 𝛿𝛿 > 0

∀𝑈𝑈: ∀𝜀𝜀 > 0; ∃𝑉𝑉_𝑈𝑈: ∃𝛿𝛿 > 0 Man talar om ε-δ-definitionen av gränsvärde.