TATA79/TEN1 Dugga 1, 2016-11-26 Inledande matematisk analys
1.
(a) Ge kontrapositionen av p˚ ast˚ aendet:
”x ≥ 5 =⇒ x 2 − 7x + 12 ≥ 2.” (♣) (b) Bevisa att p˚ ast˚ aendet (♣) ¨ ar sant.
(c) Hitta talet y s˚ a att p˚ ast˚ aendet
”y ≤ x ≤ 5 ⇐⇒ x 2 − 7x + 12 ≤ 2”
¨ ar sant. Motivera ditt val av y.
Solution:
(a) Kontrapositionen av (♣) ¨ ar
”x 2 − 7x + 12 < 2 =⇒ x < 5”
(b) Vi har att
x 2 − 7x + 12 ≥ 2 ⇐⇒ x 2 − 7x + 10 ≥ 0 ⇐⇒ (x − 5)(x − 2) ≥ 0 s˚ a (♣) ¨ ar ekvivalent med
”x ≥ 5 =⇒ (x − 5)(x − 2) ≥ 0.” (1) Men
x ≥ 5 =⇒
x − 5 ≥ 0 och x − 2 ≥ 3 > 0
=⇒ (x − 5)(x − 2) ≥ 0 · (x − 2) = 0,
s˚ a (1) ¨ ar bevisat och d¨ arf¨ or s˚ a ¨ ar (♣).
(c) Som ovan
x 2 − 7x + 12 ≤ 2 ⇐⇒ x 2 − 7x + 10 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 5)(x − 2) ≤ 0 och
(x−5)(x−2) ≤ 0 ⇐⇒
b˚ ade x − 5 ≤ 0 och x − 2 ≥ 0 eller
b˚ ade x − 5 ≥ 0 och x − 2 ≤ 0
⇐⇒
b˚ ade x ≤ 5 och x ≥ 2 eller
b˚ ade x ≥ 5 och x ≤ 2.
Men eftersom vi kan inte ha x ≥ 5 och x ≤ 2 samtidigt ¨ ar
x 2 − 7x + 12 ≤ 2 ⇐⇒ 2 ≤ x ≤ 5
s˚ a y = 2.
2.
(a) Bevisa att
n
X
k=1
k = n(n + 1) 2 f¨ or n ∈ N.
(b) R¨ akna ut
10
X
k=1
(12k + 3).
Solution:
(a) Det finns flera metoder. Till exempel vi kan anv¨ ander induktion: Vi vill bevisa att
n
X
k=1
k = n(n + 1)
2 (2)
f¨ or n ∈ N.
I fallet n = 1 kan vi kolla direkt att
n
X
k=1
k =
1
X
k=1
k = 1
och n(n + 1)
2 = 1(1 + 1)
2 = 1
s˚ a (2) st¨ ammer i fallet n = 1.
Nu antar vi (2) med n = m f¨ or n˚ agot m ∈ N och betraktar v¨ ansterledet i (2) med n = m + 1:
m+1
X
k=1
k =
m
X
k=1
k + (m + 1) =
↑ (2) med n = m
m(m + 1)
2 + (m + 1) = m(m + 1)
2 + 2(m + 1) 2
= (m + 1)(m + 2)
2 = (m + 1)((m + 1) + 1) 2
som ¨ ar h¨ ogerledet i (2) med n = m + 1. S˚ a vi har bevisat att (2) med n = m medf¨ or (2) med n = m + 1.
Enligt induktion ¨ ar (2) bevisad f¨ or alla n ∈ N.
(b) Vi kan r¨ akna att
10
X
k=1
(12k + 3) =
10
X
k=1
12k +
10
X
k=1
3 = 12
10
X
k=1
k +
10
X
k=1
3.
men P 10
k=1 k = 10(10 + 1)/2 fr˚ an (a) och
10
X
k=1
3 = 3 + 3 + · · · + 3
| {z }
10 g˚ anger
= 10 · 3.
D¨ arf¨ or ¨ ar
12
10
X
k=1
k +
10
X
k=1
3 = 12 · 10 · (10 + 1)
2 + 10 · 3 = 660 + 30 = 690.
3.
(a) Ge definitionen att en icketom m¨ angd A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad.
(b) Bevisa att f¨ oljden (a n ) n∈N ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad d¨ ar a n definieras enligt uttrycket
a n = 1 (n + 5)!
n + 5 5
f¨ or n ∈ N.
Solution:
(a) Man s¨ ager att m¨ angden A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad om det finns C ∈ R s˚ a att a ≤ C f¨ or alla a ∈ A.
(b) Vi har att
a n = 1 (n + 5)!
n + 5 5
= (n + 5)!
(n + 5)!5!(n + 5 − 5)! = 1 5!n! , men n! ≥ 1 f¨ or alla n ∈ N och 5! = 120 > 0 s˚ a
a n = 1 5!n! ≤ 1
5! = 1 120
och d¨ arf¨ or ¨ ar a n ≤ 1/150 f¨ or alla n ∈ N. Vi har visat att definitionen g¨ aller med C = 1/120 s˚ a (a n ) n∈N ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad.
4.
(a) L˚ at I vara ett intervall. Definiera begreppet v¨ axande som g¨ aller f¨ or en funktion f : I → R.
(b) Betrakta en funktion f : [0, ∞) → R som definieras enligt formeln f (x) =
5x om x ∈ [0, 4);
4x + 4 om x ∈ [4, ∞).
f¨ or alla x ∈ [6, ∞)
↑
Studenderna meddelades att stryka det h¨ar.
