TENTAMEN , TEN1 i HF1006 och HF1008 DIGITALTENTAMEN

Sida 1 av 10

TENTAMEN , TEN1 i HF1006 och HF1008

DIGITALTENTAMEN

Moment: TEN1 (Linjär algebra), 4 hp, skriftlig tentamen

Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008, Linjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1

Datum: 2 mars 2021

Tid: 8-12, (Extra tid , Funka studenter: 8-14) Plats: ZOOM (Digitaltentamen)

Lärare: Maria Shamoun och Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: Maxpoäng = 24

För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN1: Formelblad: FORMELBLAD ( Linjär Algebra)

Det är tillåtet att använda och ha på bordet pappersversionen av " FORMELBLAD ( Linjär Algebra)”

Miniräknare är INTE tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

---

Tider:

Ordinarie tid: 8:00- 12:00, Uppladdning: senast 12:30 Extra tider: 8:00-14:00, Uppladdning: senast 14:30 Lösningar laddas upp på Canvas

https://kth.instructure.com/courses/29338/assignments gärna som PDF-filer (ZIPPA INTE filerna).

( Andra format: JPG, JPEG, HEIC eller PNG brukar vi kunna öppna men vi garanterar inte.) Studenter som skriver ordinarie tid 8-12 laddar upp lösningar , separat för varje uppgift i motsvarande mapp: Uppgift 1, ….,Uppgift 6

Studenter som har rätt till extra tid (Funka) laddar upp alla lösningar i mappen

”Uppladdningssida för de som har rätt till extra tid (FUNKA) . ”

---

Du använder papper och penna för att lösa nedanstående uppgifter.

Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar.

Du skannar eller tar bilder av dina lösningar. Dina lösningar laddar du upp på Canvas

Om du är färdig tidigare, meddelar du genom chat i Zoom, till tentavakten, att du fotar dina lösningar. Efter uppladdningen meddelar du till tentavakten att du lämnar Zoom-tenta. Därefter får du inte komma tillbacka till Zoom-rummet eller göra ändringar i dina lösningar.

---

Sida 2 av 10

siffrorna i ditt personnummer. (T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p=4 och q=8.)

Börja med att byta ut p och q med siffror från ditt personnummer och lös sedan uppgifterna.

Uppgift 1. (4p)

a) (1 poäng) Bestäm en enhetsvektor (vektor med längden 1) som har samma riktning som vektorn a=(2,1,q+2).

b) (1 poäng) Bestäm en vektor som är vinkelrät mot b=(1,q+ −3, 1) .

c) (2 poäng) Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna (1,1,1), (1, 2, q+1) och (3, 4, q+6).

Uppgift 2. (4p)

Skriv, om det är möjligt, vektorn d=(3, 3,q+2)

som en linjärkombination av vektorerna (1,1,0)

a =

, b = (1,0,1)

och c=(0,1,q+1)

dvs. försök finna några tal x x , och ₁, ₂ x sådana att ₃ d x a x b x c= ₁+ ₂+ ₃

(OBS enbart prövning ger 0p.)

Uppgift 3. (4p)

a) (2 poäng) Bestäm Re(w) om ⁴⁰⁶ 1

w p i i i

= + +

− . b) (2 poäng) Lös ekvationen z³=32 2 32 2− i och ange alla (tre) lösningar på potensform eller på polär form (välj själv).

Var god vänd.

Sida 3 av 10 Uppgift 4. (4p)

Vi betraktar vektorn F =(3,1,q+1)

och planet : x−2y+2z= . 0

a) (2 poäng) Låt n vara en vektor vinkelrät mot planet . Bestäm den vinkelräta (ortogonala) projektionen av F

på n. b) (2 poäng) Vektorn F =(3,1,q+1)

delas i två komposanter där en av de är vinkelrät mot planet och den andra komposanten är parallell med planet : x−2y+2z= . Bestäm den 0 komposant av kraften som är parallell med planet .

Uppgift 5. (4p)

a) (2 poäng) Bestäm egenvärden och egenvekorer till marrisen 1 2

1 2 M p

p

 + 

=  + 

b) (2 poäng) Lös följande matrisekvation (𝑋𝑋 är en okänd matris) AX=3X+B där 3 5

A 1 4

=  

  och 1 2 1 0 1

2 3 0 1 1

B  

=  

 

Uppgift 6. (4p)

a) (2p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar 2≤ − +z 4 4 ) 3i ≤ .

b) (2p) Skissera i det komplexa talplanet den kurva som består av alla z som satisfierar

2 2 ( ) 4

z z⋅ − z− z i z z+ − =

Lycka till.

Sida 4 av 10 FACIT

Uppgift 1. (4p)

a) (1 poäng) Bestäm en enhetsvektor (vektor med längden 1) som har samma riktning som vektorn a=(2,1,q+2).

b) (1 poäng) Bestäm en vektor som är vinkelrät mot b=(1,q+ −3, 1) .

c) (2 poäng) Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna (1,1,1), (1, 2, q+1) och (3, 4, q+6).

Lösning:

a) Enhetsvektor till a

: 1

ae a

= a ⋅

 

 där a=(2,1,q+2) och a = 2 1²+ +²

(

)

för tex q=1: (2,1,3) och 2 1 3 ^{2 2 2} 1 (2,1,3)

e 14 a= a = + + ⇒ a= ⋅

b) Betecknar den sökta vektorn v

. För vinkelräta vektorer gäller att skalärprodukten b v • =0

.

För tex q=1: b = (1,4, 1)−

väljer tex v = − ( 2,1,2)

eftersom

( ) ( )

(1,4, 1)− • −2,1,2 1 ( 2) 4 1= ⋅ − + ⋅ + − ⋅ = 1 2 0

c) Låt 𝑎𝑎⃗ =(1,1,1), 𝑏𝑏�⃗=(1, 2, q+1) och 𝑐𝑐⃗=(3, 4, q+6).

Volymen beräknas med ^{|a b c  • ×}

( )

För tex q=1:

V= ^|

( )

^{( ) ( ) ( )}

a b c  • × = = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

Svar c) (i allmänt) V= 3.

Rättningsmall: a, b: rätt eller fel.

c) Korrekt uppställd determinant ger 1p. Allt korrekt=2p

Sida 5 av 10 Uppgift 2. (4p)

Skriv, om det är möjligt, vektorn d=(3, 3,q+2)

som en linjärkombination av vektorerna (1,1,0)

a =

, b = (1,0,1)

och c=(0,1,q+1)

dvs. försök finna några tal x x , och ₁, ₂ x sådana att ₃ d x a x b x c= ₁+ ₂+ ₃

(OBS enbart prövning ger 0p.)

Lösning:

För tex q=1:

( )

( )

( )

( )

2 3

3 3,3,3 1,1,0 1,0,1 0,1,2 ger 3

2 3

x x

x x x x x

x x

+ =



= + +  + =

 + =



1 2 1 2

1 3 2 3

2 3 2 3

1 2

2 3

3

3 3

3 ( 1 2) 0

2 3 2 3

3 0

2 3 3 3

x x x x

x x ekv ekv x x

x x x x

x x x x

ekv ekv x

+ = + =

 

 + = ⇔ − + ⇔ − + =

 

 + =  + =

 

+ =

  

  

⇔ ⇔ − + =

 +   =

 

Härav; x₃ =1, x₂ =1 och x₁ =2 d =2a b c+ +

   

Svar i allmänt d=2a b c  + + . Rättningsmall:

Korrekt uppställt ekvationssystem ger 1p.

Därefter +1p för varje korrekt obekant x x₁, ₂, och x₃.

Uppgift 3. (4p)

a) (2 poäng) Bestäm Re(w) om ⁴⁰⁶ 1

w p i i i

= + +

− . b) (2 poäng) Lös ekvationen z³=32 2 32 2− i och ange alla (tre) lösningar på potensform eller på polär form (välj själv).

Lösning:

Först 1 1 1

1 1 1 2

p i p i i p pi i

w i i i

+ + + − + +

= = ⋅ =

− − + och w2=i⁴⁰⁶=( )i^{2 203} = −( 1)²⁰³= −1.

Sida 6 av 10

Nu har vi 1 2 1

2 2 2 2

w w w= + = − = = + .

Därmed Re(w)= 3 p − . 2 b) z³ =32 2 32 2− i

Först skriver vi högerledet på potensform ( alternativ: på polär form) Beteckna högerledet u=32 2 32 2− i .

Vi har

2 2 2 2 2

| | | 32 2 32 2 |u = − i = (32 2) +(32 2) = 32 2 32 2⋅ + ⋅ = 32 4 32 2 64⋅ = ⋅ = arg( ) ( eftersom x>0) =arctan( ) arctan( 32 2) arctan( 1) 2

32 2 4

u y k

x

π π

= = − = − = − + .

Därmed

( 2 )

3 64 4 ^{k i}

z = e^{− +π π} där k=0,1,2.

Härav z=64^1/3e^{(− +π4 2 ) /3k iπ} =4e^{(− +12π 2k i3π)} , där k=0,1,2.

Rättningsmall:

a) Korrekt beräkning av w1 eller w2 ger 1p. Allt korrekt =2p

b) Korrekt potensform eller polär form av högerledet ger 1p . Allt korrekt=2p.

Uppgift 4. (4p)

Vi betraktar vektorn F =(3,1,q+1)

och planet : x−2y+2z= . 0

a) (2 poäng) Låt n vara en vektor vinkelrät mot planet . Bestäm den vinkelräta (ortogonala) projektionen av F

på n. b) (2 poäng) Vektorn F =(3,1,q+1)

delas i två komposanter där en av de är vinkelrät mot planet och den andra komposanten är parallell med planet : x−2y+2z= . Bestäm den 0 komposant av kraften som är parallell med planet .

Lösning:

a)

Sida 7 av 10

Från planets ekvation har vi att n = (1, 2,2)− är en normalvektor till planet.

Låt a beteckna projektionen av F

på n. Enligt projektionsformeln har vi

3 2 2 2 3 2

( ) (1, 2, 2) (1, 2, 2)

1 4 4 9

n F n q q

a proj F n

n n

 ⋅  − + + +

= ^ =  ⋅  = + + − = −

  

 

  b)

b a

n F

Låt b

den andra komposanten (som är parallell med planet ) .

F å får vi (3,1, 1) 3 2 (1,

r n F a b = +  b F a= − =  q+ − +9 q −2,2)

[ ]

= (27,9,91 9) (3 2 , 6 4 ,6 4 )

9 q+ − + q − − q + q

= (24 2 ,15 4 ,3 5 )1

9 − q + q + q

Rättningsmall:

a) Korrekt till 3 2 2 2 (1, 2,2) 1 4 4

a = − + q+ − + +

 ger 1p. Allt korrekt =2p

b) Korrekt till (3,1, 1) 3 2 (1, 2,2) 9

b q + q

= + − −

 ger 1p.. Allt korrekt=2p.

Uppgift 5. (4p)

a) (2 poäng) Bestäm egenvärden och egenvekorer till marrisen 1 2

1 2 M p

p

 + 

=  + 

b) (2 poäng) Lös följande matrisekvation (𝑋𝑋 är en okänd matris) AX=3X+B där

Sida 8 av 10 A= 1 4

  och

2 3 0 1 1

B=  

 

Lösning:

a) Steg1. Först löser vi den karakteristiska ekvationen , det(M −λI) 0= (EKV1) EKV1, och får eventuella reella egenvärden:

�(1 − 𝜆𝜆) 2 + 𝑝𝑝

1 (2 + 𝑝𝑝 − 𝜆𝜆)� = 0 ⇒ 𝜆𝜆²− (𝑝𝑝 + 3)𝜆𝜆 = 0

Ekvationen har två reella lösningar 0 och p+3 och därför har vi två egenvärden 𝜆𝜆₁ =0 och 𝜆𝜆₂ =p+3.

Steg 2. Låt 𝑣𝑣⃗ = �𝑥𝑥

𝑦𝑦�. För varje reell lösning λ^k till EKV1 substituerar vi λ=λk i EKV2, dvs i följande ekvation (M −λI v) =0 , dva

�(1 − 𝜆𝜆) 2 + 𝑝𝑝 1 (2 + 𝑝𝑝 − 𝜆𝜆)� �𝑥𝑥

𝑦𝑦� = �0 0�,

i) 𝜆𝜆₁ = 0 . Vi har

�(1 − 0) 2 + 𝑝𝑝 1 (2 + 𝑝𝑝 − 0)� �𝑥𝑥

𝑦𝑦� = �0 0�,

�1 2 + 𝑝𝑝 1 (2 + 𝑝𝑝� �𝑥𝑥

𝑦𝑦� = �0 0�, Vi får system (som har icke triviala lösningar)

�𝑥𝑥 + (2 + 𝑝𝑝)𝑦𝑦 = 0𝑥𝑥 + (2 + 𝑝𝑝)𝑦𝑦 = 0 ~ �𝑥𝑥 + (2 + 𝑝𝑝)𝑦𝑦 = 0 0 = 0 Härav

𝑣𝑣⃗ = �𝑥𝑥

𝑦𝑦� = 𝑡𝑡 �−𝑝𝑝 − 2

1 � där t ≠ 0 ( Nollvektorn 0

är INTE en egenvektor. ) ii ) På samma sätt får vi för 𝜆𝜆₂= p+3 tillhörande egenvektor är 𝑣𝑣⃗₂ = 𝑡𝑡 �11�

Sida 9 av 10 b) 3 5

A 1 4

=  

  och 1 2 1 0 1

2 3 0 1 1

B  

=  

 .

Från AX=3X+B har vi AX-3X=B.

Vi faktoriserar vänsterledet och får (A-3I)X=B

(Notera att man måste skriva 3I eftersom uttrycket A-3 är inte definierat.) Därmed har vi ekvationen

0 5 1 2 1 0 1

1 1 X 2 3 0 1 1

  = 

   

   

Determinanten 0 5

det( ) 5 0

1 1

  = − ≠

 

  så att 0 5

1 1

 

 

  är en inverterbar matris.

0 5 1 1 2 1 0 1

1 1 2 3 0 1 1

X

  − 

=    

   ,

1 5 1 2 1 0 1

1

1 0 2 3 0 1 1 X =− 5− −     

9 13 1 5 4

1

1 2 1 0 1

X 5− − − − 

= − − − − − 

9 13 1 5 4

1

1 2 1 0 1

X 5 − 

=  

 

Rättningsmall:

a) Korrekta båda egenvärden eller korrekt ett egenvärde och tillhörande vektor ger 1p.

Allt korrekt=2p.

b) Korrekt till

0 5 1 1 2 1 0 1

1 1 2 3 0 1 1

X

  − 

=    

    ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 6. (4p)

a) (2p) Skissera i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar 2≤ − +z 4 4 ) 3i ≤ .

b) (2p) Skissera i det komplexa talplanet den kurva som består av alla z som satisfierar

2 2 ( ) 4

z z⋅ − z− z i z z+ − = Lösning:

Notera att z a bi−( + ) är avståndet från z till (a bi+ ).

Ekvationen z a bi− +( ) = beskriver en cirkellinje med centrum i r a bi+ och radien r.

Därmed z− +4 4 ) 3i = definierar en cirkel med radien 3 och centrum i (4-4i) medan

Sida 10 av 10 4 4 ) 2

z i = definierar en cirkel med radien 2 och centrum i (4-4i) ;

Relationen 2≤ − +z 4 4 ) 3i ≤ dvs 2≤ − −z (4 4 ) 3i ≤ definierar en cirkelring mellan cirklarna vars centrum ligger i (4 4 )i− . Radierna är 2 och 3.

100% o

4

-4i

O

b) Låt z x yi= + . Från z z⋅ −2z−2z i z z+ ( − ) 4= har vi (x yi x yi+ ) (⋅ − ) 2(− x yi+ ) 2(− x yi i x yi− ) [(+ + ) (− −x yi)] 4=

2 2 4 2 4

x y x i yi

⇔ + − + ⋅ =

2 2 4 2 4

x y x y

⇔ + − − = . Detta kan skrivas som (x−2)²− +4 (y−1) 1 4²− = eller (x−2)²+(y−1)² =9, som är en cirkelns ekvation .

Cirkelns centrum har koordinater x0=2 och y0=1 (svarar mot (2+i ) i komplexa talplanet) . Radien är 3.

2 1i

o

* 2+i

Rättningsmall:

a) Allt korrekt=2p.

b) Korrekt till ekvationen (x−2)²+(y−1)² =9ger 1p. Allt korrekt=2p.