ntamen TEN1, HF1012, 19 augusti 2014

(1)

Tentamen TEN1, HF1012, 19 augusti 2014

Matematisk statistik Kurskod HF1012

Skrivtid: 13:15-17:15

Lärare och examinator: Armin Halilovic

Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.

Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.

Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

(2)

Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.

De sex sidorna på en tärning är märkta med 1,2,3,4,5 och 6. Man kastar två tärningar samtidigt och beräknar summan av resultat.

Bestäm sannolikheten att a) summan är 8.

b) summan är mindre än 5.

En kontinuerlig stokastisk variabel X har täthetsfunktionen

 

 ≤ ≤

= 0 för övrigt.

1 x 0 ) om

(

ax

10

x f

Bestäm a) parametern a b) väntevärdet till den s.v. X.

Låt X₁∈N(20,3), X₂∈N(5,1), X₃∈N(10,2)vara oberoende s.v. och

3 2

1 10 2

5X X X

Y = + −

Beräkna P(Y ≥125). ( Svara med tre decimaler.)

===================================================

Uppgift 4. (3p) Oberoende händelserna A, B och C inträffar med följande sannolikheter:

P(A)=0.3, P(B)=0.4 och P(C)= 0.8.

Bestäm sannolikheten att a) ingen av A, B och C inträffar, b) alla tre inträffar

c) exakt en av A, B, C inträffar

Uppgift 5. (4p) I nedanstående system fungerar komponenter K1, K2, K3, K4 med

sannolikheterna 0.90, 0.85, 0.80 respektive 0.75. Hela systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A och B. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar.

Uppgift 6. (4p) Vi gjorde 6 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel X ∈N(μ,σ) och fick följande resultat (σ okänt):

X: 24 32 28 31 26 25

Bestäm ett 98 % konfidensintervall för medelvärdet μ.

(3)

Uppgift 7. (4p) En Markovkedja i diskret tid med två tillstånd E₁ och E₂ har

övergångsmatris 



 



=

6 . 0 4 . 0

7 . 0 3 .

P 0 .

a) Bestäm sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet E2 efter tre steg (tre övergångar) om vi vet att systemet startar i tillståndet E1.

b) Bestäm en stationär sannolikhetsvektor för ovanstående Markovkedja.

Uppgift 8. (4p)

En kontinuerlig Markovkedja med två tillstånd E₁ och E₂ har intensitetsmatrisen



 





−

= −

4 4

1

Q 1 ,( tiden är given i minuter). Låt p(t)=(x(t),y(t))vara tillhörande

sannolikhetsvektor där x(t) betecknar sannolikheten att systemet är tillstånd E₁ och y(t) sannolikheten för E₂ vid tiden t. Vid tiden 0 är systemet i tillstånd E₂ d.v.s. p(0)=(0,1). a) Bestäm den transienta sannolikhetsvektorn p(t)=(x(t),y(t)),

d.v.s. lös systemet Q

t p t

p′( )= ( ) .

b) Vad är sannolikheten att systemet är i tillstånd E2 vid tiden t= 4.3 minuter.

Uppgift 9. (2p)

Låt X vara en diskret s.v. Bevisa att E(aX+b)=aE(X)+b, där a och b är

konstanter. ( Här E(X) och E(aX+b) betecknar väntevärdet av X respektive aX+b).

Uppgift10. (2p) Vi placerar 12 identiska bollar i 5 stora lådor A, B, C D och E.

Ett exempel på placering:

a) I hur många placeringar är lådan A tom?

b) I hur många placeringar är ingen låda tom?

Lycka till.

(4)

FACIT

De sex sidorna på en tärning är märkta med 1,2,3,4,5 och 6. Man kastar två tärningar samtidigt och beräknar summan av resultat.

Bestäm sannolikheten att a) summan är 8.

b) summan är mindre än 5.

Lösning: Lösning:

När man kastar två tärningar samtidigt kan man få följande 36 fall:

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

a) Summan är 8 i följande 5 fall (6,3), (5,4), (4,4), (3,5), och (2,6) Sannolikheten Pa= g/n= 5/36

b) Summan är mindre än 5 i följande 6 fall (1,1), (1,2), (1,3),

(2,1), (2,2), (3,1),

Sannolikheten Pb= g/n= 6/36=1/6 Svar a) 5/36 b) 1/6

En kontinuerlig stokastisk variabel X har täthetsfunktionen

(5)

 

 ≤ ≤

= 0 för övrigt.

1 x 0 ) om

(

ax

10

x f

Bestäm a) parametern a b) väntevärdet till den s.v. X.

Lösning:

a) 1 11

1 11 1 11

1 ) (

1

0

1

0 11

10  = ⇒ = ⇒ =



 



⇒

=

⇒

=

∫

∞

−

a a a x

dx ax dx

x

f

b) Väntevärdet är

12 11 1112

11 11

) (

1

0 1 12

0

1

0 11

10  =



 



=

=

⋅

∫

=

∫ ∫

∞

−

dx x x dx

x x dx x xf

Svar. a) a =11 b) Väntevärdet 12

= 11

Låt X₁∈N(20,3), X₂∈N(5,1), X₃∈N(10,2)vara oberoende s.v. och

3 2

1 10 2

5X X X

Y = + −

Beräkna P(Y ≥125). ( Svara med tre decimaler.) Lösning:

130 10 2 5 10 20 5 ) ( 2 ) ( 10 ) ( 5 )

(Y = E X₁ + E X₂ − E X₃ = ⋅ + ⋅ − ⋅ = E

Var(Y) = 5²σ₁² +10²σ₂² +2²σ₃² =25⋅9+100⋅1+4⋅4=341 18.466

341≈

Y = σ

=

− Φ

− = Φ

=

≤ ) ( 0.27)

18.466 130 (125 )

125 ( ) 125

(Y F

P

61 . 0 39 . 0 1 ) 125

(Y ≥ = − =

P

Svar. P(Y ≥125)=0.61

===================================================

Uppgift 4. (3p) Oberoende händelserna A, B och C inträffar med följande sannolikheter:

P(A)=0.3, P(B)=0.4 och P(C)= 0.8.

Bestäm sannolikheten att a) ingen av A, B och C inträffar, b) alla tre inträffar

c) exakt en av A, B, C inträffar

(6)

Lösning.

a) P(ingen av A, B och C inträffar) =P(A^c∩B^c∩C^c)=0.7⋅0.6⋅0.2=0.084 b) P(alla tre inträffar) = P(A∩B∩C)=0.3⋅0.4⋅0.8=0.096

c)P( exakt en av A, B, C inträffar)=

) (

)

(A B C P A B C P A B C

P ∩ ^c∩ ^c + ^c∩ ∩ ^c + ^c∩ ^c∩

=

0.428 8

. 0 6 . 0 7 . 0 2 . 0 4 . 0 7 . 0 2 . 0 6 . 0 3 .

0 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

=

Svar. a) 0840. b) 0.096 c) 0.428

Uppgift 5. (4p) I nedanstående system fungerar komponenter K1, K2, K3, K4 med

sannolikheterna 0.90, 0.85, 0.80 respektive 0.75. Hela systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A och B. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar.

Väg 1 fungerar med sannolikheten v1=k1*k2=0.765 Väg2 fungerar med sannolikheten v2=k3=0.80 Väg3 fungerar med sannolikheten v3=k4=0.75

P(Ingen väg fungerar ) = q= (1– v1)(1– v2)(1– v3)=0.01175

Sannolikheten att minst en väg fungerar är 1- P(Ingen väg fungerar )= 1– 0.01175=0.98825 Svar. 0.988

Uppgift 6. (4p) Vi gjorde 6 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel X ∈N(μ,σ) och fick följande resultat (σ okänt):

X: 24 32 28 31 26 25

Bestäm ett 98 % konfidensintervall för medelvärdet μ.

Lösning:

(7)

x=83/3=27.6667, σ=3.266 Vi har 6-1=5 frihetsgrader

99 , 0 2

(t_α/ =t saknas i vår tabell, därför tar vi närmaste t-värdet t₀_,₉₉₅(rad5) =4,0321 Konfidensintervall:

) ,

( _/₂ _/₂

t n n x

t

x

σ σ

α

α +

− = )

6 3.266 4,0321 27.6667

6 , 3.266 4,0321 27.6667

( − +

=(22.29, 33.04)

Svar: (22.29, 33.04)

Uppgift 7. (4p) En Markovkedja i diskret tid med två tillstånd E₁ och E₂ har

övergångsmatris 



 



=

6 . 0 4 . 0

7 . 0 3 .

P 0 .

a) Bestäm sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet E2 efter tre steg (tre övergångar) om vi vet att systemet startar i tillståndet E1.

b) Bestäm en stationär sannolikhetsvektor för ovanstående Markovkedja.

Lösning.

a) p(1)= p(0)P= ^p^⁽²⁾⁼ ^p^⁽¹⁾^P= ^p^⁽³⁾⁼ ^p^⁽²⁾^P=

Därmed är sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet E2 lika med 0.637 Svar a) 0.637

b) Låt ^q^⁼⁽^x^,^y⁾ vara en stationär sannolikhetsvektor. Då gäller ^q^{ =}^P ^q^ och

^x^{+ y}⁼¹

Vi skriver ^q^{ =}^P ^q^ på komponent form:

y y x

x y y x

x y

x + =

=

⇒ +

=



 





6 . 0 7 . 0

4 . 0 3 . ) 0 , 6 ( . 0 4 . 0

7 . 0 3 . ) 0 , (

och lägger till ekvationen

(8)

^x^{+ y}⁼¹ ( q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:







= +

=

−

= +

−

 ⇒





= +

1

0 4 . 0 7 . 0

0 4 . 0 7 . 0 1

6 . 0 7 . 0

4 . 0 3 . 0

y x

y y x

x y x

Andra ekvationen är samma som första. Från den första ekvationen har vi 4 y= 7xsom vi substituerar i den tredje ekvationen och får

11 1 4

4 1 11 4

7 = ⇒ = ⇒ =

+ x x x

x . Härav

11 7 11

4 4 7 4

7 = ⋅ =

= x y

Svar b: ^q⁼⁽⁴^/¹¹^, ⁷^/¹¹⁾ Uppgift 8. (4p)

En kontinuerlig Markovkedja med två tillstånd E₁ och E₂ har intensitetsmatrisen



 





−

= −

4 4

1

Q 1 ,( tiden är given i minuter). Låt p(t)=(x(t),y(t))vara tillhörande

sannolikhetsvektor där x(t) betecknar sannolikheten att systemet är tillstånd E1 och y(t) sannolikheten för E2 vid tiden t. Vid tiden 0 är systemet i tillstånd E2 d.v.s. p(0)=(0,1). a) Bestäm den transienta sannolikhetsvektorn p(t)=(x(t),y(t)),

d.v.s. lös systemet Q

t p t

p′( )= ( ) .

b) Vad är sannolikheten att systemet är i tillstånd E₂vid tiden t= 4.3 minuter.

Svar: a) 



 



 − +

=

= x t y t e⁻ ^t e⁻ ^t

p ⁵ ⁵

5 4 5 , 1 5 4 5 )) 4 ( ), (

 (

b) Sannolikheten att systemet är i tillstånd E2 vid tiden t= 4.3 minuter y(4.3)≈0.2 Uppgift 9. (2p)

Låt X vara en diskret s.v. Bevisa att E(aX+b)=aE(X)+b, där a och b är

konstanter. ( Här E(X) och E(aX+b) betecknar väntevärdet av X respektive aX+b).

Uppgift10. (2p) Vi placerar 12 identiska bollar i 5 stora lådor A, B, C, D och E.

Ett exempel på placering:

a) I hur många placeringar är lådan A tom?

b) I hur många placeringar är ingen låda tom?

Lösning. Om lådan A är tom då placerar vi 12 bollar i 4 lådor.

Vi betraktar ett ekvivalent problem:

(9)

Permutationer av 5 bokstäver I och 12 bokstäver O (se bilden).

Varje permutation måste börja och sluta med I (annars hamnar inte bollen i någon låda) Därför ”permuterar” vi 3 bokstäver I och 12 bokstäver O.

a) Det finns 455

1 2 3

13 14 15

! 12

! 3

!

15 =

⋅

= ⋅

N sådana permutationer.

Svar a) 455

b) Om i varje låda måste finnas minst en boll har vi kvar 12-5=7 bollar att placera i 5 lådor. Vi permuterar 6 bokstöver I och 7 bokstöver O. (Varje permutation måste börja och sluta med I, därmed blir det 4 I och 7 O att permutera). Vi resonerar på samma sätt som i a-delen:

Det finns 330

! 7

! 4

11 =!

= ⋅

K sådana permutationer.

Svar b) 330