FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E

ALGEBRA

Regler

⎭⎬

⎫ +

−

=

−

+ +

= +

2 2

2

2 2

2

2 )

(

2 )

(

b ab a

b a

b ab a

b

a (kvadreringsregler)

2

) 2

)(

(a+b a−b =a −b (konjugatregeln)

3 2 2

3

3 3 3

)

(a+b =a + a b+ ab +b

3 2 2

3

3 3 3

)

(a−b =a − a b+ ab −b ) )(

( ^{2 2}

3

3 b a b a ab b

a + = + − +

) )(

( ^{2 2}

3

3 b a b a ab b

a − = − + +

Andragrads- ekvationer

Ekvationen har rötterna

=

x² +px+ =q 0

x₁ p p q

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

2

2

2 och x₂ = p p q

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

2

2 2

där x₁ +x₂ = − p och x₁⋅x₂ =q

ARITMETIK

Prefix T G M k h d c m μ n p

tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 10¹² 10⁹ 10⁶ 10³ 10² 10^-1 10^-2 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12 Potenser För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller

a a^{x y} =a^{x y+} a

a a

x y

= x y⁻

( )

a b^{x x} = ( ) ab ^{x a} b

a b

x x

x

= ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ a^{n n} a

1

=

a a

x x

− = 1

a⁰ = 1

Logaritmer För positiva tal y gäller:

y x

x y

lg

10 = ⇔ = e^x = y ⇔ x=lny

För positiva tal x och y gäller:

lgxy=lgx+lgy lgx lg lg y = x− y lgx^p = ⋅ x p lg

Geometrisk

summa där 1

1 ) 1 ... ¹ (

2 ≠

−

= − +

+ +

+ ⁻ k

k k ak a

ak ak a

n n

DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL

Derivatans

definition _{x a}

a f x f h

a f h a a f

f h x a −

= −

−

= +

′ → →

) ( ) lim ( ) ( ) lim (

)

( 0

Deriveringsregler Funktion Derivata

x^a där a är ett reellt tal ax^a−1 ax (a > 0) a^xlna

x

ln (x>0)

x 1

ex e^x

ekx k e⋅ ^kx

x

1 − 1

x2

x

sin cos x

x

cos −sinx

x

tan ²x ₂x

cos tan 1

1+ =

f x( )+g x( ) f ′( )x + ′g x( ) )

( ) (x g x

f ⋅ f(x)⋅g′(x)+ f′(x)⋅g(x) )

( ) (

x g

x

f (g(x)≠0)

(

)

) ( ) ( ) ( ) (

x g

x g x f x g x

f′ ⋅ − ⋅ ′

Kedjeregeln Om y= f(z) och z=g(x) är två deriverbara funktioner så gäller för den sammansatta funktionen y= f(g(x)) att

) ( )) (

(g x g x f

y′= ′ ⋅ ′ eller

x z z y x y

d d d d d

d = ⋅

Några primitiva funktioner

) ( x

f F( x)

(C är en reell konstant)

k kx+ C

) 1 (n≠−

xⁿ C

n xⁿ

+ +

+

1

1

) 0 1(x≠

x lnx +C

ex e^x +C

) 1 , 0 (a> a≠

a^x C

a a^x ln + x

sin − cosx+C

x

cos sinx+C

DIFFERENTIALEKVATIONER

Homogena ekvationer

Av 1:a ordningen: y′ ay+ =0 Lösningarna kan skrivas y =Ce^−ax Av 2:a ordningen: y ′′+ay′+by =0

Den karakteristiska ekvationen har rötterna Om är reella tal och

2+ar+b=0

r r₁och r₂

2 1och r

r r₁ = så kan lösningarna skrivas r₂

x

C r

x C

y=( ₁ + ₂)e¹

Om r₁och r₂ är reella tal och r₁ ≠ så kan lösningarna skrivas r₂

x r x

r C

C

y= ₁e¹ + ₂e²

Om r₁=s+it och r₂ =s−it kan lösningarna skrivas )

sin cos

(

e C₁ tx C₂ tx

y= ^sx +

Inhomogena ekvationer

Generellt bestäms den allmänna lösningen som y=y_h+ y_p, där är en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen och den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation.

yp

yh

Separabla differentialekvationer: g(y)y′= f(x) Löses enligt

∫

∫

FUNKTIONSLÄRA

Räta linjen

k y y

x x

= −

−

2 1

2 1

Riktningskoefficient för linje genom punkterna och

där ≠ ( ,x y_{1 1}) (x₂,y₂) x₁ x₂

y=kx+m Linje genom punkten (0, m)

med riktningskoefficienten k y−y₁ =k x( −x₁) Linje genom punkten

med riktningskoefficienten k ( ,x y_{1 1})

k₁⋅k₂ = −1 Villkor för vinkelräta linjer Exponential-

funktioner

ax

C

y= ⋅ C och a är konstanter

och

>0

a a≠1

Potensfunktioner y=C⋅x^a C och a är konstanter

2

GEOMETRI

Pythagoras sats a² +b² =c

a c

b

Triangel

area= bh 2

b

h

Parallellogram area= bh

b h

Parallelltrapets area = h a( +b) 2

b

h

a

Cirkel

= 4 area

2

2 d

r π

π = d r π π = 2

=

omkrets ^r

d

Cirkelsektor bågen b= α ⋅ πr 360 2 area = α π

360 2

⋅ r2 = br

r

α b

Prisma volym = Bh

B

h

Cylinder Rak cirkulär cylinder volym =πr h²

mantelarea = 2πrh ^h

r

Pyramid volym =Bh

3 ^h

B

Kon Rak cirkulär kon

volym =πr h² 3 mantelarea = πrs

r

h s

Klot volym =4

3 πr3

area =4πr²

r

Likformighet För likformiga geometriska figurer gäller att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan

motsvarande sidor är lika.

Trianglarna ABC och DEF är likformiga.

Då gäller f c eb =

A B

C

D E

F a c b

f e d

Skala Areaskalan = (Längdskalan)² Volymskalan = (Längdskalan)³

Vinklar När två räta linjer skär var- andra är sidovinklarnas summa 180º (t.ex. u + v

=180º) och vertikalvinklar lika stora (t.ex. w = v).

u v

w

När en linje L1 skär två andra inbördes parallella linjer L2

och L3 så är likbelägna vinklar lika stora (t.ex. v = w) och alternatvinklar lika stora (t.ex.

w u= )

u v

w

L1

L2

L3

Omvänt gäller att om alternatvinklar eller likbelägna vinklar är lika stora så är linjerna L₂ och L₃ parallella.

Topptriangel- och transversalsatsen

Om DE är parallell med AB gäller BC

CE AC CD AB

DE = = och

BE CE ADCD =

A B

C

D E

Bisektrissatsen

BC AC AD =BD

A B

C

D

Kordasatsen ab=cd

c

a d

b

Randvinkelsatsen Medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln till samma

cirkelbåge (u=2v) u

v

KOMPLEXA TAL

Representation z =x+iy =re^iϕ =r(cosϕ+isinϕ)där x, y, r och ϕ är reella tal samt 1

i² =− Argument argz=ϕ

x

= y ϕ tan

Absolutbeloppet z =r= x² + y²

Konjugat Talen z= x+iy och z = x−iy kallas konjugerade tal

Räknelagar 1 2 1 2

(

)

2

e 1

) sin(

i )

cos(ϕ +ϕ + ϕ +ϕ = ^{ϕ +ϕ}

=rr rr

z z

( )

2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 _{1 2}

e )

sin(

i )

cos(ϕ −ϕ + ϕ −ϕ = ^ϕ−ϕ

= r

r r

r z z

de Moivres formel zⁿ =

(

)

i 2

e sin e

2 e cos e

i i i

iy y y y

y y

−

− −

+ =

=

NUMERISKA METODER

Ekvationslösning Newton-Raphsons iterationsformel:

) (

) (

1

n n n

n f x

x x f

x ₊ = − ′ Integraler Intervallet a₀ ≤x≤a_n delas in i n delintervall.

Mittpunkten i varje delintervall betecknas x₁, x₂, ... , x_n

Rektangelmetoden: ( )d ⁰

(

)

0

n n

a

a

x f x

f x n f

a x a

x f

n = − + + +

∫

Trapetsmetoden:

(

)

d 2 )

( ⁰ _{0 1 2 1}

0

n n

n a

a

a f a f a

f a f a n f

a x a

x f

n − + + + + +

= ₋

∫

Differential- ekvationer

) , (x y f

y′= , steglängd h

Eulers metod (tangentmetoden): y_n+1 =y_n +h⋅ f(x_n, y_n)

Mittpunktsmetoden: _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + ⋅

⋅ +

+ = h k

h y x f h y

y_{n n n n}

, 2

1 2 där k= f(x_n, y_n)

TRIGONOMETRI

Definitioner ABC är en rätvinklig triangel.

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

katet e närliggand

katet motstående c

A a

n hypotenusa

katet e närliggand b

A c

n hypotenusa

katet motstående b

A a

tan cos sin

A

C

B a

c b

OP är radie i en enhetscirkel.

Koordinaterna för P är (x₁,y₁)

1 1 1 1

tan cos sin

x v y

x v

y v

=

=

=

x y

v o P(x₁,y₁)

Sinussatsen

c C b

B a

A sin sin

sin = =

Cosinussatsen _a² _=b² _+c² _−2bccosA

Areasatsen

2 arean absinC

= A

C

B a

c b

Trigonometriska formler

1 cos sin² a+ ² a=

β α β

α β

α

β α β

α β

α

β α β

α β

α

β α β

α β

α

sin sin cos

cos ) cos(

sin sin cos

cos ) cos(

sin cos cos

sin ) sin(

sin cos cos

sin ) sin(

+

=

−

−

= +

−

=

−

+

= +

β α

β β α

α 1 tan tan tan ) tan

tan( −

= + +

α α

α α

α

α α α

2 2

2

2 sin 2cos 1 1 2sin

cos 2

cos

cos sin 2 2 sin

−

=

−

=

−

=

=

2 cos 1 cos 2

2 cos 1

sin² α2 = − α ²α = + α )

sin(

cos

sinx b x c x v

a + = + där c= a² +b² och

a v=b tan

Vinkel v (grader) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

Exakta värden

(radianer) 0

6 π

4 π

3 π

2 π

3 2π

4 3π

6 5π

π

v

sin 0

2 1

2 2

2 3 1

2 3

2 2

2

1 0

v

cos 1

2 3

2 2

2

1 0

2

−1

2

− 2

2

− 3 -1 v

tan 0

3

3 1 3 Ej

def. ^{− 3} -1

3

− 3 0