Chalmers, Teknisk fysik & Arkitektur och teknik Matematik- och fysikprovet 2007 - Matematikdelen -
SVAR
A.
1d2d 3a4c 5c6a 7b8b 10a9a 11c12c 13b14c 15c16d 17b18b 19d20d
B.
21. 2939 22. −9+4√57 23. 1 24. 1
25. log32 (= ln 2ln 3) 26. 127
27. 161 28. 12 29. √25 30. 4
1
C. Lösning: Med hjälp av trigonometriska ettan kan ekvationen skrivas om till 2(1 − sin2x) − sin x = 1.
Sätt t = sin x. Vi får då en andragradsekvation för t 2t2+ t − 1 = 0,
som har lösningarna t1 = −1 och t2 = 12. Det återstår nu att lösa ekvationerna sin x = −1 och sin x = 12. Den första av dem har lösningarna
xn= 3π
2 + 2nπ, där n är ett godtyckligt heltal, medan den andra har lösningarna
x0n = π
6 + 2nπ samt x00n= (π − π
6) + 2nπ, där n är ett godtyckligt heltal.
Den givna ekvationen har alltså lösningarna xn= 3π
2 + 2nπ, x0n= π
6 + 2nπ, x00n= 5π
6 + 2nπ, där n är ett godtyckligt heltal.
Alternativ lösning: Eftersom 2 cos2x − 1 = cos 2x, kan ekvationen skrivas om till cos 2x = sin x = cos (π
2 − x).
Lösningarna är då alla reella x sådana att 2x = ±(π
2 − x) + 2kπ, där k är ett godtyckligt heltal.
Vid val av plustecken: För k = 3n (d.v.s. k delbart med 3) får vi lösningsskaran {x0n}från ovan, för k = 3n + 1 (k ger rest 1 vid division med 3) får vi lösningsskaran {x00n}och, slutligen, för k = 3n+2 (k ger rest 2 vid division med 3) får vi lösningsskaran {xn}.
Vid val av minustecken: Vi får lösningarna {−π2 + 2kπ}, vilket är samma lös- ningsskara som {3π2 + 2nπ}.
2
