MAGNUS BERNDTSSON ERIK UHLIN

EXAMENSARBETE

2003:134 CIV

MAGNUS BERNDTSSON ERIK UHLIN

Skattning och aktiv dämpning av drivlinesvängningar i lastbil

CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET Institutionen för Systemteknik

Avdelningen för Reglerteknik

2003:134 CIV • ISSN: 1402 - 1617 • ISRN: LTU - EX - - 03/134 - - SE

I

Sammanfattning

Sv¨angningar i drivlinan hos en lastbil p˚ averkar v¨axlingskvalit´en negativt.

Det blir l˚ angsamma v¨axlingar med d˚ alig komfort. Metoder f¨or att komma tillr¨atta med dessa problem kan till exempel vara att skatta sv¨angningarna och aktivt d¨ampa dem genom att styra motorn i lastbilen. Dessa metoder behandlas i detta arbete.

En matematisk modell ¨over drivlinan har tagits fram. Det visar sig att en enkel modell med tv˚ a tr¨ogheter sammankopplade med en torsionfj¨ader p˚ a ett bra s¨att beskriver sv¨angningarna. F¨or att ¨oka systemets robusthet har ett kalmanfilter designats f¨or att skatta sv¨angningarna.

Slutligen har en metod f¨or aktiv d¨ampning har simulerats. Simuleringar- na visar att sv¨angningarna d¨ampas om motorhastigheten styrs mot hjul- hastigheten.

Abstract

Driveline oscillations in a truck affects the quality of gearchanging in a negative way. Methods to solve this problem may be to predict the os- cillations with a Kalman estimator and damp them with active engine control. Those are the methods that are treated in this thesis.

A mathematical model over the driveline has been developed. The oscil- lations can be described in a suitable way by a simple model with two inertias connected with a torsional spring. To increase the robustness of the system, a Kalman filter was implemented.

Finally a method for active damping has been simulated. The simula-

tion shows that the driveline oscillations will be well damped if the engine

speed is syncronized with the speed of the wheel.

II

F¨ orord

Vi skulle vilja tacka f¨oljande personer.

• V˚ ar handledare vid LTU, Mikael Stocks, f¨or att han kommit med v¨arde- fulla ˚ asikter, bra kritik, samt i stort hj¨alp till p˚ a ett mycket uppskattat s¨att.

• Anders Kjell, v˚ ar handledare p˚ a Scania, f¨or all hj¨alp samt entusiasm, och f¨or att han alltid tar sig tid till att svara p˚ a fr˚ agor.

• Magnus Petterson och Jan Palm´er f¨or konstruktiva m¨oten, tillika kritik och givetvis f¨or att vi fick chansen att genomf¨ora detta arbete.

• Hela avdelningen NTE f¨or beundransv¨ard hj¨alp med alla fr˚ agor ang˚ aende lastbilar och f¨or alla kreativa fikapauser.

• Johan Tr¨aff och Rasmus Eriksson f¨or all hj¨alp med Malte.

Stort tack ¨aven till alla andra p˚ a Scania som svarat p˚ a fr˚ agor och hj¨alpt till med data.

Detta arbeta avslutar v˚ ara studier vid LTU. Vi skulle avslutningsvis ocks˚ a vilja skicka ett tack till alla kursare, kompisar och andra f¨or en rolig tid.

S¨odert¨alje februari 2003.

Magnus Berndtsson, Erik Uhlin

INNEH˚ ALL III

Inneh˚ all

1 Inledning 1

1.1 Drivlina . . . . 1

1.2 Opticruise . . . . 1

1.3 Problembeskrivning . . . . 3

1.4 Begr¨ansningar . . . . 4

2 Modellering av drivlina 5 2.1 Introduktion . . . . 5

2.2 Metodik . . . . 5

2.3 Modeller . . . . 6

2.4 Modellen med en fj¨ader . . . . 9

2.5 Tillst˚ andbeskrivning . . . . 13

2.6 Systemparametrar . . . . 15

2.6.1 Tr¨ogheter . . . . 15

2.6.2 Drivaxel: k

och c

. . . . 16

2.6.3 Friktionskoefficienter . . . . 16

3 Experimentuppst¨ allning 18 3.1 Malte . . . . 18

3.2 Control Area Network (CAN) . . . . 19

3.3 Givare . . . . 19

3.3.1 Momentgivare . . . . 19

3.3.2 Hastighetsgivare . . . . 19

3.4 Simuleringsverktyg och programvaror . . . . 20

4 Identifiering av systemparametrar 21 4.1 Teori . . . . 21

4.2 Provk¨orningar . . . . 21

4.3 Parameteridentifiering . . . . 23

4.3.1 Ident i MATLAB . . . . 23

4.3.2 Minsta kvadratanpassning . . . . 24

4.4 Modell¨overensst¨amelse vid olika k¨orfall . . . . 26

5 Skattning av sv¨ angningar i drivlina 28 5.1 Teori . . . . 28

5.2 Implementering . . . . 30

5.2.1 Robusthet . . . . 30

5.2.2 Verifiering mot m¨atdata . . . . 33

6 Reglering 36 6.1 Reglerstrategi . . . . 36

6.2 Simuleringar . . . . 37

7 Resultat och slutsatser 41

INNEH˚ ALL IV

A Matlabkod 43

A.1 Matlabkod f¨or Tillst˚ andsform . . . . 43

1

1 Inledning

I detta kapitel ges efter en kortfattad historia om automatiska v¨axelsystem, en beskrivning av problemet som ¨ar behandlat i arbetet och bakgrunden till detta.

Automatiska v¨axell˚ ador blir allt vanligare, numera kan man till och med hitta automatv¨axlar p˚ a vanliga cyklar. Den stora anledningen till f¨or¨andringen kan h¨arledas till bekv¨amlighet. I vissa branscher som till exempel r¨addningstj¨ansten, har man uppt¨ackt att det ocks˚ a kan vara mycket bra ur s¨akerhetssynpunkt. Det blir s¨akrare k¨orning med en faktor mindre att t¨anka p˚ a. I vanliga lastbilar har det dock inte slagit igenom ¨an, vilket framf¨orallt beror p˚ a den h¨oga kostnaden.

En automatisk v¨axell˚ ada kostar m˚ anga g˚ anger mer ¨an en vanlig manuell. En annan orsak till att de manuella v¨axell˚ adorna ¨ar vanligare ¨ar att de har en h¨ogre verkningsgrad, detta p˚ a grund av f¨arre kuggingrepp i v¨axlarna. F¨or att komma runt dessa problem har lastbilstillverkarna utvecklat datorstyrning av manuella v¨axell˚ ador. Principen bygger p˚ a att en dator styr antingen bara motorn eller motor och koppling. En dator ¨ar i dagens l¨age billig och mjukvara har endast en utvecklingskostnad, detta g¨or att en s˚ adan v¨axell˚ ada blir betydligt billigare

¨an en traditionell samtidigt som verkningsgraden bibeh˚ alls. Scanias datorstyrda v¨axlingssystem kallas f¨or Opticruise.

1.1 Drivlina

Figur 1: Bild av en lastbils drivlina

Den del av en lastbil som ¨overf¨or kraften som kommer fr˚ an motorn ner i under- laget kallas f¨or drivlina. Drivlinan i en lastbil kan delas upp i 7 st stora delar. Det f¨orsta steget ¨ar motorn[1], den skapar ett moment som ¨overf¨ors via kopplingen[2]

in i v¨axell˚ adan[3]. I v¨axell˚ adan v¨axlas momentet upp f¨or att genom kardanax- eln[4] verka p˚ a centralv¨axeln[5]. I centralv¨axeln sker ytterligare en uppv¨axling f¨or att sedan genom drivaxeln[6] driva runt hjulen[7].

1.2 Opticruise

Redan p˚ a 70-talet b¨orjade Scania utveckla datorstyrd v¨axling av manuella v¨ax-

ell˚ ador med hj¨alp av motorstyrning. D˚ a var det bara p˚ a laboratorieniv˚ a men

id´en var f¨odd. Den f¨orsta implementationen i bil gjordes i b¨orjan p˚ a 80-talet och

1.2 Opticruise 2

den f¨orsta releasen av CAG (computer-aided gear changing), som systemet d˚ a hette, gjordes 1984. De f¨orsta lastbilarna med CAG kom 1987.

Opticruise fungerar ur f¨orarens synvinkel som en ordin¨ar automatl˚ ada f¨orutom vid start och stop d˚ a kopplingen m˚ aste anv¨andas. Vid start f¨ors v¨axelspaken i automatl¨age och kopplingen sl¨apps. Om f¨oraren sedan ¨onskar en annan v¨axel ¨an vad systemet v¨aljer s˚ a kan han v¨axla manuellt genom att f¨ora spaken ˚ at h¨oger eller v¨anster f¨or att v¨axla upp˚ at respektive ned˚ at (Figur 2). Det finns ¨aven ett manuellt l¨age f¨or de som vill v¨axla helt manellt. V¨axelspaken har dessutom en knapp som kallas f¨or ”hill”, ett l¨age som anv¨ands vid brantare uppf¨orslut.

Opticruise skall dock inte f¨orv¨axlas med liknande semiautomatiska system med automatisk koppling, opticruise styr motorn, inte kopplingen.

Figur 2: Opticruise spak

F¨or att en v¨axel skall kunna l¨aggas ur utan att kopplingen anv¨ands kr¨avs det att det inte finns n˚ agon momentskillnad mellan ing˚ aende och utg˚ aende axel i v¨axel- l˚ adan. Detta s˚ a kallade nollmoment n˚ as genom att motormomentet rampas ned till noll och d¨armed m¨ojligg¨ors en url¨aggning av v¨axeln. Opticruise skickar allt- s˚ a styrsignaler till motorstyrenheten vilka har h¨ogre prioritet ¨an signalerna fr˚ an gaspedalen. N¨ar v¨axlingen sedan ¨ar klar l¨amnas kontrollen tillbaks till f¨oraren igen. Sj¨alva v¨axlingsf¨orloppet f¨or en uppv¨axling ser ut p˚ a f¨oljande s¨att (Figur 3):

I f¨orsta fasen av v¨axlingen sker en avrampning av motormomentet f¨or att v¨axling

skall kunna ske. Sj¨alva avrampningen sker i tv˚ a steg med tv˚ a olika lutningar p˚ a

avrampningskurvan. N¨ar ¨onskat moment ¨ar n˚ att, vilket i verkligheten ¨ar noll-

moment plus friktion i motorn, l¨aggs den nuvarande v¨axeln ur och v¨axell˚ adan

befinner sig i neutrall¨age. D¨arefter synkroniseras varvtalen och den nya v¨ax-

eln l¨aggs i. Motormomentet rampas sedan upp till ¨onskad niv˚ a p˚ a motsvarande

s¨att som minskningen av momentet. Momentet fr˚ an motorn styrs genom att

1.3 Problembeskrivning 3

Moment (Nm)

Tid(s)

Figur 3: V¨axlingsf¨orlopp Opticruise

en reglerad m¨angd br¨ansle skickas in i motorn. Fr˚ an Opticruise skickas ¨on- skat moment till motorns styrenhet. D¨ar sker en dynamisk ber¨akning av vilken br¨anslem¨angd, m¨att i mg/slag, som motsvarar vilket moment, beroende p˚ a m˚ an- ga variabler som till exempel turbons laddtryck och motorns temperatur.

1.3 Problembeskrivning

Opticruise baserar sin funktion p˚ a en f¨orprogrammerad v¨axelvalsstrategi. Ett problem ¨ar dock att Opticruise kan skicka signaler f¨or att styra motorn men det finns ingen ˚ aterkoppling eftersom momentet inte kan m¨atas. Detta g¨or att man blir helt beroende av att ber¨akningen av br¨anslem¨angd st¨ammer. Styrningen ¨ar d¨armed helt ¨oppen. Det ¨ar k¨ant att det finns dynamik som p˚ averkar v¨axlingarna och man arbetar med att f˚ a in de dynamiska ber¨akningarna i v¨axlingsprocessen.

En dynamik som p˚ averkar en v¨axling ¨ar uppvridning i drivlinan. Vid v¨axling sv¨anger axeln och ger en sv¨angning som m¨arks i hela drivlinan. V¨axlingskvalit´en, det vill s¨aga m¨ojligheten att g¨ora snabba v¨axlingar som inte p˚ averkar hastighet eller komfort, beror mycket p˚ a hur mycket momentet skiljer sig fr˚ an noll vid v¨axling.

Examensarbetets uppgift ¨ar att beskriva uppvridningarna med en matematisk modell. Med hj¨alp av denna modell kan uppvridningen skattas med en observer- are samt med hj¨alp av den styra motorn s˚ a att sv¨angningarna motverkas.

Den stora skillnaden p˚ a detta arbetet och andra liknande som har gjorts ¨ar att

det nu finns en momentgivare p˚ a utg˚ aende axel ur v¨axell˚ adan. Detta g¨or att

det finns en bra m¨ojlighet till att verifiera en modell samt att prova hur bra en

regulator blir.

1.4 Begr¨ ansningar 4

1.4 Begr¨ ansningar

Arbetet ¨ar tidsbegr¨ansat vilket g¨or att det m˚ aste ha vissa begr¨ansningar i om- f˚ ang. En s˚ adan begr¨ansning ¨ar att det endast ¨ar behandlat fall p˚ a plan mark.

Modellen ¨ar gjord f¨or att klara av backar men ¨ar bara verifierad p˚ a plan mark.

Detta p˚ a grund av begr¨ansade m¨ojligheter till loggning av m¨atdata p˚ a grund

av att momentgivaren slutade att fungera. En annan begr¨ansning ¨ar att arbetet

koncentrerats p˚ a l˚ aga v¨axlar. Detta p˚ a grund av att problemet framf¨orallt up-

pst˚ ar d¨ar. Anledningen till att problemet uppst˚ ar vid l˚ aga v¨axlar ¨ar att motor-

momentet d˚ a v¨axlas upp m˚ anga g˚ anger innan drivaxeln, vilket medf¨or en st¨orre

uppvridning. Ytterligare en begr¨ansning ¨ar att i stort sett alla provk¨orningar ¨ar

gjorda med samma lastbil. Detta av praktiska sk¨al, v¨axell˚ adan med momentgi-

vare ¨ar placerad i en lastbil och inte l¨att att flytta.

5

2 Modellering av drivlina

Detta kapitel beskriver hur en matematisk modell av drivlinan har framtagits.

Modellen bygger p˚ a Newtons andra lag f¨or rotation kring fix axel. Kapitlet be- handlar ocks˚ a omskrivning av differentialekvationerna fr˚ an modelleringen till tillst˚ andsform. I slutet av kapitlet beskrivs hur systemparametrar best¨amts.

2.1 Introduktion

Ett flertal modeller av varierande komplexitet har tagits fram f¨or drivlinan. Alla

¨ar h¨arledda enligt samma princip; massor med olika tr¨oghetsmoment samankop- plade med mer eller mindre styva och d¨ampande torsionsfj¨adrar.

Ett system av flera massor seriekopplade med fj¨adrar kommer att sv¨anga i ett antal sv¨angningsmoder. En sv¨angningsmod motsvarar i princip en egen- frekvens, men i och med att olika sv¨angningarna interfererar med varandra, kommer modernas frekvens att skilja sig fr˚ an de egenfrekvenser som kunnat re- lateras till de enskilda fj¨adrarna. F¨or varje fj¨ader i systemet uppkommer allts˚ a en sv¨angningsmod. Detta inneb¨ar att en enkel modell (med till exempel tv˚ a massor samankopplade med en fj¨ader) inte fullst¨andigt korrekt beskriver sv¨angningen i den fj¨adern, d˚ a alla i drivlinan ing˚ aende axlar ¨ar mer eller mindre styva (en axel i ett s˚ adant system p˚ averkar samtliga sv¨angningsmoder, b˚ ade med h¨ogre och l¨a- gre frekvens). Fler massor samt fj¨adrar i modellen g¨or det m¨ojligt att inkludera fler sv¨angningsmoder, men det medf¨or samtidigt mer komplicerade modeller.

Detta kan i sin tur medf¨ora problem, d˚ a en modell av h¨og ordning blir mer utrymmeskr¨avande vid implementering samt sv˚ arare att ¨overblicka. M˚ alet med modelleringen har varit att ta fram en modell med s˚ a l˚ ag ordning som m¨ojligt utan att dess f¨orm˚ aga att beskriva drivlinan blir d˚ alig. Det ¨ar till exempel vik- tigt att modellen har tillr¨acklig bandbredd f¨or att kunna simulera de i systemet intressanta sv¨angningarna [9].

2.2 Metodik

Modelleringen av drivlinan bygger p˚ a Newtons andra lag f¨or rotation, som s¨ager att en stel kropps vinkelacceleration i beror p˚ a summan av momenten som verkar p˚ a kroppen dividerat med kroppens tr¨oghetsmoment.

X M = I ¨ θ (1)

De olika delarna har differentierade egenskaper och p˚ averkas av olika moment.

Dessutom visar det sig, beroende p˚ a drivlinedelarnas mekaniska egenskaper, att f¨oljande uppdelning av drivlinan ¨ar l¨amplig:

1. Roterande massor: Drivlinedelar med tr¨oghetsmoment och friktion. Till exempel kopplingen och centralv¨axeln. Dessa kan ¨aven ha utv¨axling. Det

¨ar de delar som beskrivs mekaniskt p˚ a detta vis som betraktas som massor.

2.3 Modeller 6

2. Torsionsfj¨adrar: Delar i drivlinan som betraktas som torsionsveka. De har mekaniska egenskaper som torsionsfj¨aderkonstant och torsionsd¨ampn- ingskonstant. Detta ¨ar fr¨amst axlar, s˚ asom drivaxel eller kardanaxel.

Fril¨aggningen av drivlinan ¨ar starkt beroende av ovanst˚ aende uppdelning, och f˚ ar f¨or ovanst˚ ade fall genom (1) f¨oljande utseende.

1 : M = f (J, b, i, θ) (2)

2 : M = f (k, c, ∆θ, ∆ ˙θ) (3)

I (2) och (3) betecknar i utv¨axling och ∆· att vinkel samt vinkelhastighet ¨ar olika i delens olika ¨andar, det vill s¨aga att det finns en uppvridning i delen.

Vid utveckling av (3) och (2) erh˚ alls f¨oljande ekvationer f¨or de b¨agge fallen.

1 : J ¨ θ = M

i − b ˙θ − M

(4) 2 : M

= M

= k(∆θ) + c(∆ ˙θ) (5)

2.3 Modeller

Som n¨amnts ovan har ett flertal modeller tagits fram. Modellerna avviker fr˚ an varandra p˚ a s˚ a s¨att att olika m˚ anga delar av drivlinan betraktas som veka.

Genom att inkludera fler och styvare fj¨adrar i modellen inkluderar man sv¨angn- ingsmoder med olika frekvens. Detta kan vara relevant d˚ a moder med h¨ogre frekvens, som tidigare n¨amnts, p˚ averkar moderna med l¨agre frekvens. F¨or att f˚ a en modell med korrekt beteende vid l˚ aga frekvenser kan det allts˚ a vara vik- tigt att i den totala modellen ta med delsystem med mycket h¨oga egenfrekvenser.

Viktigt att inse ¨ar att de roterande massorna i de olika modellerna ¨ar desamma, skillnaden mellan modellerna ligger i om man betraktar det som sammanbinder massorna som fullst¨andigt styvt eller som en fj¨ader.

De olika modelleringar som gjorts har fem, tre, tv˚ a och slutligen en fj¨ader. Den mest exakta modellen, allts˚ a den med fem fj¨adrar, har anv¨ants som referens- modell. Mot denna har j¨amf¨orelser gjorts f¨or att kunna best¨amma vilken som

¨ar minsta acceptabla modellnoggrannhet (allts˚ a hur m˚ anga axlar som m˚ aste modelleras som torsionsveka).

Figur 4 visar en bodeplot f¨or modellen med fem fj¨adrar. ¨ Overf¨oringsfunktionen

som ¨ar plottad ¨ar den fr˚ an motormoment till uppvridning i drivaxeln. Spikarna

i plotten ¨ar sv¨angningsmoderna som h¨arr¨or fr˚ an de olika fj¨adrarna, allts˚ a axlar

betraktade som torsionsveka, i modellen. Figur 5 visar en principskiss ¨over mod-

ellen med fem fj¨adrar.

2.3 Modeller 7

Bodeplot magnitud för uppvridning. Fem fjädrar

Frequency (rad/sec)

Magnitude (dB)

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50 0 50

Figur 4: Modell fem fj¨adrar. Magnituddel av bodeplot.

Figur 5: Principskiss ¨over modellen med fem fj¨adrar

I den mest exakta modelleringen av drivlinan tas h¨ansyn till vekheter i de in- g˚ aende delarna av v¨axell˚ adan. Den uppdelning som gjorts ¨ar fr˚ an lamellnav till mitten av sidoaxeln, fr˚ an sidoaxeln till solhjulet och d¨arefter fr˚ an solhjulet till och med planetv¨axel (se figur 6).

I den enklaste modellen ¨ar det endast drivaxeln som modelleras som torsionelastisk.

En bodeplot av samma typ som i figur 4 f¨or denna modell finns i figur 7. En principskiss ¨over modellen finns i figur 8. Notera att de tr¨ogheter som ¨ar stelt sammanbinda kan betraktas som ett st¨orre tr¨oghetsmoment.

Det ¨ar sedan tidigare k¨ant att de sv¨angningar som p˚ averkar v¨axlingskvaliten har

en frekvens under tio hertz [1],[2]. Genom att g¨ora en j¨amf¨orelse av olika mod-

ellers beteende vid frekvenser mellan cirka en halv till tio hertz kan det avg¨oras

vilken modellnogrannhet som kr¨avs f¨or att beskriva de intressanta sv¨angningar-

2.3 Modeller 8

Figur 6: Uppdelning av v¨axell˚ ada

Bodeplot, Magnitud för uppvridning. En fjäder

Frequency (rad/sec)

Magnitude (dB)

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20 0 20

Figur 7: Modell med en fj¨ader. Magnituddel av bodeplot

Figur 8: Principskiss ¨over modellen med en fj¨ader

na. Figuren nedan visar ett bodediagram av modellen med fem fj¨adrar samt

den med en fj¨ader. Denna visar tydligt att modellernas beteende vid frekvenser

2.4 Modellen med en fj¨ ader 9

under tio hertz ¨ar i princip identiskt. Samma resultat erh˚ alls vid j¨amf¨orelse med modellerna med tv˚ a fj¨adrar. Detta tillsammans med tidigare erfarenheter som bakgrund fattas ett beslut att en modell med en fj¨ader ger tillr¨acklig modellnog- granhet i det intressanta frekvensomr˚ adet. Detta ¨ar ocks˚ a den modellering som redovisas i kapitel 2.4.

I lastbilens koppling finns ett olinj¨art system av torsionfj¨aderkonstanter. Dels finns en vek fj¨ader som verkar mellan minus tre och plus fem grader. Ut¨over denna finns en kraftigare fj¨ader som har verkningsomr˚ ade mellan cirka minus nio och plus elva grader. Efter detta sitter ett mekaniskt stopp. Detta ickelinj¨ara fj¨adersystem har inte tagits med i modellen, d˚ a det endast ¨ar den minst styva fj¨ader som skulle kunna ge upphov till en sv¨angningsmod i r¨att frekvensomr˚ ade.

Energin i denna mod ¨ar dock alltf¨or l˚ ag f¨or att kunna p˚ averka drivlinan.

Bodeplottar. Modellen med 5 repektive 1 fjäder

Frequency (Hz)

Phase (deg)Magnitude (dB)

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−900

−720

−540

−360

−180 0

−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50 0

Figur 9: J¨amf¨orelse bodeplot mellan systemen med 5 respektive 1 fj¨adrer

2.4 Modellen med en fj¨ ader

Modellering bygger p˚ a (2) och (3). D˚ a alla axlar i v¨axell˚ adan i denna modell betraktas som styva, g¨ors f¨oljande f¨orenklingar.

i

= i

i

i

(6)

J

= J

J

J

(7)

D¨ar i

, i

och i

¨ar utv¨axlingen mellan ing˚ aende axel och halva sidoaxeln,

halva sidoaxeln och solhjul samt utv¨axlingen i planetv¨axeln. Detta medf¨or att

i

f˚ ar ange den totala utv¨axlingen f¨or v¨axell˚ adan. J

, J

och J

¨ar tr¨ogheter

2.4 Modellen med en fj¨ ader 10

f¨or v¨axell˚ adans ing˚ aende delar med samma index som f¨or utv¨axlingarna, och J

blir d¨armed v¨axell˚ adans totala tr¨oghet (se figur 6).

Vidare anses de axlar som f¨orenar de olika massorna vara friktionsfria, vilket inneb¨ar att det inte uppkommer n˚ agra momentf¨orluster i axlarna, till exempel

M

= M

. (8)

Figur 10 visar fril¨aggningen av modellen med en fj¨ader. Viktigt att notera med index ¨ar till exempel att θ

anger motorhastigheten samt att M

syftar till det moment som l¨aggs p˚ a v¨axell˚ adan. De olika delarnas mekaniska egenskaper s˚ asom tr¨oghet, friktionskoefficient samt utv¨axling st˚ ar listade under respektive del. M

− M

¨ar momentet fr˚ an motorn minus motorns friktionsmoment (vilket blir insignalen till systemet). Detta tas upp i kapitel 2.6.3

Figur 10: Fril¨aggning av modellen med en fj¨ader Motor

Motorn beskrivs som en roterande massa.

J

θ ¨

= M

− M

− M

(9)

Vevaxel

Vevaxeln beskrivs som en viktl¨os, styv. Dessutom anses den upplagrad utan friktionsf¨orluster enligt (8).

θ

= θ

(10)

M

= M

(11)

2.4 Modellen med en fj¨ ader 11

Motor-lamell

Den resterande tr¨ogheten fr˚ an motorn samt lamellen beskrivs som en roterande massa.

J

θ ¨

= M

− b ˙θ

− M

(12)

θ

= θ

(13)

Ekvation (10),(13) samt (11) ger

J

θ ¨

= M

− b ˙θ

− M

(14) Substitution av M

ur denna ekvation till (9) ger

(J

+ J

)¨ θ

= M

− M

− b

˙θ

− M

(15) Lamell

Lamellen beskrivs som vikt- och friktionsfri.

θ

= θ

(16)

M

= M

(17)

V¨ axell˚ ada:

V¨axell˚ adan Modelleras som en roterande massa med utv¨axling.

J

θ ¨

= i

M

− b

˙θ

+ M

(18) Utv¨axlingen ger f¨oljande samband.

θ

= θ

i

(19)

Ekvation (19) tillsammans med (17) insatt i (18) ger

J

θ ¨

= i

M

− b

θ

− M

i

(20) Substitution av M

ur denna ekvation till (15) ger

(J

+ J

+ J

i

)¨ θ

= M

− M

− (b

+ b

i

) ˙θ

− M

i

(21) Kardanaxel

Modelleras som en viktl¨os, styv och friktionsfri axel.

M

= M

(22)

2.4 Modellen med en fj¨ ader 12

θ

= θ

(23)

Slutv¨ axel

Modelleras som en roterande massa med utv¨axling, p˚ a samma s¨att som v¨axel- l˚ adan.

J

θ ¨

= M

i

− b

˙θ

− M

(24)

θ

= θ

i

(25)

Ekvation (25) tillsammans med (22) insatt i (24) ger

J

θ ¨

= M

i

− b

˙θ

− M

i

(26) Substitution av M

till (21) ger

(J

+ J

+ J

i

+ J

i

i

)¨ θ

= M

− M

− (b

+ b

i

+ b

i

i

) ˙θ

− M

i

i

(27)

Drivaxel

Drivaxeln modelleras som torsionelastisk enligt (3)

M

= M

= k

(θ

− θ

) + c

( ˙θ

− ˙θ

) (28) Substitution till (27) tillsammans med (13), (19) och (25) ger

(J

+ J

+ J

i

+ J

i

i

)¨ θ

= M

− M

− (b

+ b

i

+ b

i

i

) ˙θ

− k

i

i

( θ

i

i

− θ

) − c

i

i

( ˙θ

i

i

− ˙θ

) (29) Detta ¨ar den f¨orsta differentialekvationen som beskriver systemet.

Hjulen

Modelleras som en stel, roterade massa

J

θ ¨

= M

− b

˙θ

− F

r

(30) F

¨ar den yttre kraft som verkar p˚ a hjulet och r

¨ar hjulradien.

ΣF

= 0 ⇒ F

= m ˙v + F

+ F

+ mg sin α (31)

2.5 Tillst˚ andbeskrivning 13

Figur 11: Fril¨aggning hjul

I (31) f¨orsummas luftmotst˚ andet F

, d˚ a den endast ger ett bidrag vid h¨oga hastigheter vilket i princip betyder v¨axlar med l¨agre utv¨axling. Vid dessa h¨ogre v¨axlar har man inga st¨orre problem med v¨axlingskvalit´en. Kraften F

uppkom- mer fr˚ an lastbilens s˚ a kallade rullmotst˚ and

F

= m(c

+ c

v) (32)

Detta ¨ar en enkel rullmotst˚ andsmodell, men tillr¨acklig i detta arbete. v hjulets perifera tangentialhastighet. Konstanterna c

och c

beror p˚ a hjultyp och ringtryck i d¨acken [8].

F¨or att knyta (31) till (30) anv¨ands f¨oljande samband

v = r

˙θ

⇒ m ˙v = mr

θ ¨

(33) Detta insatt i (30) tillsammans med uttrycket f¨or momentet M

i (28) samt uttrycket f¨or rullmotst˚ and i (32) ger

(J

+ mr

)¨ θ

= k

( θ

i

i

− θ

) + c

( ˙θ

i

i

− ˙θ

) −

(b

+ mr

c

) ˙θ

− mr

c

− r

mg sin α (34) Detta ¨ar den andra ekvationen som tillsammans med (29) utg¨or modellen med en fj¨ader [10].

2.5 Tillst˚ andbeskrivning

D˚ a b˚ ade motorhastighet, hjulhastighet och uppvridning i drivaxeln ¨ar intressan- ta vid simulering, skrivs (29) och (34) p˚ a tillst˚ andsform.

F¨or att f¨orenkla ekvationerna g¨ors f¨oljande omskrivningar (J

+ J

+ J

i

+ J

i

i

) = J

(35) ( b

i

+ b

i

i

) = b

(36)

2.5 Tillst˚ andbeskrivning 14

(J

+ mr

) = J

(37)

(b

+ mr

c

) = b

(38)

i

i

= i (39)

M

− M

= M

(40)

θ

= θ

(41)

−mr

c

− r

mg sin α = M

(42) Ekvation (29) och (34) kan nu skrivas om till

J

θ ¨

= M

− b

˙θ

− k

i ( θ

i − θ

) + c

i ( ˙θ

i − ˙θ

) (43) J

θ ¨

= k

( θ

i − θ

) + c

( ˙θ

i − ˙θ

) − b

˙θ

+ M

(44) Ur dessa ekvationer v¨aljs f¨oljande tillst˚ and.



 x

x

x



 =



 ˙θ

i

− θ

˙θ



 (45)

Systemet f˚ ar d¨arefter f¨oljande utseende



 x ˙

˙ x

˙ x



 = ¯ A



 x

x

x



 + ¯ B

µ M

M

¶

(46)

Med

A = ¯



 −(b

+

) −

1

i

0 −1

cd

i

k

−(c

+ mc

r

+ b

)



 (47)

och

B = ¯





1 J1

0

0 0

0 −

2



 (48)

2.6 Systemparametrar 15

2.6 Systemparametrar

Genom att r¨akna fram v¨arden p˚ a systemparametrar bibeh˚ alls modellens fysikalitet, n˚ agot som kan f¨orloras vid traditionell black box-identifiering. Samtliga parame- trar, f¨orrutom d¨ampningskonstanten f¨or drivaxeln (c

) och friktionskoefficienter, har d¨arf¨or tagits fram genom ber¨akning eller diskussioner med personer som har k¨annedom om komponenten.

2.6.1 Tr¨ ogheter

Tr¨ogheten f¨or motor (J

+ J

) togs direkt ur befintlig programvara i styren- heterna. Denna tr¨oghet, som fr¨amst kommer fr˚ an motorns sv¨anghjul, anv¨ands i dagsl¨aget bland annat f¨or momentber¨akningar vid motoracceleration.

F¨or v¨axell˚ adan anv¨andes ett CAD-program som ber¨aknade tr¨ogheterna f¨or de i v¨axell˚ adan ing˚ aende kugghjulen, se figur 6. F¨or axlarna i vilka kugghjulen ¨ar f¨asta ber¨aknades tr¨ogheterna enligt

J = mr

2 (49)

d¨ar m ¨ar axelns massa och r dess radie.

Centralv¨axeln behandlades p˚ a f¨oljande s¨att. Genom att anv¨anda m˚ attsatta rit- ningar kunde de delar med st¨orst bidrag till tr¨ogheten identifieras. Dessa delar approximerades sedan till cirkul¨ara cylindriska ringar, vars tr¨ogheter ber¨aknades individuellt enligt.

J = m(r

+ r

)

2 (50)

och sedan adderades. I (50)¨ar r

innerradien och r

¨ar ytterradien. De delar som ans˚ ags bidra till centralv¨axelns tr¨oghet var ¨andmedbringare, pinjong, kronhjul och differentialhushalvan. Detta ¨ar de delar som har h¨ogst massa och den l¨angs- ta utstr¨ackning i radiell riktning hos centralv¨axeln.

Hjulens tr¨oghet togs fram p˚ a samma s¨att som f¨or motorn. Lastbilsmassans bidrag (se (37)) kan best¨ammas d˚ a lastbilsmassan skattas i styrenheten f¨or Op- ticruise.

I realiteten ¨ar det endast motorns (J

+J

) och lastbilen/hjulens (J

) tr¨ogheter

som p˚ averkar systemet. Detta beror p˚ a att den andra ing˚ aende delarna ¨ar b˚ ade

mindre och l¨attare. Dessutom divideras de med kvadraten p˚ a utv¨axlingarna i

v¨axell˚ adan samt centralv¨axeln (se (35)) [5].

2.6 Systemparametrar 16

2.6.2 Drivaxel: k

och c

Som n¨amnts s˚ a identifierades d¨ampningkonstanten f¨or drivaxeln fram. Detta behandlas i kapitel 4.3.2. V¨ardet p˚ a fj¨aderkonstanten k

kan dock r¨aknas ut p˚ a f¨oljande s¨att [7].

Vinkel¨andringen i torsionsled f¨or en axel beror av det p˚ alagda momentet enligt ϕ = M

GK l. (51)

D¨ar M ¨ar det p˚ alagda momentet, G ¨ar skjuvmodulen f¨or materialet, K ¨ar en geometrifaktor och l ¨ar axelns l¨angd. Detta inneb¨ar att torsionsfj¨aderkonstanten k

kan skrivas som

k

= ϕ

M = GK

l (52)

Skjuvmodulen f¨or ett material r¨aknas ut enligt

G = E

2(1 + ν) (53)

d¨ar ν ¨ar poissons koefficient och E ¨ar elasticitetsmodulen. Geometrifaktorn K f¨or en radiellt symmetrisk axel med radien a ber¨aknas p˚ a f¨oljande s¨att

K = π

2 a

(54)

Detta ger slutligen att torsinsfj¨aderkonstanten f¨or drivaxeln kan ber¨aknas enligt k

= Eπa

4(1 + ν)l (55)

2.6.3 Friktionskoefficienter

Uttrycket f¨or friktionskoefficienten b

i (36) har vid simuleringar f¨orsummats.

Detta beroende p˚ a att de ing˚ aende komponenterna kan f¨orsummas d˚ a de delas med utv¨axlingarna f¨or v¨axell˚ ada samt centralv¨axel.

Motorfriktionen M

anv¨ands idag i styrenheten. Den ¨ar en funktion av varv- tal och temperatur. Genom att anta en att motorn vid testk¨orningar har en viss temperatur kan man antingen linj¨arisera fram en varvtalberoende friktionskon- stant eller anv¨anda v¨ardena i friktionsmatrisen rakt av. Vid simuleringar har en arbetstemperatur p˚ a cirka 80 grader celsius antagits. En frikionsmatris f¨or en av Scanias V8:or ˚ aterges i figur 12.

Rullmotst˚ andets bidrag till friktionen i hjulet fr˚ an 38 h¨amtas ¨aven de fr˚ an

styrenheten. I och med detta s˚ a har vi den friktion som beh¨ovs f¨or att beskriva

systemet.

2.6 Systemparametrar 17

500 1000

1500 2000

2500

−20 0 40 20

60 80 200 300 400 500 600 700 800 900

Varvtal (varv/min) Temperatur (C)

Friktion (Nm)

Figur 12: Friktionfunktion V8

18

3 Experimentuppst¨ allning

H¨ar beskrivs ¨overgripande vad det ¨ar f¨or utrustning som har anv¨ants i arbetet och hur systemen fungerar.

3.1 Malte

F¨ors¨oksbilen som har anv¨ants ¨ar av typen 124L 470. Det ¨ar en 6x2 lastbil, det vill s¨aga att den har sex hjul med drivning p˚ a tv˚ a. Lastbilen g˚ ar p˚ a Scania under namnet Malte.

Figur 13: En bil av samma typ som Malte

Malte har en sexcylindrig motor p˚ a 12 liter. Det maximala momentet som kan levereras ¨ar 2200 Nm.

V¨axell˚ adan som sitter i Malte ¨ar en GRS 900R. En GRS 900R ¨ar en tolvv¨axlad

l˚ ada med b˚ ade range och split. Detta betyder att huvudl˚ adan har tre v¨axell¨agen,

vilket tillsammans med tv˚ a l¨agen i rangev¨axeln (h¨og och l˚ ag) samt tv˚ a l¨agen i

split (h¨og och l˚ ag) ger tolv v¨axlar fram˚ at. I l˚ adan finns dessutom krypv¨axel och

3.2 Control Area Network (CAN) 19

back. Lastbilen ¨ar ¨aven utrustad med Opticruise. Den totala vikten p˚ a lastbilen

¨ar 25000 kg.

3.2 Control Area Network (CAN)

CAN ¨ar det lokala informationsn¨atverkat i lastbilen. P˚ a CAN skickas all informa- tion till och fr˚ an olika styreheter. Varje styrenhet ¨ar via CAN-bussen ansluten till en koordintor som styr trafiken mellan olika styrenheter. Det finns olika styrenheter f¨or bland annat Opticruise, motor och bromsar. En schematisk bild

¨over CAN finns i figur 14.

Figur 14: Schematisk skiss av CAN

De olika styrenheterna tar i sin tur emot information fr˚ an givare ute i lastbilen, till exempel varvtalsgivare f¨or motor. Signalerna fr˚ an dessa givare distribueras av styrenheten ut p˚ a CAN-bussen.

3.3 Givare

De givare som har anv¨ants ¨ar fr¨amst hastighetsgivare f¨or motorhastighet, kar- danhastighet och hjulhastighet och en momentgivare f¨or att m¨ata momentet p˚ a ing˚ aende axel i v¨axell˚ adan.

3.3.1 Momentgivare

En vanlig Scanialastbil ¨ar inte utrustad med n˚ agon momentgivare p˚ a ing˚ aende axel till v¨axell˚ adan. Detta framf¨orallt p˚ a grund av att dessa ¨ar dyra och l¨att g˚ ar s¨onder. Dock ins˚ ags att om Opticruise skulle kunna utvecklas skulle det beh¨ovas en lastbil d¨ar det verkliga momentet in i v¨axell˚ adan kunde m¨atas. F¨or att l¨osa detta monterades en momentgivare in i en provv¨axell˚ ada. Givaren best˚ ar av tr˚ adt¨ojningsgivare som ¨ar monterade p˚ a ing˚ aende axeln till v¨axell˚ adan. Givaren har ett arbetsomr˚ ade fr˚ an 25 Nm upp till 3500 Nm. Noggranheten i givaren ligger p˚ a 20Nm. D˚ a momentgivaren inte ing˚ ar som standard g˚ ar signalen fr˚ an givaren inte via en styrenhet utan direkt in i hytten via eget kablage.

3.3.2 Hastighetsgivare

Hastighetsgivarna ¨ar av typen induktiva pulsr¨aknare. P˚ a den axel vars hastighet

skall m¨atas sitter ett tandhjul. F¨or varje tand som passerar givaren skickas en

3.4 Simuleringsverktyg och programvaror 20

str¨ompuls till en styrenhet som i sin tur r¨aknar ut en hastighet med hj¨alp av derivering.

Signalen fr˚ an givaren f¨or kardanaxeln l˚ agpassfiltreras med ett andra ordningens Butterworth-filter med brytfrekvensen 12 Hertz innan den tas in i styrenheten f¨or Opticruise. Signalen fr˚ an givaren samplas med 100 Hertz.

Signalen fr˚ an hjulet m¨ats av styrenheten f¨or bromsar. ¨ Aven denna signal l˚ ag- passfiltreras i bromsstyrenheten. Denna avl¨ases i sin tur av styrenheten f¨or Opti- cruise via CAN. Det b¨or p˚ apekas att bromsystemen p˚ a lastbilarna inte tillverkas av Scania utan importeras.

Motorhastigheten m¨ats med en liknande givare som f¨or hjulhastigheten. Sig- nalen medelv¨ardesbildas i motorstyrenheten f¨or att sedan samplas och skickas till Opticruisestyrenheten via CAN. Givaren ¨ar placerad vid sv¨anghjulet.

3.4 Simuleringsverktyg och programvaror

De simuleringsverktyg som har anv¨ants ¨ar framf¨orallt MATLAB och Simulink.

Dessa har k¨ort p˚ a vanliga persondatorer med operativsystemet Windows NT4.

Koden som har skrivits f¨or denna ¨ar skriven i C med editorerna Codewright och

Visualstudio.

21

4 Identifiering av systemparametrar

Det h¨ar kapitlet beskriver teori bakom och praktiskt tillv¨agag˚ angss¨att f¨or att iden- tifiera systemets olika parametrar.

4.1 Teori

F¨or att verifiera samt anpassa den matematiska modellen beh¨ovs verklig data fr˚ an lastbilen. Det ¨ar viktigt att den data som man har beskriver s˚ a mycket som m¨ojligt av hur processen beter sig. Hur mycket av egenskaperna som finns i den data som man spelar in best¨ams i stor ustr¨ackning av vilken insignal som s¨ands in i processen.

Det f¨orsta beslut som m˚ aste tas ¨ar vilka frekvenser som kan vara av intresse.

Om det g˚ ar att best¨amma det intressanta frekvensomr˚ adet exakt ¨ar det m¨ojligt att anv¨anda en pulssignal som har en pulsbredd som ¨ar anpassad just f¨or de frekvenserna. Detta ger ett bra resultat med mycket energi vid de intressanta frekvenserna. Oftast ¨ar det dock sv˚ art att veta precis vilket frekvensomr˚ ade som

¨ar mest intressant. I dessa fall kan mer allm¨anna metoder tillgripas.

Om det framf¨orallt handlar om l˚ aga frekvenser ¨ar stegsvar en vanlig metod. Ett steg inneh˚ aller alla frekvenser men har st¨orst energi vid l˚ aga. Om det d¨aremot

¨ar h¨ogre frekvenser som ¨ar intressanta men det ¨ar sv˚ art att definiera precis vil- ka, eller om det s¨oks en generell modell, vill man ge systemet en signal som har likartat energiinneh˚ all vid alla frekvenser. Den enda signal som har dessa egenskaper ¨ar vitt brus, vilket inte g˚ ar att realisera i praktiken. Ist¨allet anv¨ands d˚ a en en s˚ a kallad PRBS (pseudo random binary sequence) signal. Den ¨ar en serie slumpm¨assigt l˚ anga pulser. [11]

4.2 Provk¨ orningar

Insignalen till systemet, vilket vid reglering blir v˚ ar styrsignal, ¨ar momentet fr˚ an motorn. Detta moment r¨aknas ut med hj¨alp av m¨angden tillf¨ort br¨ansle till motorn. Ett problem med detta ¨ar att det p˚ a grund av diverse faktorer som tex friktioner och andra f¨orsluster i motorn ¨ar sv˚ art att f˚ a ett noggrant m˚ att p˚ a motormomentet.

Den insignal som anv¨andes var en frekvensbegr¨ansad PRBS signal. Anlednin- gen till begr¨ansningen var rent praktisk. Eftersom vi har en viss svarstid fr˚ an motorn skulle inte alltf¨or snabba frekvenser hinna ge n˚ agon p˚ averkan. Eftersom modellen inte beh¨over beskriva s˚ a h¨oga frekvenser (<10Hz) bed¨omdes denna signal vara tillr¨acklig. Det var ¨aven en begr¨ansning i hur l˚ anga stegen kunde bli, detta p˚ a grund av att planen som k¨ordes p˚ a ¨ar n˚ agra hundra meter l˚ ang.

Hade stegen kunnat bli l˚ anga finns det risk att det bara hade blivit ett steg.

Det skulle leda till att drivlinan bara vrids upp en g˚ ang och aldrig sl¨apps, vilket

4.2 Provk¨ orningar 22

inte skulle frambringa oscillationerna p˚ a ett bra s¨att.

Det gjordes totalt tre stycken provk¨orningar. En sektion p˚ a vardera v¨axel 2, 6 och 8. Valet av v¨axlar gjordes med tanke p˚ a att l˚ ag/h¨og split, l˚ ag/h¨og range och ettan och trean i huvudl˚ ada skulle vara representerade. Detta g¨or att vi f˚ ar med olika fall av kraft¨overg˚ ang i v¨axell˚ adan f¨or att se om n˚ agon viss del av v¨axell˚ adan p˚ averkar utfallet. Varje serie steg ¨ar totalt ungef¨ar 20 sekunder l˚ angt. I figur 15, som visar ¨onskat moment till motorn och uppm¨att moment p˚ a ing˚ aende axel i v¨axell˚ adan, kan man tydligt se de s¨okta sv¨angningarna.

Man kan se de s¨okta sv¨angningarna tydligt i en plot ¨over ¨onskat moment till motorn och uppm¨att moment p˚ a ing˚ aende axel. Den h¨ar sekvensen ¨ar gjord p˚ a v¨axel 2.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 200 400 600 800

Moment till motor

Moment (Nm)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

−600

−400

−200 0 200 400 600 800

Moment från momentgivare

tid(s)

Moment (Nm)

Figur 15: Moment fr˚ an momentgivare

F¨ors¨ok gjordes ¨aven att beskriva uppvridningen med hj¨alp av befintliga givare i en standardlastbil. Uppvridningen kan beskrivas som en vinkelskillnad i drivax- eln (se kapitel 2). En integrering av signalen fr˚ an hastighetsgivarna (se 3.3.2) ger en vinkelf¨or¨andring mot tiden. Detta g¨or att det med skillnaden mellan vinkelf¨or¨andringarna f¨or de olika givarna g˚ ar att beskriva uppvridningen. Dock finns det en trend efter integreringen som g¨or att signalen blir sv˚ ar att j¨amf¨ora med andra signaler. Se figur 16.

F¨or att kunna j¨amf¨ora uppvridningen m¨att med vinkelskillnad mellan hastighets- givarna och momentgivaren beh¨ovdes en metod f¨or att f˚ a bort trenden i de inte- grerade signalerna. B˚ ada signalerna h¨ogpassfiltrerades med en l˚ ag brytfrekvens.

P˚ a detta s¨att togs alla trender bort och bara sv¨angningen ˚ aterstod. Detta g¨or

att statiska niv˚ aer inte g˚ ar att urskilja men man kan j¨amf¨ora dynamiken. I figur

17 ser man tydligt att vinkelskillnaden beskriver uppvridningen bra.

4.3 Parameteridentifiering 23

0 5 10 15

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

tid(s)

Rad

drivaxel

Figur 16: Vinkelskillnad mellan hastighetsgivare p˚ a kardanaxeln och hastighets- givare i hjulet

0 5 10 15

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Uppvridning i drivaxel

tid(s)

Rad

Vinkelskillnad Momentgivare

Figur 17: Uppvridningen beskriven med vinkelskillnad samt med momentgivare

4.3 Parameteridentifiering

Det fanns ett antal ok¨anda parametrar. Det var framf¨orallt d¨ampningskonstan- ten f¨or drivaxeln och friktionen i hela systemet. ¨ Onskv¨art var att ¨aven tor- sionsfj¨aderkonstanten f¨or drivaxeln kunde identifieras fram f¨or att verifiera det ber¨aknade v¨ardet.

4.3.1 Ident i MATLAB

Det f¨orsta f¨ors¨oket till identifiering av parametrarna gjordes med hj¨alp av tool-

boxen ident i MATLAB. Det visade sig att det var sv˚ art att identifiera dessa med

4.3 Parameteridentifiering 24

hj¨alp av loggade data. Detta beror framf¨orallt p˚ a de relativt korta datasekvenser som fanns att tillg˚ a. Genom traditionella identifieringsmetoder som tex Predic- tion Error Method (PEM), d¨ar man i MATLAB kan best¨amma en struktur p˚ a systemet som skall identifieras, identifierades en instabil modell fram. P˚ a grund av begr¨ansade m¨ojligheter till nya l¨angre datasekvenser fick vi s¨oka oss till andra metoder. Anledningen till att det var sv˚ art att f˚ a l˚ anga datasekvenser var att den del av provbanan som passade b¨ast att k¨ora p˚ a med h¨ansyn till v¨aglutning inte var l¨angre. Sen visade sig momentgivaren vara trasig f¨ore uppt¨ackten att sekvenserna var f¨or korta.

4.3.2 Minsta kvadratanpassning

D˚ a en fullst¨andig indentifiering av systemet visade sig sv˚ ar att g¨ora blev andra metoder f¨or att best¨amma de ok¨anda parametrarna (se kap 2.6) aktuella. En slags minsta kvadratanpassning implementerades d¨arf¨or i Matlab enligt f¨oljande princip.

1. En vektor, ¯ v

skapas med ett spann ¨over v¨arden p˚ a den systemparameter som skall optimeras.

¯

v

= [x

, x

, ..., x

] (56) 2. F¨or varje v¨arde i systemparametervektorn simuleras ett systemsvar,¯ y

, fram. F¨or varje sampel j¨amf¨ordes skillnaden mellan simulering och m¨atta data. Absolutbeloppet av detta v¨arde (felet) sparas d¨arefter i en annan vektor, ¯ v

.

¯

y

= [y

, y

, ..., y

] (57)

¯

v

= p

(y

− y

)

(58) 3. Summan av alla fel f¨or varje systemparameterv¨arde sparas i ytterligare en

vektor ¯ v

.

¯

v

= X

¯

v

(59)

4. N¨ar slutligen alla v¨arden i ¯v

simulerats igenom j¨amf¨ors storleken av elementen i ¯ v

.

5. Det v¨arde i ¯v

som motsvara det minsta elementet i ¯ v

av felen

plockas ut.

4.3 Parameteridentifiering 25

F¨or att ¨oka noggrannheten startade simuleringarna med stort mellanrum mellan v¨ardena p˚ a den aktuella systemparametern, detta ger ett ¨okat spann p˚ a de v¨ar- den som anses realistiska. N¨ar ett f¨orsta v¨arde p˚ a parametern best¨amts skapas en ny vektor, men med ett mindre omf˚ ang som inkluderar det tidigare v¨ardet.

Skillnaden mellan v¨ardena i vektorn g¨ors mindre och ett nytt v¨arde simuleras fram. Detta ger till slut ett mycket noggrant v¨arde p˚ a systemparametern.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

−600

−400

−200 0 200 400 600 800

(s)

(Nm)

Moment ingående axel växellåda

Modell Momengivare

Figur 18: Moment p˚ a ing˚ aende axel v¨axell˚ ada. Tv˚ aans v¨axel

Intressant var att vid best¨ammandet av k

avvek resultatet endast cirka en och en halv procent fr˚ an det framr¨aknade v¨ardet fr˚ an kaptitel 2.6.

V¨ardet p˚ a c

f˚ ar ocks˚ a anses som rimligt. Figur 18 visar momentet p˚ a ing˚ aende axel p˚ a v¨axell˚ adan f¨or modellen och f¨or testk¨orningar.

Det visade sig sv˚ art att f˚ a modellen att beskriva b˚ ade motor- och hjulhastighet samt uppvridningen i drivlinan. D˚ a arbetet i f¨orsta hand syftar till att beskriva sv¨angningarna i drivlinan har det ansetts som viktigare att modellen beskriver dessa bra. Prioriteringen har allts˚ a legat p˚ a att f˚ a s˚ a bra ¨overensst¨ammande f¨or momentet i ing˚ aende axel i v¨axell˚ adan som m¨ojligt.

Figur 20 visar den uppm¨atta samt framsimulerade motorhastigheten och figur

19 hjulhastigheterna vid samma k¨orfall som f¨or figur 18.Man kan tydligt se att

framsimulerade vinkelhastigheter ¨ar betydligt l¨agre, men att dynamik i form

av oscillationer fortfarande beskrivs bra. Att simulerade hastigheter inte ¨ar till-

r¨ackligt stora ¨ar ett tecken p˚ a att antingen levererat moment fr˚ an motor inte ¨ar

lika stort som det beg¨arda, eller att n˚ agon av tr¨oghetsmomenten (f¨ormodligen

lastbilens) ¨ar f¨or stort. Detta ¨ar ett problem som visat sig vara sv˚ arl¨ost och med

st¨orsta sannolikhet relateras till fel i modellen.

4.4 Modell¨ overensst¨ amelse vid olika k¨ orfall 26

0 2 4 6 8 10 12 14

20 30 40 50 60 70 80

Hjulhastigheter

Modell Uppmätt

Figur 19: Simulerad och uppm¨att hjulhastighet. Tv˚ aans v¨axel

0 2 4 6 8 10 12 14

600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400

Motorhastighet

Modell Uppmätt

Figur 20: Simulerad och uppm¨att motorhastighet. Tv˚ aans v¨axel

4.4 Modell¨ overensst¨ amelse vid olika k¨ orfall

De systemparametrar som best¨amts i f¨oreg˚ aende kapitel samt i kapitel (2.6) har identifierats p˚ a v¨axel tv˚ a samt med steg som insignal. D˚ a dynamiken i systemet f¨or¨andras beroende p˚ a utv¨axling ¨ar det intressant att se hur v¨al modellen st¨am- mer p˚ a andra v¨axlar. Figur 21 och 22 visar motormomentet respektive moment p˚ a ing˚ aende axel i v¨axell˚ adan f¨or v¨axel tre.

Modellen beskriver momentsv¨angningarnas frekvens p˚ a ett bra s¨att. Det finns en tendens att modellen avviker n˚ agot fr˚ an testdata vid l˚ angsamma avramp- ningar. ¨ Overensst¨ammelsen ¨ar dock bra vid snabbare avrampningar.

Figur 23 och 24 ¨ar av samma typ som figur 21 och 22, men p˚ a den fj¨arde v¨axeln.

4.4 Modell¨ overensst¨ amelse vid olika k¨ orfall 27

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

s

Nm

Insignal. Växel 3

Figur 21: Insignal. V¨axel 3

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

−800

−600

−400

−200 0 200 400 600 800 1000 1200

Moment ingående axel växellåda. Treans växel

s

Nm

Modell Uppmätt

Figur 22: Moment ing. axel. V¨axel 3

Aven h¨ar beskrivs frekvens, amplitud och niv˚ ¨ a p˚ a ett bra s¨att.

16 18 20 22 24 26 28

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

s

Nm

Insignal. Växel 4

Figur 23: Insignal. V¨axel 4

16 18 20 22 24 26

−1000

−500 0 500 1000 1500

s

Nm

Moment ingående axel växellåda. Fyrans växel

Modell Uppmätt

Figur 24: Moment ing. axel. V¨axel 4 Modell¨overensst¨ammelsen i fr˚ aga om frekvens ¨ar god ¨aven f¨or h¨ogre v¨axlar. Det st¨orsta problemet ¨ar amplituden p˚ a sv¨angningarna. Amplituden i modellens sv¨angningar ¨ar n˚ agot l¨agre ¨an de i testdata, framf¨orallt n¨ar ett moment l¨aggs p˚ a.

Genom att i modellen ¨andra motorfriktionen kan momentkurvan flyttas i ver-

tikalled. Detta ger ytterliggare n˚ agot b¨attre ¨overensst¨ammelse f¨or modellen.

28

5 Skattning av sv¨ angningar i drivlina

I det h¨ar kapitlet beskrivs ett s¨att att l¨osa problemet med uppvridning i drivaxeln.

Om det g˚ ar att skatta beteendet p˚ a sv¨angningen som bildas vore det m¨ojligt att dra ur v¨axeln n¨ar det inte ¨ar n˚ agot moment p˚ a ing˚ aende axeln i v¨axell˚ adan.

5.1 Teori

Ett system kan p˚ a tillst˚ andsform med m¨atbrus och modellfel skrivas p˚ a formen:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + N v

y

(t) = Cx(t) y(t) = y

(t) + v

(60)

x=Ax+Bu+Nv

=Cx

1

y

u y

v ₁

v ₂

++

Figur 25: Tillst˚ andsmodell med st¨orningar

Eftersom uppvridningen, som ¨ar det s¨okta tillst˚ andet i systemet, inte ¨ar m¨at- bart beh¨ovs det en skattning av tillst˚ andet f¨or att systemet skall g˚ a att styra.

Ett vanligt s¨att f¨or att skatta tillst˚ and ¨ar genom en s˚ a kallad observerare. De bygger p˚ a att man ans¨atter en simulering av systemet med hj¨alp av de k¨anda insignalerna:

˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) (61)

Om man bildar storheten y(t)−C ˆ x(t) s˚ a f˚ ar man ett m˚ att p˚ a hur bra skattningen ˆ

x(t) blir. Om det inte finns n˚ agot m¨atbrus eller n˚ agon processt¨orning och ˆ x(t)

¨ar lika med x(t) blir storheten y(t) − C ˆ x(t) lika med noll. Det inses d˚ a att detta borde vara en bra faktor att ˚ aterkoppla med. ˚ Aterkoppling med f¨orst¨arkningen K ger:

˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) − C ˆx(t)) (62) Problemet ¨ar nu att v¨alja f¨orst¨arkningen K. Eftersom det ¨ar ¨onskv¨art att ˆ x(t) skall vara lika med x(t) bildar vi feltillst˚ andet

˜

x(t) = x(t) − ˆ x(t) (63)

5.1 Teori 29

x=Ax+Bu+Nv

=Cx

1

y

x=Ax+Bu+K(y-y)

=Cx y

u y

v

v

+

+- +

^ ^ ^

^ ^

Figur 26: Kalmanfilter

Ekvation (63) tillsammans med (62) och (60) ger genom lite ber¨akningar:

˙˜x(t) = (A − KC)˜x(t) + Nv

(t) − Kv

(t) (64) Man kan se att f¨orst¨arkningen K p˚ averkar skattningsfelet p˚ a tv˚ a s¨att. Dels p˚ averkas A-KC vilket best¨ammer hur snabbt fel klingar av, detta g¨or att man vill att egenv¨ardena f¨or A-KC skall ligga l˚ angt in i stabilitetsomr˚ adet. Dels p˚ averkar K hur mycket m¨atbruset f¨orst¨arks i termen Kv

. Detta leder till att K v¨aljs med en avv¨agning mellan stora K, som ger snabba egenv¨arden, och sm˚ a K som ger lite inverkan av m¨atbrus.

Ett vanligt s¨att att v¨alja K ¨ar genom ett s˚ a kallat Kalmanfilter. Kalmanfiltret

¨ar en optimal skattning av K om man har information om st¨orningarna v

och v

s varianser.

Om man antar att v

och v

¨ar vitt brus med intensitet R

respektive R

. Ko- rsspektrumet mellan dem ¨ar konstant och har intensitet R

. Enligt Kalmanfil- teralgoritmen ges d˚ a K av:

K = (P C

+ N R

)R

(65)

d¨ar P ¨ar den symmetriska positivt semidefinita l¨osningen till matrisekvationen

AP + P A

− (P C

+ N R

)R

(P C

+ N R

)

+ N R

N

= 0 (66)

Ekvation 66 ¨ar en station¨ar riccatiekvation. [4]

5.2 Implementering 30

Man kan visa att Kalmanfiltret minimerar E ˜ x(t)˜ x

(t) vilket ¨ar en minimering av feltillst˚ andets varians. I praktiken kan det vara sv˚ art att veta R

, R

och R

. D˚ a v¨aljer man ofta att anv¨anda dessa som rena designparametrar och anpassar dem f¨or att f˚ a ett ¨onskat beteende p˚ a kalmanfiltret.

5.2 Implementering

Ett kalmanfilter ¨ar allts˚ a en kompromiss mellan h¨og f¨orst¨arkning som ger en bra skattning men ocks˚ a h¨og brusp˚ averkan och en l˚ ag f¨orst¨arkning vilket ger en l˚ ag brusp˚ averkan. Man kan ¨aven visa att ett kalmanfilter p˚ a grund av ˚ aterkopplin- gen ger ett robustare system. Detta ¨ar mycket intressant d˚ a det s¨allan exakt g˚ ar att best¨amma alla parametrar i ett system. Friktionsf¨orluster och d¨ampningar

¨ar exempel p˚ a saker som ¨ar sv˚ ara att best¨amma teoretiskt.

Totalt kan vi s¨aga att kalmanfiltret inte ger ett signifikant b¨attre resultat n¨ar det g¨aller att skatta uppvridningen ¨an vad den ursprungliga modellen g¨or, dock blir skattningen avsev¨art robustare. P˚ a grund av att olika lastbilar har lite olika egenskaper trots samma modell, samt att alla parametrarna inte ¨ar best¨andiga m˚ aste n˚ agon slags ˚ aterkoppling g¨oras f¨or att det skall bli ett vettigt resultat p˚ a skattningen.

5.2.1 Robusthet

F¨or att visa hur robustheten har f¨orb¨attrats genom kalmanfiltret gjordes ett kalmanfilter p˚ a den nuvarande modellen. Kalmanfiltrets interna modell och sys- temet ¨ar precis likadana. Vid ¨andring av en parameter i kalmanfiltrets modell kan man d¨armed se hur stor skillnaden blir mot den ursprungliga modellen och p˚ a s˚ a s¨att f˚ a en uppskattning av hur mycket en motsvarande felber¨akning p˚ averkar vid skattning av det verkliga systemet. Robustheten m¨attes p˚ a v¨axel tv˚ a p˚ a grund av att det ¨ar l˚ aga v¨axlar som ¨ar mest intressanta. En j¨amf¨orelse av felen vid h¨oga och l˚ aga v¨axlar gjordes f¨or att f˚ a b¨attre reliabilitet. J¨am- f¨orelsen visade att det blev i storleksordningen lika stora fel vid h¨oga v¨axlar vilket g¨or att vi kan h˚ alla oss till de mest intressanta fallen. F¨or¨andringen av parametrarna gjordes med 20% av det aktuella v¨ardet. I de v¨anstra figurerna visas uppvridningen fr˚ an det skattade systemet med felaktigt parameterv¨arde samt referensmodellens uppvridning. I tv˚ a av fallen blev skillnaden s˚ a pass liten att skillnaden inte syns. D˚ a visas ist¨allet felet, det vill s¨aga skillnaden mellan signalerna. I de h¨ogra figurerna visas procent av fel i uppvridning.

Massa

En felber¨akning p˚ a 20% i massa gjorde med kalmanfiltret en v¨asentlig skillnad,

vilket ses i figur 28. Om det tas h¨ansyn till att 20% fel v¨arde p˚ a massan ¨ar en

v¨aldigt stor felmarginal s˚ a ¨ar detta inget stort problem. Det finns en funktion

implementerad i styrenheten som r¨aknar ut massan p˚ a 10% n¨ar vilket g¨or att det