OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ALLER STUDENTER P˚A H ¨OGSKOLEINGENJ ¨ORSPROGRAM
Tentamen i Matematik III Differentialekva- tioner, komplexa tal och transformteori
Kurskod M0039M
Tentamensdatum 2012-08-28 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00 Betygsgr¨anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30.
Resultatet meddelas p˚a studentportalen. Tentamensresultatet meddelas tidi- gast 15 arbetsdagar efter tentamensdatum.
Till˚atna hj¨alpmedel: Minir¨aknare. Bifogad tabell.
Till alla uppgifter ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas. Resonemang, inf¨orda beteck- ningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andigt presenterade att de blir sv˚ara att f¨olja. ¨Aven endast delvis l¨osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik
1 (3)
Uppgift 1
(a) Antag att z1 2 4i, z2 5 i. Best¨am
z1
z2
Exakt svar, ej n¨armev¨arde. (2 p)
(b) Skriv p˚a rektangul¨ar form a bi, d¨ar a, bP R p1 iq11
Svaret f˚ar inte inneh˚alla trigonometriska uttryck. (3 p)
Uppgift 2
(a) Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen d2y
dx2 4y sin x.
Laplacetransformer f˚ar ej anv¨andas. (3 p)
(b) L¨os begynnelsev¨ardeproblemet x2 dy
dx x y x3, yp1q 4 3.
Laplacetransformer f˚ar ej anv¨andas. (3 p)
Uppgift 3
(a) Avg¨or om serien
¸8 k1
cos
1 k2
¨ar konvergent eller divergent. Motivera
tydligt. (2 p)
(b) Best¨am
xlimÑ0
ex 1 tanp2xq
L’Hospitals regel f˚ar inte anv¨andas. (2 p)
Uppgift 4
(a) Best¨am en funktion fptq, t ¥ 0, med Laplacetransformen Fpsq 1
s 1 es
(1 p) (b) Best¨am Laplacetransformen f¨or
fptq p2t 1q2 cos 2t sin t.
(4 p) 2 (3)
Uppgift 5
L¨os med Laplacetransformation begynnelsev¨ardesproblemet y2 4y1 3y 4 sin t 8 cos t, yp0q 3, y1p0q 1.
(5 p)
Uppgift 6
En beh˚allare som ursprungligen inneh¨oll 40 liter rent vatten fylls under omr¨orning med saltvatten som inneh˚aller 3 kg salt per liter. P˚afyllningshastigheten
¨ar 2 liter/min. Samtidigt avtappas 3 liter/min.
N¨ar ¨ar m¨angden salt i beh˚allaren som st¨orst? Svaret anges i minuter och
avrundas till en decimal. (5 p)
3 (3)
Svar, M0039M, 120828
Uppgift 1
(a)
√10
√13 (b) −32 + 32 i
Uppgift 2
(a)
y= C1 sin (2 x) + C2 cos (2 x) + sin (x) 3 (b)
y= x3+ 3 3 x
Uppgift 3
(a) Divergent - inget nollgränsvärde (b) 1
2
Uppgift 4
(a) f (t) = 1 − Θ(t − 1) (b) F (s) = s
s2+ 4− 1 s2+ 1+1
s+ 2 1 s2 + 4
s3
+ 2
s2
Uppgift 5
y (t) = 2 sin (t) + 3 e−t
Uppgift 6
Efter ca 16.9 minuter.
1
