Detta ¨ ar enbart en skiss av den fullst¨ andiga l¨ osningen. Det kan inneb¨ ara att vissa mellansteg i utr¨ akningarna, som egentligen ¨ ar n¨ odv¨ andiga f¨ or en komplett l¨ osning, inte redovisas.

Tid och plats: M˚ andagen den 20 augusti 2018 klockan 14.00- 18.00, H¨ orsalsv¨ agen 5.

L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en

Detta ¨ ar enbart en skiss av den fullst¨ andiga l¨ osningen. Det kan inneb¨ ara att vissa mellansteg i utr¨ akningarna, som egentligen ¨ ar n¨ odv¨ andiga f¨ or en komplett l¨ osning, inte redovisas.

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Ange v¨ ardet av tangentlinjeintegralen H

C F · d~ ~ r, d¨ ar f¨ altet ~ F = F ₀ a(y ˆ x − xˆ y)/(x ² + y ² ) och den slutna kurvan C parametriseras enligt (x, y, z) = b(sin t, cos t, 0), 0 ≤ t < 2π.

(b) Ber¨ akna (δ ij δ kl − δ ik δ jl )M ij M kl , d¨ ar M ij ¨ ar elementen i matrisen

M =





0 0 a 0 b 0 c 0 0





(c) Ange f¨ or vilken enhetsvektor ˆ n som riktningsderivatan i riktningen ˆ

n av skal¨ arf¨ altet φ(~ r) = cos θ/r ² i punkten (x, y, z) = (0, 0, 1) ¨ ar maximal och positiv. (Svaret kan ges i termer av Cartesiska eller sf¨ ariska basvektorer i punkten i fr˚ aga.)

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) L¨ osning:

(a) 2πF 0 a (b) −a ² − c ²

(c) −ˆ z (= −ˆ r)

2. Betrakta ett kraftf¨ alt

F = (y ~ ² + 5)ˆ x + (2xy − 8)ˆ y.

I xy-planet m¨ arker vi ut en kvadrat med h¨ ornen O : (0, 0), A : (1, 0), B :

(1, 1), C : (0, 1). Visa att kraftf¨ altet kan beskrivas med en skal¨ arpotential,

och ange en s˚ adan potential explicit. Ber¨ akna sedan arbetet som utf¨ ors

L¨ osning:

Det visas enkelt att kraftf¨ altet ¨ ar virvelfritt ~ ∇ × ~ F = 0, vilket betyder att f¨ altet ¨ ar konservativt. I detta fall existerar det skal¨ arpotentialer φ s˚ adana att ~ F = − ~ ∇φ, dvs

∂φ

∂x = −(y ² + 5) ⇒ φ(x, y) = −xy ² − 5x + f ₁ (y),

∂φ

∂y = −(2xy − 8) ⇒ φ(x, y) = −xy ² + 8y + f ₂ (x),

d¨ ar f ₁ (y) och f ₂ (x) ¨ ar godtyckliga funktioner. F¨ or att f˚ a ett specikt svar v¨ aljer vi f ₁ (y) = 8y och f ₂ (x) = −5x s˚ a att

φ(x, y) = −xy ² − 5x + 8y.

F¨ or att ber¨ akna arbetet W vid f¨ orflyttningen OABC kan vi utnyttja att detta ¨ ar ett konservativt kraftf¨ alt s˚ a att arbetet inte beror p˚ a v¨ agen utan enbart p˚ a ¨ andpunkterna

W = φ| _O − φ| _C = φ(0, 0) − φ(0, 1) = −8.

Givetvis f˚ ar vi samma resultat om vi r¨ aknar ut arbetet explicit via v¨ agintegralen W = R

OABC F · d~ ~ r.

3. Visa att gr¨ ansv¨ ardet lim _ε→0

av distributionen h _ε (x) = exp (−x ² /ε ² )

ε √

π ,

uppfyller de definierande egenskaperna f¨ or en endimensionell deltafunk- tion. (10 po¨ ang)

L¨ osning:

Visa f¨ orst att

h ε (x) = 1

√ πε exp(x ² /ε ² ) = 1

√ πε h

1 + ^x _ε

+ ¹ ₂ ^x _ε

2

+ . . . i

= ε

√ π

1

x ² + ε ² + _2ε ^x

+ . . .
→ 0 f¨ or x 6= 0 d˚ a ε → 0 ⁺ (1)

−∞

Handbook for Science and Engineering [Beta] 7.5-41). Detta ger lim

ε→0

Z +∞

−∞

exp(−x ² /ε ² )

√ πε dx = lim

ε→0

√ πε ²

√ πε = 1, (2)

f¨ or ε > 0. F¨ or att vara helt korrekta skall vi egentligen visa den mer allm¨ anna egenskapen R b

a f (x)δ(x)dx = f (0) f¨ or en v¨ al beteende funk- tion f (x). Eftersom ekv. (1) g¨ aller, och f (x) inte utg¨ or n˚ agot problem, kan vi ut¨ oka integrationsintervallet och ist¨ allet visa

Z +∞

−∞

f (x)δ(x)dx = f (0).

Vi Taylorutvecklar, f (x) = f (0) + f ⁰ (0)x + f ⁰⁰ (0)x ² /2 + . . ., och kon- staterar att

ε→0 lim Z +∞

−∞

f (0)h _ε (x)dx = f (0) lim

ε→0

Z +∞

−∞

h _ε (x)dx = f (0), enligt vad vi visat ovan (2). Det ˚ aterst˚ ar att visa att

lim ε→0

Z +∞

−∞

x ⁿ h _ε (x)dx = 0, (3)

f¨ or alla heltal n > 0. I v˚ art fall har vi en j¨ amn funktion h _ε (x) vilket g¨ or att ekv. (3) ¨ ar trivialt uppfyllt f¨ or udda n d˚ a integranden blir udda. F¨ or j¨ amna n = 2k finner vi (se t.ex. Mathematics Handbook for Science and Engineering [Beta] 7.5-42)

lim

ε→0

Z +∞

−∞

x ^2k exp(−x ² /ε ² )

√ πε dx = lim

ε→0

√ 2 πε

(2k − 1)!!

2 ^k+1

√ πεε ^2k = 0,

f¨ or ε > 0. Allts˚ a har vi visat att lim

ε→0

Z b>0 a<0

f (x) exp(−x ² /ε ² )

√ πε dx = f (0), med ε > 0.

4. Skriv ett uttryck f¨ or k¨ allt¨ atheten fr˚ an en elektrisk dipol ~ µ = µˆ z i R ³ . H¨ arled ocks˚ a ett uttryck f¨ or den elektrostatiska potentialen f¨ or dipolf¨ altet p˚ a stora avst˚ and. (10 po¨ ang)

Ledning: Dipolmomentet µ har enheten (laddning ×l¨ angd). (10 po¨ ang)

L¨ osning:

Vi l¨ agger punktdipolen i origo. En dipol ~ µ = µˆ z motsvarar en laddning q = ^µ _ε i punkten (x, y, z) = (0, 0, ε) och en laddning −q = − ^µ _ε i origo.

K¨ allt¨ atheten kan skrivas ρ(~ r) = µ

ε δ ⁽³⁾ (~ r − εˆ z) − µ

ε δ ⁽³⁾ (~ r).

Alternativt kan vi l¨ agga punktladdningarna i z = ±ε/2. Det blir samma f¨ alt f¨ or r/ε  1.

Potentialen fr˚ an de b˚ ada laddningarna tillsammans blir (notera perme- abiliteten fr˚ an Maxwells f¨ orsta ekvation)

ε 0 φ(~ r) = µ/ε

4π|~ r − εˆ z| − µ/ε 4πr .

Nu vill vi studera hur detta uttryck kan skrivas vid stora avst˚ and. Vi kan skriva |~ r − εˆ z| = p% ² + (z − ε) ² , och om ε ¨ ar litet (ε/%, ε/z  1) blir detta p% ² + z ² − 2εz = √

r ² − 2εz ≈ r(1 − ^εz _r

). D¨ arf¨ or f˚ ar vi 1

|~r − εˆ z| ≈ 1

r (1 + εz r ² ).

H¨ ar har vi anv¨ ant Taylorutvecklingarna √

1 − x = 1 − ^x ₂ + O(x ² ) samt

1

1−x = 1 + x + O(x ² ).

Potentialen blir

ε 0 φ(~ r) ≈ µ 4πε

 1 r

 1 + εz

r ²



− 1 r



= µz

4πr ³ = µ cos θ

4πr ² (4)

Mer generellt kan man skriva den elektrostatiska potentialen fr˚ an en dipol ~ µ:

φ = 1 ε ₀

~ µ · ~ r 4πr ³ .

I v˚ art fall var allts˚ a ~ µ = µˆ z dipolmomentet (som allts˚ a ges av produkten av laddningen ^µ _ε och separationsvektorn εˆ z).

5. Ytan till en mycket l˚ ang cylindrisk kavitet (kan betraktas som o¨ andligt

l˚ ang) med radien a h˚ alls vid den elektriska potentialen φ (ρ = a, ϕ, z) =

φ ₀ sin 2ϕ, d¨ ar ρ, ϕ, z ¨ ar cylindriska koordinater. Best¨ am det statiska

elektriska f¨ altet i kaviteten. Skissera ekvipotentialytor och f¨ altlinjer.

L¨ osning:

Inget i problemst¨ allningen beror p˚ a z, s˚ a vi betraktar det som ett tv˚ adimensionellt problem. Den elektrostatiska potentialen uppfyller Laplaces ekvation p˚ a cirkelskivan ρ < a. En rimlig ansats ¨ ar φ(ρ, ϕ) = f (ρ) sin 2ϕ. Laplaces ekvation s¨ ager

∆φ = 1 ρ

∂

∂ρ

 ρ ∂φ

∂ρ

 + 1

ρ ²

∂ ² φ

∂ϕ ² = 1

ρ (ρf ⁰ (ρ)) ⁰ sin 2ϕ − 4

ρ ² f (ρ) sin 2ϕ = 0.

En ansats f (ρ) = Aρ ^p ger p ² − 4 = 0 eller p = ±2. Minustecknet ger ett singul¨ art f¨ alt. Randvillkoret ger A = φ ₀ /a ² . Potentialen ¨ ar

φ = φ ₀ ρ ²

a ² sin 2ϕ = 2φ ₀ xy a ² . Det elektriska f¨ altet ¨ ar

E = −∇φ = − ~ 2φ 0 ρ

a ² ( ˆ ρ sin 2ϕ + ˆ ϕ cos 2ϕ) = − 2φ 0

a ² (y ˆ x + xˆ y).

Ekvipotentialytorna ¨ ar allts˚ a hyperbler xy = konstant. F¨ altlinjerna blir hyperbler x ² − y ² = konstant.

6. I mitten av en sf¨ ar finns en radioaktiv k¨ alla som avger konstant v¨ arme- effekt W . K¨ allans storlek ¨ ar mycket mindre ¨ an sf¨ arens radie a. Vid ytan S g¨ aller Neumanns randvillor f¨ or temperaturf¨ altet

∂T

∂r     S

= konstant.

Finn ett uttryck f¨ or den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen i sf¨ aren

givet att temperaturen var konstant T (r < a) = 0 vid t = 0 och att

materialets v¨ armekonduktivitet ¨ ar λ (notera att vi inte ¨ ar intresserade av den tidsberoende l¨ osningen som g¨ aller fram till station¨ arl¨ osningen).

L¨ osning:

• Vi har en punktk¨ alla med v¨ armeeffekten W och ett Neumann randvillkor vid ytan till sf¨ aren. Temperaturf¨ altet skall allts˚ a upp- fylla Poissons ekvation inuti sf¨ aren

∆T = −s/λ, med s = W δ ³ (~ r).

• L¨ osningen ¨ ar T = T (r) = ^W/λ _4πr + T ₁ , vilket man kan se genom att l¨ osa Laplaces ekvation ∆T = 0 i omr˚ adet 0 < r < a (dvs d¨ ar k¨ alltermen ¨ ar noll) och sedan identifiera punktk¨ alltermen. Inte- grationskonstanten T ₁ ¨ ar fortfarande obest¨ amd.

• V¨ armestr¨ ommen ¨ ar ~ q = −λ∇T = −ˆ rλ ^∂T _∂r = _4πr ^W

ˆ r. Detta ¨ ar bra eftersom vi d¨ armed kan verifiera att

Z

|~ r|=a

~

q · d ~ S = W.

Dvs v¨ armeeffekt fr˚ an k¨ allan ¨ ar lika med v¨ armestr¨ om per tidsenhet ut genom ytan.

• Den totala v¨ armeenergin i sf¨ aren ges av integralen H = R

V cρT dV . F¨ or en konstant temperaturf¨ ordelning T 0 = 0 (som vid t = 0) blir detta H ₀ = cρT ₀ ^4πa ₃

= 0. F¨ or v˚ ar station¨ ara l¨ osning g¨ aller

H = cρT ₁ 4πa ³

3 + cρ 4π Z a

0

W 4πλ rdr

| {z }

=

.

• V¨ armeenergin skall vara bevarad vilket ger T ₁ . Svaret blir T (r) = W

4πλ

 1 r − 3

2a



.