TSKS21 Signaler, information & bilder Föreläsning 6 Signaler och system frekvensdomänen, fourierserier och fouriertransformer

(1)

TSKS21 Signaler, information & bilder

Föreläsning 6

Signaler och system – frekvensdomänen, fourierserier och fouriertransformer

Mikael Olofsson

Institutionen för Systemteknik (ISY) Ämnesområdet Kommunikationssystem

(2)

Tidskontinuerliga fourierserier

Krav på signalen x(t):

1. Periodisk, period T.

2. Absolutintegrerbar:

3. Ett ändligt antal

lokala min & max i en period.

4. Ett ändligt antal diskontinuiteter i en period.

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 – 1830

( )

^< ^∞

∫

T

dt t x

0

Då existerar a₀, a_n, b_n för ⁿ^∈

{

¹^, ²^,..., ^∞

}

så att

( ) ∑

^∞

( ( ) ( ) )

=

+ +

=

1

0 0

0 cos sin

k

k k t b k t

a a

t

x ω ω

gäller för ω₀ = 2π T.

Ton nummer k.

(3)

Komplexa fourierseriekoefficienter

Euler:

( )

sin 2

0 0

0 j

e t e

k

t jk t

jkω ω

ω

− −

=

Resultat:

∑

^∞

=

− 



 



 +

− + +

=

1 0

0 0

2

k 2

t k jk

t k k jk

k a jb e

jb e

a a ^ω ^ω

∑

^∞

−∞

=

k

t jk ke D ^ω⁰

Dk D₋_k

D0

k D

D₋_k = _k^*, ∀ Samband:

( ) ∑

^∞

( ( ) ( ) )

=

+ +

=

1

0 0

0 cos sin

k

k k t b k t

a a

t

x ω ω

Dk

Amplitudspektrum: Fasspektrum: ^arg

{ }

^D_k

( )

cos 2

0 0

0

t jk t

jk e

t e k

ω ω

ω

+ −

=

(4)

Att bestämma D _k

Betrakta:

∫ ( )

⁻

T

t

jk dt

e t x

0

ω0





=

= ≠

k m T

k m , , Alltså: 0

∫ ( )

⁻

=

T

t jk

k x t e dt

D T

0

1 _ω0

Men också:

∫ ( )

+

= −

T t

t

t jk

k x t e dt

D T

0

1 _ω0 ^x

(

^t ⁺^T

)

⁼ ^x

( )

^t

(^t ^T)

e⁻ jk^ω¹ ⁺

Anledning:

TDk

( ) =

∑

^∞

∫

⁻

−∞

=

T

t k m j m

m e dt

D

0

ω0

∫ ∑

^∞ ⁻

−∞

=

T

t jk m

t jm

me e dt

D

0

0 ω

ω

t

e⁻ jk^ω⁰

(^ω0 +²^π) =

= e−^jk ^t

π T ω₀ = 2

(5)

Egenskaper hos fourierserieutveckling

Låt x(t) och y(t) vara periodiska signaler med period T och fourierseriekoefficienter C_k respektive D_k.

( )

^t ^by

( )

^t

ax + aC_k +bD_k

(

^t ⁻^τ

)

x C_ke⁻^jk^ω⁰^τ

( )

^at

x C_k (period T/a)

( )

^t

dt x d

Ck

jkω₀

Signal Fourierseriekoefficient # k

(6)

Sinus in – sinus ut - principen (fourierserier)

För LTI-system har vi:

Sinus in – Sinus ut (samma frekvens)

Jämför med partikulärlösningen av en differentialekvation.

Också: j

ω

^-metoden.

Linjäritet implicerar:

Σ

^{Sinus in –}

Σ

^{Sinus ut}

Alltså:

Beskriv periodiska signaler med fourierserieutveckling.

Lös problemet för varje sinusterm (komplex exponentialterm).

Linjäritet: Addera resultaten.

(7)

Tidskontinuerlig fouriertransform

Krav på signalen :

( ) { ( ) }

^∞

∫ ( )

∞

−

= −

= x t x t e dt

X ω ^F ^j^ω^t

( ) { ( ) } ∫

^∞

( )

∞

−

=

= ω ω

ω π X e ^ω d X

t

x ^- ^j ^t

2

1 1 F

( )

^t

x

( )

^< ^∞

∫

∞

−

dt t

•

Absolutintegrerbar: x

•

Ändligt antal diskontinuiteter.

•

Begränsad variation:

∫

^∞

( )

^< ^∞

∞

−

dt t x'

Transform:

Inverse transform:

( )

^ω

X

( )

^ω

X

( ) {

X ω

}

arg

•

Spektrum av x(t):

•

Amplitudspektrum:

•

Fasspektrum:

(8)

Utsignal från ett LTI-system

Notation: ^A

( )

ω ⁼ ^F

{

^a

( )

^t

}

^B

( )

^ω ⁼ ^F

{ }

^b

( )

^t

( )( )

{ } ∫ ( )( ) ∫ ∫

^∞

( ) ( )

∞

−

∞

−

∞

−

− = −

= a b t e dt a b t d e dt

t b

a* * ^j^ω^t τ τ τ ^j^ω^t

Egenskap: F

( ) (

⁻

)

⁼

=

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

−

dt d e

t b

a τ τ ^j^ω^t τ

dt d

t

=

−

= λ

τ

λ ^∞

∫ ∫ ( ) ( )

⁽ ⁾

∞

−

∞

−

+

= a τ b λ e−^j^ω ^τ ^λ dτ dλ

( )

τ e ^ω^τ dτ b

( )

λ e ^ω^λ dλ A

( ) ( )

ω B ω

a ^j ^j =

=

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

−

LTI-system:

x(t) h(t) y(t) = (x∗h)(t)

X(ω) H(ω) Y(ω) = X(ω)H(ω)

(9)

Periodiska signaler igen

( )

{ } ∫

^∞

( )

∞

−

=

− e^j ^t dt

- ω

ω ω π δ

ω ω

δ ₁ ₁

1

2 F 1

Observation:

{

^e^j^ω¹^t

}

⁼ ²^πδ

(

^ω ⁻^ω₁

)

Alltså: F

Euler:

{ ( ) }







 +

=

−

cos 2

1 1

1

t j t

j e

t e

ω ω

ω ^F

F

( )

{ }







 −

=

−

sin 2

1 1

1 j

e t e

t j t

jω ω

ω ^F

F

( )

^t

x periodisk med period T:

( ) ∑

^∞ ⇒

−∞

=

k

t j ke D t

x ^ω⁰

( ) ∑

^∞

( )

−∞

=

−

=

k

k k

D

X ω 2π δ ω ω₀ T

ω₀ = ²π

t

ej ¹

2

1 _ω

= π

( ) ( )

(

^δ ^ω ^ω₁ ^δ ^ω ^ω₁

)

π − + +

=

( ) ( )

(

δ ω ω₁ δ ω ω₁

)

π − − +

= j

(10)

Sinus in – sinus ut - principen – IGEN!

För LTI-system har vi:

Sinus in – Sinus ut (sammma frekvens)

Insignal: ^x

( )

^t ⁼ ^Xˆ sin

(

^ω₀^t ⁺^ϕ

)

( )

^t ^X^ˆ ^H

( )

^ω₀ ^sin

(

^ω₀^t ^ϕ ^arg

{

^H

( )

^ω₀

} )

y = + +

Närmare bestämt:

Utsignal:

Amplitudkarakteristik:

Faskarakteristik:

( )

^ω

H

( ) {

^H ^ω

}

arg

Detta är j

ω

-metoden i kondenserad form.

(11)

Viktig egenskap: Derivator

Notation:

Vi har:

F

21

F

21 1

2

F

Resultat:

Jämför med jω-metoden.

(12)

Viktig egenskap: Derivator – exempel

( )

^t ^jω ^X

( )

ω dt x

d =





 F  Notation: ^X

( )

^ω ⁼ ^F

{

^x

( )

^t

}

^{Vi har:}

Exempel:

R

( )

^t C

x ^y

( )

^t

+

−

+

−

( )

^t

i

( )

^y

( )

^t

dt C d t

i = Kapacitans:

Resistans: ^x

( )

^t ⁻ ^y

( )

^t ⁼ ^Ri

( )

^t

(1) (2)

(1) i (2)

( ) ( )

^y

( )

^t

dt RC d t

y t

x − =

⇒

⇒ ^y

( )

^t ^y

( )

^t ^x

( )

^t

dt

RC d + =

Transform

( )

^ω

( )

^ω

( )

^ω

ω RCY Y X

j + =

⇒

(

^j^ω ^RC ⁺¹

) ( )

^Y ^ω ⁼ ^X

( )

^ω

( ) ( )

^ω

ω ω ^X

RC Y j

1 1

= +

⇒

Transform och inverstransform görs vanligen med en tabell.

Energifritt:

y(t) initialt 0.

(13)

Tidsdiskreta fourierserier och -transformer

TD fourierserier

Krav på signalen x[k]: Periodisk, period .

[ ]

⁰ ¹ ⁰

0

Ω

−

=

∑

= ^jkn

K

n

ne D k

x

K0

[ ]

⁰

0 1

0 0

1 ⁻ ₋ _Ω

=

∑

= ^jkn

K

k

n x k e

D K

TD fouriertransform

Krav på signalen x[k]: Icke-periodisk. Absolutsummerbar.

[ ]

⁼ _π ²

∫

^π

( )

^Ω ⁻ ^Ω ^Ω

2 0

1 X e d

k

x ^jk

( )

^∞

[ ]

⁻ ^Ω

−∞

=

∑

=

Ω ^jk

k

e k x X

0 0 = 2π K Ω

Periodisk med period 2π.

(14)

www.liu.se

Mikael Olofsson ISY/KS

TSKS21 Signaler, information & bilder Föreläsning 6 Signaler och system frekvensdomänen, fourierserier och fouriertransformer