Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp
Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!
Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.
Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Bertil Del A
15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.
1. Beräkna arg z z , då z 2 och z betyder komplexkonjugat. (1p) a arctan 2 b 5Π
4 c 5Π
4 d 3Π
4 e Inget av a till d.
2. Beräkna abs 4 2 . (1p)
a 2 5 b 6 c 5 d 6 e Inget av a till d.
3. Bestäm värdemängden Vf till funktionen f x 2 3cos2 x , x 0, Π . (1p)
a 1, 1 b 2, 3 c 2, 0 d 2, 1 e Inget av a till d.
4.Lös ekvationen 3x 1 3x 36. (1p)
a 1 b 1 c 2 d 2 e Inget av a till d.
5. Lös ekvationen ln x 2 ln x 3ln 2 . (1p) a 3 b 5
3 c 4 d 13
3 e Inget av a till d.
6. Låt f x x2 x ln x . Bestäm f ' 1 . (1p) a 1
2 b 52 c 92 d 132 e Inget av a till d.
7.Låt f x x 2x2 . Bestäm f ' 2 . (1p) a 1
9 b 2
9 c 5
9 d 7
9 e Inget av a till d.
8.Låt f x sin cos x . Bestäm f ' Π2. (1p)
a 1 b 1
2 c 1
2 d 1 e Inget av a till d.
9.Sök tangentens ekvation till kurvan y cos 3x i den punkt på kurvan som har x Π2. (1p) a y 3x 3Π
2 b y 3x 3Π
2 c y 3x 5Π
2 d y 3x Π
2 e Inget av a till d.
10. Sök y
x i punkten x 1, y 2 på kurvan x2y 2xy2 10x. (1p) a 1
5 b 29 c 267 d 174 e Inget av a till d.
11.Betrakta den styckvis konstanta funktionen i figuren.
Beräkna sedan 44 f x 12 x. 1p
4 3 2 1 1 2 3 4 x
1 1 2 3 4 f x
a 44 b 55 c 66 d 77 e Inget av a till d.
1
12. Beräkna 12 x 2
x2 x. (1p)
a ln 2 b 1 c 1 ln 2 d 3
2 e Inget av a till d.
13. Bestäm 022 x6 x. (1p) a 64
7 b 1287 c 2567 d 1276 e Inget av a till d.
14. Integrera Π2Πsinu
4 u. (1p)
a 2 b 4 2 c 3 d 2 e Inget av a till d.
15.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av x axeln, linjerna x 1 och x 2 samt grafen till y 1
x3, 1 x 2 roterar ett varv kring y axeln. 1p
x z
y
a 31Π
160 b Π
2 c Π d 3Π
2 e Inget av a till d.
Del B
15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.
16 21.Genom punkten 2, 1 drages en rät linje, som tillsammans med de positiva koordinataxlarna begränsar en triangel. Sök den triangel som har minst area.
2 x
1 y
16. Inför i problemtextens figur sträckan a på x–axeln från 2 till linjens skärningspunkt. Inför på motsvarande sätt sträckan b på y–
axeln. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer arean A a och b a . (1p)
a ekv A 1
2 2 a 1 b , b
2 1 a
b ekv A 1
2 1 a 2 b , b
2 1 a
c ekv A 1
2 1 a 2 b , b
1 2 a
d ekv A 1
2 2 a 1 b , b
a 1 2 e Inget av a till d.
17. Lös ut A a och b a ur ekv med Solve. Spara som regler i AÅb. (1p)
a AÅb Solve ekv b Solve ekv AÅb
c AÅb Solve ekv, A, b d AÅb Solve ekv, A, b e Inget av a till d.
18. Rita A a , a 0, 5 , i rött med Plot. Pynta axlarna på lämpligt sätt! (1p)
a PlotAÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A" b PlotA . AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A" c PlotA . AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, Axes "a", "A" d PlotA AÅb, a, 0, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "a", "A" e Inget av a till d.
19. Sök a som minimerar A med D och Solve. Spara som regel i a . (1p)
a a SolveDA . AÅb 0, a, a b a SolveDA . AÅb, a 0, a
c a SolveDA . AÅb, a, a 0 d a SolveDAÅb, a 0, a e Inget av a till d.
2
20. Bestäm minimalt A. Tänk på att det kan vara flera lösningar på a. (1p)
a AÅb . a 2 b Solve a 2 , A
c SolveAÅb . a 2 , A d a 2 . AÅb e Inget av a till d.
21. Minimalt A, ännu en gång, nu med en direkt numerisk lösare. (1p)
a FindMinimumAÅb , a b FindMinA . AÅb, a, 3
c MinA . AÅb, a, 3 d FindMinimizeA . AÅb, a, 3 e Inget av a till d.
22 26.I en smal rak stång med längden L m är densiteten Ρ x kg m proportionell med k mot kvadratroten ur avståndet x till stångens ena ände. Stångens totala vikt är M kg.
0 L x
Ρmax
y
Ρx
22. Definiera densiteten som en funktion i Mathematica, Ρ[x]. (1p)
a Ρ x : k x b Ρ x : k x
c Ρ x : k x d Ρ x k x e Inget av a till d.
23. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer k och Ρmax. (1p)
a ekv Ρmax Ρ L , M
0
LΡ x x b ekv Ρmax Ρ L , M
0
LΡ x x
c ekv Ρmax Ρ L , M
0
LΡ x x d ekv Ρmax Ρ L , M
0
LΡ x x e Inget av a till d.
24. Lös ut Ρmax och k. Spara dem som regler i råÅk. (1p)
a råÅk Solve ekv, Ρmax, k b råÅk Solve ekv, Ρmax, k
c råÅk Solve ekv, Ρmax, k d råÅk Solve ekv, Ρmax, k e Inget av a till d.
25. Bestäm stångens tyngdpunkt G ur ekvationen m x G m 0. (1p)
a Solve
0
Lx GΡ x . råÅk x 0, G b Solve
0
Lx GΡ x . råÅk x, G 0 c Solve
0
L x G Ρ x . råÅk x 0, G d Solve
0
L x G Ρ x . råÅk 0 x, G
e Inget av a till d.
26. Bestäm stångens masströghetsmoment J mr2 m då den roterar runt y–axeln. (1p)
a
0
Lx2Ρ x . råÅk x b
0
Lx2Ρx2 . råÅk x
c 0
Lr2Ρ x . råÅk r d
0
Lx2Ρ x 2 . råÅk x e Inget av a till d.
27 30.En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt p y Ρg y N m2, där y är djupet under vattenytan.
27. Strimla luckan i y–led, b y. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämligt geometrisamband. Spara b som regel. (1p)
a bAvy Solveb
6 8 y
8 , y b bAvy Solveb
6 2 y
8 , y
c bAvy Solveb
6
2 8 y
8 , y d bAvy Solveb
6
2 8 y
8 2 , y e Inget av a till d.
3
28. Bestäm tryckkraften dF på den lilla strimlan vid djupet y. (1p)
a dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy b dF p y dA . bAvy . dA b dy; p y Ρ g y c dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy d dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy e Inget av a till d.
29. Bestäm tryckkraften F på luckan. (1p)
a 0
F F
2 2 8 dF
dy y b
0 F F
2
2 8dF y
c 0
F F
2 8 dF
dy y d
0 F F
0 2 8 dF
dy y e Inget av a till d.
30. Bestäm vridmomentet M kring en axel i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (1p)
a 0
Fy F
2 8 dF
dy y b
0 M F
2
2 8y dF y
c 0
M M
2 2 8y dF
dy y d
0 My M
2 2 8 dF
dy y e Inget av a till d.
4
