Den speciella relativitetsteorin Relativitetsteori

(1)

Den speciella relativitetsteorin

1. Alla fysikens fenomen, naturlagarna, har samma form i alla system som rör sig med konstant hastighet relativt varandra i en gravitationsfri rymd.

2. Ljushastigheten är densamma, c, för alla observatörer oberoende av den relativa hastigheten mellan ljuskällan och observatör.

Einstein 1905.

Två postulat:

Notera: alla koordinatsystem som rör sig med jämn hastighet relativt varandra är lika mycket ”värda”.

Det finns inget absolut referenssystem!!!

Alla system kan bara jämföras relativt varandra.

Inget (ingen materia) kan färdas snabbare än c.

Relativitetsteori

(Inertialsystem: koordinat- (referens-)system som rör sig med konstant hastighet i en gravitationsfri rymd.) Föreläsning 1

SH1009, modern fysik VT13, KTH

För jämförelse skull: Klassisk Newtonsk mekanik (transformation enligt Gallilei):

System S´ (x´y´z´) rör sig med hastighet v bort från system S (xyz)

x´ = x–vt y´= y z´=z t´= t

Hastighet adderas:

u´_x= ux–v Acceleration du´_x/dt´= a´_x= a_x

Klassiskt:

(2)

Michelson-Morleys experiment

Mekaniska vågor, t.ex. ljud, behöver ett medium (gas, vätska, fast ämne) för sin utbredning.

Ljusär elektromagnetisk våg.

Maxwell: hastighet i vakuum 1 299792458 3 10₈m/s (exakt pga definition av m och s) 0

0







 ε μ c

Om ljus skulle behöva medium (eter) för utbredning skulle vi se i system med hastighet vjämfört med etern att ljus som färdas fram och tillbaka en sträcka Lparallellt med v tar längre tid än ljus som färdas samma sträcka vinkelrätt mot v.

Interferensexperiment där de två armarnas riktning kan ändras jämfört med jordens  rörelse och då också jämfört med ”etervinden ”: Michelson och Morley

Albert Abraham Michelson 1907,

"for his optical precision instruments and the spectroscopic and metrological investigations carried out with their aid"

Michelson-Morleys (forts)

Resultat: Ingen förändring av interferensmönster

vid vridning. Experimentet sett från ovan. Mha speglarna går

ljuset fram och tillbaka 4 ggr för att öka känsligheten

Ljusets hastighet (i vakuum) är c i alla system i rörelse med konstant hastighet oberoende av systemens hastighet, rörelseriktning, källans eller observatörens hastighet.

(3)

Lorentz-transformationen

Betrakta två koordinatsystem XYZoch X’Y’Z’ i rörelse längs X- (och X’-) axeln med hastighet vrelativt varandra.

Två observatörer O och O’ i origo i respektive system.

Klockorna är synkroniserade så att t =t’ = 0 då systemen sammanföll. .

Vid t =0 utsänds en ljustblixt som som enligt Onår punkten A vid tident

Sträckan i kvadrat blir då

på samma sätt noterar O’ att

2 2 2 2

2 y z c t

x ^ ^ ^

2 2 2 2

2 ´ ´ ´

´ y z c t

x ^ ^ ^

Pga symmetri mellan de två systemen måste det gälla att y´= yoch z´=z.

Eftersom x⁼vt^förx´=0 bör relationen för x^´varax^´=k⁽x^–vt ) där konstanten kmåste bestämmas.

För att cskall vara densamma i de två systemen kan inte t´vara lika med t .

Låt oss anta att t’ = a (t-bx ) där aoch bär konstanter. Sätt in i ekvationen för O´:



² ² ²



² ² ² ²



² ² ²



2x 2vxt v t y z c a t 2bxt b x

k       

Stuva om termerna



^k²^^a²^b²^c²



^x²^²



^k²^v ^^ba²^c²



^xt ^^y²^^z²^



^a²^^k²^v² ^c²



^c²^t²

och identifiera med termer i ekvationen för O : 2 1

2 2 2a b c 

k k²v ba²c²0 a²k²v² c²1 3 ekv, 3 obekanta  löses

Lorentz-transformationen (forts 1)

2 1 2

1 c a v

k   

Vi får och ₂ c b v

Dvs:

där



x vt



x´^{ γ} ^

y y´^

z z´^



 



 

 ₂

´ c

t vx

t γ ₂ ₂

1 1

c v

  γ

Inversa transformationen fås genom att byta ut v mot –v och ´-ade variabler mot icke-´-ade.

Ofta används beteckningen βför v /c, dvs β=v/c ^ Om v/c<< 1 får vi den ”Galileiska” transformationen.

Hendrik Lorentz,

holländsk fysiker, föreslog

transformationen, ca 1890, för att lösa problem med rörlig laddning i

elektromagnetismen.

Hendrik Antoon Lorentz

½ prize 1902 (with P. Zeeman),

"in recognition of the extraordinary service they rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiation phenomena"

1 2

1

 

 

(4)

Konsekvenser av den speciella realtivitetsteorin

• Ett mätvärde för ett tidsintervall beror av i vilket (referens-)system som mätningen gjordes

Tidsdilatationen

Observatörerna O ´ i vagn i rörelse och Opå marken mäter tiden det tar för en ljusblixt att färdas från O ´till spegel i vagnstaket (sträcka d ) och tillbaka.

O ´mäter

cd t´ ² Δ 

O får mha Pythagoras sats att så att² ² ² 2

Δ 2

Δt v t d

c _ _



 







 



 ^Δ^t ^ ^c²²^d^^v² ^²^c^d ¹^



^v¹² ^c²



dvs:

 

^Δ ^´ ^Δ ^´

1 Δ 1

2

2 t t

c

t v γ

  En klocka i rörelse går alltid faktorn γlångsammare än en klocka i vila

Synkronisering av klockor kan göras genom att ljusblixtar sänds med givna mellanrum