Empirisk studie av
nollföljdsimpedansen hos
transformatorer utan deltalindning
CECILIA GERLITZ
KTH
SKOLAN FÖR ELEKTROTEKNIK OCH DATAVETENSKAP
Detta projekt har genomförts på uppdrag av Svenska kraftnät (SvK) och uppfyller kraven för examensarbete på master nivå inom elektrisk teori och konstruktion på KTH. Författaren vill tacka projekthandledaren, Niclas Schönborg (SvK) för allt stöd under projektets gång, och projekts examinatorn, Hans Edin (KTH), för möjligheten att genomföra detta examensarbete. Författaren vill dessutom tacka Jose Duenas som agerat som ett bollplank för idéer under projektets gång.
Cecilia Gerlitz Stockholm, 2018
För att på ett noggrannt sätt kunna beräkna felströmmar är det viktigt att ha kännedom om plus-, minus- och nollföljdsimpedansen hos alla komponenter i elnätet. Transformatorer är en nyckelkomponent i elnätet och är därför inget undantag. Att analytiskt bestämma nollföljdsimpedansen är ofta svårt och därför utförs en rad tester vid tillverkningen av transformatorer för att bestämma denna storhet. Dessvärre saknar Svk, Svenska kraftnät, information om nollföljdsimpedansen för en del transformatorer och för att kunna göra tillförlitliga nätberäkningar måste nollföljdsimpedansen istället approximeras. Med säkrare modellering kan felströmmar beräknas med högre noggrannhet, vilket har bäring på både drift- och personsäkerhet.
Detta arbete presenterar en algoritm för att estimera nollföljdsimpedansen för en typ av transformatorer, trebenta kärntransformatorer som saknar -lindning. Algoritmen bygger på resultatet från en fallstudie, där lättillgänglig data för en population av transformatorer med känd nollföljdsimpedans, har analyserats.
Fokus för analysen har varit på att identifiera samband mellan nollföljdsimpedansen och följande parametrar;
märkeffekt, märkspänning, antal lindningar, tillverkare, tillverkningsår, tomgångsförluster, tomgångsström och slutligen kopplingstyp. Dessa parametrar har efter en inledande litteraturstudie om transformatorers konstruktion och teori identifierats som storheter som kan påverka nollföljdsimpedansen.
Algoritmens inledning bygger på en kategorisering av transformatorerna efter kopplingstyp och antal lind- ningar och därefter en sortering efter märkeffekt. I nästa steg approximeras ett linjärt samband mellan nollföljdsimpedansen och tomgångsimpedansen, definierad som inversen av tomgångströmmen. Minsta kvadrat- metoden används för framtagning av linjära samband, vilka har förbättrats genom tillämpning av Bisquare- metoden.
Tillförlitligheten i den presenterade algoritmen diskuteras med flera olika utgångspunkter, bland annat data- kvalitet och antal transformatorer i de analyserade kategorierna. För att få en så tillförlitlig och välgrundad modell som möjligt har extra tyngd i analysen lagts på de större transformatorgrupperna (fullindade YY- kopplade transformatorer med två lindningar och motsvarande autokopplade samt fullindade YY-kopplade med tre lindningar). Kvalitén på den analyserade datan undersöktes genom att försöka hitta avvikande vär- den. Resultatet visade att transformatorer med avvikande värden var väldigt sällsynta och att kvalitén på datan var god.
Resultatet från fallstudien visar att tomgångsimpedansen för de vanligt förekommande transformatortyperna (YNyn0, YNauto0 samt YNyn0yn0) kan användas för att estimera nollföljdsimpedansen. Vid jämförelse av de framtagna modellerna framgår det att det existerar skillnader mellan transformatorer med hög respektive låg märkeffekt. Dessutom visar det sig att det existerar ett samband mellan lindningarnas nollföljdsimpedans och deras märkspänningar. Approximationen av en lindnings nollföljdsimpedans baserat på information om en annan lindnings spänning och nollföljdsimpedans kan göras med stor noggrannhet medan resultatet från fallstudien visar att osäkerheten i de övriga modeller är relativt stor.
In order to accurate calculate currents during unsymmetrical faults in the electric power grid information about all components positive, negative and zero sequence impedances are important. Transformers are one key component in the power grid and accurate information about sequence impedances for power transformers are therefore essential. However, to analytically derive the zero sequence impedance is extremely hard.
Therefore are the transformers tested before they are connected.
The Swedish TSO (Transmission System Operator), Svenska kraftnät,Svk, are responsible for operating and balancing the Swedish transmission grid. For Svk it is crucial that the grid is operated in a reliable and safe way so that the society always have available electricity at the same time as no persons working on the grid are exposed to unnecessary risks. Having accurate current calculations during unsymmetrical faults is one crucial part. Unfortunate, for some transformers in Svk area of responsibility the information about zero sequence impedance is missing and must therefore be estimated.
This work propose, by applying a case study on a existing group of transformers (three limb design with no windings), a method for estimating the zero sequence impedance. The aim of the the analysis is to investigate if there are any relationship between the zero sequence impedance and some more basic operating data for the transformers. From an initial literature study it was concluded that the following parameters would affect the zero sequence impedance: rated power and voltage, no-load power and currents and information about winding configuration, manufacture and production year.
In the case study linear relationships was found based on a least square method and was tuned using a robust linear square method called Bisquare. The results showed that several of the tested quantities showed a growing trend when they were correlated with the zero sequence impedance. The no-load impedance was identified as one interesting quantity that was investigated further.
The tested transformers were divided into different groups based on number of windings and winding confi- guration. In the next step the transformers were ordered based on rated power. New linear relationships were derived for every group and the final results were compared between the different transformer groups.
The reliability of the proposed algorithm is dependent on the size of the tested transformer group and also on the data quality. The data quality was investigated by trying to identify transformer with abnormal values.
The results showed that abnormal behaviour was very rare in the tested group of transformers.
The results from the case study indicates that a relationship between the no-load impedance and the zero sequence impedance exists for the common types of transformers, the YNyn0, YNauto0 and YNyn0yn0. The results shows that these relationships differ depending on the rated power of the high voltage winding. The case study also concludes that it is possible to estimate a winding’s zero sequence impedance if the zero sequence impedance for a second winding is known as well as the rated voltage of the two windings. The presented relationships have all some uncertainty related to them, for some relationships the uncertainty is relatively high whereas for others it is very low. The relationship with the lowest uncertainty found was the function describing a winding’s zero sequence impedance as a function of another windings zero sequence impedance and the rated voltages.
Innehåll
Förord 2
Sammanfattning 4
Abstract 6
1 Symboler 10
2 Bakgrund 12
2.1 Mål och syfte . . . 12
2.2 Rapportstruktur . . . 13
3 Teori 14 3.1 Transformatorer . . . 14
3.1.1 Ideala transformatorn . . . 14
3.1.2 Överreducering av impedanser . . . 16
3.1.3 Modell för en verklig transformator . . . 17
3.1.4 Tomgångsprov . . . 18
3.1.5 Kortslutningsprov . . . 19
3.1.6 Transformator konstruktion . . . 20
3.1.7 Kopplingstyper . . . 21
3.1.8 Sparkopplad transformator . . . 22
3.2 Osymmetriska fel i elnätet . . . 23
3.3 Symmetriska komponenter . . . 23
3.4 Ekvivalent sekvensdiagram för trefastransformatorer . . . 25
3.4.1 YY-kopplade transformatorer med två lindningar . . . 25
3.4.2 YYY-kopplade transformatorer med tre lindningar . . . 27
3.4.3 Sparkopplade transformatorer med två lindningar . . . 30
4 Metod 32 4.1 Kända storheters korrelation till nollföljdsimpedansen . . . 32
4.2 Minsta kvadratmetoden . . . 32
4.2.1 Robustifiering . . . 32
4.3 Kategorisering . . . 33
4.4 Filtrering av misstänkta mätfel . . . 34
4.5 Nollföljdsimpedans hos en andra lindning . . . 34
4.6 ”Goodness of fit” . . . 36
4.6.1 Mätfel och residualer . . . 36
4.6.2 Konfidensintervall och spridning . . . 37
4.6.3 RMSE och R2 . . . 38
5 Fallstudie 40 5.1 Grundläggande analys av datasetet . . . 40
5.2 Generell korrelation . . . 41
5.3 Identifiering av vanliga transformatortyper . . . 42
5.4 YN0-kopplade transformatorer med två lindningar . . . 43
5.4.1 Prediktionsintervall . . . 46
5.4.2 Residualer . . . 47
5.5 AN0-kopplade transformatorer med två lindningar . . . 48
5.6 YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar . . . 49
5.7 Generell modell . . . 50
5.8 Trender kopplade till tillverkare . . . 51
5.9 Förhållande mellan lindningarna . . . 53
6 Diskussion 56 6.1 Sammanfattning av algoritmen för bestämning av nollföljdsimpedansen . . . 59
7 Slutsats 62 Referenser 64 A Modeller med prediktionsintervall 66 B Matlab kod - Analys 68 B.1 mainfinal.m . . . 68
B.2 PowerFilter.m . . . 76
B.3 plot_korr_storheter.m . . . 77
B.4 model_sum.m . . . 78
B.5 prediktionsintervall.m . . . 79
B.6 residualer.m . . . 80
B.7 tillverkare_korrelera_storheter.m . . . 81
B.8 tillverkare_statistik.m . . . 84
B.9 tillverkare.m . . . 85
B.10 sortering_lind_kop.m . . . 85
B.11 sortering_lind_kop_13april.m . . . 86
B.12 ratio.m . . . 87
B.13 jmf_modeller.m . . . 89
C Matlab kod - Algoritm 92
1 Symboler
u(t), u1(t), u2(t) tidsberoende spänning N, N1, N2 antal lindningsvarv
magnetiska flöde
U1, E1, V1, Ep spänning över primärlindningen U2, E2, V2, Es spänning över primärlindningen
Hc magnetisk fältstyrka i transformatorkärnan
lc genomsnittlig kärnlinje
I ström
Iom omsluten ström
I1, I2 ström i lindning 1 och 2 IA, IB ström i lindning A och B
Itom tomgångsström
Bc magnetisk flödestäthet
µr permeabilitet, materialkonstant
µ0 permeabilitet, vakuum
A, Am tvärsnittsarea
Z, Z impedans, komplex
Zn, ZnA, ZnB impedans till jord
R resistans
ZeA, ZeB magnetiseringsimpedans för lindning A resp. B Znoll1, Znoll2,
Znoll3
nollföljdsimpedans för lindning 1,2 och 3 Zkar karaktäristik impedans
Ztom tomgångsimpedans
RA, RB resistans för lindning A respektive B
X reaktans
Xm magnetiseringsreaktans
L induktans
Lm magnetiseringsinduktans
LA, LB sjävinduktans för lindning A resp. B
MAB ömsesidig induktans mellan lindning A och B
n antal mätvärden
Ptom tomgångsförluster
S skenbar effekt
Snom märkeffekt
↵ ”auto-factor”
U1, U2, U0 spänningar för plus-, minus- och nollföljd Ua, Ub, Uc fasspänningar
Unom märkspänning
K kopplingskoefficient
omsättning
f frekvens
yi observation i
ˆ
yi approximerat värde för observation i p1, p2 koefficienter för samband
radj justerad residual
ri residual för observation i
hi tygndfaktor, ”leverage”
s robust varians
M AD ”Median absolute deviation of residuals”
wi robust vikt
Zscore Z-score
ZHL, ZLL nollföljdsimpedans för hög- resp. lågspänningslind- ning
UHL, ULL spänning för hög- resp. lågspänningslindning
R2 ”R-square”
RMSE ”Root Mean Square Error”
SSE ” Sum of Square Error”
v residualens frihetsgrad
2 Bakgrund
Samhället idag är till stora delar helt beroende av elektricitet. Elsystemet brukar delas in i fyra huvud- kategorier som motsvarar funktionerna i nätet. Kategorierna är produktion, transmission, distribution och konsumtion. Elektriciteten produceras i olika typer av kraftverk, exempelvis kärnkraft och vattenkraft, och därefter behöver elektriciteten transporteras till konsumenterna. Transporten sker i tre olika typer av nät, stamnät, regionnät och lokalnät. Stamnätet används för att transportera elektriciteten långa sträckor. Den största skillnaden mellan de olika näten är spänningsnivåerna, där stamnätet har den högsta spänningsnivån och lokalnäten har den lägsta. För att koppla ihop två nät med olika spänningsnivåer används transforma- torer.
Transformatorer har med andra ord en central och viktig roll i elnätet. Kunskap om transformatorers karaktär är därför viktig för de aktörer som arbetar med elnäten, alltifrån aktörer på stamnätsnivå ner till lokala distributionsnätsägare. Höga spänningar och strömmar i nätet är en arbetsmiljörisk och det därför extra viktigt med säkerhet. Kunskap om spänningar och strömmar i komponenterna i elnätet är helt nödvändigt, inte minst i elnätets transformatorer. Det handlar både om att ha information om transformatorerna under normal drift men även under obalanserade förhållanden. Under osymmetriska fel, exempelvis när en fas jordas, kommer det magnetiska flödet i transformatorn att påverkas. Ett ändrat magnetiskt flöde kommer också att leda till ändrade strömmar. Ett sätt att uppskatta strömmar vid osymmetriska förhållanden är att använda symmetriska komponenter för att beskriva impedansen, det vill säga att impedansen ges av en plus-, en minus- och en nollföljdskomponent. I praktiken är plus- och minusföljdsimpedanserna identiska för transformatorer [1],[2]. Nollföljdsimpedansen är däremot beroende på ett flertal parametrar som t.ex.
placering av lindningar och vilken väg det magnetiska flödet tar [1], och på grund av dessa beroenden blir nollföljdsimpedansen svårare att bestämma [2].
Vid tillverkning av transformatorer genomförs tester i syfte att bestämma transformatorns nollföljdsimpedans, som är ett viktigt mått på hur stora strömmar som flyter i transformatorn under osymmetriska förhållan- den. Som nämnts förekommer det transformatorer i drift som saknar uppgifter om nollföljdsimpedansen. För att nätoperatören ska kunna genomföra så korrekta felströmsberäkningar som möjligt behöver nollföljds- impedansen kunna uppskattas. I Sverige finns det en rad olika aktörer som arbetar med drift av elnätet.
Sedan avregleringen på elmarknaden under 90-talet drivs elnätet på region- och lokalnätsnivå av andra fö- retag än stamnätsoperatören. I Sverige är det den statliga myndigheten Svenska kraftnät, Svk, som sköter stamnätet. Detta examensarbete har genomförts på uppdrag från Svk.
2.1 Mål och syfte
Målet med detta arbete är att ta fram en algoritm för att uppskatta nollföljdsimpedansen hos trebenta kärntransformatorer utan -lindning utifrån information om:
• fabrikat
• typbeteckning
• tillverkningsår
• kopplingstyp och antal lindningar
• tomgångsström och tomgångsförluster
• märkspänning och märkeffekt
Utvecklingen av algoritmen kommer att bygga på dataanalys av data för existerande transformatorer med känd nollföljdsimpedans. Syftet är att algoritmen ska leda till mer korrekta beräkningar av felströmmar vid osymmetriska förhållanden.
2.2 Rapportstruktur
Rapporten behandlar först teorin för transformatorer, både elektriska scheman och design av transformatorer.
Teoriavsnittet avslutas med en beskrivning av symmetriska komponenter och transformatorns ekvivalenta nollföljdsscheman. Därefter motiveras den utformade algoritmens metod, viss teori om dataanalys behandlas, annars kopplas metodvalen till teorin i rapportens första del. I rapportens kaptiel 5 implementeras den dis- kuterade metoden/algoritmen i en fallstudie på en uppsättning av transformatorer och resultat presenteras.
Rapporten avslutas med en diskussion av resultatet från fallstudien och en sammanfattning av algoritmen, kaptiel 6.
3 Teori
Denna del av rapporten kommer behandla den bakomliggande teorin om transformatorer och symmetris- ka komponenter. Teori som betraktas som nödvändig för att förstå och uppskatta samband för nollföljds- impedansen.
3.1 Transformatorer
En förenklad transformator kan beskrivas som två spolar, även kallade lindningar, som är lindade runt en järnkärna, se fig. 1. Då en växelspänning appliceras över den ena spolen induceras en spänning över den andra, detta kan härledas från Faradays lag, se ekv. 1. u(t) representerar en tidsberoende spänning, N motsvarar antal varv i lindningen och slutligen (t) som representerar det magnetiska flödet. När en spänning appliceras över en spole med N varv kommer ett magnetiskt flöde att bildas. Det tidsberoende flödet kommer att flöda igenom den sekundära lindningen där detta flöde kommer att inducera en spänning.
u(t) = Nd (t)
dt (1)
De två spolarna är med andra ord inte elektriskt ihopkopplade utan endast magnetiskt, eftersom de är lin- dade kring samma järnkärna. Den lindning som används för att skicka över energi, i form av magnetiskt flöde kallas primärlindning och den som tar emot energin för sekundärlindning. Namnen primär och sekun- därlindning ger endast information om det aktiva effektflödet. För transformatorer som används för att knyta samman nät med olika spänningsnivåer utgörs primärlindningen av den lindning som har högst märkspän- ning. För att tydliggöra spänningsnivåerna för lindningarna är det brukligt att istället namnge lindningarna efter spänningsnivå [3]. Högspänningslindning (H.S) och lågspänningslindning (L.S) är då vanliga namn som används och i de fall då det existerar fler spänningsnivåer kan även beteckningen mellanspänningslindning användas som benämning.
Figur 1: Principschema för en transformator.
3.1.1 Ideala transformatorn
Förhållandet mellan spänningarna hos primär och sekundärlindningarna förklaras ofta med den ideala trans- formatorn som utgångspunkt, [4], [5], [6].
En ideal transformator karaktäriseras av ett antal antaganden:
1. Lindningarnas resistans är försumbar, vilket betyder att lindningarna är förlustfria.
2. Kärnans permeabilitet är oändlig.
3. Läckflöden försummas, vilket innebär att allt flöde stannar inne i kärnan.
4. Förluster i kärnan försummas.
En ideal transformator kan representeras av det ekvivalenta enfas schemat i fig. 2.
Figur 2: Ekvivalent enfasschema för en ideal transformator, [5].
När läckflödena försummas kommer allt magnetiskt flöde som induceras av primärlindningen att flöda igenom sekundärlindningen, vilket innebär att om ekv. 1 används kommer resultatet att bli
u1(t) = N1d dt u2(t) = N2d
dt =) U1
U2 = N1
N2 (2)
Resultatet blir att kvoten mellan spänningen i lindningarna är beroende på förhållandet mellan lindningarnas antal varv.
För att härleda strömmarna i respektive lindning används Amperes lag, se ekv. 3.
I
Hcdlc= Iom (3)
Där Hc motsvarar den magnetiska fältstyrkan i kärnan, som antas vara konstant för en ideal transformator, lc representerar en genomsnittlig kärnlinje som sluter flödet i kärnan och Iom representerar summan av den ström som innesluts. Ur fig. 1 kan den inneslutna strömmen härledas fram med hjälp av högerhandsregeln och resultatet blir att Amperes lag kan skrivas på följande sätt för en ideal transformator.
Hclc = N1I1 N2I2
Den magnetiska flödestätheten, Bc, fås från den magnetiska fältstyrkan och materialets permeabilitet, se ekv. 4.
Bc= µrµ0Hc (4)
Med tvärsnittsarean, A i fig. 1, kan det totala magnetiska flödet beräknas enligt följande
c= BcA
Kombineras ovanstående ekvationer kommer följande samband att erhållas för strömmarna och den magne- tiska fältstyrkan
N1I1 N2I2= Bclc
µrµ0
= lc
Aµrµ0 c
där Aµlrcµ0 motsvarar det motstånd som det magnetiska flödet möter i kärnan. Med en oändlig permeabilitet kommer det magnetiska motståndet gå mot noll. Detta innebär att ekvationen kan förenklas ytterligare, se ekv. 5. Ekvation 5 benämns ofta som amperevarvsbalans.
N1I1 N2I2= 0 =) N1I1= N2I2 (5) En ideal transformator saknar aktiva och reaktiva effektförluster. Detta går enkelt att bevisa med definitionen för skenbar effekt och en enkel energibalans, detta bevis lämnas åt läsaren.
3.1.2 Överreducering av impedanser
För att underlätta analysen av spänningsfall i en transformator är det m.h.a. överreducering möjligt att transformera en impedans från sekundärsidan till en ekvivalent impedans på primärsidan, eller tvärtom.
Överreducering av storheter bygger på den ideala transformatorns spännings- och strömförhållanden.
Figur 3: Ideal transformator belastad med Z2
I följande exempel visas hur en impedans på sekundärsidan kan reduceras över till primärsidan, exemplet är taget från [7]. I fig. 3 och i resterande del av rapporten tydliggörs komplexa storheter med ett streck över.
Från fig. 3 och Ohm’s lag är den sekundära spänningen, U2 given av U2= Z2⇤ I2
De sekundära storheterna, U2och I2kan skrivas om med hjälp av ekv. 2 och 5 som en funktion av varvtals- förhållandet och motsvarande primärstorhet. Resultatet blir
U1⇤N2
N1
= Z2
N1
N2
I1 =)
U1= Z2
✓N1
N2
◆2
⇤ I1
Termen Z2
✓
N1
N2
◆2
från det sista steget motsvarar den sekundära impedansen, överreducerad till primära storheter, och brukar betecknas med ett primtecken, Z02. När reduceringen görs åt andra hållet, d.v.s. från primärsidan till sekundärsidan, betecknas den reducerade storheten med ett bisstecken, Z001.
Figur 4: Exempel på överreducering av storheter
3.1.3 Modell för en verklig transformator
En verklig transformator skiljer sig från en ideal i avseendet att för den verkliga transformatorn måste hänsyn tas till förluster från den elektriska och magnetiska kretsen. Detta innebär att egenskaper som är kopplade till järnkärnan, lindningsresistanser och läckflöden måste tas med i modellen.
Primärlindningens inducerade spänning kommer att skilja sig något från den pålagda spänningen på grund av resistanser i lindningen. Denna spänningsskillnad kommer vara proportionell mot strömmen och resistansen för lindningen, se fig. 5a. För stora transformatorer är ofta spänningsfallet litet och försummas därför vanligt- vis men för mindre transformatorer kan spänningsfallet vara betydande [7]. Om den sekundära lindningens resistans överreduceras till primärsidan går det att summera den totala primära kortslutningsresistansen ekv. 6, eller om den primära lindningsresistansen reduceras över till sekundärsidan kan den sekundära kort- slutningsresistansen erhållas ekv. 7.
(a) (b)
(c) (d)
Figur 5: Ekvivalent enfasschema
Rk1= R1+ R02= R1+
✓N1
N2
◆2
R2 (6)
Rk2= R01+ R2= R1
✓N2
N1
◆2
+ R2 (7)
Det magnetiska motståndet som finns i kärnan går att representera i det ekvivalenta enfasschemat med hjälp av en magnetiseringsinduktans, se fig. 5b. Magnetiseringsinduktansen kommer att bero på kärnans area (Am), material (µr), längden på lindningen (lm) och antal varv i lindningen (N), se ekv. 8. Magnetiseringsreaktansen Xm fås sedan enkelt, ekv. 9.
Lm= N2µrµ0Am
lm (8)
Xm= !Lm= 2⇡f Lm (9)
Det existerar ytterligare förluster kopplade till järnkärnan. Dessa uppstår som hysteres- och virvelströms- förluster och förklaras mer ingående i avsnittet om tomgångsprov, avsnitt 3.1.4. I en modell för en verklig transformator representeras förlusterna i kärnan av en resistans parallellkopplad till magnetiseringsinduk- tansen, se fig. 5c. Förlusterna i kärnan uppkommer så snart en spänning läggs på en transformator och är oberoende på transformatorns belastning.
Vägen som det magnetiska flödet möter kan jämföras med en vanlig elektrisk krets och precis som i en elektrisk krets måste den magnetiska kretsen slutas för att en ström ska bildas (eller ett flöde i det magnetiska fallet). Det magnetiska flödet kommer att ”välja” den väg som har det lägsta motståndet, vilket innebär att flödet kommer föredra att sluta sig i material som visar ett lågt magnetisk motstånd. Permeabiliteten i ferromagnetiska material, material som används i kärnan, är ca 103 104ggr större än luft [7]. Trots att det är en relativt stor skillnad kommer det magnetiska flödet att kunna ”läcka” ut i luften och tanken runt kärnan och sluta sig utanför kärnan. I den elektriska modellen av en verklig transformator representeras läckflödet av en reaktans. I fig. 5d är läckreaktansen, X2 modellerad för sekundärsidan men den kan överreduceras till primärsidan. Då läckflödet uppstår mellan primär och sekundärlindningen är det i praktiken inte möjligt att dela upp reaktansen mellan lindningarna och därför spelar det mindre roll på vilken sida reaktansen placeras i modellen [7]. Ett annat namn för läckreaktans är kortslutningsreaktans. Ett annat sätt att härleda läckreaktansen är att utgå från lindningarnas självinduktans,LAoch LB, och ömsesidiga induktansen, MAB, [2].
Trots de stora skillnaderna mellan en ideal och en verklig transformator kan märkspänningsförhållandet enligt [8] fortfarande användas som ett mått på varvförhållandet mellan lindningarna, med endast ett försumbart litet fel för verkliga transformatorer med förluster.
Storheterna i det ekvivalenta enfasschemat bestäms genom två test, ett tomgångsprov där magnetiseringsim- pedansen bestäms och ett kortslutningsprov där serieimpedanserna mäts. Teorin som beskriver proven och hur dessa prov genomförs beskrivs i de två näst kommande avsnitten.
3.1.4 Tomgångsprov
Vid ett tomgångsprov mäts hur mycket aktiv energi som transformatorn förbrukar när en spänning läggs på en av lindningarna samtidigt som den/de andra lindningen/lindningarna hålls öppen/öppna, [3]. Detta innebär att ingen ström kommer att gå i den sekundära kretsen och att all ström som går i den primära kretsen kommer att gå till att magnetisera järnkärnan. Därmed är tomgångsströmmen lika med magnetise- ringsströmmen under ett tomgångsprov.
Tomgångsström mäts som ett rms-värde (root mean square") och motsvarar den ström som går i den lindning- en som är ansluten till en växelspänning med normal frekvens under tomgångsprovet. Tomgångsströmmen är ofta given i procent av märkström för lindningen i fråga, men om transformatorn har fler än två lindningar är procentsatsen given med avseende på den lindning med högst märkeffekt, [3].
Tomgångsförlusterna beror till stor del på kärnmaterialet. Idag ligger vanligtvis magnetiseringsströmmen på långt under 1 % av märkström vilket i praktiken innebär att magnetiseringsströmmens betydelse för spän- ningsfallet är obetydlig. Ur ett ekonomiskt perspektiv är tomgångsförlusterna mer intressanta. De aktiva energiförlusterna kommer för transformatorägaren att bli rena ekonomiska förluster, [9]. För äldre transfor- matorer var magnetiseringsströmmen betydligt högre. Den kärnplåt som då användes drog en betydande aktiv och reaktiv ström för att magnetiseras [9]. Sedan dess har kärnplåten utvecklats för att minimera tomgångsförlusterna.
I transformatorer används vanligtvis ferromagnetiska material med en hög men inte konstant permeabilitet, [10]. I praktiken betyder en hög permeabilitet att endast ett fåtal amperevarv behövs per längdenhet för att ett starkt magnetfält ska bildas. Hur det magnetiska fältstyrkan ändras under en spänningscykel illustreras i fig. 6.
Figur 6: Magnetisk hystereskurva [10]
I fig. 6, vid extrempunkterna, kommer det magnetiska fältet och magnetiseringsströmmen ha maximal magni- tud för att därefter sjunka. När kurvan skär B-axeln kommer magnetiseringsströmmen att vara noll, däremot kommer inte det magnetiska fältet att ändra riktning förrän vid det tillfälle då kurvan skär H-axeln. Anled- ningen till att det magnetiska flödet och magnetiseringsströmmen inte är i fas beror på materialegenskaper hos ferromagnetiska material. I ferromagnetiska material uppstår små magnetiska områden, kallade domä- ner. Under normala förhållanden, utan externa magnetiska fält, kommer dessa domäner att orientera sig helt slumpartat så att de små magnetiska fält som uppstår kring varje domän tar ut varandra och det totala nettoflödet blir noll. Om däremot materialet placera i ett externt magnetiskt fält kommer domänerna att orientera sig efter det externa fältet, vilket innebär att det totala magnetiska fältet kommer att förstärkas.
Denna förstärkning kan uppgå till flera tusen gånger det externa fältets styrka, [10]. När domänerna orien- terat sig i samma riktning och det externa magnetiska fältet tas bort kommer det ta tid innan domänerna återigen får en slumpartad orientering, därav förskjutning. För att ändra orienteringen hos domänerna krävs energi och denna energi frigörs som värme och blir rena energiförluster i transformatorn. Mängden energi som går åt, kan utläsas som den inneslutna arean i en hystereskurva, som den i fig. 6. Dessa förluster brukar benämnas hysteresförluster och är proportionell mot frekvensen, [10].
3.1.5 Kortslutningsprov
Som namnet avslöjar kortsluts en av lindningarna vid ett kortslutningsprov samtidigt som en spänning läggs på den andra lindningen. Den pålagda spänningen justeras så att märkström erhålls i lindningarna. Vid kortslutning krävs endast en liten spänning för att erhålla märkström. Förhållandet mellan ström och spän- ning ger en kortslutningsimpedansen och en låg spänning kommer därför resultera i en låg impedans. En låg spänning kommer att leda till en liten magnetisering av järnkärnan, vilket kan förstås med hjälp av ekv. 1.
Magnetiseringskurvan kommer att vara nästintill linjär med en brant lutning. Detta leder till att magnetise- ringsinduktansen blir mycket hög, vilket innebär att förlusterna i järnkärnan blir små. Med en mycket hög
magnetiseringsimpedans är antagandet om en försumbar magnetiseringsström under ett kortslutningsprov försvarbart. Vilket innebär att om den pålagda spänningen, strömmen och effekten mäts kan lindningarnas resistans och läckreaktansen bestämmas [7]. På transformatorer med fler än 2 lindningar genomförs testet beskrivet som ovan men där den tredje lindningen hålls öppen, mätningarna upprepas för de tre möjliga kombinationer av lindningar [3].
3.1.6 Transformator konstruktion
Transformatorns design beror på många faktorer som exempelvis användningsområde och kostnader. För att få en så effektiv transformator som möjligt behöver förlusterna minimeras. Enligt [8] kan de totala förlusterna delas in i två kategorier:
1. Tomgångsförluster 2. Belastningsförluster
Tomgångsförlusterna är en effekt av magnetiseringen av kärnan och belastningsförlusterna härstammar från förluster från strömbelastningen. Förlusterna från magnetiseringen består av två typer, hysteresförluster och virvelströmsförluster. Hysteresförlusterna är den energi som krävs för att magnetisera kärnan och påverkas av bland annat hur domänerna är orienterade, föroreningar i materialet och ytans strävhet [8]. För att begränsa förlusterna från virvelströmmar byggs kärnan ihop av tunna isolerade järnplåtar. Att plåtarna är isolerade gör att virvelströmmarna begränsas vilket leder till lägre förluster i själva kärnan [8]. Ju tunnare kärnplåtar desto lägre virvelströmförluster och idag används plåtar med en några bråkdelar av en mm [8]. För att minimera förlusterna från strömbelastningen används idag nästan uteslutande lindningar av koppar eller i de fall då transformatorns vikt är en begränsande faktor kan aluminium användas som substitut [8].
Figur 7: Manteltransformator.[1]
Det finns ett antal olika sätt att konstruera transformatorer på, bland annat kärn- och manteltyp. En typisk kärntransformator karaktäriseras av att lindningarna är lindande runt kärnan, på s.k. ben, vilka är ihopsatta med ok. Hos transformatorer av kärntyp är lindningens axel vertikal medan transformatorer av manteltyp har en horisontell lindningsaxel [9]. För manteltyp är dessutom lindningarnas utsida omsluten av en järnmantel, se fig. 7. Transformatorer av manteltyp är sällsynta och används oftast när stora strömmar går i lindningarna.
Stora strömmar innebär stora mekaniska krafter och då har manteln fördelen att den mekaniskt hjälper till att hålla lindningarna stilla. Fortsättningsvis kommer all teori och analys att handla om kärntransformatorn, då denna typ kraftigt dominerar över manteltypen.
För en trefastransformator lindas tre separata ben (lindningar runt en järnkärna), vars ben länkas ihop av ett ok. Fig. 8 visar hur lindningarna i en trebent trefastransformator är placerade runt kärnan och hur de lindade benen är ihoplänkade. Karaktäriserande för trebenta transformatorer är att alla ben är täckta med lindningar. Med en symmetrisk trefasspänning, med en fas per ben, kommer flödet att nå sitt max i en av faserna samtidigt som returflödet kommer att fördela sig jämnt över de övriga faserna. Detta innebär att tjockleken på oken måste vara lika med kärnbenens. Då storleken på transformatorer ofta är en begränsande faktor kan det uppstå problem när höjden på transformatorn blir för stor på grund av okets tjocklek.
Figur 8: Trebent kärntransformator.[1]
Figur 9: Fembent kärntransformator.[1]
I en fembent kärntransformator existerar det två olindade ben, se fig. 9, placerade på var sin sida om de lindade benen. Dessa ben fungerar som returväg för flödet och eftersom det finns en returväg på varje sida kan okets höjd halveras. Detta betyder att en fembent transformator kan vara fördelaktig om det exempelvis finns höjdbegränsningar under transporten.
Vid osymmetriska förhållanden, när flödena i de tre faserna inte längre tar ut varandra, har den trebenta transformatorn den egenskapen att det inte existerar någon naturlig returväg för flödet, vilket innebär att flödet kommer sluta sig utanför järnkärnan, genom luften/oljan och transformatorkärlet. Det flöde som sluter sig utanför kärnan möter ett högt magnetiskt motstånd, vilket innebär att den ström som ska driva flödet möter ett lågt elektriskt motstånd. I fallet med en fembent transformator kan det obalanserade flödet sluta sig i de olindade ytterbenen, vilket innebär att det magnetiska motståndet för flödet är lågt och det elektriska motståndet för strömmen högt. [9]
Förutom optimering av materialval och transformatortyp kan transformatorer bestå av fler än två lindningar, oftast tre lindningar. Om fler än en spänning efterfrågas vid till exempel en transformatorstation kan det vara mer ekonomiskt att introducera en extra lindning, än att installera en helt ny transformator.
3.1.7 Kopplingstyper
De vanligaste kopplingstyperna för en trefastransformator är Y och , i sällsynta fall kan även faserna kopp- las ihop med en Z-koppling. Z-koppling används framförallt för mindre transformatorer. Fig. 10a visar en Y-Y-kopplad transformator och fig. 10b visar en - -kopplad transformator. Det förekommer även transfor- matorer där de olika kopplingstyperna kombineras i olika uppsättningar, t.ex. -Y eller Y- . När Y-koppling används finns möjlighet att jorda neutralpunkten antingen direkt eller via en impedans. Fördelar med de olika kopplingstyperna presenteras i tabell 2.
Ett systematiskt sätt att namnge trefastransformatorer finns [3] och här nedan beskrivas de viktigaste de- larna som behövs för fortsatt förståelse för denna text. Lindningarnas kopplingstyp återges i fallande märk-
(a) Y-Y-kopplad trefastransforma-
tor (b) -kopplad trefastransfor-
mator Figur 10: Vanliga kopplingstyper Kopplingstyp Fördelar
Y
Mer ekonomisk för lindningar med hög spänning.
Det existerar en åtkomlig neutral punkt.
Möjligt att jorda direkt eller via en impedans.
Tillåter mindre isolering av neutralen.
Tillåter lindningskopplare i neutraländen.
Tillåter enfasbelastning med ström genom neutralen.
Mer ekonomisk för transformatorer med hög ström och lägre spänning.
När en -kopplad lindning kombineras med en Y, kan nollföljdsimpedansen sedd från den Y-kopplade lindningen reduceras.
Tabell 2: Fördelar för Y- respektive -koppling. [1]
spänning, d.v.s första bokstaven återger högspänningslindningens kopplingstyp och därefter kommer mellan- eller lågspänningslindningen. Högspänningslindningens kopplingstyp ges med versal/versaler medan reste- rande lindningar ges med gemener. Ett exempel är en tvålindnings trefastransformator med en Y-kopplad högspänningslindning och en Y-kopplad lågspänningslindning med en utrdragen nollpunkt som betecknas med Yyn, där ”n” betyder att neutralen är direkt jordad, se fig. 11.
Figur 11: Yyn
3.1.8 Sparkopplad transformator
En speciell typ av transformatorkoppling är sparkopplade transformatorer, på engelska ”autotransformer”. I dessa är hög- och lågspänningslindningarna elektriskt ihopkopplade, se fig. 12. Dessa transformatorer består av en serielindning och en gemensam lindning. Dessa transformatorer är är fysiskt mindre än fullindade transformatorer med samma effekt. För att relatera en sparkopplad transformator till en fullindad används
en term som på engelska benämns ”auto-factor” eller ”reduction factor”, betecknad med ↵. Definitionen av
”auto-factor” är given i ekv. 10.
U1I1= U2I2= S U1 U2
U1
=I2 I1
I2
= ↵ < 1 (U1 U2)I1= (I2 I1)U2= ↵S
(10)
Om en sparkopplad transformator har effekten S kommer motsvarande fullindad transformator med samma storlek och vikt ha en effekt på ↵S. Resultatet blir att en sparkopplad transformator med effekten S kommer vara mindre än motsvarande fullindad transformator.
SKortslutningsreaktansen, som påverkar nollföljdsimpedansen, går att härleda från den reaktiva effekten i läckflödet mellan lindningarna. Läckflödet beror på transformatorns design och storlek. Med sparkopplade transformatorns mindre storlek kommer läckflödet således att påverkas. Dessutom har beloppet på ”auto- factor” betydelse för storleken på läckflödet. [1]
Figur 12: Ekvivalent enfasschema för en sparkopplad transformator.[1]
3.2 Osymmetriska fel i elnätet
Det förekommer två sorters fel i elnät, isolationsfel som ofta leder till kortslutning, samt fel som leder till att strömmen bryts, [11].
Det finns ett antal olika typer av kortslutningsfel, enfas jordfel, tvåfas jordfel, trefas jordfel och fas-till-fas- kortslutningsfel. Av dessa typer leder alla utom trefasfelen till osymmetriska strömmar och spänningar, [11].
En händelse kan leda till att både strömmen bryts och en kortslutning. Ett exempel är när en luftledning bryts och en ände faller i marken och på så sätt jordas. Vanligtvis ändras inte ett fel under med tiden men det finns några undantag där till exempel en enfaskortslutning övergår i att en andra fas kortsluts. [11]
3.3 Symmetriska komponenter
Sinusformade storheter går att representera med vektorer, som till exempel spänning och strömmar. Vid sym- metriska förhållanden kan spänningar och strömmar i trefas representeras av tre vektorer med samma längd, men förskjutna 120 och en abc-fassekvens, se fig. 13a. Analytiskt representeras symmetrisk trefasspänning av ekv. 11, och samma struktur kan användas för symmetriska strömmar.
(a) Symmetrisk trefas (b) Exempel på osymmetrisk trefas Figur 13: Fasdiagram
8>
<
>: Ua= U Ub= U e j120 Uc= U e j240
(11)
(a) Plusföjld (b) Minusföljd (c) Nollföljd
Figur 14: Symmetriska komponenter
När systemet inte längre är balanserat kommer inte vinkeln mellan faserna vara 120 och vektorlängderna inte vara lika långa. Fig. 13b visar ett exempel på hur en osymmetriska storhet (ström eller spänning) i trefas kan se ut.
För att på ett systematiskt sätt beskriva osymmetriska förhållanden används något som kallas symmetriska komponenter. Teorin bygger på att trefasstorheter kan beskrivas i tre sekvenser, en plus-, en miuns- och en nollföljdskomponent. Ett annat namn för plus- och minusföljd är positiv- respektive negativföljd. Plus- följdskomponenten beskriver det symmetriska förhållandet, d.v.s magnituden är densamma i alla faserna, fassekvensen är abc och faserna är förskjutna med 120 , se fig. 14a. Minusföljdskomponenten består också av tre faser med samma magnitud och förskjutna med 120 men skiljer sig från plusföljdskomponenten i det avseende att fassekvensen är acb, se fig. 14b. Det analytiska uttrycket för minusföljdskomponenten återges i ekv. 12.
8>
<
>: Ua= U Ub= U e j240 Uc= U e j120
(12)
Nollföljdskomponenten består av de tre faserna utan fasförskjutning och med samma magnitud, se fig. 14c.
För att underlätta beräkningar inför man vanligtvis ej120 = a. För att särskilja de symmetriska kompo-
nenterna åt indexerar man plusföljd med en ”1”, minusföljd med ”2” och nollföljd med ”0”. De symmetriska komponenterna förhåller sig till faskomponenterna enligt ekv. 13.
2 4Ua
Ub
Uc
3 5 =
2
41 1 1
a2 a 1 a a2 1 3 5 ⇤
2 4U1
U2
U0
3
5 ! Up= T⇤ Us (13)
Ekv. 13 innebär att spänningen i fas a består av en plus-, en minus- och en nollföljdskomponent. Under symmetriska förhållanden kommer minus- och nollföljdskomponenterna att vara noll.
Med symmetriska komponenter är det möjligt att analysera spänningar och strömmar i de olika faserna även under osymmetriska förhållanden. Poängen är att det går att analysera plus-, minus- och nollföljdssekven- serna var för sig, för att i ett sista steg använda inversen av ekv. 13 för att återgå till faskomponenter. Detta betyder att en transformator kommer att kunna representeras av ett ekvivalent enfasschema för plusföljd, ett för minusföljd och ett för nollföljd.
3.4 Ekvivalent sekvensdiagram för trefastransformatorer
I detta avsnitt härleds sekvensdiagrammen för två- och trelindade trefastransformatorer med YY-koppling med och utan jordning, samt för sparkopplade transformatorer. Beskrivningen är baserad på härledningen presenterad i [2].
I en transformator råder perfekt fassymmetri, vilket innebär att det räcker att härleda ett fasdiagram per sekvens, då de resterande faserna kommer vara identiska med den första fasen, [2]. Med definitionerna för positiv och negativ sekvens går det att dra slutsatsen att de positiva och negativa fasdiagrammen kommer vara identiska.
3.4.1 YY-kopplade transformatorer med två lindningar
Inledningsvis presenteras här härledningen för en trefas transformator med två lindningar per fas. Innan den analytiska härledningen påbörjas måste några begrepp och definitioner först införas.
Transformatorns lindningar betecknas A och B och är lindade på samma ben, se fig. 15. Figuren skiljer sig lite från verkligheten då lindningarna oftast är lindade ovanpå varandra, med lindningen med lägst po- tential vanligtvis placerad innerst. Impedansen ZAB motsvarar läckimpedansen mellan lindning A och B.
Läckimpedansen definierad som lindningarnas resistanser, självinduktanser, LAoch LB, samt den ömsesidiga induktansen MAB. Definitionen för lindningarnas självinduktans är given i ekv. 8 och den ömsesidiga induk- tansen är beroende på självinduktansen hos lindningarna och är definierad i ekv. 14. I ekv. 14 motsvarar K kopplingskoefficienten och denna beror på hur spolarna är placerade i förhållande till varandra och kan variera mellan 0 och 1. K kan sägas representera ett mått på hur stor andel av det magnetiska flödet som genereras av lindning A och som innesluts av lindning B.
MAB = Kp
LA⇤ LB (14)
Magnetiseringsimpedansen betecknas med ZAEför lindning A och ZBE för lindning B. Storleken på magneti- seringsimpedansen kan variera med mer än 100% om transformatorn är placerad inne i transformatortanken eller inte [2]. Detta leder till att ZAE är svår att bestämma analytiskt. Slutligen definieras transformatorom- sättningen som i ekv. 15. Omsättningen är ett begrepp som används på samma sätt som överreducering
av storheter, som behandlades i avsnitt 3.1.2. En annan vanlig beteckning för omsättningen är n.
= NA
NB (15)
Den observanta ser att uttrycket påminner om ekv. 2 och om magnetiseringsströmmen försummas kommer tomsättningen att ges av lindningarnas spänningskvot.
Figur 15: Två lindningar, A och B, lindade kring samma ben, [2].
Spänningen över lindning A och B, se fig. 15, kommer att ges av VA= IA(RA+ j!LA) + IBj!MAB
och
VB= IB(RB+ j!LB) + IAj!MAB
Om magnetiseringsströmmen försummas kommer strömmarna att ges av
IA+ IB= 0
Om ekvationerna för spänningar och strömmar kombineras fås följande uttryck VA VB = IA RA+ 2RB+ j!(LA+ 2LB 2MAB)
Uttrycket innanför ytterparenteserna motsvarar läckimpedansen. Om hänsyn också tas till magnetiserings- strömmen kommer det ekvivalenta schemat att ges av fig. 16. Spänningen VB motsvarar den sekundära spänningen reducerad till primära storheter.
Figur 16: Plus- och minusföljdsschema för en YY-kopplad trefastransformator.
Figur 17: Nollföljdsschema för en YY-kopplad transformator bestående av tre enfas lindningar jordade med ZnA och ZnB i neutralpunkterna.
Om neutralpunkterna i en YY-kopplad transformator jordas genom impedanserna ZnA och ZnB blir det ekvivalenta schemat givet av fig. 17, [2].
Beroende på om neutralpunkterna i lindningarna jordas eller ej kan olika scheman härledas från fig. 17. Om båda lindningarna direktjordas blir ZnA = ZnB = 0. Om däremot båda isoleras kommer ZnA = ZnB =1, vilket innebär att kretsen öppnas i fig. 17.
Härledningen av det ekvivalenta enfasschemat för nollföljdssekvensen har hittills baserats på att tre en- fastransformatorer kopplats ihop. För att anpassa nollföljdsschemat för en kärntransformator, där alla faser är lindade på samma kärna kommer resultatet att skilja sig något. För en trebent trefas kärntransformator kommer impedansen ZAB i fig. 17 att delas upp i två separata impedanser, ZAoch ZB, som placeras på var sin sida om ZAE, se fig. 18.
Figur 18: Nollföljdsschema för en YY-kopplad trefas kärntransformator jordad med ZnAoch ZnB i nollpunk- ten.
Att analytiskt bestämma impedanserna i fig. 18 är svårt. Anledningen är att en nollföljdsström, I0, kommer att inducera ett magnetiskt flöde som inte kan sluta sig i kärnan. Det inducerade flödet måste använda transformatortanken som returväg, vilket innebär att höga virvelströmsförluster kommer att bildas. Den bästa metoden för att bestämma impedanserna är att genomföra laboratorietester, där transformatorn testas när den är placerad i sin transformatortank.
3.4.2 YYY-kopplade transformatorer med tre lindningar
Precis som i presentationen för en transformator med två lindningar så representerar ZAB läckimpedansen mellan lindning A och B men för en transformator med tre lindningar återfinns ytterligare två läckimpedanser, ZAC och ZBC, som representerar läckimpedansen mellan den tredje lindningen och de två första. Även omsättningarna måste anpassas när en tredje lindning kopplas in, se ekv. 16 och 17.
1=NA
NB
= VA
VB om magnetiseringsströmmen försummas (16)
2= NA
NC
= VA
VC om magnetiseringsströmmen försummas (17)
Med ovanstående definition för omsättningarna kan spänningar och strömmar i/över lindning B och C redu- ceras över till lindning A med hjälp av följande ekvationer.
VB0 = 1VB IB0 = 1
1
IB (18)
VC0 = 2VC IC0 = 1
2
IC (19)
Samma procedur som för transformatorer med två lindningar kan användas för att få fram plus- och minus- följdssekvensediagrammen för en transformator med tre lindningar per fas. Först definieras spänningarna i lindningarna som funktion av strömmarna, lindningsresistanser och induktanser (både själv och ömsesidi- ga induktanser). Baserat spänningarna VA, VB och VC kan spänningsskillnaderna VA VB0, VA VC0 och VB0 VC0 beräknas på samma sätt som spänningsskillnaden VA VB0 bestämdes för fallet med två lindningar.
Här presenteras endast resultatet av denna förenkling; hela härledningen går att finna i [2]. Resultatet för impedanserna och motsvarande fasdiagram återges i ekv. 20-22 och fig. 19.
ZA= RA+ j!(LA 2MAC 1MAB+ 12MBC) (20)
ZB= 21RB+ j!(21LB 1MAB+ 2MAC 12MBC) (21)
ZC= 22RC+ j!(22LC 2MAC+ 1MAB 12MBC) (22)
Figur 19: Plus och minusföljdsschema för en YY-kopplad trefastransformator med tre lindningar per fas, när magnetiseringsströmmen försummas.
Hittills har presentationen byggt på att magnetiseringsströmmen går att försumma, d.v.s. presentationen bygger på en ideal transformator. Om magnetiseringsströmmen tas med i modellen kommer en extra im- pedans att framträda i fasdiagrammet, se fig. 20.
Från presentationen av de tvålindade YY-kopplade transformatorerna syntes att det ekvivalenta nollföljds- diagrammet starkt påminde om motsvarande diagram för plusföljden, med den skillnaden att en impedans motsvarande jordningen las till. Mönstret upprepar sig också för det YYY-kopplade fallet, den ekvivalenta nollföljdsschemat för en trelindad transformator ges av i fig. 21.
Figur 20: Plus och minusföljdsschema för en YYY-kopplad trefastransformator med tre lindningar per fas, med magnetiseringsströmmen modellerad.
Figur 21: Ekvivalent nollföljdskrets för en YYY-kopplad transformator
Från fig. 21 framgår det att för att få fram alla impedanser, jordningsimpedanserna ZnX antas vara kända (och lika med 0 vid direktjordning), behövs tre separata tester. Vid testen bestäms följande tre impedan- ser:
Znoll1= ZA+ ZAE
Znoll2= ZB+ ZAE
Znoll3= ZC+ ZAE
Vid proven så hålls en lindning öppen samtidigt som en kortsluts och märkström skickas genom den tredje.
För fallet med två lindningar är existerar det tre obekanta impedanser, vilket innebär att tre prov behövs i nollföljd (1. Inmatning på lindning 1 med lindning 2 öppen, 2. Inmatning på lindning 2 med lindning 1 öppen, 3. Inmatning på lindning 1 med lindning 2 kortsluten). För de trelindade fallet är det fyra obekanta impedanser, vilket innebär 4 prov i nollföljd (1. Inmatning på lindning 1 med lindning 2 och 3 öppna, 2.
Inmatning på lindning 2 med lindning 1 och 3 öppna, 3. Inmatning på lindning 3 med lindning 1 och 2 öppna, 4. Inmatning på lindning 1 med lindning2 kortsluten och lindning 3 öppen).
3.4.3 Sparkopplade transformatorer med två lindningar
Ekv. 23 och 24 visar definitionen av spänningarna över de två lindningarna, som funktion av den gemensamma lindningens resistans och självinduktans (R1 och L1), av serielindningens resistans och självinduktans (R2
och L2) samt den ömsesidiga induktansen, M12. Spänningarna och strömmarna är definierade enligt fig.
12.
U1 U2= I1(R1+ j!L1) (I2 I1)j!M12 (23) U2= (I2 I1)(R2+ j!L2) + j!M12I1 (24) Från fig. 12 framgår det att den primära spänningen är given av U1, vilket fås om ekv. 23 och 24 summeras.
Resultatet enligt ekv. 25.
U1= I1(R1+ j!(L1+ M12)) (I2 I1)(R2+ j!(L2+ M12)) (25) Om den sekundära spänningen U2 multipliceras med 1 ↵1 , där ↵ är ”auto-factorn” och definierad av ekv.
10, går det att referera den sekundära spänningen till den primära sidan, på samma sätt som metoden för överreducering av storheter, se ekv. 26.
U20 = 1
1 ↵ (I2 I1)(R2+ j!L2) + j!M12I2 (26) Spänningsfallet mellan den primära och den sekundära lindningen (uttrycket hänfört till primärsidan) blir
U1 U20 = I1 R1+ ( ↵
1 ↵)2R2+ j!(L1+ ( ↵
1 ↵)2L2 2 ↵
1 ↵M12) = I1Z12
Resultatet blir att en sparkopplad transformator med två lindningar kan representeras av en krets med en impedans i plusföljd. Den ekvivalenta kretsen för nollföljdssekvensen blir identisk till plusföljden om neutralen är direktjordad. Om däremot neutralen jordas genom en impedans, Zn, kommer denna impedans att ha en ström lika med summan av alla fasströmmar till jord, 3(I2 I1). Detta innebär att spänningsfallet över impedansen kommer att bli 3(I2 I1)Zn. Detta spänningsfall går att referera till högspänningssidan genom multiplikation med I2I1I1, vars resultat går att förenkla så att spänningsfallet går att uttrycka som en funktion av ”auto-factorn”, se ekv. 27.
3Zn
✓ ↵
1 ↵
◆2
I1 (27)
Det resulterande enfasschemat visas i fig. 22. Transformatorn kommer att dra en magnetiseringsström i nollföljd, till följd av att den är en kärntransformator och har alla benen lindade. Magnetiseringsströmmen modelleras med hjälp av en shunt impedans, ZE. Om neutralen skulle vara ojordad, d.v.s. jordad via en oändlig impedans, skulle även nollföljdsimpedansen bli oändlig, vilket framgår av fig. 22.
Figur 22: Ekvivalent nollföljdskrets för en sparkopplad transformator med två lindningar
Precis som för en fullindad transformator är det generellt sett svårt att bestämma impedanserna analytiskt och därför genomförs en rad laboratorietest där dessa impedanser mäts.
4 Metod
Följande kapitel behandlar metoden för identifiering och värdering av en algoritm för approximering av de fysiska nollföljdsimpedanserna som går att mäta vid ett laboratorieprov, dvs Znoll1-Znoll3. Metoden motiveras från teorin från kap. 3 och olika statistiska verktyg.
4.1 Kända storheters korrelation till nollföljdsimpedansen
Baserat på den tillgängliga informationen om transformatorerna, identifierades storheter som skulle kunna korrelera till nollföljdsimpedansen. Dessa storheter var lindningarnas märkeffekt (Snom) och märkspänning (Unom), lindningarnas karaktäristiska impedans(Zkar), definierad som Zkar=USnomnom2 , procentuell tomgångsim- pedans, definierad som Ztom=I1
tom⇤1001 , tomgångsförlusterna (Ptom) och tillverkningsår. Motiveringen till att testa Snom, Unom (och med dessa även Zkar) korrelation till nollföljdsimpedansen går att härleda till transformatorns storlek. Storleken på transformatorn kommer påverka designen av kärnan. Kärnans utform- ning kommer att inverka på nollföljdsimpedansen, varför det är motiverat att undersöka hur dessa storheter korrelerar till nollföljdsimpedansen. Det är inte bara kärnans form som påverkar nollföljdsimpedansen, utan även materialet i kärnan. Kärnmaterialet kommer påverka tomgångsförlusten och tomgångsströmmen och därför är det motiverat att undersöka även dessa. Kärnmaterialet i transformatorer har under åren utveck- lats för att effektivisera transformatorerna, varför transformatorns tillverkningsår kan ha en inverkan på nollföljdsimpedansen.
4.2 Minsta kvadratmetoden
För att fastställa om de identifierade storheterna har en inverkan på nollföljdsimpedansen implementeras en linjär approximation. Målet med algoritmen är att den ska ge en så exakt approximation som möjligt med så lite indata som möjligt. Högre gradtal på modellen är inte motiverat då algoritmen bygger på ”enkel” indata, samt att den största delen av den bakomliggande teorin, avsnitt 3, bygger på linjära samband.
Approximationen bygger på minsta kvadratmetoden, där summan av felet i kvadrat mellan uppmätt värde och approximationen ska minimeras, se ekv. 28. [12]
min Xn
i=1
(yi yˆi)2 (28)
där n representerar antal datapunkter, yi uppmätt värde och ˆyi ett approximerat värde. Appliceras mins- ta kvadratmetoden på en linjär model kommer metoden att minimera ekv. 28 då ˆyi ges av ekv. 29, dvs optimeringsproblemet löses med avseende på p1 och p2.
ˆ
y(x) = p1x + p2 (29)
4.2.1 Robustifiering
En av nackdelarna med minsta kvadratmetoden är att den är känslig för uteliggare [12]. Generellt brukar det antas att avvikande värden (uteliggare) är sällsynta, men då minsta kvadratmetoden tar felet i kvadrat kommer inverkan från de avvikande värdena att ha en stor påverkan på slutresultatet. För att minimera de avvikande värdenas påverkan på slutresultatet, så finns det metoder för att vikta observationerna. I Matlabs
”cuvre fitting-toolbox” finns två inbyggda metoder för robustifiering av minsta kvadrat lösningar, LAR (Least absolute residuals) och Bisquare.
Med LAR minimeras de absoluta felen istället för kvadraten av felen, som görs i en vanlig minsta kvadratop- timering. Det innebär att om extrema värdena är sällsynta kommer dessa inte ha så stor effekt på den totala summan som ska minimeras i optimeringen. Bisquare-metoden minimerar en viktad summa av fel, där vikten bestäms av hur långt ifrån observationen är från den approximerade linjen. Observationer långt ifrån linjen tilldelas en låg vikt medan observationer nära linjentilldelas en hög. Resultatet blir att den approximerade linjen optimeras så att den passar den stora massan av observationer. Detta argument brukar användas för att förespråka Bisquare robustifiering [12]. Målet med algoritmen är att identifiera ett samband som förklarar nollföljdsimpedansen för så många transformatorer som möjligt vilket är ett argument för att välja Bisquare som robustifieringsmetod.
Bisquare robustifiering bygger på en iterativ process i fyra steg, [12].
1. Först approximeras ett samband med en viktad minsta kvadratoptimering.
2. I nästa steg tas en justerad residual (eng. ”adjusted residual”) fram från följande ekvation:
radj,i= ri
p1 hi
där ri är den vanliga residualen och hi en tyngdfaktor (eng. ”leverage”). Den justerade residualen standardiseras med följande ekvation:
ui= radj,i
Ks
där K är en konstant (4.685). Parametern s är den robusta variansen given av MAD (”median absolute deviation of residuals”) dividerat med 0.6745.
3. Därefter beräknas den robusta vikten,wi som en funktion av uienligt följande:
wi =
((1 u2i)2 |ui| < 1
0 |ui| 1
4. Om lösningen konvergerar så är processen klar. Om inte, så upprepas processen.
4.3 Kategorisering
Innan den numeriska dataanalysen påbörjas delas transformatorerna in i kategorier efter antal lindningar och kopplingsart, se fig.23. I fig. 23 motsvarar kopplinsart ”YN0” en Y-kopplad lindning med en utdragen nollpunkt, ”Y0” en Y-kopplad lindning utan utdragen nollpunkt och ”AN0” motsvarar en sparkopplad lind- ning. Dessa beteckningar kommer fortsättningsvis att användas för att tydliggöra vilken kopplingsart som transformatorerna har. Kategoriseringen fram hit bygger på information om transformatorerna som är kända utan att några tester behöver genomföras. Det är rimligt att anta att information om antal lindningar och kopplingstyp är korrekt, d.v.s. datamängden saknar ”mätfel” och därför kan kategoriseringen, beskriven ovan, göras helt utan fel.
Om fler än en parameter påvisar ett samband med nollföljdsimpedansen kan ett ytterligare sätt att minska spridningen vara att dela in transformatorerna i storleksordning, baserat på en av de identifierade para- metrarna. Exempel på sådana storheter kan vara märkeffekt, märkspänning eller tillverkningsår. Baserat på resultatet i en inledande approximering, går det att identifiera vilka parametrar som har ett samband med nollföljdsimpedansen.
Intervallen för de valda parametrarna väljs godtyckligt, men antalet intervall ska vara relativt lågt. Ett för högt antal undergrupper/intervall skulle medföra att algoritmens pricksäkerhet skulle minska, då modellerna i undergrupperna skulle baserats på endast ett fåtal transformatorer.
Trebenta kärntransformatorer
2 lindningar 3 lindningar
YN0 Y0 AN0 YN0 Y0 AN0
Figur 23: Kategorisering
4.4 Filtrering av misstänkta mätfel
För att hitta en algoritm med så korrekta samband som möjligt, är det viktigt att den data som används för approximeringen innehåller så få och små mätfel som möjligt. Av denna anledning behövs en metod för att filtrera bort transformatorer från datamängden som har stora avvikande värden, där eventuella mätfel kan misstänkas. Enklast vore om en visuell inspektion av spridningsdiagram skulle genomföras för att upptäcka avvikande transformatorer, där eventuella mätfel skulle kunna förklara avvikelsen. I [13] presenteras en metod för att identifiera avvikande datapunkter med hjälp av begreppet Zscore. Definitionen av Zscore ges i ekv.30.
Zscore = x medel(X)
standardavvikelsen(X) (30)
där x motsvarar mätvärdet och X hela populationen av mätvärden. Enligt [13] är ett mätvärde en uteliggare om den har ett Zscore-värde på mindre än -3 eller högra än 3, d.v.s. om absolutbeloppet av Zscore är större än 3. Om absolutbeloppet av Zscore-värdet är mycket större än 3 bör värdet undersökas närmare, då inmatningsfel eller andra uppenbara fel skulle kunna ligga bakom det höga värdet. Alla mätvärden som identifieras som uteliggare bör undersökas vidare innan dessa utesluts från analysen [13]. Vid en analys av de bortsorterade värdena kan man undersöka hittills oanvänd information om transformatorerna, som t.ex.
tillverkare, typbeteckning eller tillverkningsår.
För att kunna applicera metoden med Zscore vid identifiering av en trend, där det förväntas att utfallet (i denna undersökning nollföljdsimpedansen) ökar eller minskar när prediktorn ändras, går det inte att bara applicera mätvärdena till ekv. 30. Om mätvärden, utan bearbetning, skulle användas i ekv. 30 skulle fler uteliggare identifieras bland utfallen från höga eller låga prediktorer. Istället approximeras alla mätvärden i undergrupperna linjärt med minsta kvadratmetoden. Från approximeringen kan residualerna (felet mellan approximationen och det uppmätta värdet)beräknas och användas i ekv. 30. Om datan antas vara normal- fördelad kring den approximerade modellen, kommer medelvärdet av residualen vara normalfördeladsa med ett medelvärde kring 0.
4.5 Nollföljdsimpedans hos en andra lindning
Under osymmetriska förhållanden kommer det obalanserade flödet i trebenta kärntransformatorer att sluta sig utanför kärnan. Flödet kommer att välja en väg att sluta sig så att det totala magnetiska motståndet blir minimerat. Precis samma fenomen uppstår vid ett tomgångende nollföljdsprov. Vid ett tomgångende nollföljdsprov kopplas faserna ihop och ansluts till en spänningskälla, se fig. 24. Den pålagda strömmen fördelar sig jämnt mellan faserna som nu är i fas med varandra. Resultatet blir att det inducerade flödet i kärnbenen kommer att vara riktat åt samma håll i alla tre ben. Då flödet går i slutna slingor kommer den att behöva sluta sig utanför kärnan, precis som vid osymmetriska förhållanden.
